Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику

Із застосуванням методу скінченних елементів проведено порівняльний аналіз процесів перетворення кінетичної та потенціальної енергій у п’єзоелектрику за дії на нього різних динамічних навантажень. Енергетичні характеристики обчислювалися на основі знайдених розв’язків початково-крайової задачі теорі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Дата:	2010
Автор:	Чабан, Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22471
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику / Ф. Чабан // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 170-178. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859805407647629312
author	Чабан, Ф.
author_facet	Чабан, Ф.
citation_txt	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику / Ф. Чабан // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 170-178. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Із застосуванням методу скінченних елементів проведено порівняльний аналіз процесів перетворення кінетичної та потенціальної енергій у п’єзоелектрику за дії на нього різних динамічних навантажень. Енергетичні характеристики обчислювалися на основі знайдених розв’язків початково-крайової задачі теорії п’єзоелектриків. Процес відшукання розв’язків включає формулювання, напівдискретизацію відповідної варіаційної задачі, а також побудову однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі. With application of finite element method the comparative analysis of the processes of potential and kinetic energies transformation in a piezoelectric under different dynamic loadings has been performed. Energetic characteristics have been calculated using solutions of piezoelectric initial-boundary problem. The process of solutions finding includes the formulation, half-discretization of variational problem and also the construction of one-step recurrence scheme for integration in time. С применением метода конечных элементов был выполнен сравнительный анализ преобразования потенциальной и кинетической энергии в пьезоэлектрике, который находится под воздействием различных динамических нагрузок. Энергетические характеристики были вычислены, используя решения начальной краевой задачи теории пьезоэлектричества. Процесс построения решений включает формулировку, полудискретизацию вариационной задачи, а также построение одношаговой рекуррентной схемы интегрирования по времени.
first_indexed	2025-12-07T15:16:04Z
format	Article
fulltext	170 Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику Федір Чабан Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: cfedir@gmail.com Із застосуванням методу скінченних елементів проведено порівняльний аналіз процесів перетворення кінетичної та потенціальної енергій у п’єзоелектрику за дії на нього різних динамічних навантажень. Енергетичні характеристики обчислювалися на основі знайдених розв’язків початково-крайової задачі теорії п’єзоелектриків. Процес відшукання розв’язків включає формулювання, напівдискретизацію відповідної варіаційної задачі, а також побу- дову однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі. Ключові слова: початково-крайова задача теорії п’єзоелектриків, метод скінченних елементів, однокрокова рекурентна схема, баланс енергії, дина- мічні навантаження. Вступ. У сучасній обчислювальній математиці для розв’язування змішаних почат- ково-крайових задач теорії п’єзоелектриків часто застосовують метод розділення змінних. Це дозволяє, зокрема, без втрати точності обчислень застосувати метод скінченних елементів (МСЕ) для напівдискретизації за просторовою змінною, а далі для знаходження невідомих розв’язків за часовою змінною застосувати, для прикладу, метод скінченних різниць і побудувати відповідну однокрокову реку- рентну схему [1-3]. Із точки зору математичного моделювання важливо з’ясувати чи побудована модель і знайдені відповідні їй числові розв’язки відповідають очікуваній фізичній поведінці процесу, що моделюється. Вхідними параметрами, які безпосередньо впливають на фізику процесу є, зокрема, властивості дослі- джуваного матеріалу п’єзоелектрика, характеристики зовнішньої та внутрішньої дії. Тому, у цій роботі було досліджено вплив характеру навантаження на стій- кість числових розв’язків і з’ясовано яким чином енергетичні характеристики залежать від типу навантаження та тривалості його дії в недисипативному сере- довищі. Основні співвідношення теорії п’єзоелектриків наведені у монографіях [4-7]. Отож, для знаходження розв’язків початково-крайової задачі теорії п’єзо- електриків у пунктах 1-3 побудуємо однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі. Обчислення енергетичних характеристик (пункт 4) здійснюватимемо, вико- ристовуючи структурні елементи сформульованої варіаційної задачі (пункт 1). Об’єктом дослідження буде кварцовий стрижень. Стаття опирається на резуль- тати, отримані в працях [8-10]. УДК 517.9 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 170-178 171 1. Формулювання початково-крайової задачі Нехай анізотропне п’єзоелектричне тіло займає обмежену зв’язну область  , що складається з точок  1,..., dx xx евклідового простору dR з неперервною за Ліпшицем границею Г й одиничним вектором зовнішньої нормалі до неї n =  1,..., dn n , де cos( , )i in n x . Нехай t — час,  0, ,0t T T    . Необхідно знайти вектор пружних переміщень   1( , ) d i iu x t u та електричний потенціал ( , )p p x t за умови, що тіло піддається дії зовнішнього навантаження механічної чи електро- магнітної природи. Тіло закріплено та заземлено на певних частинах його поверхні, що можна записати такими рівняннями (тут і далі у межах одного доданку про- водимо підсумовування за індексами, які повторюються) [2]   0, 0i i ij, j k,k k,ku f D J       , ( ) ( ) ( )ij ijkm km ijkm km kij kc a e E p     u u , ( ) ( )k km m kij ijD g E p e ε  u ,  , , ,2, ( ), ( ) в (0,T]ij i j j i k km m k ku u J z E p E p p        , (1) відповідними крайовими  0 на , , mes 0i u u uu        , на ,ij j i un Г \        , (2)  0 на , , mes 0p p pp        ,    0 на 0, , ,k k k d d d pD J n T          ,      на 0, , \ e k k k e e d pD J n d I T             ,  ( ) ( ) 0 на 0,k k m m eE p n E p n T    (3) та початковими умовами 0 0 0 0 0 0, , \| в Ωt t t\| \| p p    u u u v . (4) Тут  — густина маси п’єзоелектрика,  ( )if xf — вектор об’ємних сил, ( , ), ( , )ij ijx t x t  — компоненти симетричних тензорів напружень і деформацій відповідно, ( , ), ( , ), ( , )k k kD x t E x t J x t — компоненти векторів індукції, напруженості електричного поля та струму зміщення відповідно, ,ijkm ijkma c — компоненти тен- зорів в’язкості та пружних модулів п’єзоелектрика, ,kij kme z і ijg визначають ком- поненти тензорів п’єзоелектричних коефіцієнтів, електричної провідності та діелектричної проникності відповідно,  ( , )i x t    та ( )I I t — задані вектори поверхневих зусиль і струму на електроді t  u u , 22 t  u u . Федір Чабан Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику 172 Введемо простори допустимих пружних переміщень і електричних потенціалів   1 : 0 на d uV H        ,   1 : 0 на , наp eQ q H q q const       відповідно. Нехай : V Q   , а спряжений до нього простір : V Q     . Дамо відповідне варіаційне формулювання початково-крайової задачі:    2 0 0 0 0задано , та ( ) 0, ;, p H l,r L T      u v ;  2знайти пару ( ) 0, ; таку, що, p L T  ψ u        ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),m t a t c t e p t l t   u u u      ,      ( ), , ( ) ( ), ( ), (0, ]g p t q e q t z p t q r t q t T    u  ,    0 0(0) , 0, (0) , 0m c V     u v u u    ,  0(0) , 0g p p q q Q    , (5) де білінійні та лінійні форми визначені такими виразами ( , ) i im u u dx     , ( , ) ( ) ( )ijkm ij kmc u c u dx      , ( , ) ( ) ( )ijkm ij kma u a u dx      , ( , ) ( ) ( )kij k ije q e E q dx V        , ( , ) ( ) ( )km k mg p q g E p E q dx    , ( , ) ( ) ( )km k mz p q z E p E q dx    ,q Q  , i i i il f dx d V               , , \| e r q Iq q Q    . 2. Напівдискретизація варіаційної задачі Виділимо в просторі допустимих функцій Ф послідовність скінченновимірних підпросторів апроксимацій h h hV Q   ( dim h  , якщо 0h  ). Для кожного фіксованого 0h  розв’язок  ,h h hpψ u задачі:    2 0 0 0 0задано 0, , , ( , ) 0, ;h const , p H l r L T        ψ u v  ;    2знайти вектор 0, ; такий, щоh h h h, p L T  ψ u        ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),h h h hm t a t c t e p t l t   u u u      ,      ( ), , ( ) ( ), ( ),h h h hg p t q e q t z p t q r t q  u  ,    0 0(0) , 0, (0) , 0h hm c   u v u u   ,  0(0) , 0 ( , )h hg p p q q      (6) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 170-178 173 будемо називати напівдискретизованою апроксимацією Гальоркіна для розв’язку ( , )pψ u . Якщо зафіксувати деякі базиси { },{ }i iq у просторах апроксимацій ,h hV Q відповідно, то можна отримати таку задачу Коші для визначення коефіці- єнтів    ( ) ( ) , ( ) ( )i iU t U t P t P t  розвинення компонент напівдискретизованої апроксимації ,h hpu за цими базисами 2 T 2 0 0 ( ) ( ) (0, ] 0 0 ( ) ( )0 t td d t T P t R tdtdt                                    M A U LC E E G Z , 0 0 0(0) , (0) , (0)   MU V CU U GP P , (7) де               , , , , , , , , ,i j i j i j i j i jm a c g q q z q q          M A C G Z ,   ,i je q E ,  ,i il L ,  ,i ir qR . 3. Однокрокова рекурентна схема інтегрування за часом Щоб побудувати однокрокову рекурентну схему інтегрування за часом, скорис- таємося [2]. Для фіксованого натурального N розглянемо рівномірний поділ відрізку часу [0, T] вузлами  , 0, 1, 1jt j t j N T N t       . На кожному відрізку 1,j jt t    для апроксимації розв’язку  ( ) ( ), ( )h h ht t p tψ u напівдискретизованої задачі будемо використовувати такі наближення  2 2 1( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) jj j j h t t t t u t t t v t u t t                u ,   1 j 1( ) 1 ( ) ( ) ,j j h jp t t p t p t t t        , (8) тобто на кожному кроці інтегрування в часі для апроксимації зміщення ми вико- ристовуємо квадратичні апроксимації, а для електричного потенціалу — лінійні. На основі співвідношень (8) побудуємо однокрокову рекурентну схему інтегрування задачі (7) по часу    задано 0, [0,1], , ,j j j h h j j jt y v , V l r          ;  1 1 1знайти таке, щоj j j h hy v , V             1/2 1/2, , , , ,j j j j jm a v c u e p l      v      ,      1/2 1/2, , , ,j j j jg p q e q v z p q r q     ,   1/2 1/2, , , 0,j j hq v u j N       . (9) Тут використано позначення Федір Чабан Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику 174    1 2 1 1 2 11 1, 2 j j j j j jw w w w w w t          , 1 2 1 21 2 j j jw w tw            . (10) Підстановкою співвідношень (8) у початкові умови задачі (6) отримаємо рівняння      0 0 0 0 0 0, 0, , 0, , 0 ( , ) hm c g p p q q        v v u u   (11) для визначення вектора  0 0 0,y  v . Застосування схем МСЕ дозволяє отримати систему лінійних алгебраїчних рівнянь для однокрокової рекурентної схеми (9) T 1 2 1 2 1 1 12 2 21 2 j j j j t t t t t t                                    M A C E LV RPE G Z 1 0 2 0 0 j j j t t t                   V M A C U G Z P   (12) де   1 2 1 2 1 1 2 1 1 21 2 , 2 , , 2j j j j j j j j jt t t                V V V U U V P P P , 0,j N . 4. Визначення енергетичних характеристик Введені в задачі (5) білінійні форми дозволяють запровадити еквівалентні енер- гетичні норми в просторах V та Q ( , ), ( , )V Vc a V   u u u u u u u , ( , ), ( , )Q Qp g p p p z p p p Q    , (13) які застосовуються для обчислень енергетичних характеристик, зокрема 2 2( ) ( ) ( ) 2V Qt t p t    u — потенціальна енергія, 2 2( ) ( ) ( )V QD t t p t u — енергія дисипації,  ( ) ( ), ( ) 2K t m t t u u  — кінетична енергія, ( ) ( ) ( )E t t K t   — повна енергія. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 170-178 175 Слід зазначити, що складник 2( ) 2Vtu визначає механічну потенціальну енергію, а 2( ) 2Qp t — потенціальну енергію електричного поля. Відповідно вирази 2( ) Vtu та 2( ) Qp t визначають енергію дисипації механічного й електричного полів. Також зауважимо, що функція  ( ) ( ), ( )k k t e p t t  u детермінує динамічний коефіцієнт електромеханічного зв’язку (КЕМЗ) полів у п’єзоелектрику, що визначає віднос- ну кількість енергії, яка в поточний момент може перетворитися з механічної в електричну та навпаки. 5. Числові експерименти Розглянемо кварцовий стрижень завдовжки L = 0,005 м з густиною маси ρ = = 2651 кг/м 3, модулем пружності с1111 = 8,67·10 10 H/м 2, п’єзоелектричним коефіці- єнтом е1111 = – 0,195 К/м і діелектричною проникливістю g11 = 4,41 Ф/м. Стрижень у початковий момент часу t = 0 вільний від навантаження u0 = 0, v0 = 0, p0 = 0 [0, ]x L  . Нехай лівий кінець стрижня (x = 0) закріплено та заземлено (0, ) 0t u , (0, ) 0p t  [0, ]t T  . Незакріплений кінець стрижня (x = L) контактує з діелект- ричним ізолятором 1( , ) 0D L t  [0, ]t T  та піддається короткочасній дії тиском 11( , ) ( )L t p t  [0, ]t T  . В обчислювальному експерименті було прийнято, що час спостереження T = 5·10 – 6 c, крок інтегрування в часі Δt = 10 – 9 c, кількість кроків інтегрування N = 5000, параметр рекурентної схеми α = 1/2, кількість скін- ченних елементів 300. Будемо досліджувати реакцію п’єзоелектрика (зокрема його енергетичних характеристик) під дією короткочасного динамічного навантаження (тиску) одного з трьох типів, зображених на рис. 1. Рис. 1. Види навантаження (1) , 0 , ( ) 0, , p p P t T p t t T     (2) , 0 , ( ) 0, , p p p tP T t T p t t T     (3)   , 0 2, ( ) 1 , 2 , 0, , p p p p p p tP T t T p t tP T T t T t T         p(t) Р 0 T0 Tp T t p(t) P 0 T0 Tp T t p(t) P 0 T0 Tp T t Федір Чабан Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику 176 Ми приймали P = 5·10 6 H і додатково накладали ще дві умови: (а) величина Tp = 3·10 – 7 c є менша, ніж час, необхідний хвилі переміщення для проходження віддалі L; (б) величина Tp = 2,5·10 – 6 c — час, необхідний хвилі переміщення для про- ходження віддалі 2L. Аналізуючи стійкість отриманих числових результатів, приходимо до вис- новку, що розриви в навантаженнях типу (1) та (2) спричиняють збурення, які видно на графіках енергій і КЕМЗ (див. рис. 2-3). Відзначимо, що для лінійно зростаючого навантаження (2) ці збурення є на порядок менші, ніж для кусково- постійного типу (1). Другою відмінністю розв’язків, отриманих за дії навантаження типу (2) та тривалості Tp = 3·10 – 7 c, є інший характер перетворення енергій у разі досягнення хвилею переміщення закріпленого або навантаженого кінця. Кінетична енергія не повністю перетворюється в потенціальну та навпаки. Це пояснюється різницею між значеннями тиску на початку та в кінці дії навантаження. Якщо тривалість навантаження Tp = 2,5·10 – 6 c, то, незважаючи на відсутність як природної, так і штучної в’язкості, для кусково-постійного та неперервного Рис. 2. Значення енергій (П — повна енергія, E — потенціальна, K — кінетична і k — КЕМЗ) для Tp = 3· 10 – 7 c, випадок (а) 0 1000 0 2000 3000 4000 N 0,04 0,08 0,12 0,16 0 1000 0 2000 3000 4000 N (3) (2) 0,04 0,08 0,12 0,16 0 1000 0 2000 3000 4000 N 1000 0 2000 3000 4000 N 0 (1) 1000 0 2000 3000 4000 N 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 1000 0 2000 3000 4000 N 0 k k k П Е К П Е К П Е К ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 170-178 177 навантажень ми отримуємо зменшення значення повної енергії. Це пояснюється тим, що хвиля переміщення, спричинена навантаженням, поглинається хвилею з пропорційною енергію, що рухається їй назустріч. Тобто, діючи на кінець стрижня розтягуючим навантаженням, ми, в результаті, отримуємо фізично необ- ґрунтований результат — скорочення стрижня. Щодо лінійно зростаючого наван- таження, зважаючи на різницю між початковим та кінцевим тиском, зменшення енергій відсутнє. Відносно значень КЕМЗ, то для навантажень типу (2), (3) помітне сповіль- нення процесів перетворення між електричною та механічною енергіями. Висновки. У статті розглянуто застосування МСЕ для розв’язування одновимір- них нестаціонарних задач теорії п’єзоелектрики. Для цих задач зроблено варіа- ційне формулювання, виконано напівдискретизацію Гальоркіна та побудовано однокрокову рекурентну схему інтегрування за часом. Отримані схеми реалізовано у вигляді програмного забезпечення. Аналіз впливу характеру та тривалості навантажень за відсутності дисипа- тивних процесів на поведінку енергетичних характеристик дозволяє зробити вис- новок, що оптимальним способом задання тиску є задання його у вигляді лінійно зростаючої функції. Рис. 3. Значення енергій (П — повна енергія, E — потенціальна, K — кінетична і k — КЕМЗ) для Tp = 2,5·10 – 6 c, випадок (б) (3) 1,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,0 0 1000 2000 3000 4000 N 0 0 1000 2000 3000 4000 N 0 0 1000 2000 3000 4000 N 0,2 0,4 0,6 0,8 (2) 0 1000 0 2000 3000 4000 N 0 1000 0 2000 3000 4000 N 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8(1) 0 1000 0 2000 3000 4000 N П Е К k k k П Е К П Е К Федір Чабан Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику 178 Література [1] Данько, О. І. Чисельне дослідження одновимірних задач п’єзоелектрики / О. І. Данько, Г. А. Шинкаренко // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 1997. — № 46. — С. 17-25. [2] Шинкаренко, Г. А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пиро- электричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач / Г. А. Шинкаренко // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 2. — С. 317-325. [3] Rahman, S. A finite element method for modelling electromechanical wave propagation in aniso- tropic piezoelectric media / S. Rahman, H. P. Langtangen, C. H. W. Barnes // Communication in computational physics. —2008. — Vol. 2, No 2. — Р. 271-292. [4] Жарий, О. Ю. Введение в механику нестационарных колебаний и волн / О. Ю. Жарий, А. Ф. Улитко. — Київ: Вища школа, 1989. — 184 с. [5] Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. — Москва: Мир, 1986. — 159 с. [6] Партон, В. З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В. З. Партон, Б. А. Кудрявцев. — Москва: Наука, 1988. — 472 с. [7] Шульга, Н. А. Колебания пьезоэлектрических тел / Н. А. Шульга, А. М. Болкисев. — Київ: Наук. думка, 1989. — 228 с. [8] Чабан, Ф. Розрахунок енергетичних характеристик п’єзоелектричних перетворювачів мето- дом скінченних елементів з оцінювачем похибок / Ф. Чабан, Г. Шинкаренко // Актуальні задачі механіки неоднорідних структур. — Львів, 2007. — C. 210-213. [9] Chaban, F. Finite element method approximations for the boundary value problems of piezoelect- ricity / F.Chaban, H. Shynkarenko // Modern Analysis and Application. Book of abstracts. — Odessa, 2007. — P. 32-33. [10] Шинкаренко, Г. А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пиро- электричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний / Г. А. Шинкаренко // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, № 7. — С. 1252-1260. Numeric analysis of mechanical and electrical fields interaction in a piezoelectric Fedir Chaban With application of finite element method the comparative analysis of the processes of potential and kinetic energies transformation in a piezoelectric under different dynamic loadings has been performed. Energetic characteristics have been calculated using solutions of piezoelectric initial- boundary problem. The process of solutions finding includes the formulation, half-discretization of variational problem and also the construction of one-step recurrence scheme for integration in time. Численное исследование взаимодействия механического и электрического полей в пьезоэлектрике Федор Чабан С применением метода конечных элементов был выполнен сравнительный анализ преобра- зования потенциальной и кинетической энергии в пьезоэлектрике, который находится под воздействием различных динамических нагрузок. Энергетические характеристики были вычислены, используя решения начальной краевой задачи теории пьезоэлектричества. Про- цесс построения решений включает формулировку, полудискретизацию вариационной задачи, а также построение одношаговой рекуррентной схемы интегрирования по времени. Представлено професором Т. Нагірним Отримано 20.09.08
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22471
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T15:16:04Z
publishDate	2010
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Чабан, Ф. 2011-06-22T21:00:26Z 2011-06-22T21:00:26Z 2010 Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику / Ф. Чабан // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 170-178. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22471 517.9 Із застосуванням методу скінченних елементів проведено порівняльний аналіз процесів перетворення кінетичної та потенціальної енергій у п’єзоелектрику за дії на нього різних динамічних навантажень. Енергетичні характеристики обчислювалися на основі знайдених розв’язків початково-крайової задачі теорії п’єзоелектриків. Процес відшукання розв’язків включає формулювання, напівдискретизацію відповідної варіаційної задачі, а також побудову однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі. With application of finite element method the comparative analysis of the processes of potential and kinetic energies transformation in a piezoelectric under different dynamic loadings has been performed. Energetic characteristics have been calculated using solutions of piezoelectric initial-boundary problem. The process of solutions finding includes the formulation, half-discretization of variational problem and also the construction of one-step recurrence scheme for integration in time. С применением метода конечных элементов был выполнен сравнительный анализ преобразования потенциальной и кинетической энергии в пьезоэлектрике, который находится под воздействием различных динамических нагрузок. Энергетические характеристики были вычислены, используя решения начальной краевой задачи теории пьезоэлектричества. Процесс построения решений включает формулировку, полудискретизацию вариационной задачи, а также построение одношаговой рекуррентной схемы интегрирования по времени. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику Numeric analysis of mechanical and electrical fields interaction in a piezoelectric Численное исследование взаимодействия механического и электрического полей в пьезоэлектрике Article published earlier
spellingShingle	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику Чабан, Ф.
title	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
title_alt	Numeric analysis of mechanical and electrical fields interaction in a piezoelectric Численное исследование взаимодействия механического и электрического полей в пьезоэлектрике
title_full	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
title_fullStr	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
title_full_unstemmed	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
title_short	Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
title_sort	числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22471
work_keys_str_mv	AT čabanf čislovedoslídžennâvzaêmodíímehaníčnogoielektričnogopolívupêzoelektriku AT čabanf numericanalysisofmechanicalandelectricalfieldsinteractioninapiezoelectric AT čabanf čislennoeissledovanievzaimodeistviâmehaničeskogoiélektričeskogopoleivpʹezoélektrike

Числове дослідження взаємодії механічного й електричного полів у п’єзоелектрику

Репозитарії

Схожі ресурси