О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов
В статье рассмотрен один из подходов к решению задачи восстановления сигнала, основанный на использовании вейвлетного базиса с последующей фильтрацией восстановленного сигнала. У статті розглянуто один із підходів для розв’язання задачі відтворення сигналу, що базується на використанні вейвлетного...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2412 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов / Е.Ю. Карпенко // Мат. машини і системи. — 2008. — N 2. — С. 116-121. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859589420737363968 |
|---|---|
| author | Карпенко, Е.Ю. |
| author_facet | Карпенко, Е.Ю. |
| citation_txt | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов / Е.Ю. Карпенко // Мат. машини і системи. — 2008. — N 2. — С. 116-121. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | В статье рассмотрен один из подходов к решению задачи восстановления сигнала, основанный на
использовании вейвлетного базиса с последующей фильтрацией восстановленного сигнала.
У статті розглянуто один із підходів для розв’язання задачі відтворення сигналу, що базується на використанні
вейвлетного базису та фільтрації відтвореного сигналу.
In the article one of approaches to the decision of task of signal restoration is considered, based on the use of wavelet
base with filtration of the recovered signal.
|
| first_indexed | 2025-11-27T13:35:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
116 © Карпенко Е.Ю., 2008
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
УДК 519.6
Е.Ю. КАРПЕНКО
О ПРИМЕНЕНИИ ВЕЙВЛЕТОВ И ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
Abstract: In the article one of approaches to the decision of task of signal restoration is considered, based on the use
of wavelet base with filtration of the recovered signal.
Key words: signal restoration, Fredgolms integral equation, wavelet, Haar, Matlab, filter.
Анотація: У статті розглянуто один із підходів для розв’язання задачі відтворення сигналу, що базується
на використанні вейвлетного базису та фільтрації відтвореного сигналу.
Ключові слова: відтворення сигналів, інтегральне рівняння Фредгольма, вейвлет, Хаар, Matlab, фільтр.
Аннотация: В статье рассмотрен один из подходов к решению задачи восстановления сигнала,
основанный на использовании вейвлетного базиса с последующей фильтрацией восстановленного
сигнала.
Ключевые слова: восстановление сигналов, интегральное уравнение Фредгольма, вейвлет, Хаар, Matlab,
фильтр.
1. Введение
В практических задачах восстановления сигналов зачастую возникает вопрос о существовании,
единственности и устойчивости решения основного интегрального уравнения. Большинство таких
задач являются некорректно поставленными и решать их трудно из-за неизбежных ошибок
регистрации наблюдаемой функции. Первая попытка решения конкретной задачи восстановления
сигналов была предпринята Рэлеем еще в 1871 г. С тех пор опубликовано большое количество
работ, в которых рассматривались различные задачи восстановления сигналов и предложены
эффективные методы их решения, нашедшие практическое применение [1].
Подобные методы основаны на классических способах решения интегральных уравнений
Фредгольма 1-го рода в предположении абсолютно точных измерений правой части. Различные
методы восстановления допускают следующую классификацию:
1) аппроксимативные методы, основанные на задании или аппроксимации сигнала с
помощью «простых» функций, позволяющих найти решение либо в явном виде, либо в виде
некоторого ряда;
2) итерационные методы, предполагающие нахождение решения путем последовательного
определения поправок к наблюдаемой функции;
3) алгебраические методы, предусматривающие сведение основного интегрального
уравнения к системе линейных алгебраических уравнений и последующее ее решение.
Приведенная выше классификация, естественно, условна, так как многие практические
методы можно одновременно отнести к различным классам. В данной статье рассмотрен именно
такой случай: при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода искомая функция будет
разложена в вейвлетный ряд, для нахождения неизвестных коэффициентов разложения которого
методом регуляризации Тихонова будет решена система линейных алгебраических уравнений.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
117
2. Понятие вейвлета
В настоящее время применение вейвлетов как математического аппарата широко используется в
различных областях научных исследований. Вейвлеты используются при обработке различного
рода сигналов (речевых), анализе изображений и во многих других случаях.
При использовании вейвлетного базиса сигнал разлагают по семейству функций,
порожденных исходной функцией )(xψ («материнским» вейвлетом) с помощью переносов и
масштабных растяжений:
).2(2)( 2/ kxx jj
jk −= ψψ (1)
На вейвлеты накладываются следующие условия:
.)(
,0)(
2 ∞<
=
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
dxx
dxx
ψ
ψ
(2)
Исходный одномерный сигнал, разложенный по вейвлет-базису, принимает вид
∑
∞
−∞=
=
kj
jkjk xcxf
,
).()( ψ (3)
В качестве простейшего примера ортогонального вейвлета можно рассмотреть вейвлет
Хаара, который определяется следующим соотношением:
≥<
<≤−
<≤
=
.1,0,0
,1
2
1
,1
,
2
1
0,1
)(00
xx
x
x
xψ (4)
3. Постановка задачи
Многие задачи восстановления сигналов можно свести к решению интегрального уравнения
Фредгольма 1-го рода:
),()(),( xfdssysxK
b
a
=∫ (5)
где ),( sxK – ядро интегрального оператора;
)(xf – правая часть уравнения (сигнал на выходе);
)(xy – искомая функция (сигнал на входе).
Для решения уравнений вида (5) применяются различные методы [2], многие из них
опираются на использование дополнительной априорной информации о входном сигнале.
Будем искать решение уравнения (5) в базисе (3):
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
118
,)()(
12:0
:0
0 ∑
−=
=
+=
jk
rj
jkjk xccxy ψ (6)
где r – уровень наименьшего вейвлета.
Для удобства в вычислениях формулу (6) можно представить в виде
∑
=
+=
n
i
ii xccxy
1
0 ),()( ψ (7)
где
12 1 −= +rn ;
.2 ki j +=
Между числами i и ),( kj можно установить и обратное соотношение:
];[log2 ij =
.2 jik −=
Подставив (6) в (5), получаем
).(...])()()()()[,( 20201111101000000 xfdsscscscsccsxK
b
a
=+++++∫ ψψψψ (8)
Разбив отрезок ],[ ba равномерной сеткой N
iix 1}{ = , перейдем от уравнения (8) к системе
уравнений (9):
.,1),(...)(),(
)(),()(),()(),(),(
2020
1111101000000
NixfdsssxKc
dsssxKcdsssxKcdsssxKcdssxKc
i
b
a
i
b
a
i
b
a
i
b
a
i
b
a
i
==++
++++
∫
∫∫∫∫
ψ
ψψψ
(9)
Принимая во внимание тот факт, что для вейвлетов Хаара справедлива формула
+≥<
+<≤+−
+<≤
=
.
2
1
,
2
,0
,
2
1
2
2/1
,2
,
2
2/1
2
,2
)( 2/
2/
jj
jj
j
jj
j
ij
k
x
k
x
k
x
k
k
x
k
xψ (10)
система уравнений (9) принимает вид
).(),(),(2),(
12:0
:0
2/
0
2
1
2
2/1
2
2/1
2
i
k
rj
iijk
j
b
a
i xfdssxKdssxKcdssxKc
j
j
k
j
k
j
k
j
k
=
−+ ∑ ∫∫∫
−=
=
+
+
+
(11)
Для вычисления интегралов, стоящих в правых частях системы (11), воспользуемся квадратурным
методом трапеций, что позволит перейти от системы (11) к системе алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов jkc :
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
119
,FAC = (12)
где элементы матрицы A определяются следующими формулами:
,12,1,,1,),(
~
),(
~
2 1
12
22
11
11
2/ −==
−= +
==
∑∑ r
N
j
jij
N
j
jij
j
ij jNisxKAsxKAA
jj
(13)
где 1js и 2js – точки разбиения отрезков ]
2
2/1
,
2
[
jj
kk +
и ]
2
1
,
2
2/1
[
jj
kk ++
соответственно.
Для решения полученной системы (12) воспользуемся методом регуляризации Тихонова:
FAEAAC TT ⋅+= −1)( α , (14)
где α – параметр регуляризации.
Для проверки эффективности данного метода в среде Matlab были написаны программные
модули, реализующие вышеизложенный алгоритм. В качестве тестового примера был рассмотрен
следующий входной сигнал:
∉
∈
=
,
3
2
,
3
1
,0
;
3
2
,
3
1
,1
)(
x
x
xy (15)
в качестве ядра рассмотрена функция
2)(45),( sxesxK −⋅−= .
Был получен следующий результат:
Рис. 1. Исходный сигнал (—), восстановленный сигнал (- -)
Как видно по рис. 1, из-за наличия скачков в исходном сигнале наблюдаются гиббсовские
осцилляции в восстановленном сигнале, что мешает в полной мере судить о его структуре.
3. Оптимальная линейная фильтрация
Для устранения явлений Гиббса, которые могут возникать в местах быстрого изменения функции
(скачках), необходимо построение оптимального линейного фильтра для коррекции
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
120
восстанавливаемого сигнала. Возникает задача нахождения так называемых сигма-факторов,
повышающих качество восстановления сигнала:
∑
=
=
n
i
iii xcxy
1
)()( ψσ . (16)
Подобный подход уже рассматривался при решении поставленной задачи с
использованием SVD базиса. При наличии априорной информации удалось достаточно
эффективно устранить явления Гиббса.
Широко известен фильтр Ланцоша
=
rk
rk
kr
/
)/sin(
),(
π
πσ и фильтр Фейера
−=
r
kr
kr ),(σ , которые применяются для рядов Фурье [3].
При использовании вейвлетного базиса следует искать сигма-факторы не для каждой
функции, входящей в вейвлетный ряд, а допускать, что функции одного вейвлетного уровня имеют
общий сигма-фактор. Возникает задача минимизации некоторого функционала, которая успешно
решается средствами Matlab при использовании встроенной функции fmincon. При этом
минимизацию следует выполнять не на всем отрезке ],[ ba , а в местах, несколько удаленных от
скачков функции.
При рассмотрении 9-уровневого вейвлетного базиса результат оказался следующим:
Рис. 2. Исходный сигнал (—), восстановленный сигнал (- -)
Очевидно, что предложенный алгоритм позволил подавить осцилляции Гиббса и
качественно восстановил сигнал в местах, удаленных от скачков. Таким образом, определив места
разрывов функции, можно достроить сигнал в местах, близких к скачку, аппроксимировав хорошо
восстановленные участки.
4. Выводы
Представление искомой функции в виде базиса при решении интегральных уравнений Фредгольма
I рода позволяет, в отличие от метода регуляризации Тихонова, проводить дополнительную
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2
121
фильтрацию сигнала. При повышении точности решения интегральных уравнений (увеличении
размерности СЛАУ) целесообразно использовать современные высокоэффективные приемы
параллельного программирования. Ведутся разработки в направлении использования технологии
MPI и библиотеки ScaLAPACK, позволяющие существенно повысить скорость решения уравнений.
В заключение следует отметить, что фильтр, построенный на тестовом примере, как
оказалось, эффективно действует и в ряде других случаев. Естественно, возникает вопрос о
классификации сигналов, для которых удается качественно провести восстановление. Данный
вопрос является актуальным, и ему будут посвящены дальнейшие исследования в этой области.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы. – К.: УФН, 1958. – Т. 66, Вып. 3. – С. 158.
2. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. –
М.: Советское радио, 1979. – 272 с.
3. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Советское радио, 1980. – 224 с.
Стаття надійшла до редакції 25.12.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2412 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T13:35:19Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карпенко, Е.Ю. 2008-10-07T09:12:07Z 2008-10-07T09:12:07Z 2008 О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов / Е.Ю. Карпенко // Мат. машини і системи. — 2008. — N 2. — С. 116-121. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2412 519.6 В статье рассмотрен один из подходов к решению задачи восстановления сигнала, основанный на использовании вейвлетного базиса с последующей фильтрацией восстановленного сигнала. У статті розглянуто один із підходів для розв’язання задачі відтворення сигналу, що базується на використанні вейвлетного базису та фільтрації відтвореного сигналу. In the article one of approaches to the decision of task of signal restoration is considered, based on the use of wavelet base with filtration of the recovered signal. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Моделювання і управління великими системами О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов Про використання вейвлетів і лінійної фільтрації для рішення задач відновлення сигналів On using wavelets and linear filtration for decision signal restoration problems Article published earlier |
| spellingShingle | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов Карпенко, Е.Ю. Моделювання і управління великими системами |
| title | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| title_alt | Про використання вейвлетів і лінійної фільтрації для рішення задач відновлення сигналів On using wavelets and linear filtration for decision signal restoration problems |
| title_full | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| title_fullStr | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| title_full_unstemmed | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| title_short | О применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| title_sort | о применении вейвлетов и линейной фильтрации для решения задач восстановления сигналов |
| topic | Моделювання і управління великими системами |
| topic_facet | Моделювання і управління великими системами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2412 |
| work_keys_str_mv | AT karpenkoeû oprimeneniiveivletovilineinoifilʹtraciidlârešeniâzadačvosstanovleniâsignalov AT karpenkoeû provikoristannâveivletívílíníinoífílʹtracíídlâríšennâzadačvídnovlennâsignalív AT karpenkoeû onusingwaveletsandlinearfiltrationfordecisionsignalrestorationproblems |