On size effect of elastic modules in thin fibres

In the paper the dependence of elasticity modules in thin fibres on the fibre radius is investigated. The relations of local gradient approach in thermomechanics are taken as a starting point. The approach is based on including of a chemical potential gradient in the space of state parameters along...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Date:	2010
Main Authors:	Nahirnyi, T., Tchervinka, K
Format:	Article
Language:	English
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22467
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	On size effect of elastic modules in thin fibres / T. Nahirnyi, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 128-133. — Бібліогр.: 10 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859883512932335616
author	Nahirnyi, T. Tchervinka, K
author_facet	Nahirnyi, T. Tchervinka, K
citation_txt	On size effect of elastic modules in thin fibres / T. Nahirnyi, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 128-133. — Бібліогр.: 10 назв. — англ.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	In the paper the dependence of elasticity modules in thin fibres on the fibre radius is investigated. The relations of local gradient approach in thermomechanics are taken as a starting point. The approach is based on including of a chemical potential gradient in the space of state parameters along with the stress and strain tensors. The chemical potential disturbance is identified with disturbance of the bonding energy. It is shown that the dependence of elasticity modules on the fibre radius is essential in the fibres of radius less than ten times of the size of nearsurface nonhomogeneity region. Using asymptotic expansions of modified Bessel functions the Young’s modulus, Poisson’s ratio, Lam?’s parameters, and bulk modulus at large fibre radius are studied. The agreement of the obtained results with known in the literature theoretical and experimental data is shown. У роботі вивчено залежність модулів пружності тонких волокон від їх радіуса. За основу прийнято співвідношення локально градієнтного підходу у термомеханіці. Цей підхід базується на впровадженні у простір параметрів стану поряд із тензорами напружень та деформацій також градієнта хімічного потенціалу. При цьому збурення хімічного потенціалу ототожнюється зі збуренням енергії взаємодії. Показано, що залежність модулів пружності від радіуса волокна є суттєва у волокнах, радіус яких є менший від десяти розмірів області приповерхневої неоднорідності. Використовуючи асимптотичні розвинення модифікованих функцій Беселя, досліджено поведінку модуля Юнга, коефіцієнтів Пуассона, параметрів Ляме та модуля об’ємного стиску за зростання радіуса волокна. Вказано на узгодженість одержаних результатів із відомими у літературі теоретичними й експериментальними даними. В работе изучена зависимость модулей упругости тонких волокон от их радиуса. За основу принято соотношения локально градиентного подхода в термомеханике. Этот подход базируется на введении в пространство параметров состояния рядом с тензорами напряжений и деформаций также градиента химического потенциала. При этом возмущение химического потенциала отождествляется с возмущением энергии взаимодействия. Показано, что зависимость модулей упругости от радиуса волокна является существенной в волокнах, радиус которых меньше десяти размеров области приповерхностной неоднородности. Используя асимптотические представления модифицированных функций Бесселя, исследовано поведение модуля Юнга, коэффициентов Пуассона, параметров Ляме и модуля объемного сжатия при больших радиусах волокна. Указано на согласованность полученных результатов с известными в литературе теоретическими и экспериментальными данными.
first_indexed	2025-12-07T15:53:15Z
format	Article
fulltext	128 On size effect of elastic modules in thin fibres Taras Nahirnyi1, Kostiantyn Tchervinka2 1 Prof., Centre of Mathematical Modelling, Pidstrygach IAPMM NAS of Ukraine, 15, Dudaiev Str., Lviv, Ukraine, 79005; Zielena Góra University, 4 Prof. Shafran St., Poland, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com 2 Dr., Ivan Franko National University of Lviv, 1 Universitetska St., Lviv, Ukraine, 79000; e-mail: k.tchervinka@gmail.com In the paper the dependence of elasticity modules in thin fibres on the fibre radius is investigated. The relations of local gradient approach in thermomechanics are taken as a starting point. The approach is based on including of a chemical potential gradient in the space of state parameters along with the stress and strain tensors. The chemical potential disturbance is identified with disturbance of the bonding energy. It is shown that the dependence of elasticity modules on the fibre radius is essential in the fibres of radius less than ten times of the size of nearsurface nonho- mogeneity region. Using asymptotic expansions of modified Bessel functions the Young’s modulus, Poisson’s ratio, Lamé’s parameters, and bulk modulus at large fibre radius are studied. The agree- ment of the obtained results with known in the literature theoretical and experimental data is shown. Keywords: local gradient approach, thin fibres, size effect of elasticity modules. Introduction. Recently the scientific literature pays a considerable attention to the model- ling, description and study of the properties of solids, distinguished by various size effects. Such solids feature comparable contributions of surface and volume factors to internal energy and one of their geometrical sizes (further — characteristic size) is comparable to the size of the region of nearsurface nonhomogeneity. The properties of the solids essen- tially differ from the properties of solids without such effects. Such solids include nanosized elements, which are bases for construction of the structures (nanomaterials) allowing to build enhanced devices and substances of improved properties [1, 2]. At present nanoelements and nanomaterials are widely used in electronics and nanobio- technology. One of the effective approaches to investigation of the stressed-strained state in solids with significant interface phenomena, is the local gradient approach in ther- momechanics [3, 4]. In this paper the equation set of the model built at such an appro- ach is used to describe and study the elasticity modules in thin fibres. Under thin fibres we understand fibres the radius of which is comparable with the size of the nearsurface heterogeneity region. 1. The stressed-strained state of the cylinder Choosing as key functions the stress tensor ̂ and chemical potential disturbance  , the solving equation set of the model for description of the steady state of a solid for local gradient approach can be written in the form [4, 5] УДК 539.3 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 128-133 129 2 2 2 0        , ˆ 0    ,     ˆˆ3 2 2 0eha a a a a I                . (1) Here , , eha a a  , ,   are constants, Î is identity tensor, ˆˆ : I   . This set of equations is applied to study of the stressed-strained state of a cylinder under action of the stretching loading. We consider the infinite circular cylinder of radius R , which in the cylindrical system of coordinates { , , }r z occupies a region r R and is loaded at infinity by stretching force intensity p in direction of axis Oz. We consider that lateral surface of the cylinder is free of a force loading and the value of chemical potential at the surface is constant and equal 0a  . Writing equations (1) in cylindrical coordinates for nonzero components of stress tensor and chemical potential disturbance with account for the problem geo- metry we obtain 2 2 2 2 , 2 3 2 3 2 eh ehz ra a a d d a a ad dd d dr r dr dr a a dr dr dr dr a adr                                        , 0rrd dr r     , 2 2 2 2 1 0d d r drdr            . (2) The necessary conditions are ar R   , 0r r R  , 2 2 0 0 1 R zd r dr p R        , (3) and the conditions of solution finiteness in the region of a body are written as \| , , , \|r z r R       . The problem (2), (3) solution takes the form 0 0 ( )( ) 1 ( )a c I rr I R           , 1 1 0 0 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) m r c b I r I Rr r I R R I R             , 0 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ( ) m c b I r I r I Rr I R r I R R I R                , 0 1 0 0 ( ) 2 ( )( ) 2 ( ) ( ) m z c b I r I Rr p I R R I R             . (4) Here 0 1,I I are modified Bessel functions, 1 0 2 ( )1 1 ( )c I RD R I R          , 2 2mD b   , 2 2 2 mb      , 4 2 eh m a a b a a      , 22 2 2 ap         . Taras Nahirnyi, Kostiantyn Tchervinka On size effect of elastic modules in thin fibres 130 From the solution it is seen that in the case of the force load absence (p = 0) the stressed-strained state of the cylinder is conditioned by the nonzero value of chemi- cal potential at the body surface. It is shown in [4] that disturbance of chemical poten- tial can be identified with disturbance of bonding energy. For the cylinders of large radius (ξR >> 1) stresses are localized in a narrow nearsurface region, while in the thin fibres stresses are substantial in the whole region of the body. 2. Size effect of elastic modules To find the Young’s modulus and Poisson’s ratio the definition is used which in the considered case can be written as z pE e  , trans axial e e    , (5) where etrans is deformation in longitudinal direction, eaxial is deformation in radial direction. Within the framework of the considered model for the strain tensor the following formula is held   2ˆ ˆˆ 2 2 3 2 eha a a e I a a a a             . On this base for ez it is written       1 0 2 2 ( )1 3 2 ( )3 2 4 3 2 meh z a c b a aa a a I Re p a a R I Ra a a a a a                          . (6) Taking into account the state of body in the case of the force load absence for the modules E, ν is obtained from (5), (6)  3 2 ( ) a a E a a R a                , ( ) ( ) 2 a aa R R a a                         , (7) where 1 1 0 0 2 2 ( ) 2 ( )( ) 1 1 1 ( ) ( )4 a a I R I RR D D RI R RI Ra                           . The reduced Young’s modulus Epr pr EE E  ,   2 3 2 4 1 a a a a DE a a a a D                    , dependence on a cylinder radius are illustrated by the graphs in Fig. 1. It is clear from the graphs, that module E dependence on R can be substantial in thin fibres. The obtained dependence is in accordance with known results of experi- mental investigation of the size effect of the elastic modulus [6, 7]. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 128-133 131 In scientific literature next to the modules E, ν the Lamé’s parameters λ, μ, shear G and bulk K modules are used. These parameters are related to E, ν by formulas (1 )(1 2 ) E       , 2(1 ) EG     , 3(1 2 ) EK    . (8) From (7), (8), for these modules we get a  , 2 ( ) 1 3 ( ) a a R R          , G a ,  2 1 3 ( ) 3 K a a R          . (9) Note that within the accepted approximation (particularly linear state equation and geometric linearity) of the model the elasticity modules do not rely on the surface value of chemical potential ηa. 3. Approximation for «thick» fibres Using asymptotic presentation of the modified Bessel functions [8] 3 1 ( 1)( 9)( 25)( ) ~ 1 ... 82 3!(8 ) z n e k k k kI z zz z             , 24k n , \| \| 1z  , for fibres of the radius satisfying inequality ξ R >> 1, keeping the first terms in expan- sions over parameter (ξ R) – 1 in formulas (7), (9) we get ( ) 1 EdE R E R        , ( ) 1 dR R            , ( ) 1 dR R            , ( ) 1 KdK R K R        , (10) 1,00 1,05 1,10 0 10 20 30 40 R E pr Fig. 1. Young modulus Epr dependence on a cylinder radius for a / a = 1,25; D = 0,1 (dashed line); D = 0,2 (solid line) Taras Nahirnyi, Kostiantyn Tchervinka On size effect of elastic modules in thin fibres 132 where   1 3 2 a a E a a a                  , 1 2 a aa a a                        , 2 1 3 a a           , 2 3 1 3 a a K         , 2 4 1 a a D a D         , 1 1 1 2E a aDd a            , 1 1 2 1 2 a aad D a a                                 ,      2 3 2 (1 ) 2 1 3 a a d D a a                 ,   6 (1 ) 1 3Kd D        . With the growth of the cylinder radius, as easily seen from (10), the value , , ,E K  tends to , , ,E K     accordingly, and these last ones are possible to be interpreted as elasticity modules for massive bodies. The obtained dependences of the elasticity modules on the characteristic size of the body (radius of fibre) conform to the known in literature results of theoretical and experimental researches [6, 9, 10]. Conclusions. Local gradient approach in thermomechanics allows describing the size effect of the elasticity modules. Within the framework of accepted in the model approximation the elasticity modules do not rely on the surface value of chemical potential. For thin fibres which characteristic radius does not exceed ten sizes of the region of nearsurface heterogeneity the dependence of the elasticity modules on the radius of fibre is substantial. It is indicated that the obtained results agree well with those known in literature. References [1] Суздалев, И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур и наноматери- алов / И. П. Суздалев. — Москва: КомКнига, 2006. — 592 с. (Синергетика: от прошлого к будущему). [2] Гусев, А. И. Нанокристаллические материалы / А. И. Гусев, А. А. Ремпель. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 224 с. [3] Бурак, Я. Й. Математическое моделирование локально-градиентных процессов в инерционных термомеханических системах / Я. Й. Бурак, Т. С. Нагирный // Прикл. механика. — 1992. — T. 28, № 12. — С. 3-23. [4] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Бурак, Є. Чапля, Т. Нагірний та ін.; під ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с. [5] Nahirnyj, T. On size effect of mechanical properties of thermoelastic solid / T. Nahirnyj, K. Tcher- vinka // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. — 2009. — Bип. 10. — С. 75-83. [6] Guenot, S. Surface tension effect on the mechanical properties of nanomaterials measured by atomic force microscopy / S. Guenot et al. // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. — P. 165410. [7] Nysten, B. Elastic modulus of polypyrrole nanotubes / B. Nysten et al. // Phys. Rev. Let. — 2008. — Vol. 85, No 8. — P. 1690-1693. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 128-133 133 [8] Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами; под ред. М. Абрамовица и И. Стиган — Москва, Наука, 1979. — 832 с. [9] Guo, J. G. The size dependent bending elastic properties of nanobeams with surface effects / J. G. Guo, Y. P. Zhao // Nanotechnology. — 2007. — Vol. 18. — P. 295701(6 pp.). [10] Guo, J. G. The size-dependent elastic properties of nanofilms with surface effects / J. G. Guo, Y. P. Zhao // J. Appl. Phys. — 2005. — Vol. 98, № 7. — P. 074306(11 pp.). До опису розмірного ефекту пружних модулів у тонких волокнах Тарас Нагірний, Костянтин Червінка У роботі вивчено залежність модулів пружності тонких волокон від їх радіуса. За основу прийнято співвідношення локально градієнтного підходу у термомеханіці. Цей підхід базу- ється на впровадженні у простір параметрів стану поряд із тензорами напружень та деформацій також градієнта хімічного потенціалу. При цьому збурення хімічного потенці- алу ототожнюється зі збуренням енергії взаємодії. Показано, що залежність модулів пружності від радіуса волокна є суттєва у волокнах, радіус яких є менший від десяти роз- мірів області приповерхневої неоднорідності. Використовуючи асимптотичні розвинення модифікованих функцій Беселя, досліджено поведінку модуля Юнга, коефіцієнтів Пуассона, параметрів Ляме та модуля об’ємного стиску за зростання радіуса волокна. Вказано на узгодженість одержаних результатів із відомими у літературі теоретичними й експе- риментальними даними. О размерном эффекте упругих модулей в тонких волокнах Тарас Нагирный, Константин Червинка В работе изучена зависимость модулей упругости тонких волокон от их радиуса. За основу принято соотношения локально градиентного подхода в термомеханике. Этот подход ба- зируется на введении в пространство параметров состояния рядом с тензорами напряже- ний и деформаций также градиента химического потенциала. При этом возмущение хими- ческого потенциала отождествляется с возмущением энергии взаимодействия. Показано, что зависимость модулей упругости от радиуса волокна является существенной в волок- нах, радиус которых меньше десяти размеров области приповерхностной неоднородности. Используя асимптотические представления модифицированных функций Бесселя, исследовано поведение модуля Юнга, коэффициентов Пуассона, параметров Ляме и модуля объемного сжатия при больших радиусах волокна. Указано на согласованность полученных резуль- татов с известными в литературе теоретическими и экспериментальными данными. Отримано 27.09.10
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22467
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	English
last_indexed	2025-12-07T15:53:15Z
publishDate	2010
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Nahirnyi, T. Tchervinka, K 2011-06-22T20:55:17Z 2011-06-22T20:55:17Z 2010 On size effect of elastic modules in thin fibres / T. Nahirnyi, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 128-133. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22467 539.3 In the paper the dependence of elasticity modules in thin fibres on the fibre radius is investigated. The relations of local gradient approach in thermomechanics are taken as a starting point. The approach is based on including of a chemical potential gradient in the space of state parameters along with the stress and strain tensors. The chemical potential disturbance is identified with disturbance of the bonding energy. It is shown that the dependence of elasticity modules on the fibre radius is essential in the fibres of radius less than ten times of the size of nearsurface nonhomogeneity region. Using asymptotic expansions of modified Bessel functions the Young’s modulus, Poisson’s ratio, Lam?’s parameters, and bulk modulus at large fibre radius are studied. The agreement of the obtained results with known in the literature theoretical and experimental data is shown. У роботі вивчено залежність модулів пружності тонких волокон від їх радіуса. За основу прийнято співвідношення локально градієнтного підходу у термомеханіці. Цей підхід базується на впровадженні у простір параметрів стану поряд із тензорами напружень та деформацій також градієнта хімічного потенціалу. При цьому збурення хімічного потенціалу ототожнюється зі збуренням енергії взаємодії. Показано, що залежність модулів пружності від радіуса волокна є суттєва у волокнах, радіус яких є менший від десяти розмірів області приповерхневої неоднорідності. Використовуючи асимптотичні розвинення модифікованих функцій Беселя, досліджено поведінку модуля Юнга, коефіцієнтів Пуассона, параметрів Ляме та модуля об’ємного стиску за зростання радіуса волокна. Вказано на узгодженість одержаних результатів із відомими у літературі теоретичними й експериментальними даними. В работе изучена зависимость модулей упругости тонких волокон от их радиуса. За основу принято соотношения локально градиентного подхода в термомеханике. Этот подход базируется на введении в пространство параметров состояния рядом с тензорами напряжений и деформаций также градиента химического потенциала. При этом возмущение химического потенциала отождествляется с возмущением энергии взаимодействия. Показано, что зависимость модулей упругости от радиуса волокна является существенной в волокнах, радиус которых меньше десяти размеров области приповерхностной неоднородности. Используя асимптотические представления модифицированных функций Бесселя, исследовано поведение модуля Юнга, коэффициентов Пуассона, параметров Ляме и модуля объемного сжатия при больших радиусах волокна. Указано на согласованность полученных результатов с известными в литературе теоретическими и экспериментальными данными. en Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології On size effect of elastic modules in thin fibres До опису розмірного ефекту пружних модулів у тонких волокнах О размерном эффекте упругих модулей в тонких волокнах Article published earlier
spellingShingle	On size effect of elastic modules in thin fibres Nahirnyi, T. Tchervinka, K
title	On size effect of elastic modules in thin fibres
title_alt	До опису розмірного ефекту пружних модулів у тонких волокнах О размерном эффекте упругих модулей в тонких волокнах
title_full	On size effect of elastic modules in thin fibres
title_fullStr	On size effect of elastic modules in thin fibres
title_full_unstemmed	On size effect of elastic modules in thin fibres
title_short	On size effect of elastic modules in thin fibres
title_sort	on size effect of elastic modules in thin fibres
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22467
work_keys_str_mv	AT nahirnyit onsizeeffectofelasticmodulesinthinfibres AT tchervinkak onsizeeffectofelasticmodulesinthinfibres AT nahirnyit doopisurozmírnogoefektupružnihmodulívutonkihvoloknah AT tchervinkak doopisurozmírnogoefektupružnihmodulívutonkihvoloknah AT nahirnyit orazmernoméffekteuprugihmoduleivtonkihvoloknah AT tchervinkak orazmernoméffekteuprugihmoduleivtonkihvoloknah

On size effect of elastic modules in thin fibres

Institution

Similar Items