Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія
On the basis of a constructed 3D analog of the 2D boundary-value problem on the conformal mapping of a curvilinear quadrangle on the rectangular, we get the algorithm of asymptotic approximation of a solution of the 3D nonlinear singularly perturbed boundary-value problem of ''convection-d...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2429 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія / А.Я. Бомба, Ю.Є. Климюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 37-44. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859839050245996544 |
|---|---|
| author | Бомба, А.Я. Климюк, Ю.Є. Скопецький, В.В. |
| author_facet | Бомба, А.Я. Климюк, Ю.Є. Скопецький, В.В. |
| citation_txt | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія / А.Я. Бомба, Ю.Є. Климюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 37-44. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | On the basis of a constructed 3D analog of the 2D boundary-value problem on the conformal mapping of a curvilinear quadrangle on the rectangular, we get the algorithm of asymptotic approximation of a solution of the 3D nonlinear singularly perturbed boundary-value problem of ''convection-diffusion'' in the curvilinear parallelepiped bounded by two equipotential surfaces and four surfaces of a current, under conditions of the third kind on the input and the output of a filtration current and with regard for the general return influence of pollutions on the coefficient of diffusion. The results of numerical calculations are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:36:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.95.001.573
© 2007
А.Я. Бомба, Ю.Є. Климюк, член-кореспондент НАН України
В.В. Скопецький
Просторовi нелiнiйнi сингулярно збуренi крайовi задачi
типу конвекцiя — дифузiя
On the basis of a constructed 3D analog of the 2D boundary-value problem on the conformal
mapping of a curvilinear quadrangle on the rectangular, we get the algorithm of asymptotic
approximation of a solution of the 3D nonlinear singularly perturbed boundary-value problem
of “convection-diffusion” in the curvilinear parallelepiped bounded by two equipotential surfaces
and four surfaces of a current, under conditions of the third kind on the input and the output
of a filtration current and with regard for the general return influence of pollutions on the
coefficient of diffusion. The results of numerical calculations are given.
В [1–4] та роботах iнших авторiв на основi [5] розроблено асимптотичний метод розв’язання
типових крайових та змiшаних задач для сингулярно збурених параболiчних та елiптичних
рiвнянь у прямокутних областях (прямокутник, пiвсмуга тощо) з урахуванням рiзного рiв-
ня гладкостi початкової i граничних умов та їх узгодженостi у кутових точках. Подальше
застосування та розвиток цей метод знайшов, зокрема, у роботах [6, 7] при розв’язаннi син-
гулярно збурених задач конвективної дифузiї при фiльтрацiї в чотирикутних криволiнiйних
областях, обмежених еквiпотенцiальними лiнiями та лiнiями течiї. Використання згаданої
методики разом з аналiтичними i чисельно-аналiтичними методами дало можливiсть одер-
жати точнi або наближенi аналiтичнi розв’язки найбiльш типових задач типу конвекцiя —
фiльтрацiя в багатозв’язних областях [8, 9], задач гетеродифузiї [10, 11], нелiнiйних задач
iз запiзненням [12]. У роботi [13] побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачi
на конформне вiдображення внутрiшньої областi криволiнiйного чотирикутника на прямо-
кутну i одержано асимптотичне розвинення розв’язку сингулярно збуреної крайової задачi
для рiвняння конвективної дифузiї у криволiнiйному паралелепiпедi, тому нинi актуаль-
ною є проблема одержання розв’язкiв для аналогiчних просторових задач. Нами цей метод
поширено на нелiнiйнi просторовi сингулярно збуренi крайовi задачi конвективної дифузiї
для однозв’язного криволiнiйного паралелепiпеда, обмеженого взаємоортогональними мiж
собою еквiпотенцiальними поверхнями та поверхнями течiї, з урахуванням сумарного зво-
ротного впливу забруднень на характеристики середовища (коефiцiєнт дифузiї), коли на
входi i виходi фiльтрацiйної течiї задаються умови третього роду.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 37
Рис. 1
Постановка задачi. Для областi G = Gz × (0,∞), де Gz = ABCDA∗B∗C∗D∗ (z =
= (x, y, z)) — однозв’язний криволiнiйний паралелепiпед (пористий пласт), обмежений глад-
кими, ортогональними мiж собою в кутових точках та по ребрах, еквiпотенцiальними по-
верхнями ABB∗A∗ = {z: f1(x, y, z) = 0}, CDD∗C∗ = {z: f2(x, y, z) = 0} та поверхнями течiї
ADD∗A∗ = {z: f3(x, y, z) = 0}, BCC∗B∗ = {z: f4(x, y, z) = 0}, ABCD = {z: f5(x, y, z) = 0},
A∗B∗C∗D∗ = {z: f6(x, y, z) = 0} (рис. 1, а), розглянемо нелiнiйну модельну задачу:
~v = gradϕ, div~v = 0; gradϕ = gradψ × grad η, gradψ · grad η = 0; (1)
ϕ|ABB∗A∗
= ϕ∗, ϕ|CDD∗C∗
. = ϕ∗,
∂ϕ
∂n
∣∣∣∣
ADD∗A∗∪A∗B∗C∗D∗∪BCC∗B∗∪ABCD
= 0; (2)
ε
((
1 + µ
t∫
0
l(x, y, z, t̃)C(x, y, z, t̃)dt̃
)
(Cxx(x, y, z, t) + Cyy + Czz) +
+ µ
( t∫
0
(l(x, y, z, t̃)C(x, y, z, t̃))xdt̃ · Cx +
t∫
0
(l(x, y, z, t̃)C(x, y, z, t̃))ydt̃ · Cy +
+
t∫
0
(l(x, y, z, t̃)C(x, y, z, t̃))zdt̃ · Cz
))
− vx(x, y, z)Cx − vy(x, y, z)Cy −
− vz(x, y, z)Cz = Ct(x, y, z, t), (3)
α1(y, z, t)C(x, y, z, t) + β1(y, z, t)Cx(x, y, z, t)|ABB∗A∗
= γ1(y, z, t),
α2(y, z, t)C(x, y, z, t) + β2(y, z, t)Cx(x, y, z, t)|CDD∗C∗
= γ2(y, z, t),
C(x, y, z, t)|ADD∗A∗
= c∗∗(x, z, t), C(x, y, z, t)|BCC∗B∗
= c∗∗(x, z, t),
C(x, y, z, t)|ABCD = c∗∗∗(x, y, t), C(x, y, z, t)|A∗B∗C∗D∗
= c∗∗∗(x, y, t),
C(x, y, z, 0) = c00(x, y, z),
(4)
де ϕ — фiльтрацiйний потенцiал (0 < ϕ∗ 6 ϕ 6 ϕ∗ < ∞); ~v — вектор швидкостi фiльтра-
цiї (|~v| =
√
v2
x(x, y, z) + v2
y(x, y, z) + v2
z(x, y, z) > v∗ ≫ ε) в точцi z = (x, y, z); C(x, y, z, t) —
концентрацiя розчинної речовини у фiльтрацiйнiй течiї у точцi (x, y, z) в момент часу t;
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
l(x, y, z, t) — деяка вагова обмежена функцiя, що характеризує зворотний вплив забруд-
нення середовища на його дифузiйну провiднiсть; n — зовнiшня нормаль до вiдповiд-
ної поверхнi; ε = µ/k, k — задане додатне дiйсне число; ε — малий параметр (ε >
> 0), α1(y, z, t), β1(y, z, t), γ1(y, z, t), α2(y, z, t), β2(y, z, t), γ2(y, z, t), c∗∗(x, z, t), c
∗∗(x, z, t),
c∗∗∗(x, y, t), c
∗∗∗(x, y, t), c00(x, y, z) — досить гладкi функцiї, узгодженi мiж собою вздовж
ребер областi G.
Нехай задача (1) шляхом просторово-конформного вiдображення [13] Gz 7→ Gw (або
Gw 7→ Gz), де Gw = {w = (ϕ,ψ, η) : ϕ∗ < ϕ < ϕ∗,Q∗ < ψ < Q∗, Q∗∗ < η < Q∗∗} — вiдповiдна
Gz область комплексного потенцiалу (рис. 1, б ), ψ = ψ(x, y, z) i η = η(x, y, z) — функцiї течiї,
комплексно спряженi до ϕ = ϕ(x, y, z), є розв’язаною, зокрема, знайдено поле швидкостi ~v
i параметри Q = Q0 ·Q0, Q0 = Q∗ −Q∗, Q
0 = Q∗∗ −Q∗∗ — вiдповiдно потоки через довiль-
ний поперечний перерiз течiї Gz, ї ї горизонтальний та вертикальний “одиничнi прошарки”.
Здiйснивши замiну змiнних x = x(ϕ,ψ, η), y = y(ϕ,ψ, η), z = z(ϕ,ψ, η) у рiвняннi (3) та
умовах (4), приходимо до вiдповiдної “дифузiйної задачi” для областi Gw:
ε
(
(v2(ϕ,ψ, η)Cϕϕ + a1(ϕ,ψ, η)Cψψ + a2(ϕ,ψ, η)Cηη + b1(ϕ,ψ, η)Cψ +
+ b2(ϕ,ψ, η)Cη)
(
1 + εk
t∫
0
(l̃ · C̃)dt̃
)
+ εk
(
v2(ϕ,ψ, η)(Cϕ
t∫
0
(l̃ · C̃ϕ)dt̃+
+ Cϕ
t∫
0
(l̃ϕ · C̃)dt̃) + a1(ϕ,ψ, η)
(
Cψ
t∫
0
(l̃ · C̃ψ)dt̃+ Cψ
t∫
0
(l̃ψ · C̃)dt̃
)
+
+ a2(ϕ,ψ, η)
(
Cη
t∫
0
(l̃ · C̃η)dt̃+ Cη
t∫
0
(l̃η · C̃)dt̃
)))
− v2(ϕ,ψ, η)Cϕ = Ct, (5)
α1(ψ, η, t)C(ϕ∗, ψ, η, t) + β1(ψ, η, t)Cϕ(ϕ∗, ψ, η, t) = γ1(ψ, η, t),
α2(ψ, η, t)C(ϕ∗, ψ, η, t) + β2(ψ, η, t)Cϕ(ϕ∗, ψ, η, t) = γ2(ψ, η, t),
C(ϕ,Q∗, η, t) = c∗∗(ϕ, η, t), C(ϕ,Q∗, η, t) = c∗∗(ϕ, η, t),
C(ϕ,ψ,Q∗∗, t) = c∗∗∗(ϕ,ψ, t), C(ϕ,ψ,Q∗∗, t) = c∗∗∗(ϕ,ψ, t),
C(ϕ,ψ, η, 0) = c00(ϕ,ψ, η),
(6)
де a1(ϕ,ψ, η) = ψ2
x + ψ2
y + ψ2
z , a2(ϕ,ψ, η) = η2
x + η2
y + η2
z , b1(ϕ,ψ, η) = ψxx + ψyy + ψzz,
b2(ϕ,ψ, η) = ηxx + ηyy + ηzz.
Асимптотика розв’язку. Розв’язок задачi (5), (6) з точнiстю O(εn+1) шукаємо у ви-
глядi асимптотичного ряду
C(ϕ,ψ, η, t) = C0(ϕ,ψ, η, t) +
n∑
i=1
εiCi(ϕ,ψ, η, t) +
n+1∑
i=0
εiPi(ξ, ψ, η, t) +
+
n+1∑
i=0
εi/2Hi(ϕ, ζ, η, t) +
n+1∑
i=0
εi/2H̃i(ϕ, ζ̃, η, t) +
n+1∑
i=0
εi/2Ti(ϕ,ψ, ς, t) +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 39
+
n+1∑
i=0
εi/2T̃i(ϕ,ψ, ς̃ , t) +Rn(ϕ,ψ, η, t, ε), (7)
де Rn(ϕ,ψ, η, t, ε) — залишковий член (його оцiнка встановлюється аналогiчно [3–5, 13]
на основi принципу максимуму); C0(ϕ,ψ, η, t) — розв’язок вiдповiдної виродженої зада-
чi (конвективного переносу), Ci(ϕ,ψ, η, t) (i = 1, n) — поправки, якi враховують “вплив”
дифузiї всюди в данiй областi (за винятком деякої її приграничної дiлянки); Pi(ξ, ψ, η, t)
(i = 0, n+ 1) — функцiї типу примежового шару в околi ϕ = ϕ∗ (поправки на виходi кон-
вективної течiї); Hi(ϕ, ζ, η, t),
⌢
Hi(ϕ,
⌢
ζ, η, t), Ti(ϕ,ψ, ς, t),
⌢
Ti(ϕ,ψ,
⌢
ς, t) (i = 0, n + 1) — функцiї
типу пограншару вiдповiдно в околах ψ = Q∗, ψ = Q∗, η = Q∗∗, η = Q∗∗, що враховують
вплив “бiчних джерел забруднень”; ξ = (ϕ∗ − ϕ)/ε, ζ = (Q∗ − ψ)/
√
ε,
⌢
ζ = (ψ − Q∗)/
√
ε,
ς = (Q∗∗ − η)/
√
ε,
⌢
ς = (η −Q∗∗)/
√
ε — вiдповiднi їм регуляризуючi перетворення.
В результатi пiдстановки (7) в (5) i виконання стандартної процедури прирiвнювання
коефiцiєнтiв при однакових степенях ε одержимо задачi для знаходження головної части-
ни C0 розв’язку i поправок Ci:
{
v2(ϕ,ψ, η)C0ϕ(ϕ,ψ, η, t) + C0t(ϕ,ψ, η, t) = 0, C0(ϕ,ψ, η, 0) = c00(ϕ,ψ, η),
α1(ψ, η, t)C0(ϕ∗, ψ, η, t) + β1(ψ, η, t)C0ϕ(ϕ∗, ψ, η, t) = γ1(ψ, η, t)
{
v2(ϕ,ψ, η)Ciϕ(ϕ,ψ, η, t) + Cit(ϕ,ψ, η, t) = gi(ϕ,ψ, η, t),
Ci(ϕ,ψ, η, 0) = 0, Ci(ϕ∗, ψ, η, t) = 0, i = 1, n,
gi(ϕ,ψ, t) = v2(ϕ,ψ, η)C(i−1)ϕϕ + a1(ϕ,ψ, η)C(i−1)ψψ + a2(ϕ,ψ, η)C(i−1)ηη +
+ b1(ϕ,ψ, η)C(i−1)ψ + b2(ϕ,ψ, η)C(i−1)η + k
(
i−2∑
j=0
( t∫
0
(l̃C̃j)dt̃(v
2(ϕ,ψ, η)C(i−2−j)ϕϕ +
+ a1(ϕ,ψ, η)C(i−2−j)ψψ + a2(ϕ,ψ, η)C(i−2−j)ηη + b1(ϕ,ψ, η)C(i−2−j)ψ +
+ b2(ϕ,ψ, η)C(i−2−j)η + v2(ϕ,ψ, η)
(
Cjϕ
t∫
0
(l̃C̃(i−2−j)ϕ)dt̃+ Cjϕ
t∫
0
(l̃ϕC̃(i−2−j))dt̃
)
+
+a1(ϕ,ψ, η)
(
Cjψ
t∫
0
(l̃C̃(i−2−j)ψ)dt̃+ + Cjψ
t∫
0
(l̃ψC̃i−2−j)dt̃) +
+ a2(ϕ,ψ, η)
(
Cjη
t∫
0
(l̃C̃(i−2−j)η)dt̃+ Cjη
t∫
0
(l̃ηC̃i−2−j)dt̃
))
.
Пiсля їх розв’язання отримаємо:
C0(ϕ,ψ, η, t) =
[
h(ϕ,ψ, η, t), t > f(ϕ,ψ, η),
c00(f
−1(f(ϕ,ψ, η) − t), ψ, η), t < f(ϕ,ψ, η),
h(ϕ,ψ, η, t) = e
v2(ϕ∗,ψ,η)
ϕ∫
ϕ∗
α(ψ,η,f(ϕ̃,ψ,η)+t−f(ϕ,ψ,η))
β(ψ,η,f(ϕ̃,ψ,η)+t−f(ϕ,ψ,η))
dϕ̃
(
c00(ϕ∗, ψ, η) − v2(ϕ∗, ψ, η) ×
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
×
ϕ∫
ϕ∗
e
−v2(ϕ∗,ψ,η)
ϕ̃∫
ϕ∗
α(ψ,η,f(˜̃ϕ,ψ,η)+t−f(ϕ,ψ,η))
β(ψ,η,f(˜̃ϕ,ψ,η)+t−f(ϕ,ψ,η))
d˜̃ϕ γ(ψ, η, f(ϕ̃, ψ, η) + t− f(ϕ,ψ, η))
β(ψ, η, f(ϕ̃, ψ, η) + t− f(ϕ,ψ, η))
dϕ̃
)
,
Ci(ϕ,ψ, η, t) =
ϕ∫
ϕ∗
v−2(ϕ̃, ψ, η)gi(ϕ̃, ψ, ηf(ϕ̃, ψ, η) + t− f(ϕ,ψ, η))dϕ̃, t > f(ϕ,ψ, η),
t∫
0
gi(f
−1(t̃+ f(ϕ,ψ, η) − t), ψ, η, t̃)dt̃, t < f(ϕ,ψ, η), i = 1, n,
де f(ϕ, ψ̃, η̃) =
ϕ∫
ϕ∗
v−2(s, ψ̃, η̃)ds — час проходження видiленої частинки вiд точки (ϕ∗, ψ̃, η̃)
до точки (ϕ, ψ̃, η̃).
Функцiя P =
n+1∑
i=0
Piε
i призначена для усунення нев’язки, внесеної регулярною частиною
C =
n∑
i=0
Ciε
i, в околi дiлянки ϕ = ϕ∗. Для знаходження цiєї функцiї маємо задачi:
P0ξξ + P0ξ = 0, P0 →
ξ→∞
0,
α2(ψ, η, t)(P0(ϕ,ψ, η, t) + C0(ϕ,ψ, η, t)) + β2(ψ, η, t)(P0ϕ(ϕ,ψ, η, t) +
+ C0ϕ(ϕ,ψ, η, t))
∣∣
ϕ=ϕ∗
= γ2(ψ, η, t),
{
Piξξ + Piξ = v−2(ϕ∗, ψ, η)di(ξ, ψ, η, t), Pi →
ξ→∞
0,
Pi(ϕ
∗, ψ, η, t) = −Ci(ϕ∗, ψ, η, t), i = 1, n + 1,
di(ξ, ψ, η, t) =
(
P(i−1)t−
i∑
j=1
VjP(i−j)ξξ−
i∑
j=1
VjP(i−j)ξ−
i−2∑
j=0
(
A1jP(i−2−j)ψψ+B1jP(i−2−j)ψ +
+A2jP(i−2−j)ηη+B2jP(i−2−j)η
)
−k
i−1∑
u=0
Vj
( t∫
0
L̃lP̃mψψdt̃P(i−1−u)ξξ+
t∫
0
L̃lP̃mξdt̃P(i−1−u)ξ
)
−
− k
i−3∑
u=0
(
A1j
( t∫
0
L̃lP̃mdt̃P(i−3−u)ψψ +
t∫
0
L̃lP̃mψdt̃P(i−3−u)ψ +
t∫
0
L̃lψP̃mdt̃P(i−3−u)ψ
)
+
+A2j
( t∫
0
L̃lP̃mdt̃P(i−3−u)ηη +
t∫
0
L̃lP̃mηdt̃P(i−3−u)η +
t∫
0
L̃lηP̃mdt̃P(i−3−u)η
))
,
де u = l + j + m, Vj, A1j , A2j , B1j , B2j , Ll, L∗l — коефiцiєнти при j-х (l-х) степенях ε
в розкладi вiдповiдно функцiй v2(ϕ∗ − εξ, ψ, η), a1(ϕ
∗ − εξ, ψ, η), a2(ϕ
∗ − εξ, ψ, η), b1(ϕ
∗ −
−εξ, ψ, η), b2(ϕ∗−εξ, ψ, η), l(ϕ∗−εξ, ψ, η, t) та lϕ(ϕ∗−εξ, ψ, η, t) в ряд Тейлора в околi ϕ = ϕ∗.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 41
Функцiя типу пограншару H(ϕ, ζ, η, t) =
n+1∑
i=0
Hiε
i/2 призначена для усунення нев’язки
в околi ψ = Q∗. Для знаходження Hi маємо задачi:
a1(ϕ,Q
∗, η)H0ζζ + ν2(ϕ,Q∗, η)H0ϕ = H0t,
H0(ϕ,Q
∗, η, t) = c∗∗(ϕ, η, t) −W (ϕ,Q∗, η, t), H0(ϕ, ζ, η, t) →
ζ→∞
0,
W (ϕ,ψ, η, t) =
(
C0(ϕ,ψ, η, t) +
n∑
i=1
εiCi(ϕ,ψ, η, t)
)
+
n+1∑
i=0
Pi(ξ, ψ, η, t)ε
i,
a1(ϕ,Q
∗, η)Hiζζ + ν2(ϕ,Q∗, η)Hiϕ = Hit −Mi(ϕ, ζ, η, t),
Hi(ϕ,Q
∗, η, t) = 0, Hi(ϕ, ζ, η, t) →
ζ→∞
0, i = 1, n+ 1,
Mi(ϕ, ζ, η, t) = I(1)
i∑
j=1
(A1jH(i−j)ζζ +B1jH(i−j)ζ + VjH(i−j)ϕ) +
+ I(2)
i−2∑
j=0
(VjH(i−2−j)ϕϕ +A2jH(i−2−j)ηη +B2jH(i−2−j)η) +
+I(4)k
i−4∑
h=0
Vj
( t∫
0
L̃lH̃mdt̃H(i−4−h)ϕϕ +
t∫
0
L̃lϕH̃mdt̃H(i−4−h)ϕ +
t∫
0
L̃lH̃mϕdt̃H(i−4−h)ϕ
)
+
+ I(2)k
i−2∑
h=0
(
A1j
t∫
0
L̃lH̃mdt̃H(i−2−h)ζζ +B1j
t∫
0
L̃lH̃mζdt̃H(i−2−h)ζ
)
+
+ I(3)k
i−3∑
h=0
B1j
t∫
0
L∗
l H̃mζdt̃H(i−3−h)ζ + I(4)k
i−4∑
h=0
(
A2j
t∫
0
L̃lH̃mdt̃H(i−4−h)ηη +
+B2j
t∫
0
L̃lηH̃mdt̃H(i−4−h)η +B2j
t∫
0
L̃lH̃mηdt̃H(i−4−h)η
)
,
де h = l + j + m, Vj, A1j , A2j , B1j , B2j , Ll, L
∗
l — вiдповiдно коефiцiєнти при j/2-х (l/2-х)
степенях ε в розкладi функцiй v2(ϕ,Q∗ −
√
εζ, η), a1(ϕ,Q
∗ −
√
εζ, η), a2(ϕ,Q
∗ −
√
εζ, η),
b1(ϕ,Q
∗−
√
εζ, η), b2(ϕ,Q
∗−
√
εζ, η), l(ϕ,Q∗−
√
εζ, η, t) та lζ(ϕ,Q
∗−
√
εζ, η, t) в ряд Тейлора
в околi ψ = Q∗. Для a ∈ Z
I(a) =
{
1, якщо i > a,
0, якщо i < a.
Функцiї
⌢
Hi(ϕ,
⌢
ζ, η, t), Ti(ϕ,ψ, ς, t),
⌢
Ti(ϕ,ψ,
⌢
ς, t) (i = 0, n + 1) знаходимо аналогiчно
Hi(ϕ, ζ, η, t).
Чисельнi розрахунки. Наведемо результати розрахунку просторового нелiнiйного
процесу конвекцiя — дифузiя на плоскому iдеальному фiльтрацiйному фонi, породжено-
му двома особливими точками z1 = 0 та z2 = 4 iз заданими умовами третього роду на
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Рис. 2
Рис. 3
входi i виходi фiльтрацiйної течiї (витiк та втiк однакових iнтенсивностей Q0 = 2π), ком-
плексний потенцiал якого — w = (Q0/2π) ln((z − z1)/(z − z2)), при ϕ∗ = −1,4, ϕ∗ = 1,4,
AD = {z : ψ(x, y) = 5π/6}, BC = {z : ψ(x, y) = 3π/2}. На рис. 2, а, б зображено рiвномiрну
сiтку областi комплексного потенцiалу Gw̃ та вiдповiдну їй динамiчну сiтку в Gz̃ : ϕ(x, y) =
= ϕi = ϕ∗ + ((ϕ∗ − ϕ∗)i)/20, ψ(x, y) = ψj = Q∗ + (Q0j)/10, i = 0, 20, j = 0, 10, величину
швидкостi фiльтрацiї v = ((dz/dw)(dz/dw))−1/2 у вузлах (ϕi, ψj) та лiнiї фронту конвектив-
ного переносу f(ϕ,ψ) = tk, k = 1, 6 при t1 = 0,3492, t2 = 0,8882, t3 = 1,6592, t4 = 2,6492,
t5 = 3,7584, t6 = 4,8258 (кривi 1–6 вiдповiдно).
Розподiл концентрацiї C(ϕ,ψ, η, t) розчинної речовини при ε = 0,01, Q0 = π, k = 1,
l(ϕ,ψ, η) = (|ϕ|+ψ)t, c00(ϕ,ψ, η) = 0, 1((ϕ−ψ−η+1,4)2 +5)−1, α1(ψ, η, t) = 1, β1(ψ, η, t) = −
−0,5(ψ + η)−1, γ1(ψ, η, t) = 0, α2(ψ, η, t) = 1, β1(ψ, η, t) = −0,5(ψ+ η+ 2, 8)−1, γ1(ψ, η, t) = 0,
c∗∗(ϕ, η, t) = 0,1((ϕ−η+4,2)2+t+5)−1, c∗∗(ϕ, η, t) = 0,1((ϕ−η+6,11)2 +t+5)−1 вздовж лiнiй
{(ϕ,ψi,
⌢
η) = ψ̃ :
⌢
η = 0,2, ϕ∗ 6 ϕ 6 ϕ∗}, i = 1, 2, ψ1 = 3,456 (рис. 3, а), ψ2 = 4,294 (рис. 3, б )
в моменти часу t1 = 0,592, t2 = 1,244, t3 = 2,131.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 43
В перспективi — поширення запропонованої методики на вiдповiднi нелiнiйнi задачi iз
запiзненням [12], задачi з використанням просторових аналогiв квазiконформних вiдобра-
жень.
1. Васильева А. Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – Мо-
сква: Высш. шк., 1980. – 208 с.
2. Теория сингулярных возмущений в прикладных задачах. – Рига: Hitelser, 1990. – 187 с.
3. Бомба А.Я. Про асимптотичний метод розв’язання однiєї задачi масопереносу при фiльтрацiї в по-
ристому середовищi // Укр. мат. журн. – 1982. – 4, № 4. – С. 493–496.
4. Bobisud L. E. Parabolic equations with a small paramer and discontinuous data // J. of Math. Analysis
and Applications. – 1969. – 26, No 1. – P. 208–220.
5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диффе-
ренциальных уравнений с малым параметром // Усп. мат. наук. – 1957. – 12, вып. 5. – С. 3–122.
6. Лаврик В.И., Бомба А.Я., Власюк А.П. Об асимптотическом приближении решений некоторых за-
дач массопереноса при фильтрации в неоднородной анизотропной среде. – Киев, 1985. – 17 с. (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 85.72).
7. Присяжнюк I. М. Асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу
конвекцiя – дифузiя у многозв’язних областях // Волин. мат. вiсн. – 2003. – Вип. 10. – С. 118–128.
8. Бомба А.Я., Пригорницкий Д.А., Присяжнюк И.М. Решение задач типа конвекция – фильтрация в
многосвязных областях // Компьют. математика. – 2004. – № 1. – С. 152–159.
9. Бомба А.Я., Скопецкий В. В., Присяжнюк И.М. Решение задач типа конвекция – фильтрация в
многосвязных областях // Там же. – 2004. – № 2. – С. 99–104.
10. Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. Фiзико-математичне моделювання гетеродифузного масопереносу. –
Львiв: СПОЛОМ, 2003. – 128 с.
11. Burak Ya., Chaplia Ye., Chernukha O. Problems of mechanothermodiffusive processes modelling and opti-
mization in many-phase continuum systems // II Szkola Geomechaniki (Miedz. Konf.). – Gliwice: Polit.
Slaska, 1995. – P. 343–351.
12. Бомба А.Я., Присяжнюк I. М. Асимптотичне розвинення розв’язкiв нелiнiйних сингулярно збурених
крайових задач типу конвекцiя – дифузiя iз запiзненням // Доп. НАН України. – 2005. – № 3. –
С. 60–66.
13. Бомба А.Я. Просторовi сингулярно збуренi крайовi задачi типу конвекцiя – дифузiя // Волин. мат.
вiсн. Сер. прикл. мат. – 2003. – Вип. 1. – С. 27–35.
Надiйшло до редакцiї 25.12.2006Рiвненський державний гуманiтарний
унiверситет
Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2429 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:36:12Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бомба, А.Я. Климюк, Ю.Є. Скопецький, В.В. 2008-10-10T11:30:41Z 2008-10-10T11:30:41Z 2007 Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія / А.Я. Бомба, Ю.Є. Климюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 37-44. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2429 517.95.001.573 On the basis of a constructed 3D analog of the 2D boundary-value problem on the conformal mapping of a curvilinear quadrangle on the rectangular, we get the algorithm of asymptotic approximation of a solution of the 3D nonlinear singularly perturbed boundary-value problem of ''convection-diffusion'' in the curvilinear parallelepiped bounded by two equipotential surfaces and four surfaces of a current, under conditions of the third kind on the input and the output of a filtration current and with regard for the general return influence of pollutions on the coefficient of diffusion. The results of numerical calculations are given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія Article published earlier |
| spellingShingle | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія Бомба, А.Я. Климюк, Ю.Є. Скопецький, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| title_full | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| title_fullStr | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| title_full_unstemmed | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| title_short | Просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| title_sort | просторові нелінійні сингулярно збурені крайові задачі типу конвекція — дифузія |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2429 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaâ prostorovínelíníinísingulârnozbureníkraiovízadačítipukonvekcíâdifuzíâ AT klimûkûê prostorovínelíníinísingulârnozbureníkraiovízadačítipukonvekcíâdifuzíâ AT skopecʹkiivv prostorovínelíníinísingulârnozbureníkraiovízadačítipukonvekcíâdifuzíâ |