Апроксимація звичайних диференціальних операторів
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximating operators are not the equal on the given system of functions (functional knots).
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Апроксимація звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 16-20. — Библиогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859717623840768000 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. |
| author_facet | Литвин, О.М. |
| citation_txt | Апроксимація звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 16-20. — Библиогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximating operators are not the equal on the given system of functions (functional knots).
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:27:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2007
О.М. Литвин
Апроксимацiя звичайних диференцiальних операторiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other
ordinary differential operators are given. Approximating operators are not the equal on the
given system of functions (functional knots).
Теорiя наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних на даний час має в своєму розпо-
рядженнi широкий набiр методiв наближення — iнтерполювання, iнтерлiнацiю, iнтерфле-
тацiю, апроксимацiю, мiшану апроксимацiю тощо [1, 2]. У той же час теорiя наближення
операторiв розвинута значно менше. Зокрема, теорiя iнтерполювання операторiв, яка розви-
нута в працях [3–9], фактично дає наближення, яке можна вважати найбiльш ефективним
лише для iнтегральних операторiв вигляду
Au(x) =
∫
G
K(x, ξ, u(ξ))dξ.
Наприклад, у цiй теорiї не використовується класична постановка задачi в такому виглядi:
для наближення оператора Au(x) = f(x,D)u(x), D = d/dx треба знайти iнший звичайний
диференцiальний оператор LN (x,D) вiдомої конструкцiї (лiнiйний або нелiнiйний полiномi-
ального типу тощо) за допомогою iнформацiї, що Auβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 N . Функцiональ-
нi вузли uβ(x), 0 6 β 6 N , та функцiї γβ(x), 0 6 β 6 N , вважаються вiдомими. У роботах
автора [10, 11] дано розв’язок цiєї задачi для звичайних диференцiальних операторiв та
диференцiальних операторiв з частинними похiдними вiдповiдно.
На практицi функцiї γβ(x), 0 6 β 6 M , можуть бути заданими з похибкою. Крiм то-
го, може виникнути ситуацiя, коли число вузлiв uβ(x), 0 6 β 6 M , та функцiй γβ(x),
0 6 β 6 M , не дорiвнює числу N невiдомих коефiцiєнтiв наближуючого диференцiального
оператора LN (x,D). Тобто актуальною є така задача. Треба знайти звичайний диференцi-
альний оператор LN (x,D) апроксимативного типу вiдомої конструкцiї за допомогою iнфор-
мацiї, що Auβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 M , M 6= N . Слова “оператор LN = LN (x,D) є оператором
апроксимативного типу” означають, що LNuβ(x) 6= γβ(x), 0 6 β 6 M ; x ∈ [x1, x2].
1. Постановка проблеми. У данiй роботi розв’язується така задача. Деякий звичай-
ний диференцiальний оператор A : U → Γ (взагалi кажучи, невiдомий) задається iнтер-
поляцiйними даними Auβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 M , де функцiональнi вузли uβ(x) ∈ U ,
0 6 β 6 n, i функцiї γβ(x) ∈ Γ, 0 6 β 6 N , вважаються заданими елементами деяких
функцiональних просторiв U , Γ вiдповiдно. Треба побудувати за допомогою цiєї iнформацiї
iнший диференцiальний оператор (лiнiйний або нелiнiйний), який давав би найкраще на-
ближення до оператора A в тому або iншому сенсi. Коефiцiєнти наближуючого оператора
знаходимо з умови мiнiмiзацiї суми квадратiв вiдхилень наближуваного i наближуючого
операторiв на вказанiй системi функцiональних вузлiв. Простори U , Γ вважаємо простора-
ми Cr[t1, t2] диференцiйовних скалярних функцiй (з рiзними параметрами r), заданих на
деякому iнтервалi [t1, t2].
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Деякi важливi результати з побудови полiномiальних апроксимуючих операторiв у ви-
глядi операторних полiномiв Pn степеня n, визначених на множинi функцiй u ∈ X iз зна-
ченнями у просторi Y (X та Y деякi лiнiйнi простори, наприклад гiльбертовi) наведенi
в працях [3–9]. Найбiльше уваги придiлено випадку, коли
Pnu = k0(t) +
∫
Ω1
k1(t, z1)u(z1)dz1 +
∫
Ω1
∫
Ω1
k2(t, z1, z2)u(z1)u(z2)dz1dz2 + · · ·
+
∫
Ω1
(n)
∫
Ω1
kn(t, z1, . . . , zn)u(z1) · · · u(zn)dz1 · · · dzn,
де k0(t), kp(t, z1, . . . , zp), p = 1, n, — неперервнi та симетричнi функцiї своїх змiнних. Тобто
у цитованих роботах [3–9] наближуючий оператор є операторним полiномом, а не дифе-
ренцiальним оператором, навiть якщо наближуваний оператор A є диференцiальним опе-
ратором. У той же час iснують практичнi задачi, у яких наближуваний диференцiальний
оператор доцiльно замiнити iншим диференцiальним оператором бiльш простої конструк-
цiї без виконання iнтерполяцiйних умов.
Метою даної роботи є побудова основ теорiї апроксимацiї звичайних диференцiальних
операторiв A(x,D) звичайними лiнiйними диференцiальними операторами, вiдмiнної вiд те-
орiї наближення операторiв, дослiдженої в [3–9]. Наближуваний i апроксимуючий оператори
є звичайними диференцiальними операторами. При цьому використовується iнформацiя (1)
про наближуваний оператор, але не вимагається, щоб наближуваний i апроксимуючий опе-
ратори збiгалися на заданiй системi функцiональних вузлiв,
2. Апроксимацiя звичайних диференцiальних операторiв. Апроксимацiя лiнiй-
ними диференцiальними операторами. Припустимо, що M ∈ N , A(x,D) — деякий звичай-
ний диференцiальний оператор, iнформацiя про нього задана таким чином:
A(x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 M ; (1)
n
∑
β=0
| γβ(x) |6= 0, x ∈ [x1, x2] ⊆ R. (2)
Треба побудувати звичайний лiнiйний диференцiальний оператор N -го порядку
LN (x,D)u(x) =
∑
06α6N
aα(x)Dαu(x), D0u(x) = u(x), (3)
невiдомi коефiцiєнти aα(x), 0 6 α 6 N , якого знаходяться з умови
M
∑
β=0
(LM,N (x,D)uβ(x) − γβ(x))2 → min
a0,...,aN
. (4)
Нижче дамо явний аналiтичний вираз для такого оператора LM,N(x,D)u(x). Наведе-
но також аналiтичний вираз для нелiнiйного оператора LN (x,D)u(x) =
N
∑
α=0
aα(x)(Du(x))α
наближуючого оператор A(x,D) за вказаним критерiєм (4).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 17
Теорема 1. Оператор LM,N (x,D)u(x), який дає розв’язок задачi (4), можна зобразити
у формi
LM,N(x,D)u(x) = Γ(x)W T (x)[W (x)W T (x)]−1[ID · · ·DN ]T u(x), (5)
де I — тотожний оператор, Γ(x) = [γ0(x) . . . γM (x)] — матриця-рядок розмiрностi 1 ×
× (M + 1), елементами якої є результати дiї оператора A на вузли u0(x), . . . , uM (x) на
деякiй множинi x ∈ [x1, x2], матриця W (x) розмiрностi (M + 1) × (N + 1) визначається
таким чином:
W (x) = [Dαuβ(x)]α=0,N
β=0,M
=
u0(x) . . . DNu0(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uM (x) . . . DNuM (x)
T
.
Доведення теореми 1 використовує запис оператора LN (x,D)u(x) у виглядi
LN (x,D)u(x) = a(x)[ID · · ·DN ]T u(x), (6)
де a(x) = [a0(x) · · · aN (x)], а також те, що умова (4) є формулюванням методу найменших
квадратiв для розв’язання системи
LN (x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 M, (7)
яку можна записати у матричнiй формi a(x)W (x) = Γ(x), звiдки
a(x) = Γ(x)W T (x)(W (x)W T (x))−1,
що i доводить рiвнiсть (5).
Теорема 2. Якщо матриця W (x) є квадратною, тобто M = N , i виконується умова
detW (x) 6= 0, x ∈ [x1, x2], то оператор LN,N (x,D)u(x) може бути записаний у виглядi
LN,N (x,D)u(x) = Γ(x)[W (x)]−1[ID · · ·DN ]T u(x).
У цьому випадку оператори LN,N (x,D)u(x) є операторами iнтерполювання, якi дослiджу-
валися у роботi [10]: LN,N (x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 N .
Апроксимацiя нелiнiйними диференцiальними операторами спецiального виду. Теоре-
ма 1 повнiстю розв’язує задачу побудови шуканого звичайного лiнiйного диференцiального
оператора, що є оператором найкращого наближення у сенсi (4). Але задача операторної
апроксимацiї, як i задача функцiональної апроксимацiї, має неєдиний розв’язок. У теоре-
мi 3 дано аналiтичний вираз оператора
LNu(x) =
N
∑
α=0
wα(x)(Du(x))α,
що є оператором найкращого наближення оператора A у сенсi (4). Цi оператори Lnu(x) =
= Ln(x,Du(x)) є нелiнiйними диференцiальними операторами першого порядку.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Теорема 3. Оператор LM,N (x,Du(x)), що є розв’язком задачi
M
∑
β=0
(LM,N (x,D)uβ(x) − γβ(x))2 → min
a0,...,aN
, (8)
може бути зображений у виглядi
LM,N(x,Du(x)) = [1Du(x) · · · (Du(x))N ]((ZM,N )T ZM,N )−1(ZM,N )T Γ(x), (9)
де
ZM,N = ZM,N (x) =
1 Du0(x) . . . (Du0(x))N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 DuM−1(x) . . . (DuM−1(x))N
1 DuM (x) . . . (DuM (x))N
,
Γ(x) = [γ0(x) . . . γM (x)]T ,
якщо вузли u0(x), . . . , uM (x) задовольняють умову
det((ZM,N (x))T ZM,N(x)) 6= 0, x ∈ [x1, x2].
Доведення теореми 3 використовує запис оператора LM,Nu(x) у виглядi
LM,Nu(x) = [1Du(x) · · · (Du(x))N ]w(x),
де w(x) = [a0(x)a1(x) · · · aN (x)]T , а також те, що умова (8) є формулюванням методу най-
менших квадратiв для розв’язання системи
LM,N(x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 M,
яку можна записати у матричнiй формi ZM,Nw(x) = Γ(x), звiдки
w(x) = (ZT
M,NZM,N )−1ZT
M,NΓ(x),
що i доводить рiвнiсть (9).
Теорема 4. Якщо матриця ZM,N(x) є квадратною, тобто M = N , i система вузлiв
вибрана так, що виконується умова
detZM,N (x) 6= 0, x ∈ [x1, x2],
то оператор LN,N (x,D)u(x) може бути записаний у виглядi
LN,N (x,D)u(x) = [1Du(x) · · · (Du(x))N ][ZM,N (x)]−1Γ(x). (10)
У цьому випадку оператор LN,N (x,Du(x)) є оператором iнтерполювання, який дослiджу-
вався у роботi [10], тобто вiн має властивостi
LN,N (x,Duβ(x)) = γβ(x), 0 6 β 6 N.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 19
3. Приклад. Хай A(x,D) = (D2)3 = (d2/dx2)3; N = 2; M = 3; L3,2(x,D)u(x) = (a0(x) +
+ a1(x)D + a2(x)D2)u(x). У випадку u0(x) = 1; u1(x) = x, u2(x) = x2/2, u3(x) = x3/6;
γ0(x) = 0; γ1(x) = 0, γ2(x) = 1, γ3(x) = x3 розвязок системи (7) дає
L3,2(x,D)u(x) =
(6x4(x2−1)−6x3(−3+2x2+x4)D+(36+27x4+16x6+3x8)D2)
36+27x4+16x6+3x8
u(x).
При цьому детермiнант матрицi ZT
M,NZM,N дорiвнює нулю при x = 0:
det(ZT
M,N (x)ZM,N (x)) =
1
8
x2(x2 − 2x + 2)(8 − 12x − 2x2 + 10x3 − x4 − 3x5 + x6).
Тобто при побудовi запропонованих операторiв L3,2(x,Du(x)) вiдкритим є питання вибору
вузлiв u0(x), . . . , uM (x).
Таким чином, задача замiни диференцiального оператора iншим є однiєю з найбiльш
широко використовуваних на практицi. Достатньо вiдмiтити рiзницевi, iнтегральнi опера-
тори тощо, якi широко використовуються при розв’язаннi задачi Кошi та крайових задач.
Автор сподiвається, що роботи [10, 11] i дана публiкацiя знайдуть практичнi застосування.
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її узагальнення. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
3. Porter W.A. An overview of polynomic system theory // IEEE Proc. Special issue on system theory. –
1976. – Jan. – P. 18–23.
4. Porter W.A. Synthesis of polynomic system // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
5. Prenter P.M. Lagrange and Hermite interpolation in Banaсh spaces // Appr. Theory. – 1971. – 4, No 4. –
P. 419–432.
6. Howlett P.G., Torokhti A. P. Weak interpolation and approximation of nonlinear operators on the space //
Numer. Func. Anal. and Optimiz. – 1998. – 19 (9, 10). – P. 1025–1043.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2002. – 406 с.
9. Хлобыстов В. В., Поповичева Т.Н. Интерполирование и задачи идентификации // Кибернетика и
систем. анализ. – 2006. – № 3. – С. 100–107.
10. Литвин О.М. Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв // Доп. НАН України. –
2007. – № 6. – С. 19–23.
11. Литвин О.М. Iнтерполювання диференцiальних операторiв з частинними похiдними // Доп. НАН
України. – 2007. – № 7. – С. 7–11.
Надiйшло до редакцiї 03.01.2007Українська iнженерно-педагогiчна
академiя, Харкiв
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2425 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:27:30Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. 2008-10-10T11:26:46Z 2008-10-10T11:26:46Z 2007 Апроксимація звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 16-20. — Библиогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2425 519.6 Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximating operators are not the equal on the given system of functions (functional knots). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Апроксимація звичайних диференціальних операторів Article published earlier |
| spellingShingle | Апроксимація звичайних диференціальних операторів Литвин, О.М. Математика |
| title | Апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| title_full | Апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| title_fullStr | Апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| title_full_unstemmed | Апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| title_short | Апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| title_sort | апроксимація звичайних диференціальних операторів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2425 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom aproksimacíâzvičainihdiferencíalʹnihoperatorív |