Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил
By means of the software Maple, we obtain solutions of the problems of the nonlinear dynamics of a solid body with fixed point (a spherical pendulum) under the action of forces between a magnetic dipole of the pendulum and two immovable magnetic dipoles, as well as in the case where the magnetic dip...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2430 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 45-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859802933370028032 |
|---|---|
| author | Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Ляшко, С.І. |
| author_facet | Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Ляшко, С.І. |
| citation_txt | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 45-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | By means of the software Maple, we obtain solutions of the problems of the nonlinear dynamics of a solid body with fixed point (a spherical pendulum) under the action of forces between a magnetic dipole of the pendulum and two immovable magnetic dipoles, as well as in the case where the magnetic dipoles are replaced by electric charges.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:14:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.381:531.53:537.61:537.2
© 2007
Л.В. Григор’єва, В.В. Козорiз, член-кореспондент НАН України
С. I. Ляшко
Maple-моделювання динамiки тiла з нерухомою точкою
в полi магнiтних та електричних сил
By means of the software Maple, we obtain solutions of the problems of the nonlinear dynamics
of a solid body with fixed point (a spherical pendulum) under the action of forces between
a magnetic dipole of the pendulum and two immovable magnetic dipoles, as well as in the case
where the magnetic dipoles are replaced by electric charges.
Задачi динамiки тiла з нерухомою точкою у випадках, коли замiсть постiйної сили ваги
дiють електричнi або магнiтнi сили, мало дослiдженi внаслiдок вiдомих обмежень аналi-
тичних методiв аналiзу нелiнiйних динамiчних систем. Можливостi сучасних комп’ютерних
технологiй, зокрема, системи символьної математики Maple [1] багато обмежень знiмають.
Це стимулює iнтерес дослiджень динамiки твердого тiла за нових умов, зокрема у випадках
дiї на тiло магнiтних або електричних сил.
Нехай початок O iнерцiального тригранника Oxyz розмiщено в центрi iдеального сфе-
ричного шарнiру (точцi пiдвiсу), вiсь Oy паралельна двом нерухомим магнiтним диполям,
розмiщеним у площинi Oyz на вiдстанi T вiд точки пiдвiсу O i на однакових вiдстанях a
вiд осi Oz (рис. 1). Будемо вважати, що з тiлом зв’язаний тригранник O1x
′y′z′ так, що його
початок O1 збiгається з центром мас тiла та магнiтним диполем, магнiтний момент −→m якого
направлений по осi O1y
′, що є вiссю одного з трьох центральних моментiв iнерцiї, а точка
пiдвiсу O розмiщена на осi Oz′.
Якщо визначати просторове положення тiла кутами Ейлера–Крилова x1, x2, x3 (x1 —
кут крену; x2 — кут тангажу; x3 — кут ширяння) мiж тригранниками Oxyz i O1x
′y′z′, вико-
ристати вiдому формулу потенцiальної енергiї магнiтної взаємодiї двох магнiтних диполiв
(див., наприклад, [2, с. 135]) та векторнi багатокутники, утворенi векторами −
−→a ,
−→
R1,
−→
L ,
−→
T та −→a ,
−→
R2,
−→
L ,
−→
T (рис. 1), можна отримати залежнiсть безрозмiрної потенцiальної енергiї
магнiтної взаємодiї u = UT 3m−3 вiд кутiв x1, x2, x3 як узагальнених координат
u = −
{
a22
(
1
r3
1
+
1
r3
2
)
+ 3
(t1a22 + a23)(la32 − t1)
r5
1
+ 3
(−t1a22 + a23)(la32 + t1)
r5
1
}
, (1)
де U — потенцiальна енергiя магнiтної взаємодiї; m — величина магнiтного моменту, який
вважається однаковим для всiх диполiв, а для безрозмiрних вiдстаней мiж нерухомими
диполями i диполем на тiлi та направляючих косинусiв з урахуванням вiдомих формул
(див., наприклад, [3, с. 119]) можна отримати
r1 =
√
1 + t2
1
+ l2 − 2l(t1a32 + a33), r2 =
√
1 + t2
1
+ l2 − 2l(−t1a32 + a33),
a22 = cos x1 cos x3 − sinx1 sin x2 sin x3, a23 = sin x1 cos x3 + cos x1 sinx2 sin x3, (2)
a32 = − sinx1 cos x2, a33 = cos x1 cos x2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 45
Рис. 1. Магнiтний сферичний маятник
Вiдзначимо, що при знерозмiреннi всi лiнiйнi розмiри подiленi на T . При цьому пара-
метр t1 означає половину безрозмiрної вiдстанi мiж нерухомими диполями, а l — безроз-
мiрну маятниковiсть тiла (вiдстань мiж центром мас тiла i точкою пiдвiсу).
Тодi динамiчнi та кiнематичнi рiвняння Ейлера [3, 4] приводять до рiвнянь руху тiла,
якi запишемо у безрозмiрнiй формi
dn1
dt
+ k1n2n3 = −A
∂u
∂x1
,
dn2
dt
+ k2n3n1 = −A
∂u
∂x2
,
dn3
dt
+ k3n1n2 = −A
∂u
∂x3
,
n1 = cos x2 cos x3
dx1
dt
+ sinx3
dx2
dt
, n2 = − cos x2 sin x3
dx1
dt
+ cos x3
dx2
dt
,
n3 = sin x2
dx1
dt
+
dx3
dt
,
(3)
де n1, n2, n3 — проекцiї вектора безрозмiрної кутової швидкостi тiла на зв’язанi з ним осi; t —
безрозмiрний час; k1, k2, k3 — константи, що визначаються трьома центральними моментами
iнерцiї тiла; A — вiдношення характерної потенцiальної енергiї магнiтної взаємодiї диполiв
та кiнетичної енергiї тiла.
Отже, динамiка тiла з нерухомою точкою O в магнiтному полi наведеної системи маг-
нiтних диполiв описується консервативною нелiнiйною системою диференцiйних рiвнянь
шостого порядку (3), яка повнiстю визначається заданням шести параметрiв k1, k2, k3, A,
t1, l та початкових умов. Першi три параметри визначаються формулами
k1 =
I3 − I2
I1
, k2 =
I1 − I3
I2
, k3 =
I2 − I1
I3
, (4)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Рис. 2. Момент сили при x2 = 0, x3 = 0, l = 0,8; t1 = 0,5: а — магнiтного маятника; б — електричного
маятника
де I1, I2, I3 — центральнi моменти iнерцiї тiла вiдносно осей O1x
′, O1y
′, O1z
′ вiдповiдно.
Параметр A може бути бiльшим або меншим за нуль залежно вiд вiдносної орiєнтацiї магнiт-
них диполiв при певному положеннi тiла, наприклад, коли всi диполi паралельнi, а диполь
тiла знаходиться нижче точки пiдвiсу.
Якщо магнiтнi диполi замiнити точковими електричними зарядами так, що знак за-
ряду на тiлi протилежний знаку нерухомих зарядiв, замiсть (1) матимемо iншу формулу
безрозмiрної потенцiальної енергiї u1
u1 =
U1T
q2
= −
(
1
r1
+
1
r2
)
, (5)
де U1 — потенцiальна енергiя взаємодiї двох пар електричних зарядiв, а q — величина
електричного заряду, яка вважається однаковою для всiх зарядiв.
Стандартнi Maple-процедури знаходження похiдних, побудови графiкiв, розв’язання за-
дачi Кошi для звичайних диференцiйних рiвнянь, графiчного зображення розв’язкiв та
фазових портретiв [1], якi не наведенi для економiї мiсця, дозволяють отримати ряд власти-
востей магнiтної або електричної динамiчної системи (рiвняння (3), де замiсть u необхiдно
пiдставити u1 у вiдповiдностi з (5) i врахувати (2)).
Maple-аналiз магнiтної системи показує, що на вiдмiну вiд добре вiдомих двох “стандар-
тних” положень рiвноваги маятника пiд дiєю сили ваги (верхнього та нижнього), iснують
ще додатковi положення рiвноваги. Їх число при фiксованих x2 = 0, x3 = 0, t1 = 0, 5 стано-
вить вiд одного до трьох в дiапазонi кута крену 0 < x1 < π (рис. 2, а) залежно вiд пiдбору
параметра l в дiапазонi 0 < l < 1. Вони є точками перетину графiкiв моменту магнiтних
сил горизонтальної осi. Бiльше того, “стандартнi” нижнi положення рiвноваги є нестiйкими
(додатна похiдна моменту в точцi x1 = 0), тодi як аналiз “похилих” положень рiвноваги ме-
тодом функцiй Ляпунова свiдчить про чергування серед них нестiйких та стiйких положень.
Для електричної системи, за умови ненульової вiдстанi мiж нерухомими зарядами, та-
кож iснують “похилi” положення рiвноваги, але число додаткових “похилих” положень в дi-
апазонi 0 < x1 < π (рис. 2, б ) не бiльше одного, причому воно є стiйким, на вiдмiну вiд
нижнього положення.
Maple-розв’язки рiвнянь руху та фазових портретiв магнiтної та електричної систем для
одних i тих же значень параметрiв (l = 0,8, t1 = 0,5, k1 = −1, k2 = 1, k3 = 0, A = 1) та
початкових умов (всi нульовi, крiм кута крену, який при t = 0 набуває значення x1(0) =
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 47
Рис. 3. Фазовий портрет магнiтного маятника: а — для проекцiй вектора кутової швидкостi n1, n2, n3; б —
для кутiв x1, x2, x3
Рис. 4. Фазовий портрет електричного маятника: а — для проекцiй вектора кутової швидкостi n1, n2, n3;
б — для кутiв x1, x2, x3
= 0,1) демонструють рiзну динамiчну поведiнку магнiтної i електричної систем (рис. 3, 4).
Найбiльш суттєвим фактором, що зумовлює таку вiдмiннiсть, є соленоїдальнiсть магнiтного
поля, яка приводить до нецентральної силової взаємодiї та iншого закону залежностi маг-
нiтних сил вiд вiдстанi.
Якщо для електричної системи вiдстань мiж нерухомими зарядами нульова, а їх вiдстань
до заряду на тiлi велика вiдносно iнших лiнiйних розмiрiв, матимемо перетворення елект-
ричного маятника у “стандартний” маятник в iдеальному сферичному пiдвiсi, розглянутий
Л.А. Парсом [3, с. 71–74]. Вiн аналiзується аналiтично для випадку постiйної сили ваги,
за динамiчнi змiннi взятi кути Ейлера замiсть розглянутих нами кутiв Ейлера–Крилова,
а рiвняння руху отриманi методом рiвнянь Лагранжа замiсть розглянутих нами динамiчних
та кiнематичних рiвнянь Ейлера.
1. http://www.maplesoft.com.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Изд. 6-е. – Москва: Наука, 1973. – 504 с.
3. Парс Л.А. Аналитическая динамика. – Москва: Наука, 1971. – 636 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Изд. 3-е. – Москва: Наука, 1973. – 208 с.
Надiйшло до редакцiї 08.02.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2430 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:14:38Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Ляшко, С.І. 2008-10-10T11:31:56Z 2008-10-10T11:31:56Z 2007 Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил / Л.В. Григор'єва, В.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 45-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2430 531.381:531.53:537.61:537.2 By means of the software Maple, we obtain solutions of the problems of the nonlinear dynamics of a solid body with fixed point (a spherical pendulum) under the action of forces between a magnetic dipole of the pendulum and two immovable magnetic dipoles, as well as in the case where the magnetic dipoles are replaced by electric charges. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил Article published earlier |
| spellingShingle | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил Григор'єва, Л.В. Козоріз, В.В. Ляшко, С.І. Інформатика та кібернетика |
| title | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| title_full | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| title_fullStr | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| title_full_unstemmed | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| title_short | Maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| title_sort | maple-моделювання динаміки тіла з нерухомою точкою в полі магнітних та електричних сил |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2430 |
| work_keys_str_mv | AT grigorêvalv maplemodelûvannâdinamíkitílazneruhomoûtočkoûvpolímagnítnihtaelektričnihsil AT kozorízvv maplemodelûvannâdinamíkitílazneruhomoûtočkoûvpolímagnítnihtaelektričnihsil AT lâškosí maplemodelûvannâdinamíkitílazneruhomoûtočkoûvpolímagnítnihtaelektričnihsil |