Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності

Теорему взаємності робіт узагальнено на динамічні задачі локально градієнтної лінійної теорії взаємозв’язаної електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагнітних ізотропних тіл. Нелокальність згаданої теорії зумовлена врахуванням поряд із процесами деформування, теплопровідності та поляризації...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2010
1. Verfasser:	Грицина, О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22464
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 69-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860259847638876160
author	Грицина, О.
author_facet	Грицина, О.
citation_txt	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 69-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Теорему взаємності робіт узагальнено на динамічні задачі локально градієнтної лінійної теорії взаємозв’язаної електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагнітних ізотропних тіл. Нелокальність згаданої теорії зумовлена врахуванням поряд із процесами деформування, теплопровідності та поляризації також процесу локального зміщення маси. Як частковий випадок наведено теорему взаємності робіт для стаціонарних процесів. Показано узгодженість отриманих результатів із відомими з літератури. The theorem of reciprocity of work is generalised for dynamical problems of local gradient linear theory of coupled electro-magneto-thermomechanics of polarized nonferromagnetic isotropic solids. The nonlocality of the mentioned theory is caused by the account of the process of local displacement of mass alongside with deformation, thermal and polarisation processes. As a particular case, the reciprocity theorem of work for stationary processes is obtained. It is shown that the obtained results agree well with those known in literature. Теорема взаимности работ обобщена на динамические задачи локально градиентной теории взаимосвязанной электромагнитотермомеханики поляризованных неферромагнитных изотропных тел. Нелокальность упомянутой теории обусловлена учетом наряду с процессами деформирования, теплопроводности и поляризации также процесса локального смещения массы. Как частный случай приведена теорема взаимности работ для стационарных процессов. Показано согласование полученных результатов с известными в литературе.
first_indexed	2025-12-07T18:53:50Z
format	Article
fulltext	69 Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності Ольга Грицина К. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ ім. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду- даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: gryt@cmm.lviv.ua Теорему взаємності робіт узагальнено на динамічні задачі локально градієнтної лінійної тео- рії взаємозв’язаної електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагнітних ізотроп- них тіл. Нелокальність згаданої теорії зумовлена врахуванням поряд із процесами деформу- вання, теплопровідності та поляризації також процесу локального зміщення маси. Як частковий випадок наведено теорему взаємності робіт для стаціонарних процесів. Пока- зано узгодженість отриманих результатів із відомими з літератури. Ключові слова: теорема взаємності робіт, нелокальна теорія, взаємозв’я- зані електромагнітотермомеханічні процеси, локальне зміщення маси, поля- ризовні тіла. Вступ. Теореми взаємності робіт для моделей пружних і термопружних п’єзо- електричних тіл встановлені Новацьким [1, 2]. Праці [2-6] містять формулювання теорем взаємності робіт для деяких узагальнених теорій взаємозв’язаної електро- магнітотермомеханіки, у тому числі, для теорії п’єзоелектриків Тупіна та гра- дієнтної теорії п’єзоелектриків Міндліна. У роботах [7, 8] одержано повну систему співвідношень локально гра- дієнтної теорії неферомагнітних поляризовних тіл, яка ґрунтується на врахуванні поряд із процесами деформування, теплопровідності та поляризації також процесу локального зміщення маси. Відповідну теорему взаємності робіт для стаціонарних процесів за ізотермічного наближення наведено у статті [9]. Метою цієї роботи є узагальнення теореми взаємності робіт для динаміч- них задач локально градієнтної електромагнітотермомеханіки діелектричних тіл. 1. Система співвідношень локально градієнтної теорії діелектриків Розглядаємо ізотропне деформівне поляризовне неферомагнітне тіло, яке є ідеаль- ним діелектриком, що займає область (V) евклідового простору й обмежене поверхнею (Σ). Тіло перебуває під впливом електромагнітного поля, зовнішньої механічної та температурної дії внаслідок чого у ньому протікають механічні, теплові, електромагнітні процеси та процес локального зміщення маси [7]. Лінійна система рівнянь моделі електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагнітних ідеальних діелектриків за врахування процесу локального УДК 539.3 Ольга Грицина Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності 70 зміщення маси включає [7, 8]: рівняння балансу імпульсу механічного посту- пального руху та ентропії, співвідношення, яке пов’язує питому густину наведе- ної маси з питомим вектором локального зміщення маси, рівняння Максвелла [10] 2 0 0 2 ˆ t         uF  , (1) 0 0 q dsT dt      J , (2) m m     , (3) 0 B , 0 D , t      BE , 0 t t         E PH , (4) кінетичне рівняння q T J  , (5) а також лінійні рівняння стану, які для ізотропних матеріалів мають такий вигляд 0 0 0 1V t T m Cs s K e T         , (6)  * 2 ˆˆˆ 2 3 t mG K G e K               I e , (7) 0 1 m Td K e            , (8) E Em     p E  , (9) m m Em     E  . (10) Тут ˆ  — узагальнений тензор напружень [7, 8]; ê — тензор деформації, а е — його кульовий складник; u — вектор переміщення точок континуума центрів мас тіла; F — масова сила; s — питома ентропія; 0T T   , T — абсолютна температура;  — розподілені джерела тепла; E та H — вектори напруженостей електричного та магнітного полів; D та B — вектори індукції електричного та магнітного полів; P — вектор поляризації; 0 p P ; m — питомий вектор локального зміщення маси [7]; 0        ;      ; μ — хімічний потенціал, а μπ — міра зміни внутрішньої енергії системи, зумовленої локальним зміщенням маси [7]; m — питома густина наведеної маси [8]; qJ — потік тепла;  — кое- фіцієнт теплопровідності; K — модуль об’ємного стиску за сталих температури та питомої густини наведеної маси; G — модуль зсуву; t — температурний коефіцієнт об’ємного розширення за сталої питомої густини наведеної маси, а  — коефіцієнт об’ємного розширення, спричиненого локальним зміщенням маси за сталої ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 69-77 71 температури; VC — питома теплоємність за сталої деформації та питомої густини наведеної маси; T та d — ізотермо-ізохоричні коефіцієнти залежностей ентро- пії та потенціалу  від питомої густини наведеної маси; E — діелектрична сприйнятливість; m і Em — коефіцієнти, які характеризують відповідно локальне зміщення маси та поляризовність тіла, зумовлені градієнтом потенціалу  ; 0 — електрична стала; 0 і 0 — значення густини маси та приведеного потенціалу μ'π у вихідному стані, в якому також ˆ 0e , ρm = 0, E = 0, 0T T , 0  , ˆ 0  , p = 0, πm = 0; «×», «·» — знаки векторного й скалярного добутків. 2. Теорема взаємності робіт Розглянемо два різних напружено-деформованих стани діелектричного тіла, спри- чинені двома системами зовнішніх дій: масових сил F й F ; джерел тепла  і  ; поверхневих зусиль  та  на поверхні   ; переміщень u й u' на поверхні  u ; поверхневих електричних зарядів P n і  P n на поверхні  e ; електричних потенціалів φ та φ' на поверхні   ; збурення температури  і  на поверхні   ; потоків тепла qJ та qJ на поверхні  J ; векторів локального зміщення маси m і m на   та збурень  і    на   . Тут:      u    ,    u   ,      J    ,    J   ,    e        e    ,    e   ,           ,        . Наслід- ком такої зовнішньої дії є два стани тіла, які будемо характеризувати відповідно тензорами напружень ˆ  та ˆ  , деформацій ê та ˆe , збуреннями температури  і  та питомої ентропії s і s , питомими густинами наведеної маси m та m , питомими векторами локального зміщення маси m і m , потенціалами  та    , напруженостями електричного поля E та E , питомими векторами поляризації p і p . Застосуємо до системи рівнянь (1)-(10) одностороннє перетворення Лапла- са [11], означене таким чином       0 , , ,L ptf t f p f t e dt       r r rL . Тут    ˆˆ, , , , , , , , , , , , , ,m mf t T     r F u B E D H p e , r — радіус-вектор, p — параметр перетворення Лапласа. Для спрощення викладу надалі приймемо, що всі початкові умови, які задані на збурення функцій, є нульові. Тоді для двох систем зовнішніх дій рівняння руху (1) у перетвореннях Лапласа набуде вигляду Ольга Грицина Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності 72 2 * 0 * 0ˆ L L Lp    F u  , (11) 2 * 0 * 0ˆ L L Lp      F u  . (12) Якщо рівняння (11) і (12) скалярно помножити, відповідно, на вектори переміщень Lu та Lu , отримані рівняння відняти та проінтегрувати по об’єму тіла, то у підсумку одержимо       * 0 * * 0 ˆ ˆ 0L L L L L L L L V dV                u F u u F u    . (13) Врахуємо тепер співвідношення     * ˆ ˆ ˆL L L L L L       u u u       ,     * ˆ ˆ ˆL L L L L L         u u u       , формулу  Tˆ 2   u u e [2] та теорему Остроградського-Гауса [11]. Тоді інтегральному рівнянню (13) надамо вигляду         * 0 * * L L L L L L L L V d dV               u u F u F u      * ˆ ˆˆ ˆ: :L L L L V dV    e e . Тут ˆL L n  , ˆL L  n  , де n — зовнішня нормаль до поверхні тіла   , а індекс «Т» вказує на операцію транспонування тензора. Підставивши у праву частину одержаного рівняння визначальне співвідно- шення (7), отримаємо         * 0 * * L L L L L L L L V d dV               u u F u F u      ( ) ( ) L L L L L L L L t m m V V K e e dV K e e dV             . (14) За врахування визначальних співвідношень (5), (6) із рівняння балансу ентропії (2) отримаємо рівняння теплопровідності 0 0 0 0 0 m V t T eC T K T t t t                . (15) Для двох типів зовнішнього навантаження рівняння (15) у перетвореннях Лапласа набуде вигляду ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 69-77 73 0 0 0 0 0 L L L L L V t T mC p T K pe T p            , (16) 0 0 0 0 0 L L L L L V t T mC p T K pe T p                . (17) Якщо рівняння (16) і (17) скалярно домножити, відповідно, на функції L та L , отримані рівняння відняти та проінтегрувати по об’єму тіла, то одержимо    0 ( ) ( ) L L L L L L L L t V V dV T K p e e dV                   0 0 0 ( ) ( ) 0L L L L L L L L T m m V V T p dV dV                    . У першому інтегралі цього рівняння врахуємо, що L L L L        L L L L          . Тоді, з огляду на теорему Остроградського-Гаусса, надамо цьому рівнянню вигляду     0 ( ) ( ) L L L L L L L L t V d K e e dV pT                   n     0 0 0( ) ( ) 0L L L L L L L L T m m V V dV dV pT                   . (18) В електродинаміці загальноприйняте подання вектора напруженості елект- ричного поля через скалярний  та векторний A потенціали: t       AE  [10]. Тут ми обмежимося розглядом квазістатичного електричного поля, для якого 0 t    A [2], а відтак приймемо, що   E  . Обґрунтування такого спрощення можна знайти, зокрема, у праці [12]. Враховуючи подання вектора напруженості електричного поля через скалярний потенціал і формулу D = 0E + P [2, 10], із другого рівняння системи (4) після застосування перетворення Лапласа отримаємо 2 0 0L L     P , (19) 2 0 0L L      P . (20) За аналогічною схемою, домножимо останні два рівняння відповідно на L і L , а результат віднімання отриманих співвідношень зінтегруємо по об’єму тіла. У підсумку одержимо       0 L L L L V dV                      L L L L V dV         P P  . (21) Ольга Грицина Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності 74 Оскільки        L L L L L L L L                               ,            L L L L L L L L L L L L                     P P P P P P      , то з використанням теореми Остроградського-Гауса, рівнянню (21) надамо вигляду         0 L L L L L L L Ld dV                   n P P n      L L L L V dV       P P  (22) або         L L L L L L L L V d dV                D D n P P  . (23) Шляхом додавання співвідношень (14), (18) і (23), звівши подібні доданки, отримаємо     * * L L L L L L L L d                u u D D n  –   0 ( ) L L L L d pT            n      0 * * L L L L V dV      F u F u  0 0 ( ) L L L L V dV pT            L L L L V dV         P P        0 L L L L L L L L m m T m m V K e e dV                    . (24) Спростимо підінтегральні вирази у правій частині рівняння (24). Пере- творимо, насамперед, підінтегральний вираз в останній стрічці цього рівняння. Врахуємо при цьому формули 0 0 0 L L L L m TK e d              ,  0 0 0 LL L L m TK e d                 , (25) які є наслідком рівняння стану (8). Підставивши співвідношення (25) у підінтег- ральний вираз і звівши подібні члени, отримаємо      0 0 LL L L L L L L L L L L m m T m m m mK e e                                 . (26) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 69-77 75 Із використанням рівнянь стану (9) і (10) можна показати, що для квазі- статичного електричного поля справджується така рівність    0 L LL L L L L m m                     P P        . (27) Якщо тепер врахувати співвідношення (26) і (27), а також формули L L m m     та L L m m      , то правій частині рівняння (24) можна надати вигляду   L L L L V dV         P P      L L L L m m V K e e        0 L L L L T m m dV           0 ( ) LL L L m m V dV                . (28) Тоді, підставляючи формулу (28) у (24) і враховуючи теорему Остроградського- Гауса, одержуємо узагальнення теореми взаємності робіт у зображеннях Лапласа     0 * * L L L L L L L LpT                  u u D D n         0 0 * * LL L L L L L L m m V d dV                   n F u F u      0 ( ) ( ) 0L L L L L L L L V d dV                     n  . Звідси, взявши обернене перетворення Лапласа, отримаємо       0 * T                  u u D n D n               0 0 0 *m m V d dV                   n n F u F u           0 ( ) ( ) 0 V d dV                        n n  . (29) Тут використано такі позначення для згорток     0 , , t t d         g r f g f r ,     0 , , t g f g f t d        r r ,     0 , , t f g f t g d      r r . Рівняння (29) відповідає теоремі взаємності робіт, узагальненій на динамічні задачі локально градієнтної теорії лінійної електромагнітотермопружності. Ольга Грицина Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності 76 Зазначимо, що наявність згорток функцій    0 m    n  ,  0 m    n  у спів- відношенні (29) зумовлено врахуванням у модельному описі процесу локального зміщення маси. У разі нехтування цим процесом співвідношення (29) співпадає з рівнянням, одержаним Новацьким для теорії термоп’єзоелектриків [1]. У випадку стаціонарних процесів рівняння (29) зводиться до такого        0 m m d                            u u D D n n           0 0 0t T m m V K e e dV                           F u F u . (30) Враховуючи, що    1 0T m m tK e e s s                       , теорему взаєм- ності робіт для стаціонарного випадку можна записати ще так        0 m m d                            u u D D n n         0 0 V s s dV             F u F u . (31) В ізотермічному наближенні рівняння (30), (31) узгоджуються з резуль- татами, отриманими раніше у праці [9] для стаціонарних задач локально гра- дієнтної теорії електромагнітомеханіки неферомагнітних діелектричних тіл. Висновки. Теорему взаємності робіт узагальнено на випадок лінійних динамічних задач взаємозв’язаної електромагнітотермомеханіки, у якій поряд із деформа- ційними, тепловими й електромагнітними процесами враховано також локальне зміщення маси. Згадану теорему можна використати для розробки аналітичних методів розрахунку напружено-деформованого стану ізотропних неферомагнітних діелектричних тіл за врахування процесу локального зміщення маси. Література [1] Nowacki, W. A reciprocity theorem for coupled mechanical and thermoelectric fields in piezo- electric crystals / W. Nowacki // Proc. Vibr. Probl. — 1965. — Vol. 6, No 1. — P. 3-11. [2] Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. — Москва: Мир, 1984. — 159 с. [3] Nowacki, J. P. Some Dynamical Problems of Thermoelastic Dielectrics / J. P. Nowacki, P. G. Glockner // Int. J. Solid and Struct. — 1979. — Vol. 15, Issue 3. — P. 183-191. [4] Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Введение в тео- рию термопьезоэлектричества / Д. И. Бардзокас, А. И. Зобнин, Н. А. Сеник, М. Л. Фильш- тинский. — 2005. — Т. 1. — 312 с. [5] Aouadi, M. The generalized theory of thermo-magnetoelectroelasticity / M. Aouadi // Technische Mechanik. — 2007. — Vol. 27, No 2. — P. 133-146. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 69-77 77 [6] Montanaro, A. Some general theorems of incremental thermoelectroelasticity / arXiv: 0808.1026 (August 2008) http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0808/0808.1026v2.pdf. [7] Бурак, Я. Й. Приповерхневі механоелектромагнетні явища у термопружних поляри- зовних тілах за локального зміщення маси / Я. Й. Бурак, В. Ф. Кондрат, О. Р. Гри- цина // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2007. — № 4. — С. 5-17. [8] Кондрат, В. Рівняння електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагніт- них тіл за врахування локального зміщення маси / В. Кондрат, О. Грицина // Фіз.- мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 69-83. [9] Грицина О. Узагальнення теореми взаємності робіт для нелокальної електро- магнітної механіки діелектриків / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 50-55. [10] Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1982. — 620 с. [11] Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. — Москва: Наука, 1974. — 831 с. [12] Tiersten, H. F. The radiation and confinement of electromagnetic energy accompanying the oscillations of piezoelectric crystal plates / H. F. Tiersten // Rec. Advances in Engi- neering Science, Part 1, ed. A. C. Eringen. — New York: Gordon and Breach Science Publ., 1970. The theorem of reciprocity of work for local gradient linear thermo-electro-magnetoelasticity Olha Hrytsyna The theorem of reciprocity of work is generalised for dynamical problems of local gradient linear theory of coupled electro-magneto-thermomechanics of polarized nonferromagnetic isotropic solids. The nonlocality of the mentioned theory is caused by the account of the process of local displace- ment of mass alongside with deformation, thermal and polarisation processes. As a particular case, the reciprocity theorem of work for stationary processes is obtained. It is shown that the obtained results agree well with those known in literature. Теорема взаимности работ локально градиентной линейной электромагнитотермоупругости Ольга Грицина Теорема взаимности работ обобщена на динамические задачи локально градиентной теории взаимосвязанной электромагнитотермомеханики поляризованных неферромагнитных изо- тропных тел. Нелокальность упомянутой теории обусловлена учетом наряду с процессами деформирования, теплопроводности и поляризации также процесса локального смещения массы. Как частный случай приведена теорема взаимности работ для стационарных процес- сов. Показано согласование полученных результатов с известными в литературе. Представлено член-кореспондентом НАН України Я. Бураком Отримано 21.03.10
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22464
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:53:50Z
publishDate	2010
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Грицина, О. 2011-06-22T20:31:35Z 2011-06-22T20:31:35Z 2010 Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 69-77. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22464 539.3 Теорему взаємності робіт узагальнено на динамічні задачі локально градієнтної лінійної теорії взаємозв’язаної електромагнітотермомеханіки поляризовних неферомагнітних ізотропних тіл. Нелокальність згаданої теорії зумовлена врахуванням поряд із процесами деформування, теплопровідності та поляризації також процесу локального зміщення маси. Як частковий випадок наведено теорему взаємності робіт для стаціонарних процесів. Показано узгодженість отриманих результатів із відомими з літератури. The theorem of reciprocity of work is generalised for dynamical problems of local gradient linear theory of coupled electro-magneto-thermomechanics of polarized nonferromagnetic isotropic solids. The nonlocality of the mentioned theory is caused by the account of the process of local displacement of mass alongside with deformation, thermal and polarisation processes. As a particular case, the reciprocity theorem of work for stationary processes is obtained. It is shown that the obtained results agree well with those known in literature. Теорема взаимности работ обобщена на динамические задачи локально градиентной теории взаимосвязанной электромагнитотермомеханики поляризованных неферромагнитных изотропных тел. Нелокальность упомянутой теории обусловлена учетом наряду с процессами деформирования, теплопроводности и поляризации также процесса локального смещения массы. Как частный случай приведена теорема взаимности работ для стационарных процессов. Показано согласование полученных результатов с известными в литературе. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності The theorem of reciprocity of work for local gradient linear thermo-electro-magnetoelasticity Теорема взаимности работ локально градиентной линейной электромагнитотермоупругости Article published earlier
spellingShingle	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності Грицина, О.
title	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
title_alt	The theorem of reciprocity of work for local gradient linear thermo-electro-magnetoelasticity Теорема взаимности работ локально градиентной линейной электромагнитотермоупругости
title_full	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
title_fullStr	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
title_full_unstemmed	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
title_short	Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
title_sort	теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22464
work_keys_str_mv	AT gricinao teoremavzaêmnostírobítlokalʹnogradíêntnoílíníinoíelektromagnítotermopružností AT gricinao thetheoremofreciprocityofworkforlocalgradientlinearthermoelectromagnetoelasticity AT gricinao teoremavzaimnostirabotlokalʹnogradientnoilineinoiélektromagnitotermouprugosti

Теорема взаємності робіт локально градієнтної лінійної електромагнітотермопружності

Institution

Ähnliche Einträge