Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами
We consider a new class of evolutionary equations with operators constructed by non-smooth homogeneous symbols. The theory of the Cauchy problem with initial conditions which are generalized functions of the distribution type is developed. The properties of the Fourier-Bessel transformation of basic...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2424 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, О.М. Ленюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 11-15. — Библиогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2424 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Городецький, В.В. Ленюк, О.М. 2008-10-10T11:25:51Z 2008-10-10T11:25:51Z 2007 Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, О.М. Ленюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 11-15. — Библиогр.: 2 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2424 517.96 We consider a new class of evolutionary equations with operators constructed by non-smooth homogeneous symbols. The theory of the Cauchy problem with initial conditions which are generalized functions of the distribution type is developed. The properties of the Fourier-Bessel transformation of basic and generalized functions, convolutions, convolvers, and multiplicators are studied. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| spellingShingle |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами Городецький, В.В. Ленюк, О.М. Математика |
| title_short |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| title_full |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| title_fullStr |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| title_full_unstemmed |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| title_sort |
еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами |
| author |
Городецький, В.В. Ленюк, О.М. |
| author_facet |
Городецький, В.В. Ленюк, О.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
We consider a new class of evolutionary equations with operators constructed by non-smooth homogeneous symbols. The theory of the Cauchy problem with initial conditions which are generalized functions of the distribution type is developed. The properties of the Fourier-Bessel transformation of basic and generalized functions, convolutions, convolvers, and multiplicators are studied.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2424 |
| citation_txt |
Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, О.М. Ленюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 11-15. — Библиогр.: 2 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodecʹkiivv evolûcíinírívnânnâzpsevdobesselevimioperatorami AT lenûkom evolûcíinírívnânnâzpsevdobesselevimioperatorami |
| first_indexed |
2025-11-27T00:59:32Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:59:32Z |
| _version_ |
1850789924781948928 |
| fulltext |
УДК 517.96
© 2007
В.В. Городецький, О. М. Ленюк
Еволюцiйнi рiвняння з псевдобесселевими операторами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
We consider a new class of evolutionary equations with operators constructed by non-smooth
homogeneous symbols. The theory of the Cauchy problem with initial conditions which are
generalized functions of the distribution type is developed. The properties of the Fourier–Bessel
transformation of basic and generalized functions, convolutions, convolvers, and multiplicators
are studied.
Останнi десятилiття iнтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв
(ПДО), якi формально можна подати у виглядi F−1[aF ], де a — функцiя (символ), що
задовольняє певнi умови, F , F−1 — пряме та обернене перетворення Фур’є. Iмпульсом для
такого розвитку став той факт, що ПДО тiсно пов’язанi з важливими задачами аналiзу
i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорiї на особливу увагу заслуго-
вує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок
однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО
з негладкими символами тiсно пов’язана також iз сучасною теорiєю фракталiв.
До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi
рiвняння з оператором Бесселя (B-параболiчнi рiвняння), який вироджується за певною
просторовою змiнною, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки
оператор Бесселя
Bν =
d2
dx2
+
2ν + 1
x
d
dx
, ν > −
1
2
,
можна визначити за допомогою спiввiдношення Bνϕ = −F−1
B [ξ2FB [ϕ]], де FB — перетво-
рення Фур’є–Бесселя, ϕ — елемент простору, в якому вказане перетворення визначене.
Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь
побудована у працях I. А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М. I. Матiйчука, В.В. Крехiвсько-
го, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I. I. Веренич та iн. (огляд праць, якi стосуються
цього питання, див. у [1]). Задача Кошi для В-параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв
та у класах узагальнених функцiй типу S′ та типу W ′ вивчалась Я. I. Житомирським,
В.В. Городецьким, I. В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В. Мартинюк (див. [2]).
Природним узагальненням В-параболiчних рiвнянь є еволюцiйнi рiвняння з операто-
ром A = F−1
B [aFB ], де a — однорiдний символ (A надалi називатимемо псевдобесселевим
оператором). Задача Кошi для таких рiвнянь не вивчена.
У цьому повiдомленнi розвивається теорiя задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння
∂u
∂t
+ Au = 0,
де A — псевдобесселевий оператор. Одним iз основних методiв дослiдження задачi Кошi
для вказаного рiвняння є метод перетворення Фур’є–Бесселя, тому тут дослiджуються вла-
стивостi такого перетворення у вiдповiдних просторах основних та узагальнених функцiй.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 11
1. Простори основних та узагальнених функцiй. Нехай x = (x′, xn+1), x′ =
= (x1, . . . , xn) ∈ R
n, xn+1 ∈ R+, Ω+ = (0, T ] × R
n+1
+ , T — фiксоване додатне число, R
n+1
+ =
= R
n ×R+, k = (k′, kn+1) ∈ Z
n+1
+ , k′ = (k1, . . . , kn) ∈ Z
n
+, |k| = |k′|+kn+1, |k
′| = k1 + . . .+kn,
Dk
x = Dk′
x′Dkn+1
xn+1
, Dk′
x′ = Dk1
x1
. . . Dkn
xn
, γ — фiксоване число з множини (1,+∞) \ {2, 3, 4, . . .},
γ′
0 = n+[γ], γ0 = 1+[γ]+p0, p0 = 2ν+1 ∈ N, ν > 0, M(x′) = (1+‖x′‖), M̃ (xn+1) = (1+|xn+1|).
Символом Φ позначимо сукупнiсть функцiй ϕ ∈ C∞(Rn+1), парних за змiнною xn+1,
якi задовольняють нерiвностi
|Dk
xϕ(x)| ≡
∣∣∣∣
∂|k|ϕ(x1, x2, . . . , xn+1)
∂xk1
1 ∂xk2
2 · · · ∂x
kn+1
n+1
∣∣∣∣ 6
Ck
M(x′)γ
′
0
+|k′|M̃(xn+1)γ0+kn+1
,
k ∈ Z
n+1
+ , x ∈ R
n+1.
Введемо в Φ злiченну систему норм за формулами
‖ϕ‖p := sup
x∈Rn+1
{
p∑
m=0
∑
|k|=m
M(x′)γ
′
0
+|k′|M̃(xn+1)
γ0+kn+1|Dk
xϕ(x)|
}
,
ϕ ∈ Φ, p ∈ Z+.
Збiжнiсть послiдовностi {ϕν , ν > 1} ⊂ Φ у просторi Φ до функцiї ϕ ∈ Φ можна охаракте-
ризувати так: {ϕν , ν > 1} ⊂ Φ збiгається за топологiєю простору Φ до ϕ ∈ Φ тодi i тiльки
тодi, коли вона:
1) обмежена в Φ, тобто
∀p ∈ Z+ ∃c = c(p) > 0 ∀ ν > 1: ‖ϕν‖p 6 c;
2) правильно збiгається в Φ, а саме для довiльного k ∈ Z
n+1
+ послiдовнiсть {Dk
x(ϕν −
− ϕ), ν > 1} збiгається до нуля рiвномiрно на кожному компактi K ⊂ R
n+1.
У просторi Φ визначена i неперервна операцiя зсуву аргументу Tξ′ за змiнними x1, . . . , xn,
тобто
Tξ′ : ϕ(x) → ϕ(x′ + ξ′, xn+1), ϕ ∈ Φ, ξ′ ∈ R
n,
а також операцiя T ξn+1
xn+1
узагальненого зсуву аргументу за змiнною xn+1:
T ξn+1
xn+1
ϕ(x) = bν
π∫
0
ϕ
(
x′,
√
x2
n+1 + ξ2
n+1 − 2xn+1ξn+1 cos ω
)
sin2ν ω dω,
bν =
Γ(ν + 1)
Γ(1/2)Γ(ν + 1/2)
.
На елементах простору Φ визначена також операцiя перетворення Фур’є–Бесселя, яку
надалi позначатимемо символом FD,B:
FD,B[ϕ](σ) :=
∫
R
n+1
+
ϕ(x′, xn+1)e
−i(x′,σ′)jν(σn+1xn+1)x
2ν+1
n+1 dx′dxn+1, ϕ ∈ Φ,
де jν — нормована функцiя Бесселя.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Символом Ψ позначимо Фур’є-образ простору Φ: Ψ = FD,B [Φ]. Елементами простору Ψ
є нескiнченно диференцiйовнi на R
n+1 \{0} функцiї, парнi за змiнною xn+1; функцiї з прос-
тору Ψ задовольняють умову
∀ k ∈ Z
n+1
+ ∃ ck > 0: sup
ξ∈Rn+1\{0}
|ξ′
k′
ξ
2kn+1
n+1 Dk′
ξ′ D
2kn+1
ξn+1
FD,B [ϕ](ξ)| 6 ck, ϕ ∈ Φ;
при цьому у функцiй
∂kiFD,B[ϕ]
∂ξki
l
, ξl 6= 0, 1 6 l 6 n + 1, iснують скiнченнi одностороннi
границi
lim
ξl→+0
∂kiFD,B [ϕ]
∂ξki
l
, lim
ξl→−0
∂kiFD,B[ϕ]
∂ξki
l
, ϕ ∈ Φ.
У зв’язку з цим у просторi Ψ вводиться структура злiченно нормованого простору за до-
помогою системи норм:
‖ϕ‖p := sup
ξ∈Rn+1\{0}
{
p∑
k=0
|ξ′
k′
ξ
2kn+1
n+1 Dk′
ξ′ D
2kn+1
ξn+1
ϕ(ξ)|
}
, ϕ ∈ Ψ, p ∈ Z+.
Перетворення FD,B взаємно однозначно i взаємно неперервно вiдображає Φ на Ψ.
Символом Φ′ позначимо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв над вiдповiд-
ним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю. Дiя регулярної узагальненої функ-
цiї f на основну функцiю ϕ ∈ Φ у цьому випадку визначається формулою
〈f, ϕ〉 =
∫
R
n+1
+
f(x)ϕ(x)x2ν+1
n+1 dx.
Оскiльки в просторi Φ визначена операцiя зсуву аргументу та операцiя узагальненого
зсуву аргументу, то згортку узагальненої функцiї f ∈ Φ′ з основною функцiєю задамо
формулою
(f ∗ ϕ)(x) = 〈fξ, Tξ′T
ξn+1
xn+1
ϕ̆(−x′, xn+1)〉 = 〈fξ, T
ξn+1
xn+1
ϕ(x′ − ξ′, xn+1)〉, ϕ ∈ Φ,
де ϕ̆(x′, xn+1) = ϕ(−x′, xn+1), fξ позначає дiю функцiонала f за змiнною ξ; при цьому f ∗ϕ
є нескiнченно диференцiйовною функцiєю.
Перетворення Фур’є-Фур’є–Бесселя узагальненої функцiї f ∈ Φ′ визначимо за допомо-
гою спiввiдношення
〈FD,B [f ], ϕ〉 = 〈f, F−1
D,B [ϕ]〉, ∀ϕ ∈ Ψ.
Iз властивостi лiнiйностi i неперервностi функцiонала f та перетворення Фур’є-Фур’є–Бес-
селя (прямого та оберненого) випливає лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiонала над просто-
ром
o
Ψ.
Отже, перетворення Фур’є-Фур’є–Бесселя узагальненої функцiї f ∈ Φ′ є узагальненою
функцiєю над простором Ψ = FD,B [Φ].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 13
Узагальнена функцiя f ∈ Φ′ називається згортувачем у просторi Φ, якщо f ∗ ϕ ∈ Φ для
довiльної функцiї ϕ ∈ Φ. Для перетворення Фур’є-Фур’є–Бесселя узагальнених функцiй
з простору Φ′ правильним є таке твердження.
Теорема 1. Якщо узагальнена функцiя f ∈ Φ′ — згортувач у просторi Φ, то для
довiльної основної функцiї ϕ ∈ Φ справджується формула
FD,B[f ∗ ϕ] = FD,B[f ] · FD,B[ϕ].
Якщо узагальнена функцiя f ∈ Φ′ — мультиплiкатор у просторi Φ, то її перетворення
Фур’є-Фур’є–Бесселя — згортувач у просторi Ψ.
2. Основнi результати. Нехай a : R
n+1 → [0;+∞) — неперервна, парна за змiн-
ною xn+1 функцiя, однорiдна порядку γ ∈ (1;+∞) \ {2, 3, 4, . . .} (тобто a(λξ) = λγa(ξ),
λ > 0), яка:
1) нескiнченно диференцiйовна при ξ 6= 0;
2) похiднi функцiї a задовольняють умову
∀ k ∈ Z
n+1
+ ∃ Ck > 0 ∀ ξ ∈ R
n+1 \ {0} : |Dk
ξ a(ξ)| 6 Ck‖ξ‖
γ−k;
3) ∃ δ > 0 ∀ ξ ∈ R
n+1 : a(ξ) > δ‖ξ‖γ .
Зазначимо, що функцiя a є мультиплiкатором у просторi Ψ. У зв’язку з цим розглянемо
оператор A : Φ → Φ, який визначимо за допомогою спiввiдношення
Aϕ = F−1
D,B[aFD,B [ϕ]], ∀ ϕ ∈ Φ.
Iз властивостей перетворення Фур’є-Фур’є–Бесселя (прямого i оберненого) випливає, що
A — лiнiйний i неперервний оператор у просторi Φ.
Розглянемо тепер рiвняння
∂u
∂t
+ Au = 0, (t, x) ∈ Ω+, (1)
де A — оператор, побудований за символом a. Пiд розв’язком рiвняння (1) розумiтимемо
функцiю u ∈ C1((0, T ],Φ), яка задовольняє рiвняння (1).
Фундаментальним розв’язком задачi Кошi (ФРЗК) для рiвняння (1) є функцiя
G(t, x) = F−1
D,B [e−ta(ξ)](x) = (2π)−ncν
∫
R
n+1
+
e−ta(ξ′,ξn+1)+i(x′,ξ′)jν(xn+1ξn+1)ξ
2ν+1
n+1 dξ′dξn+1,
де cν = (22νΓ2(ν + 1))−1. Властивостi функцiї G характеризуються такими твердженнями.
Теорема 2. 1. При кожному t ∈ (0;T ] функцiя G(t, x), як функцiя аргументу x, є еле-
ментом простору Φ. Для функцiї G та її похiдних правильними є оцiнки:
|Dk
xG(t, x)| 6 αkt
1+[γ]/γ(t1/γ + ‖x′‖)−(|k′|+γ′
0
)(t1/γ + |xn+1|)
−(kn+1+γ0),
t ∈ (0;T ], x = (x′, xn+1) ∈ R
n+1, k ∈ Z
n+1,
стала αk залежить вiд ν, γ i не залежить вiд t.
2. G(t, ·) → δ при t → +0 у просторi Φ′ (δ — дельта-функцiя Дiрака).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
3. Функцiя G(t, ·), t ∈ (0;T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у прос-
торi Φ, диференцiйовна за t.
Для (1) задамо початкову умову
u(t, ·)|t=0 = f, (2)
де f ∈ Φ′
∗ (символом Φ′
∗ позначається сукупнiсть усiх узагальнених функцiй з простору Φ′,
якi є згортувачами у просторi Φ).
Теорема 3. Задача Кошi (1), (2) коректно розв’язна в класi узагальнених функцiй Φ′
∗.
Розв’язок має вигляд
u(t, x) = (f ∗ G)(t, x), (t, x) ∈ Ω+,
де G — ФРЗК для рiвняння (1).
Зауваження. Аналогiчнi результати мають мiсце у випадку, коли в рiвняннi (1) опе-
ратор A будується за символом a, який задовольняє умови 1–3, сформульованi ранiше,
але функцiя a є парною за змiнними xk+1, . . . , xn+1, 1 6 k 6 n. При цьому здiйснюються
вiдповiднi змiни в означеннi топологiчного простору Φ, в означеннi перетворення FD,B ,
у формулюваннi вiдповiдних теорем. Наприклад, перетворення FD,B у цьому випадку ви-
значається так:
FD,B[ϕ](σ) =
∫
R
n+1
k,+
ϕ(x′, x′′)e−i(x′,σ′)jνk+1
(σk+1xk+1) · · ·
· · · jνn+1
(σn+1xn+1)x
2νk+1+1
k+1 · · · x
2νn+1+1
n+1 dx′dx′′,
де x′ = (x1, . . . , xk) ∈ R
k, σ′ ∈ R
k, x′′ = (xk+1, . . . , xn+1), xk+1 > 0, . . . , xn+1 > 0, R
n+1
k,+ =
= {x = (x1, . . . , xn+1) ∈ R
n+1 : xk+1 > 0, . . . , xn+1 > 0}, jνs , s ∈ {k+1, . . . , n+1} — нормована
функцiя Бесселя νs-го порядку, νs > −1/2 — фiксованi параметри.
Операцiя узагальненого зсуву аргументу ϕ → T ξ′′
x′′ ϕ визначається спiввiдношенням
T ξ′′
x′′ ϕ(x) = bν
π∫
0
· · ·
π∫
0
ϕ
(
x′,
√
x2
k+1 + ξ2
k+1 − 2xk+1ξk+1 cos ωk+1, . . .
. . . ,
√
x2
n+1 + ξ2
n+1 − 2xn+1ξn+1 cos ωn+1
)
sin2νk+1 ωk+1 · · · sin
2νn+1 ωn+1dω′′,
де bν = bνk+1
. . . bνn+1
, bνs = Γ(νs + 1)/(Γ(1/2)Γ(νs + 1/2)), νs > −1/2, s ∈ {k + 1, . . . , n + 1}.
Вказанi операцiї мають такi ж властивостi, що i вiдповiднi операцiї у просторi Φ.
1. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. –
176 с.
2. Городецький В.В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. –
Чернiвцi: Рута, 1998. – 225 с.
Надiйшло до редакцiї 12.03.2007Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 15
|