Про один критерій для опуклих функцій
We obtain some new facts for the convex downwards functions vanishing at infinity.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2428 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про один критерій для опуклих функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 31-36. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860060811637030912 |
|---|---|
| author | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. |
| author_facet | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. |
| citation_txt | Про один критерій для опуклих функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 31-36. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | We obtain some new facts for the convex downwards functions vanishing at infinity.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:04:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
свойства 5) из [1, с. 6] если существует единичный корневой функционал, то любой функ-
ционал L(x∗), аннулирующий (f(x))x и такой, что L(y∗).det ‖∇f(x, y)‖ ∈ (f(x))x, равен
нулю. Следовательно, λ(x∗) = 0∗.
Замечание 1 (к теореме 5). R является алгебраически замкнутым полем. В этом случае
условие R[x]/(f(x))x является конечно порожденным как модуль над R эквивалентно усло-
вию 0-мерности многообразия корней. Тогда 2 теоремы 5 означает, что в случае 0-мерного
многообразия корней нет ненулевых вырожденных корневых функционалов.
1. Сейфуллин Т. Р. Корневые функционалы и корневые полиномы системы полиномов // Доп. НАН
України. – 1995. – № 5. – С. 5–8.
2. Seifullin T.R. Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Там же. –
2002. – № 7. – С. 35–42.
3. Сейфуллин Т. Р. Корневые функционалы на 1-мерном многообразии // Там же. – 2007. – № 7. –
С. 18–23.
Поступило в редакцию 16.02.2007Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
УДК 517.5
© 2007
Член-кореспондент НАН України О. I. Степанець, А. Л. Шидлiч
Про один критерiй для опуклих функцiй
We obtain some new facts for the convex downwards functions vanishing at infinity.
У роботi встановлено низку нових фактiв для опуклих донизу функцiй, якi зникають на
нескiнченностi. Iнтерес до таких функцiй в останнi десятилiття обумовлений введенням по-
няття узагальнених похiдних i вивченням апроксимативних властивостей класiв перiодич-
них функцiй, що визначаються на їх основi (див., напр., [1, 2]). Властивостi таких функцiй
дослiджувались у роботах [1, гл. III; 2, гл. III; 3; 4] та iн. Зокрема, в [1] було запропоновано
класифiкувати опуклi донизу функцiї таким чином.
Нехай M — множина всiх додатних при t > 1 опуклих донизу спадних до нуля функцiй:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1) − 2ψ
(
t1 + t2
2
)
+ ψ(t2) > 0, ∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Нехай, далi, ψ ∈ M, тодi через η(t) = η(ψ; t) позначають функцiю, яка пов’язана iз ψ
рiвнiстю
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t), t > 1. (1)
Внаслiдок строгої монотонностi функцiї ψ, η(t) при всiх t > 1 визначається однозначно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 31
Покладають
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t) − t
.
Залежно вiд поведiнки функцiї µ розрiзняють такi пiдмножини множини M:
M0 = {ψ ∈ M : 0 < µ(ψ; t) 6 K ∀ t > 1},
M∞ = {ψ ∈ M : 0 < K 6 µ(ψ; t) <∞ ∀ t > 1},
MC = M0 ∩ M∞ = {ψ ∈ M : 0 < K1 6 µ(ψ; t) 6 K2 ∀ t > 1},
де, як i надалi, K, K1, . . . — деякi додатнi сталi, що не залежать вiд параметра t.
Через M
+
0 позначають пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина µ(ψ; t) при
t → ∞ монотонно прямує до нуля:
M
+
0 = {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↓ 0},
а через M
+
∞
— пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких µ(ψ; t) монотонно i необмежено
зростає при t → ∞:
M
+
∞
= {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞}. (3)
Така класифiкацiя дала змогу створити апарат дослiдження, за допомогою якого було
отримано результати для вiдомих класiв LψN перiодичних функцiй практично в такiй же
повнотi та завершеностi, в якiй вони були отриманi ранiше для класiв функцiй, якi визна-
чаються похiдними в сенсi Вейля.
У роботi [3] було вказано такi умови належностi функцiй ψ ∈ M до введених множин.
Твердження A. Функцiя ψ ∈ M належить множинi M0 тодi i лише тодi, коли
величина
α(t) = α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t)
df
=ψ′(t+ 0), (4)
задовольняє умову
α(t) > K > 0 ∀ t > 1;
ψ ∈ M належить множинi M∞ тодi i лише тодi, коли
α(t) 6 K ∀ t > 1;
ψ ∈ M належить множинi MC тодi i лише тодi, коли
0 < K1 6 α(t) 6 K2 ∀ t > 1.
Якщо функцiя α(t) не спадає i
lim
t→∞
α(t) = ∞, (5)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
то ψ ∈ M
+
0 . Якщо ж α(t) не зростає i
lim
t→∞
α(t) = 0, (6)
то ψ ∈ M
+
∞
.
Однак якщо для множин M0, M∞ та MC знайденi умови є необхiдними i достатнiми, то
для множин M
+
0 i M
+
∞
вони є лише достатнiми. Нижченаведене твердження дає необхiднi
i достатнi умови того, щоб функцiя ψ ∈ M належала до множин M
+
0 i M
+
∞
.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ M. Тодi для того щоб ψ належала множинi M
+
∞
, необхiдно
i достатньо, щоб функцiя α(t) = α(ψ; t), яка визначається рiвнiстю (4), задовольняла
умову (6) i нерiвнiсть
α(η(ψ; t))
α(t)
6 1 ∀ t > 1. (7)
Для того щоб ψ належала множинi M
+
0 , необхiдно i достатньо, щоб функцiя α(t) задо-
вольняла умову (5) i нерiвнiсть
α(η(ψ; t))
α(t)
> 1 ∀ t > 1.
Доведення. Покажемо спочатку, що якщо функцiя α задовольняє умови (6) та (7), то
ψ ∈ M
+
∞
. Прямування до нескiнченностi при t → ∞ величини µ(ψ; t) за умови (6) доведено
в [3]. Переконаємось, що функцiя µ(ψ; t) монотонно спадає.
Розглядаючи функцiю 1/µ(ψ; t) = (η(t)/t) − 1, робимо висновок, що це можливо тодi
i лише тодi, коли
tη′(t) − η(t) 6 0. (8)
Згiдно з (1) та (4)
1
2
ψ(t) = ψ(η(t)) = −η(t)ψ′(η(t))α(η(t)).
Об’єднуючи цю рiвнiсть з рiвнiстю (4) i враховуючи те, що внаслiдок (2) ∀ϕ ∈ M
η′(t) =
ψ′(t)
2ψ′(η(t))
, (9)
отримуємо
tη′(t)α(t)
η(t)α(η(t))
= 1,
або
tη′(t) = η(t)
α(η(t))
α(t)
. (10)
Звiдси, на пiдставi (7), робимо висновок, що спiввiдношення (8) є правильним, а отже,
функцiя µ(ψ; t) монотонно спадає при t > 1, i ψ ∈ M
+
∞
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 33
Переконаємось тепер, що для довiльної функцiї ψ ∈ M
+
∞
величина α(ψ; t) задовольняє
умови (6) та (7).
Якщо ψ ∈ M
+
∞
, то справджується нерiвнiсть (8), враховуючи яку, iз спiввiдношення (10)
отримуємо (7). Крiм того, для довiльної функцiї ψ ∈ M при кожному t > 1 маємо
|ψ′(η(t))|(η(t) − t) 6
1
2
ψ(t) = −
η(t)
∫
t
ψ′(τ)dτ 6 |ψ′(t)|(η(t) − t).
Звiдси
α(t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
6 2
η(t) − t
t
=
2
µ(ψ; t)
.
Тому, якщо ψ ∈ M така, що величина µ(ψ; t) монотонно i необмежено зростає, коли t→ ∞,
тобто ψ ∈ M
+
∞
, то виконується спiввiдношення (6).
Цiлком аналогiчно доводиться друге твердження теореми 1.
У роботi [3] (див. також [2]) було отримано твердження В для функцiй з множин M0,
M∞ та MC .
Твердження B. Якщо ψ ∈ M0, то можна вказати таке r1 > 0, що при всiх t > 1
буде виконуватись нерiвнiсть
ψ(t) > Kt−r1,
якщо ψ ∈ M∞, то iснує число r2 > 0 таке, що при всiх t > 1
ψ(t) 6 Kt−r2,
якщо ж ψ ∈ MC , то iснують числа r1, r2 > 0 такi, що при всiх t > 1
K1t
−r1 6 ψ(t) 6 K2t
−r2.
Встановимо вiдповiдний факт i для функцiй з множин M
+
0 та M
+
∞
.
Теорема 2. Якщо ψ ∈ M
+
∞
, то для довiльного r > 0 знайдеться число K > 0 таке,
що ∀t > 1
ψ(t) 6 Kt−r. (11)
Якщо ж ψ ∈ M
+
0 , то яке б не було число r > 0, знайдеться стала K > 0 така, що
ψ(t) > Kt−r ∀ t > 1. (12)
Доведення. Записуючи рiвнiсть (4) у виглядi
ψ′(t)
ψ(t)
= −
1
tα(t)
i iнтегруючи останнє спiввiдношення по промiжку [1, t], t > 1, отримуємо
ψ(t) = ψ(1) exp
(
−
t
∫
1
dτ
τα(τ)
)
.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Оскiльки α(t) → 0 при t → ∞, то для довiльного r > 0 знайдеться число tr таке, що для
всiх t > tr виконується нерiвнiсть 1/α(t) > r. Тому при t > tr будемо мати
ψ(t) = ψ(1) exp
(
−
tr
∫
1
dτ
τα(τ)
−
t
∫
tr
dτ
τα(τ)
)
6
6 ψ(1) exp
(
−
tr
∫
1
dτ
τα(τ)
)
exp
(
−r
t
∫
tr
dτ
τ
)
= ψ(1)trr exp
(
−
tr
∫
1
dτ
τα(τ)
)
t−r,
звiдки i випливатиме спiввiдношення (11).
Справедливiсть спiввiдношення (12) для функцiй ψ ∈ M
+
0 доводиться аналогiчно.
Iз спiввiдношення (9) випливає, що для довiльної функцiї ψ ∈ M виконується нерiвнiсть
η′(ψ; t) >
1
2
∀ t > 1.
З iншого боку, якщо ψ ∈ M
+
∞
, то внаслiдок (3) маємо
η(ψ; t) = t(1 + γ(t)),
де γ(t) — функцiя, монотонно спадна до нуля при t → ∞. Звiдки випливає, що
η′(ψ; t) 6 1 + γ(t).
Таким чином, якщо ψ ∈ M
+
∞
, то справджується оцiнка
1
2
6 η′(ψ; t) 6 1 + γ(t), lim
t→∞
γ(t) = 0. (13)
Виявляється, що якщо iснує границя при t→ ∞ величини η′(ψ; t), то ця границя дорiвнює
одиницi. Точнiше справедлива
Теорема 3. Якщо ψ ∈ M
+
∞
, i, крiм того,
lim
t→∞
η′(ψ; t) = a, (14)
то a = 1.
Доведення. Iз (13) випливає, що величина a бiльшою за одиницю бути не може. При-
пустимо, що a < 1. Тодi для довiльного ε > 0 знайшлося б таке число tε, що при всiх t > tε
виконувалася б нерiвнiсть η′(ψ; t) < 1 − ε. У такому разi
η(ψ; t) − η(ψ; tε) =
t
∫
tε
η′(ψ; τ)dτ < (1 − ε)(t − tε),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 35
звiдки випливало б, що при досить великих значеннях t η(ψ; t) < t, що неможливо. Тому
дiйсно a = 1.
1. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. –
268 с.
2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч // Працi Iн-ту математики НАН України. –
T. 40 – Київ: Вид. Iн-ту математики НАН України, 2002. – Ч. 2. – С. 159–176.
3. Степанец А.И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. – 51,
№ 5. – С. 688–702.
4. Тихонов С.Ю. Об эквивалентности некоторых условий для выпуклых функций // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 3. – С. 427–431.
Надiйшло до редакцiї 20.12.2006Iнститут математики НАН України, Київ
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2428 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:04:04Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. 2008-10-10T11:29:45Z 2008-10-10T11:29:45Z 2007 Про один критерій для опуклих функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 31-36. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2428 517.5 We obtain some new facts for the convex downwards functions vanishing at infinity. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про один критерій для опуклих функцій Article published earlier |
| spellingShingle | Про один критерій для опуклих функцій Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. Математика |
| title | Про один критерій для опуклих функцій |
| title_full | Про один критерій для опуклих функцій |
| title_fullStr | Про один критерій для опуклих функцій |
| title_full_unstemmed | Про один критерій для опуклих функцій |
| title_short | Про один критерій для опуклих функцій |
| title_sort | про один критерій для опуклих функцій |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2428 |
| work_keys_str_mv | AT stepanecʹoí proodinkriteríidlâopuklihfunkcíi AT šidlíčal proodinkriteríidlâopuklihfunkcíi |