Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям

Розглянуто єдиний підхід до розв’язування як прямих задач термопружності для циліндричних тіл із тонкими приповерхневими шарами, так і обернених задач межової параметричної ідентифікації за заданою на поверхні тіла температурою. Шукані зведені теплофізичні параметри циліндра з приповерхневим шаром в...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Швець, Р., Яцків, О., Бобик, Б.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Series:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22478
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям / Р. Швець, О. Яцків, Б. Бобик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 196-205. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22478
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-224782025-02-09T16:55:48Z Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям Boundary thermal parameters identification for cylinder with nonstationary boundary conditions Идентификация граничных теплофизических параметров цилиндра при нестационарных граничных условиях Швець, Р. Яцків, О. Бобик, Б. Розглянуто єдиний підхід до розв’язування як прямих задач термопружності для циліндричних тіл із тонкими приповерхневими шарами, так і обернених задач межової параметричної ідентифікації за заданою на поверхні тіла температурою. Шукані зведені теплофізичні параметри циліндра з приповерхневим шаром визначаються з отриманого для температури поверхні інтегро-диференційного рівняння, в яке вони входять у явному вигляді. Досліджено нестійкість ідентифікації залежно від похибок задання вхідних даних. У цьому разі здійснюється уточнення знайдених з інтегро-диференційного рівняння параметрів шляхом перебору їх околу та визначення таких, для яких різниця температури поверхні циліндра, знайденої з прямої задачі, та вхідних даних буде мінімальна. Запропонований метод дає змогу визначати теплофізичні параметри в режимі «реального часу». General approach to solving direct problems for cylindrical bodies with thin coatings as well as boundary inverse problems of boundary parameter identification for the known surface temperature is proposed. The integro-differential equation for surface temperature is obtained and is used to identify unknown thermal boundary parameters. Identification instability depending upon small data errors is investigated. In this case the method of going through the neighbourhood of obtained from integro-differential equation thermal parameters is applied. The parameters for which average quadratic difference between calculated from direct problem surface temperature and input data is minimal are refined and called as the solution to the inverse boundary thermal parameters identification problem. The proposed method allows a real-time identification of thermal parameters. Рассмотрен единый подход к решению как прямых задач термоупругости для цилиндрических тел с тонкими приповерхностными слоями, так и обратных задач параметрической идентификации граничных теплофизических параметров по заданной на поверхности тела температуре. Неизвестные приведенные теплофизические параметры цилиндра и приповерхностного слоя определяются из полученного на температуру поверхности интегро-дифференциального уравнения, в которое они входят в явном виде. Исследована неустойчивость идентификации в зависимости от погрешностей задания входных данных. В этом случае производится уточнение полученных из интегро-дифференциального уравнения параметров, путем перебора их окрестности и определения таких, для которых среднеквадратическое отклонение температуры поверхности от входных данных будет минимальным. Предложенный метод даёт возможность определять неизвестные теплофизические параметры в режиме «реального времени». 2010 Article Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям / Р. Швець, О. Яцків, Б. Бобик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 196-205. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22478 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології application/pdf Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглянуто єдиний підхід до розв’язування як прямих задач термопружності для циліндричних тіл із тонкими приповерхневими шарами, так і обернених задач межової параметричної ідентифікації за заданою на поверхні тіла температурою. Шукані зведені теплофізичні параметри циліндра з приповерхневим шаром визначаються з отриманого для температури поверхні інтегро-диференційного рівняння, в яке вони входять у явному вигляді. Досліджено нестійкість ідентифікації залежно від похибок задання вхідних даних. У цьому разі здійснюється уточнення знайдених з інтегро-диференційного рівняння параметрів шляхом перебору їх околу та визначення таких, для яких різниця температури поверхні циліндра, знайденої з прямої задачі, та вхідних даних буде мінімальна. Запропонований метод дає змогу визначати теплофізичні параметри в режимі «реального часу».
format	Article
author	Швець, Р. Яцків, О. Бобик, Б.
spellingShingle	Швець, Р. Яцків, О. Бобик, Б. Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Швець, Р. Яцків, О. Бобик, Б.
author_sort	Швець, Р.
title	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
title_short	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
title_full	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
title_fullStr	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
title_full_unstemmed	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
title_sort	ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22478
citation_txt	Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям / Р. Швець, О. Яцків, Б. Бобик // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 196-205. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT švecʹr ídentifíkacíâmežovihteplofízičnihparametrívcilíndrazanestacíonarnihumovteploobmínuzdovkíllâm AT âckívo ídentifíkacíâmežovihteplofízičnihparametrívcilíndrazanestacíonarnihumovteploobmínuzdovkíllâm AT bobikb ídentifíkacíâmežovihteplofízičnihparametrívcilíndrazanestacíonarnihumovteploobmínuzdovkíllâm AT švecʹr boundarythermalparametersidentificationforcylinderwithnonstationaryboundaryconditions AT âckívo boundarythermalparametersidentificationforcylinderwithnonstationaryboundaryconditions AT bobikb boundarythermalparametersidentificationforcylinderwithnonstationaryboundaryconditions AT švecʹr identifikaciâgraničnyhteplofizičeskihparametrovcilindraprinestacionarnyhgraničnyhusloviâh AT âckívo identifikaciâgraničnyhteplofizičeskihparametrovcilindraprinestacionarnyhgraničnyhusloviâh AT bobikb identifikaciâgraničnyhteplofizičeskihparametrovcilindraprinestacionarnyhgraničnyhusloviâh
first_indexed	2025-11-28T06:11:44Z
last_indexed	2025-11-28T06:11:44Z
_version_	1850013469011607552
fulltext	196 Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям Роман Швець1, Олесь Яцків2, Богдан Бобик2 1 к. ф.-м. н., Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua 2 Інститут прикладних проблеми механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua Розглянуто єдиний підхід до розв’язування як прямих задач термопружності для циліндричних тіл із тонкими приповерхневими шарами, так і обернених задач межової параметричної ідентифікації за заданою на поверхні тіла температурою. Шукані зведені теплофізичні параметри циліндра з приповерхневим шаром визначаються з отриманого для температури поверхні інтегро-диференційного рівняння, в яке вони входять у явному вигляді. Досліджено нестійкість ідентифікації залежно від похибок задання вхідних даних. У цьому разі здійсню- ється уточнення знайдених з інтегро-диференційного рівняння параметрів шляхом пере- бору їх околу та визначення таких, для яких різниця температури поверхні циліндра, знай- деної з прямої задачі, та вхідних даних буде мінімальна. Запропонований метод дає змогу визначати теплофізичні параметри в режимі «реального часу». Ключові слова: циліндр, приповерхневий шар, термопружність, нестаціо- нарні граничні умови, межова параметрична ідентифікація, аналітично- числовий метод, інтегро-диференційне рівняння. Вступ. Для ефективного керування перебігом технологічних процесів під час виготовлення елементів конструкцій і забезпечення їх надійної та довготривалої експлуатації необхідно розглядати дедалі повніший спектр супутніх фізико-меха- нічних процесів і явищ, зокрема враховувати приповерхневі ефекти [1-3]. Власти- вості приповерхневих шарів конструктивних елементів переважно відрізняються від властивостей основного матеріалу, що можна пов’язати як з нанесенням спе- ціальних захисних покрить, так і зі структурними змінами, які відбуваються в таких шарах за інтенсивної дії різноманітних фізичних факторів. Тому дослі- дження фізико-механічної поведінки елементів конструкцій вимагає адекватного математичного моделювання взаємодії полів різної природи за урахування реаль- ної структури матеріалів, у тому числі наявності тонких приповерхневих неодно- рідностей [1, 3-5]. Якість такого моделювання багато чим визначається інформа- тивністю і точністю даних спостереження за об’єктами та процесами, за перебігу яких вони експлуатуються. Для задання характеристик і структури математичних моделей часто використовують непрямі вимірювання фізико-механічних парамет- рів і обробку їх результатів із застосуванням методів теорії обернених задач (ОЗ). Окрім того існує зв’язок між задачами оптимального підбору властивостей УДК 539.3 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 196-205 197 елементів конструкцій, а також оптимального керування режимами їх експлуатації та ОЗ [6]. Тому вважають [7], що саме ОЗ повинні бути основою побудови й обґрун- тованого використання математичних моделей, а також надання для них досто- вірної числової інформації. Однак, із математичної точки зору ОЗ є некоректні, зокрема, нестійкі до малих збурень вхідних даних [7-9]. Збільшення ж об’єму вхідної інформації часто лише посилює нестійкість розв’язків [8]. Тому залиша- ється актуальною проблема розробки ефективних методів розв’язання таких задач [7, 10-12]. У зв’язку зі складністю, а часто і неможливістю побудови аналітичних розв’язків ОЗ, значного поширення набули аналітично-числові та числові схеми розв’язування. Особливістю аналітично-числових підходів є поєднання переваг аналітичних методів, які дозволяють глибше проникнути у фізику явищ, здійсню- вати граничні переходи та розглядати асимптотичні режими, з високою універ- сальністю і простотою числових методів. Одним із найпопулярніших методів розв’язування некоректних задач, у тому числі ОЗ, є метод регуляризації Тихонова [9]. Однак він пов’язаний з труднощами відшукання параметра регуляризації [2, 11] і з яроподібною поведінкою регуля- ризівних функціоналів [11]. Для певних класів ОЗ можна використовувати роз- в’язки прямих задач [11, 13] із пошуком їх мінімального відхилення від експери- ментально виміряних вхідних даних на певних часових проміжках [11]. Для ОЗ параметричної ідентифікації такий підхід разом із визначенням параметрів дає змогу знаходити, так звані, інтервали невизначеності, в межах яких неможливо провести ідентифікацію цих параметрів, бо для будь-яких їх значень із такого інтервалу відхилення розв’язків прямої задачі від даних вимірювань не переви- щують задану величину, яка є критерієм для підбору параметрів під час їх визначення. У статті на прикладі нагрівання довкіллям довгого циліндра з тонким при- поверхневим шаром проілюстровано застосування розробленого загального аналі- тично-числового підходу до розв’язування як прямих некласичних крайових задач термопружності з нестаціонарними граничними умовами, якими враховується вплив приповерхневого шару на теплову поведінку циліндра, так і обернених задач визна- чення межових теплофізичних параметрів [14, 15]. Межова параметрична іденти- фікація здійснюється на основі запропонованої структури розв’язку прямої задачі, а також інтегро-диференційного рівняння, до якого зводиться пряма задача, з подаль- шим використанням сплайн-апроксимацій. Перевагою методів, які використовують сплайн-апроксимації, є їхня стійкість до локальних збурень, хороша збіжність і точність розв’язків, що отримуються, а також простота та зручність реалізації побудованих алгоритмів [16]. 1. Формулювання та розв’язування прямої задачі Розглянемо довгий суцільний ізотропний циліндр радіуса r1, що нагрівається сере- довищем сталої температури Тс. Тонкий приповерхневий шар циліндра має неод- накові з основним матеріалом теплофізичні властивості (див. рис. 1). Поширене моделювання приповерхневих і міжфазних неоднорідностей за допомогою тонких оболонок [3-5]. Запропонований Я. С. Підстригачем підхід [3], який полягає Роман Швець, Олесь Яцків, Богдан Бобик Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов ... 198 у спрямуванні товщини оболонки до нуля за одночасного усереднення фізико- механічних характеристик, вилучає з розгляду оболонку як фізичний об’єкт і приводить до задач із узагальненими некласичними гранично-контактними умо- вами. Задаватимемо такими умовами осесиметричний теплообмін циліндра з довкіллям через тонкий приповерхневий шар [3]. Запишемо рівняння теплопровідності й узагальнені граничні умови в цилінд- ричній системі координат для безрозмірних величин [14] 2 1 ( , )( , ) , 0T rT r r r         , (1) 1 ( , ) ( , ) 0,T r TBT r H r r r            . (2) Тут ( , )T r  — температура циліндра, 1 — коефіцієнт температуропровідності,  — оператор Лапласа в циліндричній системі координат, B, H — відповідно зведені коефіцієнти тепловіддачі з поверхні циліндра й об’ємної теплоємності циліндра та приповерхневого шару. Граничні умови (2) нестаціонарні, вони дозво- ляють враховувати кінетику процесу теплопровідності на поверхні циліндра. Задаємо початкову умову, умови обмеженості й осесиметрії 0( ,0) , 0T r T   , (3) ( , )( , ) , 0, 0T rT r r r         . (4) Розв’язування прямої задачі. Для розв’язування задачі (1)-(4) використаємо метод розвинення розв’язків некласичних крайових задач у ряди Фур’є за влас- ними функціями задач із класичними граничними умовами [14, 17]. Розщеплюємо умову (2) за допомогою введення межової зв’язувальної функції ( )  [14]   1 1 1( ) , ( ), ( ) ( ) r r r r T Ta BT r б H r               . (5) Крайова задача (1), (3), (4), (5a) є класична. Застосувавши схему методу відокремлення змінних, будуємо структуру розв’язку вихідної задачі (1)-(4), що Рис. 1. Схема довгого циліндра з тонким приповерхневим шаром і його поперечний переріз r1 r z ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 196-205 199 містить невідому зв’язувальну функцію ( )  . Для її визначення залишається неви- користана умова (5б). Ця структура розв’язку містить розвинення в ряд Фур’є за власними функціями класичної задачі з граничною умовою першого роду     2 0 2 1 1 111 ( )( , ) 2 ( ) n n n nn J rrT r E B r J rr           . (6) Тут 0 1( ), ( )J x J x — функції Бесселя, n — нулі функції 0 ( )J x , а функція часу ( )nE  залежить від ( )  і має вигляд     2 2 2 2 1 ( )0 2 01 4 2( )( ) ( )n nn tn n n r E T e t e dt B Br                . Зв’язувальну функцію ( )  , якою визначається температура поверхні ци- ліндра, знаходимо, підставивши (6) у невикористану умову (5б). У підсумку отри- маємо інтегро-диференційне рівняння з інтегральним оператором типу Вольтерра 1 1 1 ( ) 2 21 ( ) ( )n n H E B r B r                . (7) Інтегро-диференційне рівняння (7) розв’язуємо, апроксимуючи функцію ( )  на рівних часових проміжках кубічними сплайнами [16], для визначення коефі- цієнтів яких, окрім рівняння (7), використовуюємо умови сумісності сплайнів у внутрішніх вузлах розбиття часового інтервалу. Оптимальність розбиття часо- вого інтервалу та вибір кількості членів ряду в (6) і (7) для забезпечення задо- вільної точності обчислення температури досліджено у праці [14]. За знайденим температурним полем визначаємо напруження в циліндрі. Механічним впливом приповерхневого шару на напружений стан нехтуємо. Поверхню циліндра вважаємо ненавантаженою 10,rr r r   . (8) Для поперечного перерізу циліндра виконується умова рівноваги 1 0 0 r zzr dr  . (9) У випадку осесиметричної задачі колові переміщення дорівнюють нулю. Інші компоненти переміщень подаємо у вигляді Папковича-Нойбера [3]  1 4(1 )r r r zu r z r             ,  1 4(1 )z z r zu r z z             . Роман Швець, Олесь Яцків, Богдан Бобик Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов ... 200 Для визначення температурних напружень використовуємо співвідношення Дюгамеля-Неймана [3, 4]. У результаті отримуємо вирази для напружень 11 2 1 1 4(1 )rr r rr r r r                 , 1 2 2 1 2 1 4(1 ) r rr rr                 , 1 2 2 1 2 1 2 4(1 )zz r rr r r rr                    . (10) Тут  , — сталі Ляме,  — коефіцієнт Пуассона, ( , )r  має вигляд       24 1 2 2 11 1 4( ) ( )( , ) 4 1 2 16 n T n n rrr B Br r                              22 00 3 2 1 11 01 1 1 ( ) nn t n nnn J rtT e e dt B J rrr                , де T — коефіцієнт лінійного температурного розширення циліндра. Таким чином вирази (6), (10) є розв’язки сформульованої задачі термо- пружності для довгого суцільного циліндра з тонким приповерхневим шаром, який нагрівається довкіллям. Межова зв’язувальна функція ( )  , що входить у вирази для температури і напружень, визначається з інтегро-диференційного рівняння (7). Отримані розв’язки прямої задачі й інтегро-диференційне рівняння будуть використані під час ідентифікації теплофізичних параметрів B й H. 2. Формулювання оберненої задачі Нехай задано температуру поверхні циліндра 1( , )T r  , однак невідомий один із кое- фіцієнтів B чи H нестаціонарної межової умови (2), яка враховує вплив тонкого приповерхневого шару на нагрівання циліндра. Розподіл температури в циліндрі описується рівнянням (1) за умов (2)-(4). Напружений стан визначається зі спів- відношень (10), які вже задовольняють умови (8), (9). Задання температури поверхні 1( , )T r  дає нам умови перевизначення для сформульованої задачі ідентифікації невідомого коефіцієнта межової умови. Такі задачі належать до межових ОЗ. Для імітації експериментальних вимірювань вхідних даних, необхідних для розв’язування ОЗ, часто використовують комп’ютерну симуляцію, яка полягає у розв’язуванні прямої задачі за відомих тих чи інших значень параметрів і викорис- танні отриманих розв’язків, як даних вимірювань. Однак реальні вимірювання завжди здійснюються з певною похибкою, в межах точності вимірювальних приладів. Така похибка називається неусувною. Тому для моделювання цих похибок вимі- рювань застосовують малі випадкові збурення отриманих розв’язків прямих задач. Оскільки ОЗ є нестійкі щодо малих збурень вхідних даних [7-9], то визна- чені параметри можуть значно відрізнятися від їх точних значень. Тому ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 196-205 201 необхідно використовувати ефективні методи з регуляризації сформульованих ОЗ [7, 9], або алгоритми покращення їх розв’язків [11]. У цьому дослідженні для покращення точності ідентифікації здійснюватимемо перебір значень параметрів в околі тих, які є розв’язками сформульованої ОЗ, і, розв’язуючи для них пряму задачу, порівнюватимемо знайдену температуру поверхні з вхідними даними. Значення параметрів B чи H, для яких розв’язок прямої задачі мінімально відріз- нятиметься від вхідних даних, вважатимемо за ідентифіковані межові теплофі- зичні параметри. 3. Ідентифікація межових теплофізичних параметрів В інтегро-диференційне рівняння (7) в явному вигляді входять теплофізичні параметри B й H, що дає змогу визначати їх за відомою температурою поверхні циліндра. Для симуляції експериментальних вимірювань розв’язуємо пряму задачу (1)-(4), вважаючи теплофізичні параметри відомими. Знайдені значення темпера- тури поверхні циліндра у вибраних N часових точках збурюємо випадковими відхиленнями, які в середньому становлять 2 % — рис. 2а. Отримані збурені дані використовуємо для розв’язування ОЗ межової параметричної ідентифікації. Згла- джуємо ці дані, інтерполюємо кубічними сплайнами [16] і визначаємо з рівняння (7) теплофізичні параметри. Однак задачі ідентифікації чутливі до малих збурень вхідних даних. Тому знайдені параметри можуть значно відрізнятися від їх точ- них значень. Для покращення точності ідентифікації перебираємо значення пара- метрів Bk, Hk в околі тих, що визначили з рівняння (7) k p BB B   , k p HH H   , де Bp, Hp — визначені з рівняння (7) параметри; δB, δH — крок перебору значень параметрів. Розв’язуючи для кожного з Bk чи Hk пряму задачу, порівнюємо температу- ру поверхні циліндра з вхідними даними. Значення параметрів Bmin чи Hmin, Рис. 2. (а) Вхідні дані для задачі ідентифікації у вигляді збуреної температури поверхні циліндра; (б) поверхневі колові напруження, які відповідають збуреній температурі поверхні циліндра a T(τ) σθθ(τ) 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,1 0,3 0,4 τ 0 – 0,05 – 0,10 – 0,15 – 0,20 0 0,1 0,2 0,3 0,4 τ б 0,8 Роман Швець, Олесь Яцків, Богдан Бобик Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов ... 202 для яких середнє квадратичне відхилення розв’язку прямої задачі від згладжених вхідних даних буде мінімальне, вважаємо розв’язками ОЗ межової параметричної ідентифікації. Деякі результати визначення межових теплофізичних параметрів оформлено у вигляді табл. 1, 2. Таблиця 1 Визначення межового параметра B з інтегро-диференційного рівняння за відомим параметром H та уточнення його значення за допомогою знаходження найменшого середнього відхилення температури від її згладжених заданих збурених значень Значення відомого параметра H Точні значення параметра Bт Знайдені з рівняння (7) значення параметра Bр Розв’язки ОЗ: Bmin з мінімальним відхиленням температури Похибка Bр відносно точного значення Bт Похибка Bmin відносно точного значення Bт 0,5 0,45 0,510 9,0 % 2,00 % 1,0 0,95 1,010 5,0 % 1,00 % 0,5 2,0 1,53 2,027 23,0 % 1,35 % 0,5 0,11 0,610 77,0 % 22,00 % 1,0 0,81 1,070 19,0 % 7,00 % 2,5 2,0 2,08 2,034 4,3 % 1,70 % Таблиця 2 Визначення межового параметра H з інтегро-диференційного рівняння за відомим параметром B й уточнення його значення за допомогою знаходження найменшого середнього відхилення температури від її згладжених заданих збурених значень Значення відомого параметра B Точні значення параметра Hт Знайдені з рівняння (7) значення параметра Hр Розв’язки ОЗ: Hmin з мінімальним відхиленням температури Похибка Hр відносно точного значення H Похибка Hmin відносно точного значення H 0,5 0,22 0,470 56,0% 6,0 % 1,0 0,95 0,960 5,0 % 4,0 % 0,5 2,0 1,73 1,900 13,0 % 5,0 % 0,5 0,53 0,499 5,9% 0,2 % 1,0 1,51 0,985 51,0 % 1,5 % 2,0 2,0 1,89 1,970 5,2 % 1,5 % Водночас фіксуємо ті значення параметрів, для яких температура поверхні циліндра в кожен із моментів часу відрізнятиметься від згладжених вхідних даних не більше, ніж на деяку наперед задану величину. Сукупність таких значень параметрів утворює інтервали, для яких будь-які значення параметрів даватимуть температуру поверхні в межах цієї заданої величини, тобто можуть забезпечу- вати режими нагрівання циліндра в певному, наперед заданому діапазоні — рис. 3-4. Найменші, темніші інтервали відповідають випадку відхилення обчис- леної для знайдених параметрів температури поверхні не більше, ніж на 2 % від згладжених вхідних даних, середні, світліші інтервали — не більше, ніж на 5 %, а найдовші, штриховані — не більше, ніж на 10 %. Для прикладу на рис. 2 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 196-205 203 пунктирними лініями наведено графіки зміни з часом температури поверхні циліндра та поверхневих колових напружень для значень параметра H, які є кінцями темнішого інтервалу, тобто для яких відхилення відповідних розв’язків прямих задач від згладжених вхідних даних становить 2 %. Значення температури та напружень, обчислені для решти значень параметрів H із зазначеного темнішого інтервалу на рис. 4, лежатимуть між наведеними пунктирними кривими. У табл. 3 наведено результати зміни відношення довжин інтервалів lB й lH для параметрів B і H до середніх значень цих інтервалів Bсер та Нсер (див. рис. 3, 4)  BK  1 1,B сер H H серl B K l H   залежно від середнього відхилення δзб температури поверхні від відповідних згладжених вхідних даних. Таблиця 3 Довжини lb й lh інтервалів db та dh значень параметрів B й H та відношення Kb та Kh значень середини цих інтервалів до їх довжини залежно від середнього відхилення температури поверхні від відповідних згладжених вхідних даних δзб,% Параметри db lb Kb, % Параметри dh lh Kh, % 2 [4,8; 5,12] 0,32 6,45 [0,87; 1,04] 0,17 17,8 5 [4,7; 5,46] 0,76 15 [0,88; 1,09] 0,21 21,0 10 Відоме H = 1 Невідоме B = 5 [4,4; 6,01] 1,62 31 Відоме B = 5 Невідоме H = 1 [0,77; 1,19] 0,42 43,0 Аналізуючи похибку ідентифікації залежно від проміжків часу, на яких вона проводилася, з’ясовуємо, як і очікувалося, що вона є менша на середніх стадіях нагрівання циліндра, для яких є визначальним вплив саме граничних умов. Із збільшенням значень параметра В точність його визначення зростає, а зі збільшенням Н — точність визначення цього параметра навпаки зменшується. Висновки. За заданою температурою поверхні циліндра з тонким приповерхне- вим шаром із застосуванням запропонованої методики, основаної на спеціальній структурі розв’язку прямої задачі і на отриманому для температури поверхні інтегро-диференційному рівнянні, знайдено зведені теплофізичні параметри Рис. 3. Інтервали значень параметра B, для яких середнє відхилення температури поверхні від відповідних згладжених збурених вхідних даних не перевищуватиме 2, 5 та 10 % відповідно Bmin 4,1 4,5 4,9 Bт 5,2 5,5 5,9 Рис. 4. Інтервали значень параметра H, для яких середнє відхилення температури поверхні від відповідних згладжених збурених вхідних даних не перевищуватиме 2, 5 та 10 % відповідно Hmin 0,7 0,8 0,9 0,96 Hт 1,1 1,2 1,26 Роман Швець, Олесь Яцків, Богдан Бобик Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов ... 204 такої шаруватої конструкції. Досліджено, що точність ідентифікації найкраща на середній стадії процесу нагрівання циліндра. У випадку точного задання вхідних даних, як результат розв’язування оберненої задачі отримуємо точні значення параметрів. У разі неточної інформації про вхідне поле температури похибка ідентифікації залежить від величини його випадкових збурень і від величини самих параметрів. Для більших значень параметра В точність його ідентифікації краща, а для більших значень Н — гірша. Також знайдено інтервали значень параметрів, для яких температура поверхні, як розв’язок прямої задачі, не вихо- дитиме за межі наперед заданого діапазону зміни значень (рис. 3, 4), що можна використати на стадії проектування елементів конструкцій. Особливістю запропонованого методу є визначення теплофізичних пара- метрів у режимі «реального часу». Він дає змогу здійснювати багатопараметричну ідентифікацію [12, 15] та може застосовуватись у разі задання вхідних даних у вигляді значень поверхневих деформацій чи переміщень циліндра [10]. За вико- ристання отриманих структур розв’язків задач зв’язаної механотермодифузії для багатошарових тіл [17], розроблений метод можна розвинути для ідентифікації параметрів багатошарових елементів конструкцій [12], з урахуванням взаємо- зв’язку фізико-механічних процесів [3, 18]. Література [1] Бурак, Я. Й. Про термодинамічні аспекти приповерхневих явищ у термопружних системах / Я. Й. Бурак, Є. Я. Чапля // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2006. — T. 42, № 1. — С. 39-44. [2] Веселовский, В. Б. Методы расчета и исследования теплофизических процессов в промыш- ленных аппаратах и технологиях / В. Б. Веселовский. — Днепропетровск: Вид-во Дніпропетр. ун-ту, 2002. — 436 с. [3] Підстригач, Я. С. Вибрані праці / Я. С. Підстригач. — Київ: Наук. думка, 1995. — 460 с. [4] Коляно, Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю. М. Коляно. — Київ: Наук. думка, 1992. — 285 с. [5] Турій, О. Нелінійна контактно-крайова задача термомеханіки для опромінюваної двошарової пластини, з’єднаної проміжковим шаром / О. Турій // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 118-132. [6] Вигак, В. М. Управление температурными напряжениями и перемещениями / В. М. Вигак. — Киев: Наук. думка, 1988. — 316 с. [7] Алифанов, О. М. Обратные задачи как методологическая основа идентификации тепловых математических моделей / О. М. Алифанов // 4-й Минский междун. форум по тепло- и массообмену, Минск 22-26 мая 2000. — Минск, 2000. — T. 3. — С. 3-13. [8] Блакуэлл, Бек Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Бек Дж. Блакуэлл , Б. Ч. Сент-Клэр мл. — Москва: Мир, 1989. — 312 с. [9] Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач. Изд. 2-е / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1979. — 288 с. [10] Кушнір Р. М. Ідентифікація температурних поля і напружень термочутливого циліндра за поверхневими деформаціями / Р. М. Кушнір, А. В. Ясінський // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2007. — 43, № 6. — С. 55–61. [11] Литовченко О. В. Идентификация распределенных параметров внешнего теплообмена для нелинейных граничных условий / О. В. Литовченко // Труды ИПММ НАН Украины. — 2008. — T. 17. — С. 109-118. [12] Model, R. Thermal Transport Properties of Layered Materials: Identification by a new Numerical Algorithm for Transient Measurements / R. Model // Int. J. Thermophys. — 2005. — Vol. 26, No 1. — P. 165-178. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 196-205 205 [13] Чекурін, В. До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зон- дування / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 9-20. [14] Швець, Р. М. Деякі підходи до розв’язання задачі нагріву суцільного пружного циліндра за нестаціонарної граничної умови / Р. М. Швець, О. І. Яцків, Б. Я. Бобик // Прикладні пробле- ми механіки і математики. — 2007. — Вип. 5. — С. 186-194. [15] Швець, Р. М. Вплив тонких межових неоднорідностей на напружений стан циліндричних тіл за дії термодифузійних процесів / Р. М. Швець, О. І. Яцків, Б. Я. Бобик // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій; під заг. ред. В. В. Панасюка. — Львів: Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України. — 2009. — С. 427-432. [16] Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: cправочное посо- бие / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — Киев: Наук. думка, 1986. — 544 с. [17] Швець Р. М. Взаємозв’язана задача механотермодифузії для шаруватих тіл канонічної форми з тонкими прошарками / Р. М. Швець, О. І. Яцків // Доп. НАН України. — 1993. — № 11. — С. 65-76. [18] Гера, Б. Використання взаємозв’язку тепло- та вологопровідності для відтворення початко- вого розподілу вологості тіла за його температурними даними / Б. Гера // Фіз.-мат. моделю- вання та інформ. технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 18-26. Boundary thermal parameters identification for cylinder with nonstationary boundary conditions Roman Shvets, Oles Yatskiv, Bohdan Bobyk General approach to solving direct problems for cylindrical bodies with thin coatings as well as boundary inverse problems of boundary parameter identification for the known surface temperature is proposed. The integro-differential equation for surface temperature is obtained and is used to iden- tify unknown thermal boundary parameters. Identification instability depending upon small data errors is investigated. In this case the method of going through the neighbourhood of obtained from integro-differential equation thermal parameters is applied. The parameters for which average quad- ratic difference between calculated from direct problem surface temperature and input data is mini- mal are refined and called as the solution to the inverse boundary thermal parameters identification problem. The proposed method allows a real-time identification of thermal parameters. Идентификация граничных теплофизических параметров цилиндра при нестационарных граничных условиях Роман Швец, Олесь Яцкив, Богдан Бобык Рассмотрен единый подход к решению как прямых задач термоупругости для цилиндричес- ких тел с тонкими приповерхностными слоями, так и обратных задач параметрической идентификации граничных теплофизических параметров по заданной на поверхности тела температуре. Неизвестные приведенные теплофизические параметры цилиндра и припо- верхностного слоя определяются из полученного на температуру поверхности интегро- дифференциального уравнения, в которое они входят в явном виде. Исследована неустой- чивость идентификации в зависимости от погрешностей задания входных данных. В этом случае производится уточнение полученных из интегро-дифференциального уравнения параметров, путем перебора их окрестности и определения таких, для которых средне- квадратическое отклонение температуры поверхности от входных данных будет мини- мальным. Предложенный метод даёт возможность определять неизвестные теплофи- зические параметры в режиме «реального времени». Представлено доктором технічних наук Я. П’янилом Отримано 6.06.10

Ідентифікація межових теплофізичних параметрів циліндра за нестаціонарних умов теплообміну з довкіллям

Institution

Similar Items