Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения
Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях и виброразогреве трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения, составленных из среднего пассивного и двух пьезоактивных внешних слоев. Учет диссипативных свойств материала проводится на основе концепции комплексных характеристик. В случае независящих о...
Saved in:
| Date: | 2001 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2381 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / В. Г. Карнаухов, Т. В. Карнаухова, В. И. Козлов, В. К. Луц // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 39-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859978845842571264 |
|---|---|
| author | Карнаухов, В.Г. Карнаухова, Т.В. Козлов, В.И. Луц, В.К. |
| author_facet | Карнаухов, В.Г. Карнаухова, Т.В. Козлов, В.И. Луц, В.К. |
| citation_txt | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / В. Г. Карнаухов, Т. В. Карнаухова, В. И. Козлов, В. К. Луц // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 39-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях и виброразогреве трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения, составленных из среднего пассивного и двух пьезоактивных внешних слоев. Учет диссипативных свойств материала проводится на основе концепции комплексных характеристик. В случае независящих от температуры свойств материалов задача сведена к последовательному решению задачи электромеханики, вычислению диссипативной функции и решению уравнения теплопроводности с известным источником тепла. Для зависящих от температуры свойств материалов задача становится существенно нелинейной и для ее решения предложены итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов. Подробно рассмотрена задача о колебаниях и виброразогреве трехслойной цилиндрической пьезопанели. При шарнирном опирании ее торцов для первого из указанных случаев получено аналитическое решение. Сопоставление аналитических и конечно-элементных решений свидетельствует о высокой точности и эффективности разработанного численно-аналитического метода. Для второго из указанных случаев представлены результаты расчета частотной зависимости амплитуды колебаний, температуры, коэффициентов затухания и электромеханической связи в окрестности первого резонанса. Все указанные характеристики показывают типичное для нелинейных систем поведение.
Розглянута задача про вимушені коливання і вібророзігрів тришарових п'єзоелектричних оболонок обертання, складених із середнього пасивного та двох п'єзоактиивних зовнішніх шарів. Дисипативні властивості матеріалів враховуються на основі концепції коплексних характеристик. У випадку незалежних від температури властивостей матеріалів задача зведена до послідовного розв'язування задачі електромеханіки, розрахунку дисипативної функції та розв'язування рівняння теплопровідності з відомим джерелом тепла. Для залежних від температури властивостей матеріалів задача стає суттєво нелінійною і для її розв'язування запроновані ітераційні методи в поєднанні з методом скінченних елементів. Детально розглянута задача про коливання і дисипативний розігрів тришарової циліндричної п'єзопанелі. При шарнірному закріпленні її торців для першого із вказаних випадків одержано аналітичні розв'язки. Співставлення аналітичних і скіченно-елементних розв'язків свідчить про високу точність та ефективність розробленого чисельно-аналітичного методу. Для другого із вказаних випадків представлені результати розрахунків частотної залежності амплітуди коливань, температури, коефіцієнтів затухання та електромеханічного зв'язку в околі першого резонансу. Всі ці характеристики показують типову для нелінійних систем поведінку.
The problem of vibration and vibro-heating of three-layer piezoelectric shells of revolution composed of passive inner and two outer piezoactive layers is considered. Conception of complex characteristics is used for inclusion of dissipative material properties. When the material characteristics are not dependent on temperature the problem is reduced to the solution of electromechanical problem, calculation of dissipative function and solution of problem of heat-conduction. The problem is nonlinear when the characteristics are dependent on temperature. It is solved by applying the iterative methods and the finite element method. The problem of vibration and vibro-heating of the three-layer cylindrical piezoelectric shells is considered in detail. For the first case the analytical solution of problem is found. The comparison of analytical and finite element solutions shows high precision and efficiency of the finite element solution. For the second case the results of calculations of frequency dependence of amplitude, temperature, coefficients of attenuation and electromechanical coupling are presented. The characteristics show typical behavior for the nonlinear systems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:25:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52��� 539.3 ������� ���������� � ������������ �������������� �� ����������������������� ����������� �������������������������� ���������. �. ���������, �. �. ����������, �. �. ������, �. �. ����áâ¨âãâ ¬¥å ¨ª¨ ¨¬. �. �. �̈ ¬®è¥ª® ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 9.11.2000� áᬮâॠ§ ¤ ç ® ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ âà¥åá«®©ëå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª ¢à -饨ï, á®áâ ¢«¥ëå ¨§ á।¥£® ¯ áᨢ®£® ¨ ¤¢ãå ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¢¥è¨å á«®¥¢. �ç¥â ¤¨áᨯ ⨢ëå ᢮©á⢬ â¥à¨ « ¯à®¢®¤¨âáï ®á®¢¥ ª®æ¥¯æ¨¨ ª®¬¯«¥ªáëå å à ªâ¥à¨á⨪. � á«ãç ¥ ¥§ ¢¨áïé¨å ®â ⥬¯¥à âãàë᢮©á⢠¬ â¥à¨ «®¢ § ¤ ç ᢥ¤¥ ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮬ã à¥è¥¨î § ¤ ç¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨, ¢ëç¨á«¥¨î ¤¨áᨯ -⨢®© äãªæ¨¨ ¨ à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« . �«ï § ¢¨áïé¨å ®â ⥬¯¥-à âãàë ᢮©á⢠¬ â¥à¨ «®¢ § ¤ ç áâ ®¢¨âáï áãé¥á⢥® ¥«¨¥©®© ¨ ¤«ï ¥¥ à¥è¥¨ï ¯à¥¤«®¦¥ë ¨â¥à 樮륬¥â®¤ë ¢ á®ç¥â ¨¨ á ¬¥â®¤®¬ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢. �®¤à®¡® à áᬮâॠ§ ¤ ç ® ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨. �ਠè à¨à®¬ ®¯¨à ¨¨ ¥¥ â®à殢 ¤«ï ¯¥à¢®£® ¨§ 㪠§ ëå á«ãç ¥¢¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. �®¯®áâ ¢«¥¨¥ «¨â¨ç¥áª¨å ¨ ª®¥ç®-í«¥¬¥âëå à¥è¥¨© ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ®¢ë᮪®© â®ç®á⨠¨ íä䥪⨢®áâ¨ à §à ¡®â ®£® ç¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ . �«ï ¢â®à®£® ¨§ 㪠§ ëåá«ãç ¥¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â ç áâ®â®© § ¢¨á¨¬®á⨠¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨©, ⥬¯¥à âãàë, ª®íää¨æ¨-¥â®¢ § âãå ¨ï ¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯¥à¢®£® १® á . �ᥠ㪠§ ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨¯®ª §ë¢ îâ ⨯¨ç®¥ ¤«ï ¥«¨¥©ëå á¨á⥬ ¯®¢¥¤¥¨¥.�®§£«ïãâ § ¤ ç ¯à® ¢¨¬ãè¥÷ ª®«¨¢ ï ÷ ¢÷¡à®à®§÷£à÷¢ âà¨è ஢¨å ¯'õ§®¥«¥ªâà¨ç¨å ®¡®«®®ª®¡¥àâ ï, ᪫ -¤¥¨å ÷§ á¥à¥¤ì®£® ¯ ᨢ®£® â ¤¢®å ¯'õ§® ªâ¨¨¢¨å §®¢÷è÷å è à÷¢. �¨á¨¯ ⨢÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¬ â¥à÷ «÷¢ ¢à -客ãîâìáï ®á®¢÷ ª®æ¥¯æ÷ù ª®¯«¥ªá¨å å à ªâ¥à¨á⨪. � ¢¨¯ ¤ªã ¥§ «¥¦¨å ¢÷¤ ⥬¯¥à âãਠ¢« á⨢®á⥩¬ â¥à÷ «÷¢ § ¤ ç §¢¥¤¥ ¤® ¯®á«÷¤®¢®£® ஧¢'ï§ã¢ ï § ¤ ç÷ ¥«¥ªâ஬¥å ÷ª¨, ஧à åãªã ¤¨á¨¯ ⨢®ù äãªæ÷ùâ ஧¢'ï§ã¢ ï à÷¢ïï ⥯«®¯à®¢÷¤®áâ÷ § ¢÷¤®¬¨¬ ¤¦¥à¥«®¬ ⥯« . �«ï § «¥¦¨å ¢÷¤ ⥬¯¥à âãਠ¢« á⨢®-á⥩ ¬ â¥à÷ «÷¢ § ¤ ç áâ õ áãââõ¢® ¥«÷÷©®î ÷ ¤«ï ùù ஧¢'ï§ã¢ ï § ¯à®®¢ ÷ ÷â¥à æ÷©÷ ¬¥â®¤¨ ¢ ¯®õ¤ ÷§ ¬¥â®¤®¬ áª÷ç¥¨å ¥«¥¬¥â÷¢. �¥â «ì® ஧£«ïãâ § ¤ ç ¯à® ª®«¨¢ ï ÷ ¤¨á¨¯ ⨢¨© ஧÷£à÷¢ âà¨è à®-¢®ù 樫÷¤à¨ç®ù ¯'õ§®¯ ¥«÷. �ਠè à÷஬㠧 ªà÷¯«¥÷ ùù â®àæ÷¢ ¤«ï ¯¥à讣® ÷§ ¢ª § ¨å ¢¨¯ ¤ª÷¢ ®¤¥à¦ ® «÷â¨ç÷ ஧¢'離¨. �¯÷¢áâ ¢«¥ï «÷â¨ç¨å ÷ áª÷祮-¥«¥¬¥â¨å ஧¢'離÷¢ á¢÷¤ç¨âì ¯à® ¢¨á®ªã â®ç÷áâì⠥䥪⨢÷áâì ஧஡«¥®£® ç¨á¥«ì®- «÷â¨ç®£® ¬¥â®¤ã. �«ï ¤à㣮£® ÷§ ¢ª § ¨å ¢¨¯ ¤ª÷¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥÷ à¥-§ã«ìâ ⨠஧à åãª÷¢ ç áâ®â®ù § «¥¦®áâ÷ ¬¯«÷â㤨 ª®«¨¢ ì, ⥬¯¥à âãà¨, ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢ § âãå ï â ¥«¥ªâà®-¬¥å ÷箣® §¢'離㠢 ®ª®«÷ ¯¥à讣® १® áã. �á÷ æ÷ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®ª §ãîâì ⨯®¢ã ¤«ï ¥«÷÷©¨å á¨á⥬¯®¢¥¤÷ªã.The problem of vibration and vibro-heating of three-layer piezoelectric shells of revolution composed of passive inner andtwo outer piezoactive layers is considered. Conception of complex characteristics is used for inclusion of dissipative materialproperties. When the material characteristics are not dependent on temperature the problem is reduced to the solution ofelectromechanical problem, calculation of dissipative function and solution of problem of heat-conduction. The problemis nonlinear when the characteristics are dependent on temperature. It is solved by applying the iterative methods andthe �nite element method. The problem of vibration and vibro-heating of the three-layer cylindrical piezoelectric shells isconsidered in detail. For the �rst case the analytical solution of problem is found. The comparison of analytical and �niteelement solutions shows high precision and e�ciency of the �nite element solution. For the second case the results ofcalculations of frequency dependence of amplitude, temperature, coe�cients of attenuation and electromechanical couplingare presented. The characteristics show typical behavior for the nonlinear systems.���������à¥åá«®©ë¥ ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ ®¡®«®çª¨ ¢à -饨ï, á®áâ®ï騥 ¨§ ¯ áᨢ®£® (¡¥§ ¯ì¥§®íä䥪-â ) á।¥£® á«®ï ¨ ¤¢ãå ªâ¨¢ëå (á ¯ì¥§®íä䥪-⮬) ¢¥è¨å á«®¥¢ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ᮢà¥-¬¥®© â¥å¨ª¥, ¢ ç áâ®á⨠¤«ï ª®âà®«ï ª®«¥-¡ ¨© ®¡®«®ç¥ª ¢à é¥¨ï ¨§ ¬¥â ««®¢, ¯®«¨¬¥à®¢¨ ª®¬¯®§¨â®¢ ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ¨å ¬¥å ¨ç¥áª¨å¨ ⥯«®¢ëå £à㧮ª [1 { 3]. �ªâ¨¢ë¥ á«®¨ ¨§£®-⮢«ïîâáï ¨§ ¯ì¥§®ª¥à ¬¨ª¨ ¨«¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë寮«¨¬¥àëå ¬ â¥à¨ «®¢ [1 {3]. �¤¨¬ ¨§ ¨¡®-«¥¥ à á¯à®áâà ¥ëå ०¨¬®¢ à ¡®âë â ª¨å í«¥-
¬¥â®¢ ï¥âáï £ ମ¨ç¥áª¨©, ¢ ç áâ®á⨠à¥-§® áë©. �ਠí⮬ ¨§-§ à áá¥ï¨ï ¬¥å ¨ç¥-᪮© (¢ ¯ áᨢ®¬ á«®¥) ¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© (¢¯ì¥§® ªâ¨¢®¬ á«®¥) í¥à£¨© ¢ ⥯«®¢ãî ¢ ®¡®«®ç-ª¥ ¬®¦¥â ¡«î¤ âìáï áãé¥á⢥®¥ ¯®¢ë襨¥â¥¬¯¥à âãàë { ¢¨¡à®à §®£à¥¢. �⮠¥¨¥ ®âà¨-æ â¥«ì® áª §ë¢ ¥âáï íä䥪⨢®áâ¨ à ¡®âë⮪®áâ¥ëå í«¥¬¥â®¢ ¯® ¥áª®«ìª¨¬ ¯à¨ç¨ ¬.�®-¯¥à¢ëå, ¢á«¥¤á⢨¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨ í«¥ªâ஬¥å -¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ â¥à¨ «®¢ ®â ⥬¯¥à -âãàë ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨ ᤢ¨£ १® áëå ç -áâ®â, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¯ ¤ ¥â ¨â¥á¨¢®áâì ¨§-«ãç¥¨ï ªãáâ¨ç¥áª®© í¥à£¨¨, ¥á«¨ ¯ì¥§®í«¥¬¥âc
�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ, 2001 39
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52à ááç¨â à ¡®âã ¢ १® ᮬ ०¨¬¥. �®-¢â®àëå, ¯à¨ ¤®á⨦¥¨¨ ⥬¯¥à âãன ¢¨¡à®à -§®£à¥¢ â®çª¨ �îਠ¯ì¥§®¬ â¥à¨ « â¥àï¥â ᢮¨ ªâ¨¢ë¥ ᢮©á⢠. �-âà¥âì¨å, ¯à¨ àã襨¨¡ « á ¬¥¦¤ã ¯®áâ㯫¥¨¥¬ ⥯« ¢ १ã«ìâ ⥢¨¡à®à §®£à¥¢ ¨ ¥£® ¯®â¥àﬨ ⥯«®®¡¬¥ ᢥ襩 á।®© ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨ â ª §ë¢ ¥¬ë©â¥¯«®¢®© ¢§àë¢ (⥯«®¢®© ¯à®¡®©). �ਠí⮬ -¡«î¤ ¥âáï « ¢¨®®¡à §®¥ à áâ ¨¥ ⥬¯¥à âã-àë ¢¨¡à®à §®£à¥¢ ¢® ¢à¥¬¥¨, áâ 樮 ஥ á®-áâ®ï¨¥ ¢®®¡é¥ ®âáãâáâ¢ã¥â [4, 5]. �-ç¥â¢¥àâëå,¨§-§ ¥®¤®à®¤®á⨠⥬¯¥à âãàë ¢¨¡à®à §®£à¥-¢ ¨ áâàãªâãன ¥®¤®à®¤®á⨠¢ ¯ì¥§®í«¥¬¥â¥¬®£ãâ ¢®§¨ªãâì § ç¨â¥«ìë¥ â¥¬¯¥à âãàë¥ ¯à殮¨ï, ¯à¨¢®¤ï騥 ª ¬¥å ¨ç¥áª®¬ã à §àã-襨î.� áâ âì¥ [6] à áᬮâॠã¯à®é¥ ï ¯®áâ -®¢ª § ¤ ç¨ ® ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ ¡¨-¬®à䮩 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨, ª®£¤ ᢮©-á⢠¬ â¥à¨ « áç¨â îâáï ¥§ ¢¨áï騬¨ ®â ⥬-¯¥à âãàë. �ਠí⮬ ¤«ï è à¨à®£® § ªà¥¯«¥-¨ï â®à殢 ®¡®«®çª¨ ¯®«ã祮 â®ç®¥ «¨â¨ç¥-᪮¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ ¨ ⥯«®¯à®-¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« , ®¯à¥-¤¥«ï¥¬ë¬ ¤¨áᨯ ⨢®© äãªæ¨¥©. �஬¥ â®-£®, ¯à®¢¥¤¥ à áç¥â ®á®¢¥ ¬¥â®¤ ª®¥çëåí«¥¬¥â®¢ (���). �à ¢¥¨¥ «¨â¨ç¥áª®£® ¨ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® à¥è¥¨© ¯®¤â¢¥à¤¨«® ¢ëá®-ªãî íä䥪⨢®áâì ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® ¯®¤å®¤ ¤«ï ¤ ®£® ª« áá § ¤ ç.� ¤ ®© áâ âì¥ à áᬮâॠ§ ¤ ç ® ¢ëã-¦¤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ âà¥åá«®©-ëå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï, á®-áâ ¢«¥ëå ¨§ á।¥£® ¯ áᨢ®£® ¨ ¤¢ãå ¯à¨á®-¥¤¨¥ëå ª ¥¬ã ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå á«®¥¢. �«ï ãç¥-â ¤¨áᨯ 樨 í¥à£¨¨ ¢ ¬ â¥à¨ «¥ ¨á¯®«ì§ã¥âá类楯æ¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ¬®¤ã«¥©. � ª ª ã¯à®-é¥ ï ¯®áâ ®¢ª § ¤ ç¨, ª®£¤ ᢮©á⢠¬ â¥-ਠ«®¢ á«®¥¢ ¥ § ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë, â ª ¨ áãç¥â®¬ ⥬¯¥à âãன § ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¬ -â¥à¨ «®¢.� ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¤®áâ â®ç® ©â¨ à¥è¥¨¥ § -¤ ç¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨, ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¥¬ã ¤¨áá¨-¯ ⨢ãî äãªæ¨î, § ⥬ à¥è¨âì § ¤ çã â¥-¯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« ,®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¤¨áᨯ ⨢®© äãªæ¨¥©.�® ¢â®à®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¤¥©á⢨⥫ì ï ¨ ¬¨-¬ ï á®áâ ¢«ïî騥 ª®¬¯«¥ªáëå å à ªâ¥à¨á⨪§ ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë, § ¤ ç áâ ®¢¨âáï áã-é¥á⢥® ¥«¨¥©®©. �«ï ¥¥ à¥è¥¨ï ¡ë«¨ ¨á-¯®«ì§®¢ ë ¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ¥«¨¥©®© ¬¥-å ¨ª¨ { è £®¢ë© ¢® ¢à¥¬¥¨ ¬¥â®¤, ¬¥â®¤ ¯¥à¥-¬¥ëå ¯ à ¬¥â஢ ¨ ¥£® ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï { ¬¥â®¤�â¥ä¥á® {�©âª¥ . �â® ¯®§¢®«¨«® ᢥá⨠¨á-
室ãî ¥«¨¥©ãî ªà ¥¢ãî § ¤ çã ª ¯®á«¥¤®¢ -⥫ì®á⨠«¨¥©ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç í«¥ªâ஬¥å -¨ª¨ á ¥®¤®à®¤ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ ªà ¥-¢ëå § ¤ ç ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç-¨ª®¬ ⥯« . �®á«¥¤¨¥ ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë ᯮ¬®éìî ��� [5, 7]. �®¤à®¡® à áᬮâॠ§ -¤ ç ® ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ âà¥åá«®©®©æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨. �«ï á«ãç ï ¥§ -¢¨áïé¨å ®â ⥬¯¥à âãàë ᢮©á⢠¬ â¥à¨ « ¯à¨è à¨à®¬ ®¯¨à ¨¨ ¥¥ â®à殢 ¯®«ã祮 «¨-â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ ¨ ⥯«®-¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« . �à¨ãç¥â¥ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¬ â¥à¨ « ®â ⥬¯¥-à âãàë ¨á¯®«ì§®¢ ë ¬¥â®¤ë ¥«¨¥©®© ¬¥å ¨-ª¨, 㪠§ ë¥ ¢ëè¥, ¨ ¬¥â®¤ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢¤«ï à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç ª ¦¤®©¨â¥à 樨. � ® ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ «¨â¨ç¥áª¨å ¨ª®¥ç®-í«¥¬¥âëå à¥è¥¨©, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî饥® ¢ë᮪®© â®ç®á⨠¯®á«¥¤¨å. � ¨å ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ¨§ã祮 ¢«¨ï¨¥ ¤¨áᨯ ⨢®£® ¢¨¡à®à §®-£à¥¢ ¨ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¬ â¥à¨ «®¢ ®â ⥬-¯¥à âãàë í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®¥ ¨ ⥯«®¢®¥ á®-áâ®ï¨¥ ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï, ¨¬¥®, ç áâ®âãî § ¢¨á¨¬®áâì ¬¯«¨âã¤ë ª®-«¥¡ ¨©, ⥬¯¥à âãàë ¢¨¡à®à §®£à¥¢ , ª®íää¨æ¨-¥â®¢ § âãå ¨ï ¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨ ¢®ªà¥áâ®á⨠१® áëå ç áâ®â.1. ���������� ������� áᬮâਬ âà¥åá«®©ãî ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áªã®«®çªã ⮫é¨ë h, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ á।¥£®¯ áᨢ®£® á«®ï ⮫騮© h0 ¨ ¤¢ãå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨-ç¥áª¨å á«®¥¢ á â®«é¨ ¬¨ h1 ¨ h2 ᮮ⢥âá⢥-®. � áá¨¢ë© á«®© ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ áç¨â ¥âáï ®à-â®âயë¬, â ª çâ® ®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¬®¦¥â¨¬¥âì á«®¨áâãî áâàãªâãàã. �«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨© ®¡®«®çª¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¬¥-å ¨ç¥áª¨¥ £¨¯®â¥§ë �¨à壮ää {�ï¢ [8,9] ¨ ¤®-¯®«¨â¥«ìë¥ £¨¯®â¥§ë ®â®á¨â¥«ì® í«¥ªâà¨ç¥-áª¨å ¯®«¥¢ëå ¢¥«¨ç¨ [10] ® ¬ «®á⨠⠣¥æ¨ «ì-ëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¯à殮®áâ¨ í«¥ª-âà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¨ ¨¤ãªæ¨¨ ¯® áà ¢¥¨î á ¨å®à¬ «ì묨 á®áâ ¢«ïî騬¨ ¨ ¯®áâ®ïá⢥ ®à-¬ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ¢¥ªâ®à ¨¤ãªæ¨¨ ¯® ⮫-騥 ¯ì¥§®í«¥¬¥â .�®à¬ «ì® í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª ï ç áâì ¯®áâ -®¢ª¨ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ «®£¨ç ¯®-áâ ®¢ª¥, à áᬮâ८© ¢ áâ âì¥ [11]. �¤ ª®¤«ï ¯®«®âë ¨§«®¦¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï 㬥áâ묯ਢ¥á⨠¥¥ §¤¥áì ¯®«®áâìî. �«¥¤ã¥â ®á®¡® ®â¬¥-â¨âì, çâ®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â [11], ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨¢¥-¤¥ëå ¨¦¥ ãà ¢¥¨© ïîâáï ª®¬¯«¥ªá묨 ¨§ ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë.40 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52�¢¥¤¥¬ á¢ï§ ãî á ®¡®«®çª®© ª®®à¤¨ âãîá¨á⥬ã (�; �;
), £¤¥ � ¨ � ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª®®à¤¨- âë¬ «¨¨ï¬, ¨¤ã騬 ¢ ¯à ¢«¥¨ïå £« ¢ëåªà¨¢¨§,
{ ¢ ⮫騮¬ ¯à ¢«¥¨¨. �®£¤ ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¨ ¯ áᨢëåá«®¥¢ ¨¬¥îâ ¢¨¤k�� = kB11(
)("1 +
�1)++ kB12(
)("2 +
�2) � k
31(
) kE
;k�� = kB12(
)("1 +
�1)++ kB22(
)("2 +
�2) � k
31(
) kE
;k��� = kB66(
)("12 +
�12);kD
= k
33(
) kE
+ k
31(
)���("1 + "2) +
(�1 + �2)�;k = 0; 1; 2: (1)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï âà ¤¨æ¨®ë¥ ®¡®-§ 票ï 䨧¨ç¥áª¨å ¯®«¥© ¨ ¬ â¥à¨ «ìëå ª®-áâ â [8, 10]. �«ï ¯ áᨢ®£® á«®ï ¯®« £ ¥âáï0
31=0, ¥á«¨ ® ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨©, ¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®0
33!1, ¥á«¨ ® ¬¥â ««¨ç¥áª¨©. �ਠí⮬ ¢¥«¨-ç¨ë 0Bij ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ¨§¢¥áâë¬ ä®à¬ã« ¬â¥®à¨¨ ¨§®âயëå ®¡®«®ç¥ª [8, 9]. �«ï ®¯¨-á ¨ï ¤¨áᨯ ⨢ëå ᢮©á⢠¬ â¥à¨ «®¢ ¯à¨ï-â ª®æ¥¯æ¨ï ª®¬¯«¥ªáëå å à ªâ¥à¨á⨪, â ª ç⮢ (1) ¨ ¨¦¥ ¢á¥ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨-á⨪¨ { ª®¬¯«¥ªáë¥. �஬¥ ⮣®, ®¨ ¬®£ãâ § -¢¨á¥âì ®â ⥬¯¥à âãàë ¢¨¡à®à §®£à¥¢ .�®£« á® [10], ¤«ï ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå ¯®«ïਧ®¢ -ëå ¯® ⮫騥 á«®¥¢ ¨¬¥¥¬kB11(
) = kB22(
) = 1= kS11(
)�1� k�2(
)�;kB12(
) = k�(
) kB11(
);kB66(
) = �1� k�(
)� kB11(
);k
33 = k"T33�1� kk2p(
)�;k
31 = kd31(
)= kSE11(
)�1� k�2(
)�;kk2p = 2kd231(
)=k"T33(
) kSE11�1� k�(
)�: (2)� áᬮâਬ ¯¥à¢ë© á«ãç ©: ¬¥¦¤ã ¯ áᨢ묨 ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ ¥á¥ë ¡¥áª®¥ç®
⮪¨¥ í«¥ªâதë. � ª¨¥ ¦¥ í«¥ªâà®¤ë ¨¬¥îâáï¨ ¢¥è¨å ¯®¢¥àå®áâïå ®¡®«®çª¨. � ª ¦¤®-¬ã ¨§ á«®¥¢ ¯à¨«®¦¥ ¨§¬¥ïîé ïáï ¯® £ ମ-¨ç¥áª®¬ã § ª®ã à §®áâì ¯®â¥æ¨ «®¢ 0V k cos!t(k=0; 1; 2). �¤ãªæ¨î kD
áç¨â ¥¬ ¯®áâ®ï®© ¯®â®«é¨¥ ¯ì¥§®á«®¥¢ [10], â ª çâ®kD
= kC(�; �): (3)�ਠí⮬kE
= 1k
33(
)� kC� k
31(
)[("1+"2)+
(�1+�2)] : (4)�⥣à¨àãï á®®â®è¥¨¥ (4) ¯® ⮫騥 ¯ì¥§®-á«®¥¢, ¨¬¥¥¬kC = 1kv0 �� 0V k + kv1("1 + "2) + kv2(�1 + �2)�;k = 0; 1; 2: (5)�®¤áâ ¢«ïï íâ®â १ã«ìâ â ¢ ä®à¬ã«ã (4), ¯®«ã-祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï kE
{ ¢ ãà ¢¥¨ï (1), å®-¤¨¬ k�� = kB11(
)("1 +
�1)++ kB12(
)("2 +
�2) + k�0;k�� = kB12(
)("1 +
�1)++ kB22(
)("2 +
�2) + k�0;k��� = kB66(
)("12 +
�12); (6)£¤¥ k�0 = k
31k
33(
)�� k
31(
) � kv1kv0 �("1 + "2)++� k
31(
) � kv2kv0 �(�1 + �2) + kV 0kv0 �:�⥣à¨àãï á®®â®è¥¨ï (6) ¯® ⮫騥 ®¡®-«®çª¨, ãç¨âë¢ ï à ᯮ«®¦¥¨¥ í«¥ªâத®¢ ¨ áç¨-â ï 0V 0=0, ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 41
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52âà¥åá«®©®© ¯ì¥§®®¡®«®çª¨:N1 = C11"1 + C12"2++K11�1 +K12�2 + 0N;N2 = C12"1 + C22"2++K12�1 +K22�2 + 0N;M1 = K11"1 +K12"2++D11�1 +D12�2 + 0M;M2 = K12"1 +K22"2++D12�1 +D22�2 + 0M;S = C66"12 +K66�12;H = K66"12 +D66�12: (7)
�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï0N = 1v11v0 1V 0 + 2v12v0 2V 0 ; 0M = 1v21v0 1V 0 + 2v22v0 2V 0 ;(C66;K66; D66) = Z(h) B66(
) � (1;
;
2)d
;Cij = Z(h) Bij(
)d
+ 1v3 + 2v3 � 1v211v0 � 2v212v0 ;Kij = Z(h) Bij(
)
d
+ 1v4 + 2v4 � 1v1 1v21v0 � 2v1 2v22v0 ;Dij = Z(h) Bij(
)
2d
+ 1v5 + 2v5 � 1v221v0 � 2v222v0 ;i; j = 1; 2: (8)£¤¥ kv0 = Z(hk) 1k
33d
;kv(1;2) = Z(hk) k
31 � (1;
)k
33 d
;kv(3;4;5) = Z(hk) k
231 � (1;
;
2)k
33 d
: (9)� áᬮâਬ ¢â®à®© á«ãç ©: í«¥ªâà®¤ë ¬¥¦-¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë-¬¨ ᫮ﬨ ®âáãâáâ¢ãîâ. � ¢¥è¨¬ í«¥ªâத ¬
¯®¤¢¥¤¥ à §®áâì ¯®â¥æ¨ «®¢ 0V cos !t. �®£¤ ®à¬ «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï ¨¤ãªæ¨¨ ¯®áâ®ï ¯®¢á¥© ⮫騥 ®¡®«®çª¨:kD
= C(�; �): (10)�ਠí⮬kE
= 1k
33(
) �C� k
31(
)��("1+"2)+
(�1+�2)�: (11)�⥣à¨àãï ãà ¢¥¨¥ (11) ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨h, 室¨¬C = 1v0 �� 0V + v1("1 + "2) + v2(�1 + �2)�: (12)�®¤áâ ¢¨¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (12) ¢ ä®à¬ã«ã (11), à¥-§ã«ìâ â ¤«ï kE
{ ¢ ãà ¢¥¨ï (1), ¯à¨¤¥¬ ª á®®â-®è¥¨ï¬ ⨯ (6), ¢ ª®â®àëåk�0 = k
31k
33(
)�� k
31(
) � v1v0�("1 + "2)++ � k
31(
) � v2v0 �(�1 + �2) + 0Vv0�: (13)�ç¨âë¢ ï à ¢¥á⢮ (13), ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ïá®®â®è¥¨© (6) ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨ ¯®«ãç ¥¬®¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï âà¥åá«®©®© ¯ì¥§®-®¡®«®çª¨ ¢¨¤ (7), £¤¥0N = v1v0 0V ; 0M = v2v0 0V ;(C66;K66; D66) = Z(h) B66 � (1;
;
2)d
;Cij = Z(h) Bij(
)d
+ v3 � v21v0 ;Kij = Z(h) Bij(
)
d
+ v4 � v1v2v0 ;Dij = Z(h) Bij(
)
2d
+ v5 � v22v0 ;i; j = 1; 2: (14)42 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52� ä®à¬ã« å (13) ¨ (14)v0 = Z(h) 1k
33 d
;v(1;2) = Z(h) k
31 � (1;
)k
33 d
;v(3;4;5) = Z(h) k
231 � (1;
;
2)k
33 d
: (15)� á«ãç ¥ ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå á«®¥¢, ¨¬¥îé¨å ®¤¨ -ª®¢ãî ⮫é¨ã, ®¤¨ ª®¢ë¥ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨¥á¢®©á⢠¨ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ¯®«ï-ਧ 樨 2
31=� 1
31 ( 1
31�0), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨-á⨪ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï:1) ¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ, ª ª®â®àë¬ ¯®¤¢¥¤¥-ë à §®á⨠¯®â¥æ¨ «®¢ 0V 1= 0V 2= 0V , 0V 0=0,Cij = h0 0Bij + 2h1 1Bij;Dij = eDij � 12 1
2311
33h1(h1 + h0)2;0M = 1
31(h1 + h0) 0V ;Kij = 0; 0N = 0; (16)2) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ í«¥ªâத®¢Cij = h0 0Bij + 2h1� 1Bij + 1
2311
33�;Dij = eDij � 12 1
2310
33 h21(h0 + h1)2 0
33h0 1
33 + 2h1 0
33 ;0M = 1
31h1(h0 + h1) 0
33h0 1
33 + 2h1 0
33 V0;Kij = 0; 0N = 0: (17)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥eDij = h3012 0Bij +�23 1Bij + 1
2311
33�����h02 + h1�3 ��h02 �3�:
�᫨ ¦¥ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¥ á«®¨ ¨¬¥îâ à ¢ë¥â®«é¨ë, ®¤¨ ª®¢ë¥ ᢮©á⢠¨ ¯®«ïਧ æ¨î( 1
31= 2
31), â® å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯ì¥§®®¡®«®çª¨®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® á«¥¤ãî騬 ä®à¬ã« ¬:1) ¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ0N = 2
131 0V 1; 0M = 0; (18) Cij;Kij; Dij ¨¬¥îâ ¢¨¤ (16);2) ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ í«¥ªâத®¢Cij = h0 0Bij + 2h1� 1Bij + 1
2311
33���4 1
2311
33 h21 0
33 1
33h0 1
33 + 2h1 0
33 ;0N = 2 1
311
33 h21 0
33 1
33h0 1
33 + 2h1 0
33 0V ;Dij = eDij; Kij = 0; 0M = 0: (19)�§ ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ä®à¬ã« ¢¨¤®, çâ® «¨-稥 ¨«¨ ®âáãâá⢨¥ í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áᨢ묨 ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ ¢«¨ï¥â ¦¥á⪮áâ-ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®¡®«®çª¨ ¨ í«¥ªâà¨ç¥áªãî -£à㧪ã.�¯à¥¤¥«ïî騥 ãà ¢¥¨ï (7) ¯® ä®à¬¥ ᮢ¯ ¤ -îâ á ®¯à¥¤¥«ïî騬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ â¥à¬®ã¯à㣮-á⨠®¡®«®ç¥ª [9, 12, 13], å®âï ¨ ®¯¨áë¢ îâ ᮢ¥à-襮 ¤à㣮© 䨧¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá. �â ä®à¬ «ì- ï «®£¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¯¥à¥¥á⨠¬®£¨¥ १ã«ì-â âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ â¥à¬®ã¯à㣮á⨠®¡®«®ç¥ª ¡¥§¯ì¥§®íä䥪â , § ¤ ç¨ ® ª®«¥¡ ¨ïå ¯ì¥§®®¡®«®-祪. �áâ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï { ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ á®-®â®è¥¨ï ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï («¨¥©ë¥ ¨«¨¥«¨¥©ë¥), â ª¦¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï { ®áïâ㨢¥àá «ìë© å à ªâ¥à, ¥ § ¢¨áï騩 ®â ®¯à¥¤¥-«ïîé¨å ãà ¢¥¨©, ¨ ¨¬¥îâ ¨§¢¥áâë© ¨§ ⥮ਨ®¡®«®ç¥ª ¢¨¤ [8,9].�ਠ®æ¥ª¥ ¢«¨ï¨ï ⨯ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© ¢ë㦤¥ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¨ ¢¨¡à®-à §®£à¥¢ ¯à¨ ¬¥å ¨ç¥áª®¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¬ £àã-¦¥¨¨ ®¡®«®çª¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì ®¯à¥¤¥«ïî-騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¤¢ãå ªà ©¨å á«ãç ¥¢: ª®£¤ í«¥ªâà®¤ë § ª®à®ç¥ë ¨ ª®£¤ ®¨ à §®¬ªãâë.1. � á«ãç ¥ § ª®à®ç¥ëå í«¥ªâத®¢ ¢® ¢á¥å¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ëè¥ á®®â®è¥¨ïå ¥®¡å®-¤¨¬® ¯®«®¦¨âì 0V k=0 (k=0; 1; 2) ¯à¨ «¨ç¨¨�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 43
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢-묨 ᫮ﬨ ¨ 0V =0 ¯à¨ ¨å ®âáãâá⢨¨.2. �«ï à §®¬ªãâëå í«¥ªâத®¢ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥®¯à¥¤¥«ïîé¨å á®®â®è¥¨© ¤«ï âà¥åá«®©®©¯ì¥§®®¡®«®çª¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«®¦¨âì kD
=0¯à¨ «¨ç¨¨ í«¥ªâத®¢ ¨ C(�; �)=0 ¯à¨ ¨å®âáãâá⢨¨. � ®¡®¨å á«ãç ïå íâ® ¯à¨¢®¤¨â ªá®®â®è¥¨îkE
= � k
31k
33 �("1 + "2) +
(�1 + �2)�: (20)�ਠí⮬ ¢ ¦¥á⪮áâëå å à ªâ¥à¨á⨪ å ¥-®¡å®¤¨¬® ¯®«®¦¨âì kv1= kv2=0 «¨¡® v1=v2=0¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â «¨ç¨ï ¨«¨ ®âáãâá⢨᪮¥ç® ⮪¨å í«¥ªâத®¢ ¬¥¦¤ã ¯ áᨢ-ë¬ ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢ë¬¨ ᫮ﬨ. �¥ã«¥¢ë¥ ¢¥-«¨ç¨ë kv3;4;5 ¨«¨ v3;4;5 ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à-¬ã« ¬ (9) ¨ (15).� ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¬ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï¬ ¥®¡å®¤¨-¬® ¤®¡ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨, ª®â®à®¥ ¤«ï ¯¥-ਮ¤¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ®¡ë箣® ãà ¢-¥¨ï í¥à£¨¨ á ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬¤¨áᨯ 樥© [5]. �¨áᨯ â¨¢ë¥ äãªæ¨¨ ¤«ï ¯ á-ᨢ®£® ¨ ¯ì¥§® ªâ¨¢®£® á«®¥¢ ®¯à¥¤¥«ïîâáï á®-®â®è¥¨ï¬0̈W = !2 ( 0�00mn"0mn � 0�0mn"00mn);kW = !2 ( k�00mn"0mn � k�0mn"00mn�� kD00m kE0m + kD0m kE00m);k = 1; 2: (21)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ (�)0 ¨ (�)00 ®§ ç îâ ¤¥©á⢨⥫ìãî¨ ¬¨¬ãî ç á⨠ª®¬¯«¥ªá®© ¢¥«¨ç¨ë (�) á®®â-¢¥âá⢥®.�«ï ¯®«ãç¥¨ï ¤¢ã¬¥àëå ãà ¢¥¨© í¥à£¨¨¤«ï ®¡®«®çª¨ ¢à 饨ï, ¯® «®£¨¨ á [14, 15],¯à¨¬¥¬ £¨¯®â¥§ã ® á⥯¥®¬ § ª®¥ ¨§¬¥¥¨ï®à¬ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ⥯«®¢®£® ¯®â®ª q3 ¯®â®«é¨¥: q3 = NX�=1 a�(�; �; t)
��1: (22)�ਠ⠪®¬ ¢ë¡®à¥ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ-áï ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠⥯«®¢®£® ¯®â®ª ¬¥¦-¤ã ᫮ﬨ ®¡®«®çª¨. �à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ⥬-
¯¥à âãàë � ¨¬¥îâ ¢¨¤��33 @�@
+ �3(� � ��) = 0¯à¨
= �h02 � h2;�33 @�@
+ �4(� � �+) = 0¯à¨
= h02 + h1;�n @�@n + �L(� � �L) = 0 L: (23)�¤¥áì ��, �+ ¨ �L { § 票ï ⥬¯¥à âãàë 㪠-§ ëå ¯®¢¥àå®áâïå ᮮ⢥âá⢥®; L { ¢¥è-¨© ª®âãà ¯« á⨪¨.�⥣à¨àãï ¯®
¢ëà ¦¥¨¥q3 = ��33(
) @�@
; (24)¯®«ãç ¥¬ � = NX�=0P�(
)�� (�; �; t); (25)£¤¥ �� { ¥¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨; P� { äãªæ¨¨ à á-¯à¥¤¥«¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨:P0(
) = 1;P�(
) = �33=h�+1
Z�h0=2�h2 ��133 (
)
��1d
;�0 = �0(�; �; t);�� (�; �; t) = �a�h�+1=��33: (26)�¤¥áì �(�) ®¡®§ ç ¥â ¨â¥£à «ìãî å à ªâ¥à¨áâ¨-ªã ¢¨¤ �(�) = Z(h) (�)d
:�¢ã¬¥àë¥ ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨ ¯®«ãç ¥¬, 㬮-¦ ï ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨(�mn�;m);n +W = c _�;W = 0W + 1W + 2W P�(
)d
(�=0; 1; : : :; N ) ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨. � ãà ¢-¥¨¨ í¥à£¨¨ § ¯ïâ ï ¯¥à¥¤ ¨¤¥ªá®¬ ®§ ç -¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯à®-áâà á⢥®© ª®®à¤¨ â¥, ¯®¢â®àïî騥áï ¨-¤¥ªáë { á㬬¨à®¢ ¨¥ ®â 1 ¤® 3. � १ã«ìâ â¥44 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52¨¬¥¥¬ á¨á⥬㠤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¯®-à浪 N+1 ®â®á¨â¥«ì® �=(�0; �1; : : : ; �N )T :K� = R�� �W �:�¤¥áì �� = (��; �+);W � = (W0;W1; : : : ;WN )T ;Wm = Z(h) WPm(
)d
;®¯¥à â®àë K, R ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ à ¡®â å [14, 15].� «®£¨ç® ¯®«ãç ¥¬ ¨ ¤¢ã¬¥àë¥ £à ¨çë¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï [14,15].� ¤ «ì¥©è¥¬ ®£à ¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ ¯®áâ®ï-á⢠⥬¯¥à âãàë �0 ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨, ª®£¤ q3�0. �ਠí⮬ ¤¨áᨯ ⨢ ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â¢¨¤W = !2 �N 001 "01 �N 01"001 + N 002 "02 � N 02"002 + S00"012��S0"0012 +M 001 �01 �M 01�001 +M 002 �02 �M 02�002++H00�012 �H 0�0012 +Pk kC kV 0�; ®á।¥®¥ ¯® ⮫騥 ®¡®«®çª¨ ãà ¢¥¨¥í¥à£¨¨ [12] {��0 � 2
0h2 (�0 � 0�) + Wh� = �ch� _�0: (27)� í⮬ ãà ¢¥¨¨ ¯®¤ ®¯¥à â®à®¬ � ¯« á ¯®¨-¬ ¥¬ � = @2@x2 + @2@y2 :�à ¨çë¥ ¨ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï �0 ¯à¥¤áâ ¢«¥-ë ¢ [12]. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® â -£¥áë 㣫 ¯®â¥àì ¢ ¯ áᨢëå ¨ ªâ¨¢ëå á«®ï室¨ ª®¢ë.�ᯮ«ì§ãï ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨ï á®-áâ®ï¨ï, ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï, ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ á®-®â®è¥¨ï ¨ ãà ¢¥¨ï í¥à£¨¨, ¯®«ãç ¥¬ § ¬-ªãâãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥-¬¥é¥¨© u, v, w ¨ ⥬¯¥à âãàë �0 á® áâ -¤ àâ묨 £à ¨ç묨 ¨ ç «ì묨 ¤«ï ⥬-¯¥à âãàë ãá«®¢¨ï¬¨. � ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¯®ª -¦¥¬, ª ª ¢ë£«ï¤¨â íâ § ¬ªãâ ï á¨á⥬ ãà ¢-¥¨© ¤«ï âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥-«¨ 0�x�a, 0�y�b, ᨬ¬¥âà¨ç®© ®â®á¨â¥«ì®á।¨®© ¯®¢¥àå®á⨠áâàãªâãàë á ¨§®âய묯 áá¨¢ë¬ á«®¥¬. �®£« á® â¥å¨ç¥áª®© ⥮ਨ,
ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¨ ¥à §à뢮á⨠¤¥ä®à¬ -権 ¨¬¥îâ ¢¨¤ [8]@N1@x + @S@y = 0;@N2@y + @S@x = 0;N2R + @2M1@x2 + 2@2H1@x@y++@2M2@y2 + eN � e�@2w@t2 = 0;@2"1@y2 + @2"2@x2 � 2@2"12@x@y = � 1R @2w@x2 ;� = �0h0 + 2�1h1: (28)�¢¥¤¥¨¥¬ äãªæ¨¨ ãᨫ¨©N1 = h@2�@y2 ; N2 = h@2�@x2 ;S = �h @2�@x@y (29)⮦¤¥á⢥® 㤮¢«¥â¢®à¨¬ ¯¥à¢ë¬ ¤¢ã¬ ãà ¢¥-¨ï¬ á¨á⥬ë (28). � §à¥è¨¢ ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï-¨ï (7) ®â®á¨â¥«ì® ¤¥ä®à¬ 権 "1, "2, "12, ¨á-¯®«ì§ãï (29), ¨§ ãà ¢¥¨© (28) ¤«ï á«ãç ï ¥§ -¢¨á¨¬®á⨠®â ⥬¯¥à âãàë ᢮©á⢠®¡®«®çª¨ ¯®-«ã稬 á¨á⥬ãD11 @4w@x4 � 2(D12 +D66) @4w@x2@y2++D22 @4�@y4 � hR @2�@x2 + �N + � �w = 0;A11@4�@x4 � 2(A12 + A66) @4�@x2@y2++A22 @4�@y4 + 1hR @2w@x2 = 0; (30)£¤¥ A11 = C22� ; A12 = C12� ; A22 = C11� ;A66 = 1C66 ; � = C11C22 � C212:� ¯¨áì à §«¨çëå ⨯®¢ £à ¨çëå ãá«®¢¨©¯à¥¤áâ ¢«¥ , ¯à¨¬¥à, ¢ [8, 9]. �«ï ⥯«®¨§®-«¨à®¢ ëå â®à殢 ⥯«®¢ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 45
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52¨¬¥îâ ¢¨¤ @�0@x = 0 ¯à¨ x = 0; a;@�0@y = 0 ¯à¨ y = 0; b:� ç «ì®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ä®à¬¥�0 = �0 ¯à¨ t = 0:�«ï ᨬ¬¥âà¨ç®© ®â®á¨â¥«ì® á।¨®© ¯®-¢¥àå®á⨠áâàãªâãàë, ª®£¤ á।¨© á«®© ¨§®âà®-¯¥, ᢮©á⢠¯ì¥§® ªâ¨¢ëå á«®¥¢ ®¤¨ ª®¢ë,§ ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ¯à®â¨¢®¯®-«®¦®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¯®«ïਧ 樨, á¨á⥬ ãà ¢¥-¨© (30) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤1E���+ 1R @2w@x2 = 0;DM��w� hR @2�@x2 � �!2w = 0: (31)�¤¥áì E = DN (1� �2N )=h;DN = 0B11h0 + 2 1B11h1"1 + 1 + 1�2 ( 1kp)21� ( 1kp)2#;�NDN = ( 0B12h0 + 2 1B11h1" 1� + 1 + 1�2 ( 1kp)21� ( 1kp)2#);DM = 0B11h30=12 + 12 1B11h1h(h0 + h1)2 + 13h21i��"1 + 1 + 1�2 ( 1kp)21� ( 1kp)2 1� 11 + 12 h21(h0 + h1)2 !#;�MDM = 0B12h30=12 + 12 1B11h1h(h0 + h1)2 + 13h21i��"�1 + 1 + 1�2 ( 1kp)21� ( 1kp)2 1� 11 + 12 h21(h0 + h1)2 !#:�«ï è à¨à®£® § ªà¥¯«¥¨ï ªà ¥¢ ®¡®«®çª¨£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤w = 0; @2w@x2 =M0; @u@x = 0;v = 0 ¯à¨ x = 0; a;w = 0; @2w@y2 =M0; @v@y = 0;u = 0 ¯à¨ y = 0; b;
£¤¥ M0 = M0=DM ; M0 = 1d31V0(h0 + h1)1S11(1� 1�) ;V0 { à §®áâì ¯®â¥æ¨ «®¢, ¯®¤¢¥¤¥ ï ª ¯ì¥§®- ªâ¨¢ë¬ á«®ï¬:0V 0 = 0; 1V 0 = 2V 0 = V0;1� = � 1S12= 1S11: :2. ������ �������� ª 㪠§ë¢ «®áì ¢ëè¥, ¢ á«ãç ¥ ¥§ ¢¨áïé¨å ®â⥬¯¥à âãàë ᢮©á⢠¬ â¥à¨ « § ¤ ç ᢮¤¨âáïª à¥è¥¨î § ¤ ç¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨, ¢ëç¨á«¥¨î¤¨áᨯ ⨢®© äãªæ¨¨ ¨ à¥è¥¨î § ¤ ç¨ â¥¯«®-¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« . � -¤ ç í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ à¥è ¥âáï á ãç¥â®¬ ¤¨áᨯ -樨, ª®£¤ ç áâ®â í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®£® £àã-¦¥¨ï ¡«¨§ª ª ᮡáâ¢¥ë¬ ç áâ®â ¬ ª®«¥¡ ¨©®¡®«®çª¨. � ª¢ §¨áâ â¨ç¥áª®¬ á«ãç ¥ ® ¬®¦¥â¡ëâì à¥è¥ ¡¥§ ãç¥â ¤¨áᨯ 樨, â. ¥. ¢ ã¯à㣮©¯®áâ ®¢ª¥, å®âï ¯à¨ à áç¥â¥ ⥬¯¥à âãண® ¯®-«ï ¤¨áᨯ æ¨ï ¨ ãç¨âë¢ ¥âáï. � ª®© ã¯à®é¥ë©¯®¤å®¤ ¤ ¥â ¤®áâ â®ç® â®çë¥ à¥§ã«ìâ âë [5, 7].�ਠà¥è¥¨¨ ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥ç¨á«¥ëå § ¤ ç ¬®-£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ª ª «¨â¨ç¥áª¨¥, â ª ¨ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë.�ந««îáâà¨à㥬 ®¯¨á ë© ¯®¤å®¤ ¯à¨¬¥-ॠ§ ¤ ç¨ ® ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå 樫¨¤à¨-ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨. �।áâ ¢¨¬ ¯®«ë© ¯à®£¨¡ ¢¢¨¤¥ w = ws + wd: (32)�®áâ ¢«ïîé ï ws 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î��ws = 0 (33)¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ws = 0; @2ws@x2 = M0 ¯à¨ x = 0; a;ws = 0; @2ws@y2 = M0 ¯à¨ y = 0; b: (34)�¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (33), (34) ¨¬¥¥â ¢¨¤ws = 1Xm=1;3;::: 1Xn=1;3;:::wsmn sin(kmx) sin(pny); (35)£¤¥ wsmn = � 16M0abkmpn(k2m + p2n) ;km = m�a ; pn = n�b : (36)46 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52�¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (33), (34) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮¨ ¢ ®¤¨ àëå àï¤ å �ãàì¥ [13]. �ç¨âë¢ ï á®®â-®è¥¨ï (32), (33), ¤«ï wd ¨ � ¯®«ã稬 ªà ¥¢ãî§ ¤ çã á ®¤®à®¤ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨:1E���+ 1R @2wd@x2 + 1R @2ws@x2 = 0;DM��wd � hR @2�@x2 � �!2(ws +wd) = 0; (37)wd = 0; @2wd@x2 = 0;� = 0; @2�@x2 = 0 ¯à¨x = 0; a;wd = 0; @2wd@y2 = 0;� = 0; @2�@y2 = 0 ¯à¨y = 0; b: (38)�¥è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¤¢®©ëå âਣ®®-¬¥âà¨ç¥áª¨å à冷¢wd= 1Xm=1;3;::: 1Xn=1;3;:::wdmn sin(kmx) sin(pny);�= 1Xm=1;3;::: 1Xn=1;3;:::�mn sin(kmx) sin(pny): (39)�å ª®íää¨æ¨¥âë ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬wdmn = ��!2mnkmn � k4mhE=R2�wsmnDMk2mn + hEk4m=R2 � �!2kmn ;�mn = (wsmn + wdmn)E=(Rkmn);kmn = (k2m + p2n)2: (40)�®¡áâ¢¥ë¥ ç áâ®âë 室ïâáï ª ª�!2mn = D0Mkmn + hE0k4mR2kmn : (41)�®«ë© ¯à®£¨¡ ᮡá⢥®© ç áâ®â¥ {wmn = (D00M � iD0M )k2mnwsmnD00Mk2mn + hk4mE00=R2 : (42)�ਠí⮬ �mn = (E0 + iE00)k2mwmn=R: (43)�â 樮 ஥ ãà ¢¥¨¥ í¥à£¨¨ (27) á ãç¥â®¬¬ «®á⨠¬¨¬ëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¯® áà ¢¥¨î ᤥ©á⢨⥫ì묨 ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥�� � k2� + Wh� = 0;� = �0 � �0; k2 = 2
0h2 : (44)
� १® ᮩ ç áâ®â¥, ª®£¤ 㤥ন¢ ¥âáï ®¤ £ ମ¨ª ,W = W0 +W1 cos(2kmx) +W2 cos(2pny)++W11 cos(2km) cos(2pny); (45)£¤¥ Wk = �Wk�V0h �2;�W0 = !8 �h2J 00�2mnk2mn++D00Mw20�D0MD00M �2k2mn � 4"T3300(1� k2p)h�;�W1 = �W2 == �!8 �h2J 00�2mn((k2m � p2n)2 � 4�Mk2mp2n)++D00Mw20�D0MD00M �2(k2m � p2n)2 + 4�Mk2mp2n�;�W11 = �W0 + !2 "T3300(1� k2p);w0 = 48(1 + �)d31abkmpnkmnh�1 + 1 + �2 k2p1� k2p � ;J = 1DN (1� �2N ) :
(46)
�ਠ¢ë¢®¤¥ ãà ¢¥¨© (46) ¯à¥¤¯®« £ «®áì, ç⮢ᥠ⠣¥áë 㣫®¢ ¯®â¥àì ¬ â¥à¨ «®¢ ®¤¨ ª®¢ë.�¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠(44) ¤«ïá«ãç ï ⥯«®¨§®«¨à®¢ ëå â®à殢 ¨¬¥¥â ¢¨¤� = 1h��W0k2 + W1k2 + 4k2m cos(2kmx)++ W2k2 + 4p2n cos(2pny)++ W11k2 + 4k2m + 4p2n cos(2kmx) cos(2pny)�: (47)�®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¡á®«îâë© ¬ ªá¨¬ã¬ ⥬-¯¥à âãàë ¤®á⨣ ¥âáï ¢ â®çª¥ (a=2; b=2) ¨ à ¢¥�max = 1h��W0k2 � W1k2 + 4k2m �� W2k2 + 4p2n + W11k2 + 4k2m + 4p2n�: (48)�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 47
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52�᫨ áç¨â âì, çâ® ¯à¨ ¤®á⨦¥¨¨ ⥬¯¥à âãனâ®çª¨ �îਠ�K å®âï ¡ë ¢ ®¤®© â®çª¥ ¯ì¥§®í«¥-¬¥â â¥àï¥â ᢮¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠(\à §àãè ¥âáï"), â® ªà¨â¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¯ à -¬¥âà £à㦥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©�V0h �2kr = h��K� �W0k2 � �W1k2 + 4k2m �� �W1k2 + 4p2n + �W11k2 + 4k2m + 4p2n��1:(49)� § ¢¨á¨¬®á⨠®â ãà®¢ï £à㦥¨ï, ãá«®¢¨©â¥¯«®®¡¬¥ , ¤¨áᨯ ⨢ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ -â¥à¨ «®¢ ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ ãç¥â¥ § ¢¨-ᨬ®á⨠᢮©á⢠¬ â¥à¨ «®¢ á«®¥¢ ®â ⥬¯¥à âã-àë. �ਠí⮬, ª ª 㪠§ë¢ «®áì ¢ëè¥, § ¤ ç áâ -®¢¨âáï áãé¥á⢥® ¥«¨¥©®©. �«ï ¥¥ à¥è¥-¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¬¥â®¤ë ¥«¨¥©®© ¬¥å ¨ª¨,᢮¤ï騥 ¨á室ãî ¥«¨¥©ãî ªà ¥¢ãî § ¤ ç㪠à¥è¥¨î ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 «¨¥©ëå § ¤ çí«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ ¤«ï ®¡®«®ç¥ª á ª®¬¯«¥ªá묨 å -à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ ¨ § ¤ ç ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§-¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¤¨áá¨-¯ ⨢®© äãªæ¨¥©. � ¦¤ ï ¨§ íâ¨å «¨¥©ëå§ ¤ ç à¥è ¥âáï ¬¥â®¤®¬ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢. �®-£« á® ¥¬ã § ¤ ç í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ á ¯¥à¥¬¥ë-¬¨ ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ íª¢¨¢ «¥â ¢ ਠ樮®¬ã ãà ¢¥¨î�E = 0:�¡à ⨬áï ª ª®ªà¥âë¬ ¯à¨¬¥à ¬. � ª, ¤«ïà áᬮâ८© ¢ëè¥ æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨E= 12ZS �DN�"21+2�N"1"2+"22+2(1��N )"212�++DM��21+2�M�1�2+�22+2(1��M )�212���!2e�w2�DMM0(�1+�2)�dS: (50)�ਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç¨ ¯à®£¨¡ ¢ ¯à¥¤¥« å í«¥¬¥â ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ «áï ¯®«¨®¬ ¬¨ �ନâ [6]w= 4Xm=1Lmwm+ 4Xm=1Lm+4�@w@x�m++ 4Xm=1Lm+8�@w@y�m+ 4Xm=1Lm+12� @2w@x@y�m; (51) â £¥æ¨ «ìë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥-饨© ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ®¡®«®çª¨ {
¯®«¨®¬ ¬¨ âà¥â쥩 á⥯¥¨u = 12Xm=1Nmum; v = 12Xm=1Nmvm;x = 12Xm=1Nmxm; y = 12Xm=1Nmym: (52)� á®®â®è¥¨ïå (51), (52) wm; : : : ; ym { § 票ï®à¬ «ìëå ¨ â £¥æ¨ «ìëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¢¥ª-â®à ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ ¨å ¯à®¨§¢®¤ëå, â ª¦¥ ª®-®à¤¨ â ¢ 㧫®¢ëå â®çª å; Lm, Nm { ¯¯à®ªá¨-¬¨àãî騥 äãªæ¨¨. �ᯮ«ì§ãï ®¡ëçãî â¥å¨-ªã ���, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå § 票©á®áâ ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¯®«ãç ¥¬ á¨-á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ª®¬-¯«¥ªáë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ª®â®à®© ¢ëà ¦ îâáï ç¥-१ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¬ â¥à¨- «®¢ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ®¡®«®çª¨:(K � !2M )U�wm; : : : ;� @2w@x@y�m� = P (M0): (53)� âà¨æë ¬ áá ¨ ¦¥á⪮á⥩ M ¨K ïîâáï ᨬ-¬¥âà¨ç묨 ¨ ¨¬¥îâ ।ª® § ¯®«¥ãî áâàãªâã-àã, å à ªâ¥àãî ¤«ï ���. �â® ¯®§¢®«¨«® à §à -¡®â âì íää¥ªâ¨¢ë© «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï ª®¬¯«¥ªá-ëå á¨á⥬ ¡®«ì让 à §¬¥à®áâ¨ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨-¥¬ ¬¥â®¤ � ãáá . � ª ª ª ¤¨áᨯ â¨¢ë¥ á¢®©-á⢠¬ â¥à¨ « áãé¥á⢥® ¥ ¢«¨ïîâ १®- áë¥ ç áâ®âë, â® ¯®á«¥¤¨¥ 室¨«¨áì ¢ à ¬-ª å ã¯à㣮© ¯®áâ ®¢ª¨ § ¤ ç¨, ª®£¤ ¬¨¬ë¥ á®-áâ ¢«ïî騥 ª®¬¯«¥ªáëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®« £ -îâáï à ¢ë¬¨ ã«î. �«£®à¨â¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥-§® áëå ç áâ®â ¡ §¨à®¢ «áï ª®â஫¥ § ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï det(K � !2M ) = 0 (54)¨ ¬¥â®¤¥ ¯®«®¢¨®£® ¤¥«¥¨ï ¨â¥à¢ « , ¢ ª®â®-஬ 室¨âáï ᮡá⢥®¥ ç¨á«®. �«ï ᮪à é¥-¨ï à áç¥â®£® ¢à¥¬¥¨ ¡ë« ॠ«¨§®¢ â ª¦¥ «-£®à¨â¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï १® áëå ç áâ®â á ¯®¬®-éìî à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïåà áᬠâਢ ¥¬®© ®¡®«®çª¨, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬®© ª ª ¬¥-å ¨ç¥áª¨, â ª ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨. � ª®© «£®à¨â¬¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ¨ १® áë¥ ç áâ®âë, ¨ ä®à-¬ë ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨©.�à ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ â¥¯«®¯à®¢®¤®á⨠à¥è «¨áì ⮩ ¦¥ á¥âª¥ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢, çâ® ¨ § ¤ ç¨í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨. �ਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥âë à §«®-¦¥¨ï ⥬¯¥à âãàë ¢ á⥯¥®© àï¤, ⥬¯¥à âã-à ¢¥è¥© á।ë, ç «ì ï ⥬¯¥à âãà , ª®íä-ä¨æ¨¥âë ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, ¬®é®áâì ¨áâ®ç¨-ª®¢ ⥯« ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ «¨áì ¢ëà ¦¥¨ï¬¨ â¨-¯ (52). � १ã«ìâ ⥠¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ��� ¡ë« 48 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52¯®«ãç¥ á¨á⥬ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì-ëå ãà ¢¥¨© ¯® ¢à¥¬¥®© ª®®à¤¨ â¥. �«ï ¥¥à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ « áì ª®¥ç®-à §®áâ ï áå¥-¬ �४ {�¨ª®«ìᥠ¢â®à®£® ¯®à浪 â®ç®-áâ¨, â ª¦¥ ¥ï¢ ï ª®¥ç®-à §®áâ ï á奬 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 â®ç®áâ¨. �®«ãç¥ë¥ á¨á⥬뫨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© à¥è «¨áì ¬¥-⮤®¬ � ãáá .�¯¨á ë© ¯®¤å®¤ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì ª ª«®ª «ìë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ â¥à¬®¬¥å ¨ç¥áª®£®¯à®æ¥áá ª®«¥¡ ¨©, â ª ¨ ¥ª®â®àë¥ ¢ ¦ë¥ ¨-â¥£à «ìë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ (ª®íää¨æ¨¥â § âã-å ¨ï ¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨). �®íää¨æ¨-¥â § âãå ¨ï ¢¢®¤¨âáï ª ª ®â®è¥¨¥ ¤¨áᨯ¨à®-¢ ®© § 横« í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© í¥à£¨¨ W ª¯®«®© ª®¯«¥®© § 横« í¥à£¨¨ 2U :Ka = 2�! ZV WdvZV Udv : (55)�̄ à®é¥ë¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á £¨¯®â¥§ ¬¨�¨à壮ää {�ï¢ ¨ ¤¥ª¢ â묨 ¨¬ £¨¯®â¥§ ¬¨®â®á¨â¥«ì® í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¯®«¥¢ëå ¢¥«¨ç¨ ¢ë-à ¦¥¨ï ¤«ï W ¨ 2U ¨¬¥îâ ¢¨¤W = !2 �A0011��"01 +
�01�2 + �"001 +
�100�2�++2A0012��"01 +
�01��"02 +
�02�+ �"001 +
�001����"002 +
�002��+ A0022��"02 +
�02�2 + �"002 +
�002�2�++4B0066��"012 +
�012�2 + �"0012 +
�0012�2�++ �D00
�"01 +
�01� � �D0
�"001 +
�001�+ �D00
�"02 +
�02��� �D0
�"002 +
�002�+D0
E00
�D00
E0
;2U = �A011��"01 +
�01�2 + �"001 +
�001�2�++2A012��"01 +
�01��"02 +
�02�+ �"001 +
�001����"002 +
�002��+ A022��"02 +
�02�2 + �"002 +
�002�2�++4B066��"012 +
�012�2 + �"0012 +
�0012�2�++ �D0
�"01 +
�01� + �D00
�"001 +
�001�+ �D0
�"02 +
�02�++ �D00
�"002 +
�002 ) +D0
E0
+D00
E00
:
�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïA11 = B11 +
213
33 ; A12 = B12 +
213
33 ;A22 = B22 +
213
33 ; �D
= �
13
33D
:�®«¨ç¥á⢥ ï ®æ¥ª íä䥪⨢®á⨠¯à¥-®¡à §®¢ ¨ï í¥à£¨¨ ¯à¨ áâ 樮 àëå ª®«¥¡ ¨-ïå ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⥫ ª ª १® áëå,â ª ¨ ¥à¥§® áëå ç áâ®â å ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®-íää¨æ¨¥â®¬ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨, ®¡é ï⥮à¨ï ª®â®à®£® à §à ¡®â �. �. �«¨âª® [10].�¢ ¤à â í⮣® ª®íää¨æ¨¥â à ¢¥ ®â®è¥¨îᯮᮡ®© ª ®¡à 饨î í«¥ªâà¨ç¥áª®© (¬¥å ¨ç¥-᪮©) í¥à£¨¨, ª®¯«¥®© ¤ ®© ¤¥ä®à¬ 樨¢ ®¡ê¥¬¥ ¯ì¥§®í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ⥫ , ª® ¢á¥© ¯®¤¢¥-¤¥®© ª ⥫㠨§¢¥ ¬¥å ¨ç¥áª®© (í«¥ªâà¨ç¥áª®©)í¥à£¨¨: k2e = Up � UkUp : (56)�¤¥áì Up ¨ Uk { ¢ãâà¥ïï í¥à£¨ï ¯ì¥§®í«¥ªâà¨-ç¥áª®£® ⥫ ¯à¨ à §®¬ªãâëå ¨ ª®à®âª® § ¬ªã-âëå í«¥ªâத å ᮮ⢥âá⢥®. �ਠ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ á¨áâ¥¬ë £¨¯®â¥§ ¤«ï ⮪®á⥮© ¯ì¥§®®¡®-«®çª¨ ¢à 饨ï í⨠¢¥«¨ç¨ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï á®®â-®è¥¨ï¬¨2Up = 12 ZV �A011��"01 +
�01�2 + �"001 +
�001�2�++2A012��"01 +
�01��"02 +
�02�+ �"001 +
�001����"002 +
�002�� +A022��"02 +
�02�2 + �"002 +
�002�2�++4B066��"012 +
�012�2 + �"0012 +
�0012�2� Rd'ds d
;2Uk = 12 ZV �B011��"01 +
�01�2 + �"001 +
�001�2�++2B012��"01 +
�01��"02 +
�02�+ �"001 +
�001����"002 +
�002�� +B022��"02 +
�02�2 + �"002 +
�002�2�++4B066��"012 +
�012�2 + �"0012 +
�0012�2� Rd'ds d
;�ᯮ«ì§®¢ ¨¥ 㯮¬ïãâëå ¨â¥£à «ìëå å à ª-â¥à¨á⨪ ï¥âáï ®á®¡¥® íää¥ªâ¨¢ë¬ ¯à¨ à¥-襨¨ § ¤ ç ® ª®«¥¡ ¨ïå ⮪®áâ¥ëå í«¥¬¥-⮢ ���. �ਠí⮬ á ç « à¥è îâáï ®á®¢ë¥§ ¤ ç¨ ® ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ ®¡®«®ç¥ª, § ⥬ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª®íää¨æ¨¥âë § âãå ¨ï ¨í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨.�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 49
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 523. ��������� �����������¨á«¥ë¥ १ã«ìâ âë ¯®«ãç¥ë ¤«ï 樫¨¤à¨-ç¥áª®© ¯ ¥«¨, á®áâ ¢«¥®© ¨§ á⠫쮣® á।-¥£® á«®ï ¨ ¤¢ãå ¯®«ïਧ®¢ ëå ¢ ¯à®â¨¢®-¯®«®¦ëå ¯à ¢«¥¨ïå á«®¥¢ ¨§ ¯ì¥§®ª¥à ¬¨ª¨���â��-2 á® á«¥¤ãî騬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨:d31 = �1:6 � 10�10 �«=�;S011 = 12:5 � 10�12 ¬2=�; S012 = 4:62 � 10�12 ¬2=�;"33 = 2100"0; "0 = 8:454 � 10�12 �=¬;�S11 = 1:6 � 10�3:�«ï á⠫쮣® á«®ï ¯à¨ïâ® E=2:1�1011 �=¬2,�=0:3.�¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥, ⥯«®ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ¨à §®áâì ¯®â¥æ¨ «®¢ ¡ë«¨ ¢ë¡à ë â ª¨¬¨:a = b = 0:01 ¬; R = 0:01 ¬;h1 = h2 = 0:25 � 10�3 ¬; h0 = 0:5 � 10�3 ¬;�0 = 20 �C; �+ = �� = 20 �C;� = 1:25 ¬=(¬�£à ¤); �3 = �4 = 25 ¬=(¬�£à ¤);�1 = 7500 ª£=¬3; V0 = 1:5 �:�¥§ã«ìâ âë áà ¢¥¨ï «¨â¨ç¥áª®£® ¨ª®¥ç®-í«¥¬¥â®£® à¥è¥¨© { ¤¥©á⢨⥫ì륨 ¬¨¬ë¥ á®áâ ¢«ïî騥 ¯à®£¨¡ , ªà¨¢¨§ë,ãᨫ¨© ¨ ¬®¬¥â®¢, ¤¨áᨯ ⨢®© äãªæ¨¨ ¨â¥¬¯¥à âãàë ¤«ï ¯¥à¢®© १® ᮩ ç áâ®âëå®à®è® ᮣ« áãîâáï ¬¥¦¤ã ᮡ®©: ᮢ¯ ¤ îââਠ{ ç¥âëॠ§ ª .� áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯ì¥-§®¬ â¥à¨ « § ¢¨áïâ ®â ⥬¯¥à âãàë. � ª ï § -¢¨á¨¬®áâì ¤«ï ���â��-2 ¨áá«¥¤®¢ íªá¯¥à¨-¬¥â «ì® ¢ à ¡®â¥ [16]. �¥«¨¥©ë¥ ªà ¥¢ë¥ § -¤ ç¨ à¥è «¨áì á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬¥â®¤®¢ ¥«¨¥©-®© ¬¥å ¨ª¨, â ª¦¥ ��� (¤«ï à¥è¥¨ï «¨¥©-ëå § ¤ ç ª ¦¤®© ¨â¥à 樨).� à¨á. 1 ¯à¥¤áâ ¢«¥ § ¢¨á¨¬®áâì ¬®¤ã«ï ¯à®-£¨¡ ®â ç áâ®âë ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯¥à¢®£® १® -á . �¯«®è ï «¨¨ï ®â¢¥ç ¥â á«ãç î § ¢¨áïé¨å®â ⥬¯¥à âãàë ᢮©áâ¢, èâà¨å®¢ ï { ¥§ ¢¨áï-é¨å. �¨¤®, çâ® ¤«ï íâ¨å á«ãç ¥¢ ¢ ®¯à¥¤¥«¥-®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â ª ª ¢¥àåïï, â ª ¨ ¨¦-ïï ¢¥â¢¨ «¨¥©®© ¨ ¥«¨¥©®© ¬¯«¨â㤮-ç áâ®âëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¤®áâ â®ç® å®à®è® á®-£« áãîâáï ¬¥¦¤ã ᮡ®©. �¬¥¥â ¬¥á⮠⨯¨ç®¥¤«ï ¬ï£ª®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ § â¢ ¨¥ ¢«¥¢®: ¢®¯à¥¤¥«¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â ¡«î¤ ¥âáï ¥-«¨¥©ë© £¨áâ¥à¥§¨á á® áà뢮¬ ª®«¥¡ ¨© á ¨¦-¥© ¢¥â¢¨ ¢¥àåîî (¯à¨ 㢥«¨ç¥¨¨ ç áâ®âë)
¨ á ¢¥à奩 ¢¥â¢¨ ¨¦îî (¯à¨ ¥¥ ᨦ¥¨¨¨§ § १® ᮩ ®¡« áâ¨). � ®ªà¥áâ®á⨠áàë¢ á ¢¥à奩 ¢¥â¢¨ ¨¦îî ¡«î¤ ¥âáï ¬¯«¨-âã¤ë© ¢á¯«¥áª, ¯®à®¦¤ ¥¬ë© ᯥæ¨ä¨ª®© ⥬-¯¥à âãண® ¯®¢¥¤¥¨ï ¬ â¥à¨ « ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨íâ¨å ç áâ®â. � à¨á. 2 ¯à¥¤áâ ¢«¥ ç áâ®â ï§ ¢¨á¨¬®áâì ⥬¯¥à âãàë ¢ æ¥âॠ¯ì¥§®¯ ¥«¨¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯¥à¢®© १® ᮩ ç áâ®âë (®¡®-§ ç¥¨ï ªà¨¢ëå { ¯à¥¦¨¥). �¤¥áì â ª¦¥ ¡«î-¤ ¥âáï ⨯¨ç®¥ ¤«ï ¥«¨¥©ëå á¨á⥬ ¯®¢¥¤¥¨¥â¥¬¯¥à âãàë á® áà뢮¬ á ¨¦¥© ¢¥â¢¨ ¢¥àå-îî ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯® ç áâ®â¥ ¢ áâ®à®ã ¥¥ 㢥«¨-票ï, ¨ ®¡à âë© áàë¢ á ¢¥à奩 ¢¥â¢¨ ¨¦-îî { ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯® ç áâ®â¥ ¨§ § १® ᮩ®¡« á⨠¢ áâ®à®ã 㬥ì襨ï.�¨á. 3 ¨««îáâà¨àã¥â ç áâ®âãî § ¢¨á¨¬®áâ쪮íää¨æ¨¥â § âãå ¨ï. � ª ¢¨¤®, ¥á«¨ ¥ ãç¨-âë¢ âì § ¢¨á¨¬®áâì ᢮©á⢠¬ â¥à¨ « ®â ⥬-¯¥à âãàë, íâ®â ª®íää¨æ¨¥â ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®áâ®ï¥. �¤ ª®¯à¨ ãç¥â¥ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¬ â¥à¨ « ®â ⥬-¯¥à âãàë ¡«î¤ ¥âáï ⨯¨ç®¥ ¤«ï ¥«¨¥©ëåá¨á⥬ ¯®¢¥¤¥¨¥ í⮣® ª®íää¨æ¨¥â ¢ ®ªà¥áâ®-á⨠¯¥à¢®© १® ᮩ ç áâ®âë (¥«¨¥©ë© £¨-áâ¥à¥§¨á).� à¨á. 4 ¯®ª § § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨ ®â ç áâ®âë ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠¯¥à¢®£® १® á . �¤¥áì â ª¦¥ ¡«î¤ ¥â-áï ⨯¨ç®¥ ¥«¨¥©®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ í⮣® ª®íää¨-樥â . � â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¤«ï ¥§ ¢¨áïé¨å ®â ⥬-¯¥à âãàë ᢮©á⢠®¡®«®çª¨ ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯®áâ®-ï¥. � 楫®¬ ¯à¨ ⥬¯¥à âãன § ¢¨á¨¬®áâ¨á¢®©á⢠ªà¨¢ ï «¥¦¨â ¨¦¥ § 票© ª®íää¨æ¨¥-â í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨, à ááç¨â ëå ¤«ï᢮©áâ¢, ¥§ ¢¨áïé¨å ®â ⥬¯¥à âãàë. �¥¬ ¥ ¬¥-¥¥, ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ áàë¢ ¨¦îî ¢¥â¢ì¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥¡®«ì讥 㢥«¨ç¥¨¥ í⮣® ª®íää¨-樥â .����������� ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬¥å ¨ç¥áª¨å £¨¯®â¥§ �¨àå-£®ää {�ï¢ , ¤®¯®«¥ëå ¤¥ª¢ â묨 ¨¬ £¨¯®-⥧ ¬¨ ®â®á¨â¥«ì® í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¯®«¥¢ëå ¢¥-«¨ç¨ ¨ ⥬¯¥à âãàë, ¯®«ãç¥ § ¬ªãâ ï á¨áâ¥-¬ ãà ¢¥¨©, ®¯¨áë¢ îé ï ¢ë㦤¥ë¥ ª®«¥¡ -¨ï ¨ ¤¨áᨯ â¨¢ë© à §®£à¥¢ âà¥åá«®©ëå ¯ì¥-§®í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª, á®áâ ¢«¥ëå ¨§ ¯ á-ᨢ®£® á।¥£® á«®ï ¨ ¯à¨á®¥¤¨¥ëå ª ¥¬ã¤¢ãå ¯ì¥§® ªâ¨¢ëå á«®¥¢. �¨áᨯ â¨¢ë¥ á¢®©-á⢠¬ â¥à¨ «®¢ ãç¨âë¢ îâáï ®á®¢¥ ª®æ¥¯-樨 ª®¬¯«¥ªáëå ¬®¤ã«¥©. � áᬮâà¥ë à §«¨ç-ë¥ á«ãç ¨ à ᯮ«®¦¥¨ï ¡¥áª®¥ç® ⮪¨å í«¥ª-âத®¢.50 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52
�¨á. 1. �¬¯«¨â㤮-ç áâ®â ï å à ªâ¥à¨á⨪ ¤«ï âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨¯à¨ V0=1:5 �
�¨á. 2. �¥¬¯¥à âãà®-ç áâ®â ï å à ªâ¥à¨á⨪ ¤«ï âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨¯à¨ V0=1:5 ��¥â «ì® à áᬮâॠ§ ¤ ç ® ¢ë㦤¥ë媮«¥¡ ¨ïå ¨ ¢¨¡à®à §®£à¥¢¥ âà¥åá«®©®© 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨. �«ï á«ãç ï ¥§ ¢¨áï-é¨å ®â ⥬¯¥à âãàë å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ â¥à¨ «®¢ ¨è à¨à®£® § ªà¥¯«¥¨ï â®à殢 ¯ ¥«¨ ¯®«ã祮 «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ ¨
�¨á. 3. � áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â § âãå ¨ï ¤«ï âà¥åá«®©®© 樫¨¤à¨ç¥áª®©¯ì¥§®¯ ¥«¨ ¯à¨ V0=1:5 �
�¨á. 4. � áâ®â ï § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨ ¤«ï âà¥åá«®©®©æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© ¯ì¥§®¯ ¥«¨ ¯à¨ V0=1:5 �⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨ á ¨§¢¥áâë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ⥯« ,®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¤¨áᨯ ⨢®© äãªæ¨¥©.�«ï á«ãç ï § ¢¨áïé¨å ®â ⥬¯¥à âãàë å à ªâ¥-à¨á⨪ ¬ â¥à¨ «®¢ § ¤ ç áâ ®¢¨âáï áãé¥á⢥-® ¥«¨¥©®©. �«ï ¥¥ à¥è¥¨ï ¯à¨¬¥ïîâáï¨â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ë ¥«¨¥©®© ¬¥å ¨ª¨ ¢ á®-�. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ 51
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2001. �®¬ 4, N 3. �. 39 { 52ç¥â ¨¨ á ��� ¤«ï à¥è¥¨ï «¨¥©ëå § ¤ çí«¥ªâ஬¥å ¨ª¨ ¨ ⥯«®¯à®¢®¤®á⨠ª ¦¤®©¨â¥à 樨. �à ¢¥¨¥ «¨â¨ç¥áª¨å ¨ ª®¥ç®-í«¥¬¥âëå à¥è¥¨© ¯®ª §ë¢ ¥â ¢ë᮪ãî â®ç-®áâì ¨ íä䥪⨢®áâì ¯®á«¥¤¥£® ¯®¤å®¤ .� ®á®¢¥ à §à ¡®â ëå ¬®¤¥«¥© ¨ ¬¥â®¤®¢ ¨á-á«¥¤®¢ ® ¢«¨ï¨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¬ â¥à¨ -«®¢ ç áâ®âë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ -¨©, ⥬¯¥à âãàë ¢¨¡à®à §®£à¥¢ , ª®íää¨æ¨¥âë§ âãå ¨ï ¨ í«¥ªâ஬¥å ¨ç¥áª®© á¢ï§¨ ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠¯¥à¢®© १® ᮩ ç áâ®âë. � ¦¤ ï ¨§íâ¨å ¢¥«¨ç¨ ¨¬¥¥â ⨯¨ç®¥ ¤«ï ¥«¨¥©ëå á¨-á⥬ ¯®¢¥¤¥¨¥ á å à ªâ¥à묨 ¥«¨¥©ë¬ £¨-áâ¥à¥§¨á®¬ ¨ áà뢮¬ á ¢¥àå¨å ¨ ¨¦¨å ¢¥â¢¥©¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ç áâ®â.�������������� ¡®â ¢ë¯®«¥ ¯à¨ ä¨ á®¢®© ¯®¤¤¥à¦-ª¥ �®á㤠àá⢥®£® 䮤 ä㤠¬¥â «ìëå ¨á-á«¥¤®¢ ¨© �¨¨áâ¥àá⢠¯à®á¢¥é¥¨ï ¨ 㪨�ªà ¨ë (¯à®¥ªâ N 01.07/050).1. Rao S. S, Sunar M. Piesoelectricity and its use indisturbance sensing and control of structure: A sur-vey // Appl. Mech. Review.{ 1994.{ 47, N 4.{ P. 113{123.2. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material sys-tems: Applications of functional materials // Appl.Mech. Review.{ 1998.{ 51, N 8.{ P. 505{521.3. Tzou H. S., Bergman L. A. Dynamics and control ofdistributed systems.{ Cambridge: Cambridge Uni-versity Press, 1998.{ 400 p.4. �ª ¢¨ �. �. �¨§¨ª ¤¨í«¥ªâਪ®¢: ⮬ 2.{ �.:� 㪠, 1966.{ 636 á.5. �¥å ¨ª á¢ï§ ëå ¯®«¥© ¢ í«¥¬¥â å ª®áâàãª-
権: ¢ ¯ï⨠⮬ å. �®¬ 4. �«¥ªâà®â¥à¬®¢ï§ª®-ã¯à㣮áâì / � à ã客 �. �., �¨à¨ç®ª �. �.{ �.:� ãª. ¤ã¬ª , 1988.{ 320 á.6. � á᪠§®¢ �. �., �®§«®¢ �. �., � à ã客 �. �.�ë㦤¥ë¥ ¯®¯¥à¥çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¨ ¢¨¡à®à §®-£à¥¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¡¨¬®à䮩 ¯ ¥«¨ ¨§ ¤¨áá¨-¯ ⨢®£® ¯ì¥§®¬ â¥à¨ « // �ਪ«. ¬¥å.{ 2000.{36, N 5.{ �. 89{97.7. �¥à¬®¬¥å ¨ª í« á⮬¥àëå ª®áâàãªæ¨© ¯à¨æ¨ª«¨ç¥áª®¬ £à㦥¨¨ / �®âãà ¥¢ �. �., �ëठ�.�., � à ã客 �.�. ¨ ¤à. �¥¤. �. �. �®âãà ¥¢ .{�.: � ãª. ¤ã¬ª , 1987.{ 288 á.8. �¬¡ àæã¬ï �. �. �¡é ï ⥮à¨ï ¨§®âயë审®«®ç¥ª.{ �.: � 㪠, 1974.{ 446 á.9. �ਣ®à¥ª® �. �., � ᨫ¥ª® �. �. �¥®à¨ï ®¡®-«®ç¥ª ¯¥à¥¬¥®© ¦¥á⪮áâ¨.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª ,1981.{ 544 á.10. �¥å ¨ª á¢ï§ ëå ¯®«¥© ¢ í«¥¬¥â å ª®áâàãª-権: ¢ ¯ï⨠⮬ å. �®¬ 5. �«¥ªâà®ã¯à㣮áâì /�à¨ç¥ª® �. .�, �«¨âª® �. �., �ã«ì£ �. �.{ �.:� ãª. ¤ã¬ª , 1989.{ 280 á.11. � à ã客 �. �., �®§«®¢ �. �., � á᪠§®¢ �. �.� à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï âà¥åá«®©ëå ¯ì¥§®-í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª ¢à 饨ï // �ªãáâ. ¢÷á.{2001.{ 4, N 1.{ �. 31{43.12. �®¢ «¥ª® �. �.�ᮢë â¥à¬®ã¯à㣮áâ¨.{ �.: � -ãª. ¤ã¬ª , 1970.{ 307 á.13. �®«¨ �., �í©¥à �¦. �¥®à¨ï ⥬¯¥à âãàëå ¯à殮¨©.{ �.: �¨à, 1985.{ 520 á.14. �®¤ àì �. �. �¥à¬®ã¯à㣮¥ à ¢®¢¥á¨¥ ¬®£®-á«®©ëå ®àâ®âயëå ®¡®«®ç¥ª // �¥å ¨ª ª®¬-¯®§¨âëå ¬ â¥à¨ «®¢.{ 1983.{ N 4.{ �. 691{697.15. �®¤ àì �. �., � á᪠§®¢ �. �., �®§«®¢ �. �.,�®¤ à᪨© �. �. �¥à¬®ã¯à㣮¥ à ¢®¢¥á¨¥ ¬®-£®á«®©ëå á®áâ ¢ëå ®¡®«®ç¥ª // �஡«. ¯à®ç.{1989.{ N 6.{ �. 68{72.16. �®«ª¨á¥¢ �. �., � à« è �. �.,�ã«ì£ �. �. �§ ¢¨á¨¬®á⨠᢮©á⢠¯ì¥§®ª¥à ¬¨ç¥áª¨å ¬ â¥à¨- «®¢ ®â ⥬¯¥à âãàë // �ਪ«. ¬¥å.{ 1984.{ 20,N 7.{ �. 70{74.
52 �. �. � à ã客, �. �. � à ã客 , �. �. �®§«®¢, �. �. �ãæ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2381 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:25:04Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухов, В.Г. Карнаухова, Т.В. Козлов, В.И. Луц, В.К. 2008-09-30T08:17:21Z 2008-09-30T08:17:21Z 2001 Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения / В. Г. Карнаухов, Т. В. Карнаухова, В. И. Козлов, В. К. Луц // Акуст. вісн. — 2001. — Т. 4, N 3. — С. 39-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2381 539.3 Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях и виброразогреве трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения, составленных из среднего пассивного и двух пьезоактивных внешних слоев. Учет диссипативных свойств материала проводится на основе концепции комплексных характеристик. В случае независящих от температуры свойств материалов задача сведена к последовательному решению задачи электромеханики, вычислению диссипативной функции и решению уравнения теплопроводности с известным источником тепла. Для зависящих от температуры свойств материалов задача становится существенно нелинейной и для ее решения предложены итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов. Подробно рассмотрена задача о колебаниях и виброразогреве трехслойной цилиндрической пьезопанели. При шарнирном опирании ее торцов для первого из указанных случаев получено аналитическое решение. Сопоставление аналитических и конечно-элементных решений свидетельствует о высокой точности и эффективности разработанного численно-аналитического метода. Для второго из указанных случаев представлены результаты расчета частотной зависимости амплитуды колебаний, температуры, коэффициентов затухания и электромеханической связи в окрестности первого резонанса. Все указанные характеристики показывают типичное для нелинейных систем поведение. Розглянута задача про вимушені коливання і вібророзігрів тришарових п'єзоелектричних оболонок обертання, складених із середнього пасивного та двох п'єзоактиивних зовнішніх шарів. Дисипативні властивості матеріалів враховуються на основі концепції коплексних характеристик. У випадку незалежних від температури властивостей матеріалів задача зведена до послідовного розв'язування задачі електромеханіки, розрахунку дисипативної функції та розв'язування рівняння теплопровідності з відомим джерелом тепла. Для залежних від температури властивостей матеріалів задача стає суттєво нелінійною і для її розв'язування запроновані ітераційні методи в поєднанні з методом скінченних елементів. Детально розглянута задача про коливання і дисипативний розігрів тришарової циліндричної п'єзопанелі. При шарнірному закріпленні її торців для першого із вказаних випадків одержано аналітичні розв'язки. Співставлення аналітичних і скіченно-елементних розв'язків свідчить про високу точність та ефективність розробленого чисельно-аналітичного методу. Для другого із вказаних випадків представлені результати розрахунків частотної залежності амплітуди коливань, температури, коефіцієнтів затухання та електромеханічного зв'язку в околі першого резонансу. Всі ці характеристики показують типову для нелінійних систем поведінку. The problem of vibration and vibro-heating of three-layer piezoelectric shells of revolution composed of passive inner and two outer piezoactive layers is considered. Conception of complex characteristics is used for inclusion of dissipative material properties. When the material characteristics are not dependent on temperature the problem is reduced to the solution of electromechanical problem, calculation of dissipative function and solution of problem of heat-conduction. The problem is nonlinear when the characteristics are dependent on temperature. It is solved by applying the iterative methods and the finite element method. The problem of vibration and vibro-heating of the three-layer cylindrical piezoelectric shells is considered in detail. For the first case the analytical solution of problem is found. The comparison of analytical and finite element solutions shows high precision and efficiency of the finite element solution. For the second case the results of calculations of frequency dependence of amplitude, temperature, coefficients of attenuation and electromechanical coupling are presented. The characteristics show typical behavior for the nonlinear systems. ru Інститут гідромеханіки НАН України Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения Effect of the dissipation and dissipative vibro-heating on vibrational properties of the three-layered piezoelectric shells of revolution Article published earlier |
| spellingShingle | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения Карнаухов, В.Г. Карнаухова, Т.В. Козлов, В.И. Луц, В.К. |
| title | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_alt | Effect of the dissipation and dissipative vibro-heating on vibrational properties of the three-layered piezoelectric shells of revolution |
| title_full | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_fullStr | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_full_unstemmed | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_short | Влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| title_sort | влияние диссипации и вызванного ею виброразогрева на характеристики колебаний трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2381 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovvg vliâniedissipaciiivyzvannogoeûvibrorazogrevanaharakteristikikolebaniitrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT karnauhovatv vliâniedissipaciiivyzvannogoeûvibrorazogrevanaharakteristikikolebaniitrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT kozlovvi vliâniedissipaciiivyzvannogoeûvibrorazogrevanaharakteristikikolebaniitrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT lucvk vliâniedissipaciiivyzvannogoeûvibrorazogrevanaharakteristikikolebaniitrehsloinyhpʹezoélektričeskihoboločekvraŝeniâ AT karnauhovvg effectofthedissipationanddissipativevibroheatingonvibrationalpropertiesofthethreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution AT karnauhovatv effectofthedissipationanddissipativevibroheatingonvibrationalpropertiesofthethreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution AT kozlovvi effectofthedissipationanddissipativevibroheatingonvibrationalpropertiesofthethreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution AT lucvk effectofthedissipationanddissipativevibroheatingonvibrationalpropertiesofthethreelayeredpiezoelectricshellsofrevolution |