Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1]
In the space of piecewise continuous functions, the Hermite formula with continual knots is constructed on the basis of a Newton-type formula with the use of multiple knots. In this case, the directions of differentiations in interpolation formulas can be arbitrary.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2426 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — N 8. — С. 21-25. — Библиогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860196623629418496 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| citation_txt | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — N 8. — С. 21-25. — Библиогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | In the space of piecewise continuous functions, the Hermite formula with continual knots is constructed on the basis of a Newton-type formula with the use of multiple knots. In this case, the directions of differentiations in interpolation formulas can be arbitrary.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:08:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов,
I. I. Демкiв
Функцiональнi полiноми Ермiта в просторi Q[0, 1]
In the space of piecewise continuous functions, the Hermite formula with continual knots is
constructed on the basis of a Newton-type formula with the use of multiple knots. In this case,
the directions of differentiations in interpolation formulas can be arbitrary.
Побудовi та дослiдженню iнтерполяцiйних полiномiв в абстрактних лiнiйних просторах при-
свячено ряд робiт [1–12], серед яких операторнi iнтерполяцiйнi формули типу Ньютона по-
сiдають помiтне мiсце. Тут слiд вiдзначити таких авторiв, як С.Ю. Ульм, В.В. Полль,
П. I. Соболевський, Л.О. Янович [1–4]. У подальшому цими питаннями займалися P. Ker-
gin [14], а за ним C.A. Michelli, P. Milman, M. Andersson, M. Passare, L. Filipsson [10–13]
та iншi дослiдники так званої “Kergin interpolation”. З точки зору прiоритету вiдзначимо,
що iнтерполянт Кергiна з точнiстю до замiни змiнних iнтегрування фiгурував ще у статтi
С.Ю. Ульма, В.В. Полля [1] у 1969 р. У той час як робота P. Kergin [14] з’явилась тiльки
у 1980 р.
Автори даної роботи запропонували свiй пiдхiд щодо побудови iнтерполянтiв типу Нью-
тона [6, 9], якi вiдрiзняються вiд цитованих попереднiх тим, що мають водночас двi власти-
востi: 1 — iнтерполяцiйнi вузли є континуальними, тобто залежать вiд неперервних пара-
метрiв; 2 — iнварiантнiсть iнтерполяцiйних формул щодо полiномiв вiдповiдного степеня.
Перша властивiсть забезпечується завдяки знайденому правилу пiдстановки [9], виконан-
ня якого для даного функцiонала є достатньою умовою континуальностi iнтерполяцiйних
вузлiв у Q[0, 1] — просторi кусково-неперервних на вiдрiзку [0, 1] зi скiнченою кiлькiстю
точок розриву першого роду.
Вiдмiтимо в цьому зв’язку ще раз роботи [1–3, 10–12], у яких для побудови операторних
iнтерполянтiв використовується континуальна iнформацiя, за якою будуються вiдповiднi
iнтеграли в iнтерполяцiйних формулах, але вiдсутня континуальнiсть iнтерполяцiйних вуз-
лiв, що само по собi є неприродним, хоча iнтерполянти зберiгають полiноми вiдповiдного
степеня.
У данiй роботi пропонується конструювати функцiональнi полiноми типу Ермiта на
основi iнтерполяцiйних формул Ньютона, використовуючи кратнiсть вузлiв за допомогою
граничного переходу. При цьому двi вищезазначенi властивостi iнтерполянтiв будуть збе-
рiгатися.
Постановка задачi. У роботi [9] для функцiонала F , визначеного на просторi Q[0, 1],
побудовано iнтерполяцiйний полiном типу Ньютона n-го степеня PN
n (x), x ∈ Q[0, 1] з iн-
терполяцiйними умовами
PN
n (xn(·, ξ1, ξ2, . . . , ξn)) = F (xn(·, ξ1, ξ2, . . . , ξn)), (1)
де континуальна множина вузлiв
xn(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn) = x0(t) +
n
∑
i=1
H(t − ξi)(xi(t) − xi−1(t)) (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 21
для будь-яких ξi з областi Ω~ξn
= {(ξ1, ξ2 . . . , ξn) : 0 6 ξ1 6 ξ2 6 . . . 6 ξn 6 1}, xi(t) ∈
∈ Q[0, 1], H(t) — функцiя Хевiсайда. Зауважимо, що функцiї x0(t), x1(t), . . . , xn(t) належать
континуальнiй множинi (2) при вiдповiдному виборi параметрiв ξi : xn(t) = xk(t), якщо
ξ1 = ξ2 = · · · = ξk = 0, ξk+1 = ξk+2 = · · · = ξn = 1.
Введемо позначення
D(j)
z =
∂j
∂z1∂z2 · · · ∂zn
. (3)
Побудований в [9] полiном n-го степеня вигляду
PN
n (x(·)) = KN
0 +
n
∑
i=1
∫
Ω~ξi
KN
i (z1, z2, . . . , zi)
i
∏
j=1
(x(zj) − xj−1(zj))d~zi, z0 = 0, (4)
де
KN
i (z1, z2, . . . , zi) = (−1)i
i
∏
j=1
(xj(zj) − xj−1(zj))
−1D(j)
z F (xj(·, z1, z2, . . . , zj)), (5)
є полiномом Ньютона на континуальнiй множинi вузлiв (2) у припущеннi, що:
а) частиннi похiднi в правiй частинi (5) iснують як неперервнi функцiї за кожною змiн-
ною окремо з Ω~zi
, xj(t) − xj−1(t) 6= 0;
б) iснують iнтеграли в (4);
в) виконується правило пiдстановки [9].
Цей iнтерполянт єдиний та iнварiантний у класi функцiональних полiномiв вигляду [9]
Pn(x(·)) = K0 +
n
∑
i=1
1
∫
0
· · ·
1
∫
0
Ki(z1, z2, . . . , zi)
i
∏
j=1
x(zj)d~zi. (6)
Надалi поставимо таку задачу: на пiдставi iнтерполяцiйної формули типу Ньютона (4),
(5) побудувати iнтерполянт з двократними вузлами та довести, що побудований полiном
буде iнтерполянтом типу Ермiта, тобто в континуальних вузлах вiн набуває заданих конти-
нуальних значень та в кожному вузлi має першi похiднi Гато за вiдповiдними напрямками.
3. Розв’язок задачi. Сформульовану вище задачу розв’язуватимемо таким чином.
Розглянемо iнтерполянт (4), (5) непарного степеня 2n + 1, послiдовнiсть функцiй x0(t),
x1(t), . . ., x2n+1(t) та подамо її у виглядi
x1(t)=x0(t)+α1v1(t), x3(t)=x2(t)+α2v2(t), . . . , x2n+1(t)=x2n(t)+αn+1vn+1(t), (7)
де αi ∈ R, vi(t) ∈ Q[0, 1].
Пiдставимо вирази (7) у формули (4), (5) у випадку непарного степеня 2n + 1 та пере-
йдемо в них до границi, коли αi → 0. У припущеннi, що iснують вiдповiднi похiднi Гато,
iнтеграли, виконується правило пiдстановки [9], проводячи певнi обчислення та перетворен-
ня, одержуємо граничний полiном PE
2n+1(x(·)) вигляду
PE
2n+1(x(·)) = F (x0(·)) +
2n+1
∑
k=1
(−1)kqE
k (x(·)), (8)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
де
qE
2k(x(·)) =
∫
Ω~z2k
D(2k)
z F (k+1)(x0(·) + (x2(·) − x0(·))H(· − z2) + (x4(·) − x2(·)) ×
× H(·−z4)+· · ·+(x2k(·) − x2k−2(·))H(· − z2k))v1(·)H(· − z1)v2(·)H(· − z3) · · ·
· · · vk(·)H(· − z2k−1)
k
∏
j=1
x(z2j−1) − x2j−2(z2j−1)
v(z2j−1)
x(z2j) − x2j−2(z2j)
x2j(z2j) − x2j−2(z2j)
d~z2k, (9)
qE
2k+1(x(·)) =
∫
Ω~z2k+1
D(2k+1)
z F (k+1)(x0(·) + (x2(·) − x0(·))H(· − z2) +
+ (x4(·) − x2(·))H(· − z4) + · · · + (x2k(·) − x2k−2(·))H(· − z2k)) ×
× v1(·)H(· − z1)v2(·)H(· − z3) · · · vk+1(·)H(· − z2k+1) ×
×
k
∏
j=1
x(z2j−1) − x2j−2(z2j−1)
v(z2j−1)
x(z2j) − x2j−2(z2j)
x2j(z2j) − x2j−2(z2j)
x(z2k+1) − x(z2k+1)
v(z2k+1)
d~z2k+1. (10)
Записавши залишковий член для полiнома Ньютона [9] степеня 2n + 1, подаючи x1(t),
x3(t), . . ., x2n+1(t) у виглядi (7) та переходячи до границi, коли αi → 0, отримуємо залиш-
ковий член формули (8) у виглядi
RE
2n+1(x(·)) =
∫
Ω~z2n+2
D(2n+2)
z F (n+1)(x0(·) + (x2(·) − x0(·))H(· − z2) + (x4(·) − x2(·)) ×
× H(· − z4) + · · · + (x(·) − x2n(·))H(· − z2n+2)) ×
× v1(·)H(· − z1)v2(·)H(· − z3) · · · vn+1(·)H(· − z2n+1) ×
×
n
∏
j=1
x(z2j−1) − x2j−2(z2j−1)
v(z2j−1)
x(z2j) − x2j−2(z2j)
x2j(z2j) − x2j−2(z2j)
x(z2n+1) − x(z2n+1)
v(z2n+1)
d~z2n+2. (11)
У роботi [9] доведено, що при виконаннi правила пiдстановки та вiдповiднiй гладкостi
функцiонала F (x(·)) останнiй можна подати у виглядi суми iнтерполянта типу Ньютона та
його залишкового члена, тобто
F (x(·)) = PN
2n+1(x(·)) + RN
2n+1(x(·)). (12)
Якщо зробити замiну (7) у формулi (12) та перейти до границi, коли αi → 0, то неважко
бачити, що результатом цього граничного переходу буде
F (x(·)) = PE
2n+1(x(·)) + RE
2n+1(x(·)), (13)
де iнтерполянт PE
2n+1(x(·)) визначений формулами (8)–(10), а залишковий член
RE
2n+1(x(·)) — формулою (11). На пiдставi зображення функцiонала (13) можна зробити
такi висновки. По-перше, оскiльки iнтерполянт типу Ньютона PN
2n+1(x(·)) має континуальнi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 23
iнтерполяцiйнi вузли (2), то вузлами iнтерполянта типу Ермiта будуть також континуальнi
вузли
x2n+1(t, ξ2, ξ4, . . . , ξ2n) = x0(t) +
n
∑
k=1
(x2k(t) − x2k−2(t))H(t − ξ2k). (14)
По-друге, на пiдставi вигляду залишкового члена формули Ермiта маємо
RE′
2n+1(xk(·))vk(·) =
[
d
dα
RE
2n+1(xk(·) + αvk(·))
]
α=0
≡ 0, (15)
для всiх таких vk(t) з Q[0, 1], для яких iснують iнтеграли у формулах (9)–(11). Це озна-
чає, що vk(t) можуть не збiгатися з vk(t), тобто iнтерполянт типу Ермiта не залежить вiд
напрямкiв диференцiювання vk(t).
П р и к л ад . Розглянемо функцiонал вигляду
F (x(·)) =
( 1
∫
0
x(t)dt
)3
, x(t) ∈ Q[0, 1]. (16)
Побудуємо PE
2
(x(·)) з двократним вузлом x0(t) та однократним x2(t). Маємо
PE
2
(x(·)) =
(
1
∫
0
x0(t)dt
)3
+ 3
(
1
∫
0
x0(t)dt
)2
1
∫
0
(x(z1) − x0(z1))dz1 +
+ 6
1
∫
0
1
∫
z1
{
1
∫
0
x0(t)dt +
1
∫
z2
(x2(t) − x0(t))dt
}
(x(z1) − x0(z1))(x(z2) − x0(z2))dz2dz1.
Це iнтерполяцiйний полiном типу Ермiта, що задовольняє континуальнi iнтерполяцiйнi умови
PE
2
(x2(·, ξ2)) = F (x2(·, ξ2)),
PE
′
2
(x2(·, ξ2))v(·) = F
′
(x2(·, ξ2))v(·).
Сформулюємо одержаний вище результат у виглядi такого твердження.
Теорема 1. Нехай виконується правило пiдстановки з [9] та iснують iнтеграли (9)–
(11) на вiдповiднiй пiдмножинi з Q[0, 1]. Тодi iнтерполянт типу Ермiта PE
2n+1(x(·)) задо-
вольняє континуальнi iнтерполяцiйнi умови
PE
2n+1(x2n+1(·, ξ2, ξ4, . . . , ξ2n)) = F (x2n+1(·, ξ2, ξ4, . . . , ξ2n)), (17)
PE′
2n+1(x2n+1(·, ξ2, ξ4, . . . , ξ2n))v1(·) · · · vn(·) =
= F ′(x2n+1(·, ξ2, ξ4, . . . , ξ2n))v1(·) · · · vn(·), (18)
та не залежить вiд напрямкiв диференцiювання.
Зауваження 1. У роботi [9] було показано, що iнтерполянт типу Ньютона, побудований
на континуальнiй множинi вузлiв xn(t, ξ1, ξ2, . . . , ξn), єдиний та має властивiсть збереження
полiномiв вiдповiдного степеня. Оскiльки формула Ермiта отримана з формули Ньютона
граничним переходом, то на континуальнiй множинi вузлiв (14) iнтерполянт типу Ермiта
PE
2n+1(x(·)) також єдиний та iнварiантний щодо полiномiв того ж самого степеня вигляду (6).
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
1. Ульм С.Ю., Поль В. В. О построении обобщенных разделенных разностей // Изв. АН ЭССР. – 1969. –
18, № 1. – С. 100–102.
2. Prenter P.M. Lagrange and Hermite interpolation in Banach spaces // Approx. Theory. – 1971. – 4. –
P. 419–432.
3. Соболевский П.И. Интерполяция функционалов и некоторые приближенные формулы для интегра-
лов по гауссовой мере // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № 2. – С. 5–12.
4. Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. – Минск:
Наука и техника, 1976. – 384 с.
5. Porter W.A. Synthesis of polynomic systems // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В. В. Интерполяционная формула типа Ньютона для нелинейных функ-
ционалов // Докл. АН СССР. – 1989. – 307, № 3. – С. 534–537.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В. В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования /
Ин-т математики НАН Украины. – Киев, 1998. – 278 с.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 406 с.
9. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Кашпур Е.Ф., Михальчук Б.Р. Интерполяционные полиномы типа
Ньютона с континуальными узлами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 779–790.
10. Micchеlli C.A. A constructive approach to Kergin interpolation in ℜ
k // Rocky Mountain J. Math. –
1980. – 10. – P. 485–497.
11. Micchеlli C. A., Milman P. A formula for Kergin interpolation in ℜ
n // J. Approxim. Theory. – 1980. –
29. – P. 294–296.
12. Andersson M., Passare M. Complex Kergin Interpolation // Ibid. – 1991. – 64. – P. 214–225.
13. Filipsson L. Kergin interpolation in Banach spaces // Ibid. – 2004. – 127. – P. 108–123.
14. Kergin P. A natural interpolation of C
k function // Ibid. – 1980. – 29. – P. 278–293.
Надiйшло до редакцiї 31.01.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
УДК 512
© 2007
Т.Р. Сейфуллин
Операция порождения корневых функционалов
и корневые полиномы
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Летичевским)
For a system of (n−1) polynomials in n variables, we consider the connection of the operation
of generation for the root functionals with root polynomials.
Здесь мы будем использовать определения, обозначения и соглашения, данные в [1–3].
Теорема 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, y ≃ x = (x1, . . . , xn) —
переменные, f(x) = (f1(x), . . . , fn−1(x)) — полиномы из R[x], положим δf =
n−1
∑
i=1
deg(fi)−n.
Пусть функционалы L1(x∗) и L2(x∗) аннулируют (f(x))x.
Положим L(x∗) = L1(x∗)
+
∗ L2(x∗), заметим, что L(x∗) = L2(x∗)
+
∗ L1(x∗). Тогда:
1) функционал L(x∗) аннулирует (f(x))x;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2426 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:08:48Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. 2008-10-10T11:27:43Z 2008-10-10T11:27:43Z 2007 Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — N 8. — С. 21-25. — Библиогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2426 517.988 In the space of piecewise continuous functions, the Hermite formula with continual knots is constructed on the basis of a Newton-type formula with the use of multiple knots. In this case, the directions of differentiations in interpolation formulas can be arbitrary. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] Article published earlier |
| spellingShingle | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Математика |
| title | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] |
| title_full | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] |
| title_fullStr | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] |
| title_full_unstemmed | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] |
| title_short | Функціональні поліноми Ерміта в просторі Q[0,1] |
| title_sort | функціональні поліноми ерміта в просторі q[0,1] |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2426 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl funkcíonalʹnípolínomiermítavprostoríq01 AT hlobistovvv funkcíonalʹnípolínomiermítavprostoríq01 AT demkívíí funkcíonalʹnípolínomiermítavprostoríq01 |