Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state

Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state

Starting with the model of small elastic disturbance in a non-uniformly strained body and taking into account the weakness of the body’s acoustical inhomogeneity and anisotropy induced by strain, a theory for integral acoustoelasticity has been developed in the paper. The theory establishes mathemat...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:2010
1. Verfasser: Chekurin, V.
Format: Artikel
Sprache:English
Veröffentlicht: Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22469
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state / V. Chekurin // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 179-188. — Бібліогр.: 7 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22469
record_format dspace
spelling Chekurin, V.
2011-06-22T20:57:33Z
2011-06-22T20:57:33Z
2010
Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state / V. Chekurin // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 179-188. — Бібліогр.: 7 назв. — англ.
1816-1545
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22469
539.3
Starting with the model of small elastic disturbance in a non-uniformly strained body and taking into account the weakness of the body’s acoustical inhomogeneity and anisotropy induced by strain, a theory for integral acoustoelasticity has been developed in the paper. The theory establishes mathematical models for interaction of narrow longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams with 3-D strain field in the body. Ray integrals of acoustoelasticity have been established with the use of the model. These relationships connect measured phase parameters of longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams, crossing the body in any direction, with integrals of initial strain distribution along this direction. They can be used to formulate problems for tomography of the body’s stress-strained state.
Виходячи з моделі малого пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі та беручи до уваги слабкість акустичних неоднорідності й анізотропії, індукованих деформацією, розроблено теорію інтегральної акустопружності. Сформульовані моделі взаємодії вузьких поляризованих ультразвукових пучків із тривимірним полем деформації у твердому тілі. У рамках моделей отримані інтегральні співвідношення акустопружності, що пов’язують зміни фаз коливань і стану поляризації поздовжньо та поперечно поляризованих ультразвукових хвиль, які пройшли через деформоване середовище, з інтегралами від розподілів компонент тензора початкової деформації вздовж напрямку поширення хвиль. Їх можна використати для формулювання задач обчислювальної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл.
Исходя из модели малого упругого возмущения в неоднородно деформированном теле и принимая во внимание, что индуцированные деформацией акустические неоднородность и анизотропия являются слабыми, разработана теория интегральной акустоупругости. Сформулированы математические модели взаимодействия узких поляризованных ультразвуковых пучков с трехмерным полем деформации в твердом теле. В рамках моделей получены лучевые интегралы акустоупругости — соотношения, устанавливающие аналитическую связь между изменениями фаз колебаний и состояния поляризации продольно и поперечно поляризованных волн, прошедших через деформированную среду, с линейными интегралами от распределений компонент начальных деформаций на направлениях распространения волн. Их можно использовать для постановки задач вычислительной томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел.
en
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
Теорія інтегральної акустопружності для тривимірного напружено-деформованого стану
Теория интегральной акустоупругости для трехмерного напряженно-деформированного состояния
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
spellingShingle Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
Chekurin, V.
title_short Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
title_full Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
title_fullStr Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
title_full_unstemmed Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state
title_sort theory of integral acoustoelasticity for 3-d stress-strained state
author Chekurin, V.
author_facet Chekurin, V.
publishDate 2010
language English
container_title Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
publisher Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
format Article
title_alt Теорія інтегральної акустопружності для тривимірного напружено-деформованого стану
Теория интегральной акустоупругости для трехмерного напряженно-деформированного состояния
description Starting with the model of small elastic disturbance in a non-uniformly strained body and taking into account the weakness of the body’s acoustical inhomogeneity and anisotropy induced by strain, a theory for integral acoustoelasticity has been developed in the paper. The theory establishes mathematical models for interaction of narrow longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams with 3-D strain field in the body. Ray integrals of acoustoelasticity have been established with the use of the model. These relationships connect measured phase parameters of longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams, crossing the body in any direction, with integrals of initial strain distribution along this direction. They can be used to formulate problems for tomography of the body’s stress-strained state. Виходячи з моделі малого пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі та беручи до уваги слабкість акустичних неоднорідності й анізотропії, індукованих деформацією, розроблено теорію інтегральної акустопружності. Сформульовані моделі взаємодії вузьких поляризованих ультразвукових пучків із тривимірним полем деформації у твердому тілі. У рамках моделей отримані інтегральні співвідношення акустопружності, що пов’язують зміни фаз коливань і стану поляризації поздовжньо та поперечно поляризованих ультразвукових хвиль, які пройшли через деформоване середовище, з інтегралами від розподілів компонент тензора початкової деформації вздовж напрямку поширення хвиль. Їх можна використати для формулювання задач обчислювальної томографії напружено-деформованого стану твердих тіл. Исходя из модели малого упругого возмущения в неоднородно деформированном теле и принимая во внимание, что индуцированные деформацией акустические неоднородность и анизотропия являются слабыми, разработана теория интегральной акустоупругости. Сформулированы математические модели взаимодействия узких поляризованных ультразвуковых пучков с трехмерным полем деформации в твердом теле. В рамках моделей получены лучевые интегралы акустоупругости — соотношения, устанавливающие аналитическую связь между изменениями фаз колебаний и состояния поляризации продольно и поперечно поляризованных волн, прошедших через деформированную среду, с линейными интегралами от распределений компонент начальных деформаций на направлениях распространения волн. Их можно использовать для постановки задач вычислительной томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел.
issn 1816-1545
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22469
citation_txt Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state / V. Chekurin // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 179-188. — Бібліогр.: 7 назв. — англ.
work_keys_str_mv AT chekurinv theoryofintegralacoustoelasticityfor3dstressstrainedstate
AT chekurinv teoríâíntegralʹnoíakustopružnostídlâtrivimírnogonapruženodeformovanogostanu
AT chekurinv teoriâintegralʹnoiakustouprugostidlâtrehmernogonaprâžennodeformirovannogosostoâniâ
first_indexed 2025-11-24T16:27:51Z
last_indexed 2025-11-24T16:27:51Z
_version_ 1850484353964965888
fulltext 179 Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state Vasyl Chekurin Professor, Doctor of Sciences, PhD, National Academy of Sciences of Ukraine Pidstryhach Institute for Applied problems of Mechanics and Mathematics, Naukova str. 3b, L’viv, Ukraine, 79060, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua Starting with the model of small elastic disturbance in a non-uniformly strained body and taking into account the weakness of the body’s acoustical inhomogeneity and anisotropy induced by strain, a theory for integral acoustoelasticity has been developed in the paper. The theory establi- shes mathematical models for interaction of narrow longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams with 3-D strain field in the body. Ray integrals of acoustoelasticity have been established with the use of the model. These relationships connect measured phase parameters of longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams, crossing the body in any direction, with integrals of initial strain distribution along this direction. They can be used to formulate problems for tomography of the body’s stress-strained state. Key words: strain field, acoustoelasticity, acoustical tensor field tomography. Introduction. Acoustoelasticity is a feature of solids to change their acoustical proper- ties under strain. Physical nature of this effect consists in the dependence of the mass density and elasticity moduli on strain and in non-additivity of strains of initial state and a disturbance [1, 2]. In the case of homogeneous initial strained state acoustoelasti- city relationships were obtained [1-4]. They connect phase velocities of plane waves with components of initial strain tensor and elasticity moduli of the body. If the body is non-uniformly strained it becomes acoustically anisotropic and inhomogeneous. Propagation of small elastic disturbances in such object is described by a system of hyperbolic type differential equations with variable coefficients [5]. Thereupon problems of wave field analysis in such an objects become much more complicated. But acoustical anisotropy and inhomogeneity induced by elastic strain are weak. This makes possible to simplify the mathematical model for interaction of acoustical waves with non-uniformly strained solids. For instance, in papers [6, 7] the weakness of acoustical inhomogeneity was used to build an iteration process for a problem of small pulsed disturbance propagation in non-uniformly strained solid con- tinuum. This approach enabled us to establish the integral acoustoelasticity relation- ships. They express time periods for elastic pulses travelling along a given segment in strained continuum via integrals of initial strain distribution on the segment. 1. Small elastic disturbance in a non-uniformly strained solid Propagation of small elastic disturbance in non-uniformly strained elastic body  is described in geometrically linear approach by hyperbolic system of equations [5] УДК 539.3 Vasyl Chekurin Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state 180 2 2 i k ijkl j l C x xt           w w , (1) where  , , 1,3it i w and ix , stand for mass density, time variable, components of the disturbance displacement vector w and Cartesian coordinates;  , , , 1,3ijklC i j k l  are dependent on initial strain moduli of elasticity for small elastic disturbance ijkl ijkl ijklmn mnC C     . (2) In this formula  , 1,3mn m n  stands for Cartesian components of initial strain tensor, Cijkl and Γijklmn are of order two and three elasticity moduli of the body. The formula (2) is valid for small elastic strains εmn of an infinitesimal order αε. Elastic disturbance is small as against initial strain field. This means that displacement gradients l kx w are quantities of higher order of smallness in comparison with strains εmn. We will consider the components l kx w as quantities of the infinitesimal order 2 e    . For isotropic bodies, the components Cijkl and Гijklmn represent isotropic tensors of rank four and six respectively  ijkl ij kl ik jl il kjC          ,     ijklmn ij kl mn   ,    1 2 3 6ijklmn ij kl mn ij kl mn kn lm ikm jln nl m m                . Here ij and jln stand for Kronecker’s delta and Levi-Civita symbols; ,  and , ,l m n denote Lamé and Murnagan constants. Parentheses in the denotation     ij kl mn mean symmetrization with respect to the enclosed indices. For many engineering materials the moduli λ, μ and l, m, n are quantities of the same order of magnitude. Hence the second term in the formula (2) is quantities of the order αε as compared to the first one. So, acoustic anisotropy induced by strain is weak. Let n be a straight line crossing the area  in the direction of unit vector  1 2 3, ,n n nn and   0 1e ij k L x l    n be a norm of strain tensor gradient on the segment Ln = n. The value ln is characteristic of optical inhomogeneity of the body  — the greater is ln , the weaker is optical inhomogeneity along the direction n. 2. Directional sounding of strained body External narrow ultrasonic beam (pulsed or continuous) can be used for elastic waves in the body excitation. A schematic model for such sounding implementation is shown in fig. 1. It includes an ultrasound vibration generator 1, for instance, a piezoelectric transducer and an acoustic waveguide 2 with bevel face 3. The waveguide has been fabricated from the same material as the body. Owing to this differences in acoustical ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 179-188 181 properties of the waveguide and the body  are small quantities of infinitesimal order  . The plate of the transducer 1 is rigidly connected to the bevel face 3 of the wave- guide 2. Depending on polarization, it produces normal or tangential displacement on some area of the bevel face 3. In-plane dimensions of the transducer plate 1 are much bigger than the wavelength. Practically parallel and homogeneous in its cross-section ultrasonic beam 4 is formed in the waveguide owing to this. The beam propagates in direction n normal to the bevel face. The waveguide is applied to the body surface with some small pressure, necessary to produce cohesion in tangential direction. The area of contact of the waveguide and the body is wetted by immersion liquid. Another waveguide 5, identical to the first one, is applied to the opposite surface of the body. It serves to transfer the beam from the body to sensing devices without distorting the wave. Such sounding technique minimizes reflection and dispersion of the incident wave on the «waveguide–body» and «body–waveguide» boundaries. Uniform in its cross-section sounding beam crosses the interface «waveguide– body» and penetrates into the body’s volume . Here it interacts with acoustically inhomogeneous medium and gains some gradients in normal to n directions. However, as the medium inhomogeneity is weak and the beam’s diameter is small enough, acqui- red nonuniformity of sounding wave field will be also small. We will use this to simp- lify the mathematical model (1). To do this we rewrite the system (1) in a Cartesian system  1 2 3, ,y y y , whose 3y axis is directed along n   2 2 22 2 2 3 33 1 j j j j ji ij ij oij opij oij o o p o a b a a b y y y y y yt y                        n n n n nw w w w ww , (3) where , 1,2o p  , 11 22 33       is the first invariant of the initial strain tensor, 1 0il ijkl j ka C n n   n , 1 0 3 ijkl ijkl ij j oj k o C C b n n n y y                n ,   0 1 oij ijkl oj k j oka C n n n n    n , 0 1 opij ijkl oj pka C n n   n , 0 3 1 ijkl ijkl oij j pj ok p C C b n n n y y               n , 0 is mass density of unstrained body,  1 2 3, ,o o o on n nn is unit vector of oy axis. The components ,il oila a n n and opilan in equation (3) are quantities of the same order of magnitude. However, since the body is sounding by homogeneous in its cross-section narrow beam and acoustical inhomogeneity of the body is weak, we can consider the derivatives 2 3l oy y  w and 2 l o py y  w as small quantities as against 2 2 3l y w . Similarly, the coefficients ilbn and oilbn are quantities of the same order of magnitude, but derivatives l oy w are small quantities as against 3l y w . Hence, in the first appro- ximation we can neglect the last three terms in the right hand side of equation (3), con- tained normal to n gradients of the disturbed wave field. This yields (using notation 3y y ) Vasyl Chekurin Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state 182   22 2 21 j ji ij ija b yt y          n nw ww . (4) In the absence of initial strain we should substitute 0ij  into (2). This reduces the system (4) to the system of 1-D wave equations for homogeneous elastic body 22 0 2 2 ji ija t y     n ww , where 0 ija n are components of acoustical tensor for unstrained body 0 1 0 0 0 ,ij ij ij ijkl k la C C C n n  n n n . (5) For the body isotropic in its initial unstrained state   0 1 0ij i j ija n n    n . In the basis  1 2, ,n n n the matrix 0 ija n becomes diagonal 0 0 2 11 22 0 Ta a C    n n ,  0 2 33 02 La C     n . Here CL and CT are the phase velocities of longitudinal and transversal acoustic waves. It is useful to represent tensors ilan and ilbn in the form  0 ij il lj lja a    n n n ,   1 0 ij il ljb l a    n n n n . (6) Here 0 0 0, ,ij ik kj ij ij ik kj ijS a l S b S         n n n n n n n n stands for components of tensor inverse to tensor represented by components 0 ijC n :     10 0 kl ijS C  n n . Dimensionless components ij  n and ij  n represent material tensors responsible for strain-induced acoustical anisotropy and inhomogeneity of the body in direction n. In the basis of the system  1 2 3, ,y y y the matrix  ij  n looks like   22 21 31 12 11 32 13 23 332 T T T L ij T T T L T T L L                                      n n n n n n n n n n , (7) where ij  n stands for initial strain components in the basis  1 2, ,n n n , , , ,T T L L    are dimensionless elasticity moduli 2T n    , T m    ,   2 2L m      ,   2 2L l      . (8) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 179-188 183 3. Models for sounding by longitudinally and transversally polarized plane waves Longitudinally and transversally polarized plane waves propagate in solids with distinct phase velocities CL and CT. This enables us to consider the cases of sounding of the body by longitudinal and transversal waves separately. Let body is sounding by longitudinal plane wave    3 0,s s Lw y t W f C t y  . In this case on the body inside surface 0z   boundary conditions for displacement vector components iw acts 1 20 0 0z z  w w ,  3 00 Lz W f C t w , (9) where W0 stands for an amplitude of the transmitted wave, f (...) is a given function. At these conditions, the transverse waves  1 ,z tw and  2 ,z tw are excited in the body volume only by the longitudinal wave transmitted into . Since acoustical anisotropy is weak, the coefficients 13 13,a b n n and 23 23,a b n n in the first and second equa- tions (3) are small quantities of infinitesimal order  . Hence, amplitudes of the transverse waves  1 ,z tw and  2 ,z tw will be small as compared to the longitudinal one’s  3 ,z tw . Since the coefficients 31 31,a b n n and 32 32,a b n n at the terms, accounting in the third equation (3) the effect of the transverse waves on the longitudinal one, are also small quantities of infinitesimal order  , the terms  2 2 31 1a y  n w ,  31 1b y  n w and    2 2 32 2 32 2,a y b y    n nw w are small quantities of infinitesimal order 2  as compared to the term    2 2 33 3 33 3,a y b y    n nw w . If to neglect them in the first approach, we will arrive from the system (5) at the equation   2 2 33 3321 a b yy           n n 2 w w w t (10) and at the system of two inhomogeneous wave equations for the components 1 2,w w   22 21 p po op op oa b g yy           n n 2 w ww t , , 1,2o p  . (11) Let now the body be sounding by transversal plane wave. In this case displace- ments 1w and 2w are prescribed as functions of time on the body inside surface 0z   whereas the longitudinal displacement 3w w equals zero  0 0p p p Tz W f C t  w , 0 0z w . (12) Here 0 pW are the amplitudes of transmitted wave, (...)pf are given functions. Vasyl Chekurin Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state 184 Reasoning similarly as in the case of sounding by longitudinal wave, we reduce the system (5) to following homogeneous system   22 21 p po op opa b yy          n n 2 w ww t (13) and one inhomogeneous wave equation with respect to the longitudinal component w   2 2 33 3321 a b g yy            n n 2 w w w t . (14) In formulae (10), (11), (13) and (14) the following denotations were used 2 3 3o o og a b yy        n n 2 w w , 2 3 3 p p p pg a b yy        n n 2 w w . 4. Harmonic waves In the case of longitudinally polarized harmonic wave    , exps Ly t W i t y C      sw , where i is imaginary unit,  is circular frequency of the wave, we will search a solu- tion of the equation (10) in the form    exp LW y i t y C     w . (15) Substituting presentation (15) into equation (10), using dimensionless coordinate y l  n and taking into account formulas (6), we will come to the ordinary differen- tial equation in unknown function  W           2 33 33 3321 1 4 LdW d W dW i d dd                     n n n    33 33 0 2L i W              n n . (16) Here L L l    n — dimensionless longitudinal wavelength Since the acoustical inhomogeneity is small, the length ln is much bigger than the wavelength L , hence L is a small dimensionless parameter. We will consider it as a small quantity of infinitesimal order  . It follows from formulas (7), (8) that 33  n is a dimensionless parameter of the order of unit. Function  W  is slowly changing — it varies on distances 1  . Hence its derivatives    2 2,dW d d W d    are ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 179-188 185 magnitudes of the order of  W  . Comparing three terms in the left hand side of equa- tion (16) by their magnitudes, we can see that the first and the third ones are of the order of one, whereas the second one is of the order of L   . Neglecting the quanti- ties of order  in equation (16), we will obtain      33 1 0 2 L L dW i W d               n n ,   331 2 e L L L        n n . (17) Coefficient 331 2  n determines the variation of the longitudinal wave amplitude, caused by acoustical inhomogeneity of the body, parameter L  n is additional incre- ment of the longitudinal wave phase, produced by strain. Let us consider now the sounding of the body by transversally polarized harmo- nic plane wave  exps o o TW i t z C      sw , 1,2p  . Representing the solution of the system (13) in the form    expo o TW z i t z C     w , we will arrive at a time-independent system in unknown functions  1W  and  2W  of the structure similar to (16). Neglecting the terms of the order of  as against the terms of the order one, it will be reduced to the form      1 0 2 o op op op p T dW i W d                n n . (18) Introducing 2×1-matrix       T1 2 ˆ ,W W W    , we can rewrite the system (18) in a matrix form       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0T T dW A i E I W d            n n n , (19) where 11 12 21 22 1ˆ 2 A              n n n n n ,     22 11 12 12 11 22 2 ˆ 2 2 e e e T e e e E               n n n n n n n ,   11 22 33 1 1 2 e e T T            n n n n . Matrix Ân determines variations of the amplitudes of the transverse waves  1 ,tw and  2 ,tw , owing to strain-induced acoustical inhomogeneity; the parameter T  n deter- mines an additional increment of the absolute phase each of the waves  1 ,tw and Vasyl Chekurin Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state 186  2 ,tw , whereas matrix Ên is responsible for an increment of phase difference bet- ween these two waves, caused by acoustical anisotropy. 5. Ray acoustoelasticity integrals Due to (9), we should subordinate solution of equation (17) W( y) to the boundary condition 0(0)W W . In the issue we obtain      0 33 0 1exp 2 L L W W i d                      n n . So, a longitudinally polarized ultrasonic beam propagating in a direction n crossing the strained body produces in its volume a longitudinal wave      0 0 0 2, exp expL L L L t W d i t d                                    n nw , (20) which amplitude   0 330 exp 1 2W d     n and phase     0 2 L L L L d              n n change along n due to the initial strain distribution on this direction. Let l n be the dimensionless body’s diameter in the direction n. Then, in comp- liance with solution (20), the increment of the wave phase on the segment 0, l    n equals 2 L Ll    n n . The first term in this expression determines the phase incre- ment in the absence of strain, whereas the second one           33 0 0 0 2 1 1 2 2 l l e e L L L L d d                       n n n n n (21) is responsible for additional phase increment caused by initial strain field. Due to (12) the functions   , 1,2oW o  should be subordinated to the boundary conditions 0(0)o oW W , where 0 oW are the complex amplitudes of the transmitted transversally polarized wave. Their modules and the difference of arguments determine the polarization state of sounding wave at the input in the body. Solution of the matrix equation (19) for these conditions looks like          0 0 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ , exp T T T t A d i t I E I d                                n n nw W ,(22) where       T1 2ˆ , , , ,t t t   w w w ,  T0 0 1 2 ˆ ,W WW , Î is unity 2 2 matrix. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 179-188 187 As we can see from the solution (22), both components  1 ,tw and  2 ,tw have been traveled through the body, acquire absolute phase increment 2 Tl  n T  n on the path 0, l    n , where            11 22 33 0 0 1 l l e e e T T T d d                      n n n n n n n (23) determines the additional phase increment caused by initial strain field. Besides that the additional phase difference between the components  1 ,tw and  2 ,tw arises. It is determined by two ray integrals       1 11 22 2 12 0 0 , 2 l l e e e T T T T T T I d I d                   n n n n n n n . (24) Conclusion. Mathematical models for interaction of longitudinally and transversally polarized ultrasonic beams with 3-D strain field in solids have been developed. Taking into account the weakness of strain-induced acoustical inhomogeneity and anisotropy it has been shown that the amplitude of longitudinally polarized wave changes along the direction of the wave propagation due to strain component distributions on this direc- tion and it satisfies the ordinary differential equation (17). Cartesian components of the amplitude of transversally polarized wave, crossing the body in some direction, satisfy, in the approximation of weak acoustical inhomogeneity and anisotropy, the system (18) of equations with the coefficients dependent on initial strain’s distribution. Integral relationships (21) and (23), (24) connect line integrals of strain compo- nent distributions along any direction to measured phase and polarization parameters of longitudinally and transversally polarized waves crossing the body in this direction. So, if to sound a strained body by longitudinally polarized ultrasonic beam and mea- sure the phase increment, has been acquired by the wave on its path, one can determine a value of the ray integral (21). Similarly, sounding the body by transversally polarized ultrasonic beam and measuring the changes of the absolute phase and polarization state, have been acquired by the wave, one can determine values of the ray integrals (23) and (24). Such measurements, carried out for a set of directions, form a posteriori data set that can be used commonly with the line integrals (21) and (23), (24) to formu- late inverse problems for computing tomography of the initial strain field. References [1] Hughes, D. S. Second-order elastic deformation of solids / D. S. Hughes, J. L. Kelly // Phys. Rev. — 1953. — Vol. 92, No 5. — P. 1145-1149. [2] Toupin, R. A. Sound waves in deformed perfectly elastic materials, acoustoelastic effect / R. A. Toupin, B. Berstein // Acoustic Society of America. — 1961. — Vol. 33, No 2. — P. 216-225. Vasyl Chekurin Theory of integral acoustoelasticity for 3-D stress-strained state 188 [3] Гузь, А. Н. Введение в акустоупругостьм / А. Н. Гузь, Ф. Г. Махорт, О. И. Гуща. — Киев: Наук. думка, 1977. — 152 с. [4] Гузь, А. Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями / А. Н. Гузь. — Киев: «А. С. К.», 2004. — 672 с. [5] Чекурін, В. Моделі динаміки пружних збурень у неоднорідно деформованому континуумі / В. Чекурін, О. Кравчишин // Фіз.-мат. моделювання і інформаційні технології. — 2006. — Вип. 3. — С. 199-215. [6] Kravchyshyn, O. Z. Acoustoelasticity model of inhomogeneously deformed bodies / O. Z.Kravchy- shyn, V. F. Chekurin // Mechanics of Solid. — 2009. — Vol. 44, No 5. — P. 781-791. [7] Чекурін, В. Ф. Пружні збурення в неоднорідно деформованих твердих тілах/ В. Чекурін, О. Кравчишин. — Львів: «Сполом», 2008. — 152 с. Теорія інтегральної акустопружності для тривимірного напружено-деформованого стану Василь Чекурін Виходячи з моделі малого пружного збурення в неоднорідно деформованому тілі та беручи до уваги слабкість акустичних неоднорідності й анізотропії, індукованих деформацією, розроблено теорію інтегральної акустопружності. Сформульовані моделі взаємодії вузь- ких поляризованих ультразвукових пучків із тривимірним полем деформації у твердому тілі. У рамках моделей отримані інтегральні співвідношення акустопружності, що пов’я- зують зміни фаз коливань і стану поляризації поздовжньо та поперечно поляризованих ультразвукових хвиль, які пройшли через деформоване середовище, з інтегралами від розпо- ділів компонент тензора початкової деформації вздовж напрямку поширення хвиль. Їх можна використати для формулювання задач обчислювальної томографії напружено- деформованого стану твердих тіл. Теория интегральной акустоупругости для трехмерного напряженно-деформированного состояния Василь Чекурин Исходя из модели малого упругого возмущения в неоднородно деформированном теле и при- нимая во внимание, что индуцированные деформацией акустические неоднородность и анизотропия являются слабыми, разработана теория интегральной акустоупругости. Сформулированы математические модели взаимодействия узких поляризованных ультра- звуковых пучков с трехмерным полем деформации в твердом теле. В рамках моделей полу- чены лучевые интегралы акустоупругости — соотношения, устанавливающие аналитичес- кую связь между изменениями фаз колебаний и состояния поляризации продольно и попе- речно поляризованных волн, прошедших через деформированную среду, с линейными интег- ралами от распределений компонент начальных деформаций на направлениях распрост- ранения волн. Их можно использовать для постановки задач вычислительной томографии напряженно-деформированного состояния твердых тел. Отримано 21.07.10

Ähnliche Einträge