Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом
The full system of three-dimensional equations of linearized magnetostriction for ferrites in view of a ferromagnetic resonance is transformed to a system of eight equations of the operational Hamilton type for rather definitely chosen initial variables.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2435 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 73-77. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859594731287216128 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. Левченко, В.В. |
| author_facet | Шульга, М.О. Левченко, В.В. |
| citation_txt | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 73-77. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The full system of three-dimensional equations of linearized magnetostriction for ferrites in view of a ferromagnetic resonance is transformed to a system of eight equations of the operational Hamilton type for rather definitely chosen initial variables.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:20:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
2. McDowell Z.M., Hunt J. R., Sitar N. Particle transport through porous media // Wat. Resour. Res. –
1986. – 22, No 13. – P. 1901. – 1921.
3. Ojha C. S.P., Singh V.P., Adrian D.D. Determination of critical head in soil piping // J. of Hydraulic
Engineering, ASCE. – 2003. – 129, No 7. – P. 511–518.
4. Поляков В.Л. Интенсивное промачивание суффозионных грунтов // Прикл. гiдромеханiка. – 2007. –
9(81), № 3. – С. 70–79.
5. Дмитриев А.Ф., Хлапук Н.Н., Дмитриев Д.А. Деформационные процессы в несвязных грунтах
в придренной зоне и их влияние на работу осушительно-увлажнительных систем. – Ровно: Изд-во
РГТУ, 2002. – 145 с.
6. Поляков В.Л. Механическая суффозия в дренируемом грунте // Прикл. гiдромеханiка. – 2002. –
4(76), № 4. – P. 60–73.
7. Аэров М.Э., Тодес О.М., Наринский Д.А. Аппараты со стационарным зернистым слоем. – Ленин-
град: Химия, 1979. – 176 с.
8. Романков П.Г., Курочкина М.И. Гидродинамические процессы химической технологии. – Ленинград:
Химия, 1982. – 288 с.
9. Поляков В.Л. О фильтрационных деформациях грунта с образованием аккумулирующих зон //
Прикл. гiдромеханiка. – 2003. – 5(77), № 2. – P. 45–56.
Поступило в редакцию 31.01.2007Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
УДК 539.3:538.6:534.1
© 2007
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга, В.В. Левченко
Про тривимiрну задачу лiнеаризованої магнiтострикцiї
феритiв з феромагнiтним резонансом
The full system of three-dimensional equations of linearized magnetostriction for ferrites in view
of a ferromagnetic resonance is transformed to a system of eight equations of the operational
Hamilton type for rather definitely chosen initial variables.
Однiєю з актуальних задач електромагнiтомеханiки, що мають важливе фундаментальне
i прикладне значення, є дослiдження магнiтопружного деформування тiл iз феримагнiтних
магнiтострикцiйних матерiалiв з урахуванням феромагнiтного резонансу. Цьому питанню
присвяченi роботи [3–6, 8–15]. У данiй роботi пропонується перетворення системи триви-
мiрних диференцiальних рiвнянь лiнеаризованої магнiтострикцiї феритiв кубiчної системи
з урахуванням феромагнiтного резонансу фiзико-механiчних властивостей.
Визначальнi рiвняння лiнеаризованої магнiтострикцiї з урахуванням феромагнiтного
резонансу в околi статичного поля попереднього пiдмагнiчування H = H0ez, B = B0ez для
феритiв кубiчної системи можна записати у виглядi
σ11 = c11
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c12
∂u3
∂x3
, σ22 = c12
∂u1
∂x1
+ c11
∂u2
∂x2
+ c12
∂u3
∂x3
,
σ33 = c12
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c11
∂u3
∂x3
, σ32 = c55
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+
β2
M0
m2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 73
σ31 = c55
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+
β2
M0
m1, σ12 = c55
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
, (1)
b3 = µ33h3, b2 = h2 + 4πm2,
∂m2
∂t
= −γ
(
−H0m1 + M0h1 − β2
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
))
,
b1 = h1 + 4πm1,
∂m1
∂t
= −γ
(
H0m2 − M0h2 + β2
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
))
.
Тривимiрна зв’язана задача електромагнiтомеханiки для матерiалiв з магнiтострикцiєю
вимагає спiльного розв’язання механiчних рiвнянь коливань
ρ
∂2ui
∂t2
=
∂σi1
∂x1
+
∂σi2
∂x2
+
∂σi3
∂x3
(2)
вiдносно механiчних перемiщень ui i напружень σik (i, k = 1, 2, 3) та квазiстатичного на-
ближення
∂b1
∂x1
+
∂b2
∂x2
+
∂b3
∂x3
= 0, hk = −
∂ϕ
∂xk
, k = 1, 2, 3, (3)
лiнеаризованих рiвнянь Максвелла вiдносно малих збурень напруженостi h i iндукцiї ма-
гнiтного поля b, де ϕ — магнiтний потенцiал, при визначальних спiвiдношеннях (1).
У виразах (1)–(3) прийнятi загальновживанi позначення [1–3, 8, 9]: cik — модулi пруж-
ностi; ρ — питома вага; β2 — магнiтопружна стала; µ33 — магнiтна проникнiсть; γ — гiро-
магнiтне вiдношення.
Лiнеаризованi диференцiальнi рiвняння прецесiї компонент m1, m2 вектора намагнiче-
ностi, якi входять в систему (1), в загальному випадку можна подати [7] в iнтегральнiй
формi. При усталених гармонiчних коливаннях з круговою частотою ω, коли
a(x1, x2, x3, t) = Re a(x1, x2, x3) exp(−iωt) (4)
(для амплiтудних множникiв a(x1, x2, x3) залишаємо такi ж позначення, що i для
a(x1, x2, x3, t)), для амплiтудних величин m1(x1, x2, x3) та m2(x1, x2, x3), знаходимо
m1 =
γ
ω2
H
− ω2
(
iβ2ω
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
− β2ωH
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+ M0ωHh1 − iM0ωh2
)
,
m2 = −
γ
ω2
H
− ω2
(
β2ωH
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ iβ2ω
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
− iM0ωh1 − M0ωHh2
)
,
(5)
де ωH = γH0 — частота феромагнiтного резонансу.
Пiсля пiдстановки (5) в (1) для амплiтудних величин σik(x1, x2, x3) i т. д.
(σik(x1, x2, x3, t) = Reσik(x1, x2, x3) exp(−iωt) i т. д.) одержимо вирази
σ11 = c11
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c12
∂u3
∂x3
,
σ22 = c12
∂u1
∂x1
+ c11
∂u2
∂x2
+ c12
∂u3
∂x3
,
σ33 = c12
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c11
∂u3
∂x3
,
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
σ32 = c55∗
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ ic54∗
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+ iβ52
∂ϕ
∂x1
+ β51
∂ϕ
∂x2
,
σ31 = −ic54∗
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ ic55∗
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+ β51
∂ϕ
∂x1
− iβ52
∂ϕ
∂x2
,
σ12 = c55
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
, b3 = −µ33
∂ϕ
∂x3
,
(6)
b2 = 4πβ51
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ 4πiβ52
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+ iα
∂ϕ
∂x1
− µ
∂ϕ
∂x2
,
b1 = −4πiβ52
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ 4πβ51
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
− µ
∂ϕ
∂x1
− iα
∂ϕ
∂x2
.
У формулах (6) використанi позначення
c55∗ = c55 +
4πωHγ2β2
2
(ω2
− ω2
H
)ωM
, c54∗ =
4πωγ2β2
2
(ω2
− ω2
H
)ωM
,
β51 =
ωHγβ2
ω2
− ω2
H
, β52 =
ωγβ2
ω2
− ω2
H
,
µ = 1 −
ωHωM
ω2
− ω2
H
, α =
ωωM
ω2
− ω2
H
,
(7)
причому ωM = 4πγM0.
В дев’ять визначальних рiвнянь (6), три рiвняння механiчних коливань (2) i одне рiв-
няння
∂b1
∂x1
+
∂b2
∂x2
+
∂b3
∂x3
= 0 (8)
входять амплiтуднi множники трьох механiчних перемiщень ui(x1, x2, x3), шести механiч-
них напружень σik(x1, x2, x3), трьох компонент магнiтної iндукцiї bi(x1, x2, x3) i магнiтного
потенцiалу ϕ(x1, x2, x3). Таким чином, сукупнiсть тринадцяти рiвнянь (2), (6), (8) має три-
надцять невiдомих функцiй.
Один шлях спрощення системи рiвнянь (2), (6), (8) аналогiчний виводу рiвнянь Ламе–
Нав’є теорiї пружностi в перемiщеннях. Але тепер за незалежнi невiдомi треба взяти три
амплiтуди механiчних перемiщень ui(x1, x2, x3) та магнiтного потенцiалу ϕ(x1, x2, x3). В ре-
зультатi одержимо систему чотирьох диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних. Ця
система досить громiздка i її явного вигляду виписувати не будемо.
Iнший шлях спрощення системи тринадцяти рiвнянь (2), (6), (8) полягає у спецiальному
виборi восьми розв’язувальних функцiй i аналогiчний перетворенню системи дев’яти рiв-
нянь пружностi до шести рiвнянь, якi формально можна зобразити у виглядi операторної
гамiльтонової системи. Таке зображення вперше було запропоновано i виконано в роботi [3]
i розвинуто в подальших роботах [8, 9 та iн.].
Виберемо за розв’язуючi функцiї певним чином пiдiбраний вектор-стовпчик невiдомих
[σ11, 4πu2, 4πu3, ϕ, 4πu1, σ12, σ13, b1]
TP , (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 75
якi входять в сукупнiсть рiвнянь (2), (6), (8). Пiсля досить громiздких цiлеспрямованих
перетворень рiвнянь (2), (6), (8) одержимо таку систему восьми рiвнянь:
d
dx
q1
q2
q3
q4
p1
p2
p3
p4
=
0 0 0 0 Q̂11 Q̂12 Q̂13 0
0 0 0 0 Q̂21 Q̂22 0 0
0 R̂32 R̂33 R̂34 Q̂31 0 Q̂33 Q̂34
0 R̂42 R̂43 R̂44 0 0 Q̂43 Q̂44
−P̂11 −P̂12 −P̂13 0 0 0 0 0
−P̂21 −P̂22 −P̂23 −P̂24 0 0 −R̂32 −R̂42
−P̂31 −P̂32 −P̂33 −P̂34 0 0 −R̂33 −R̂43
0 −P̂42 −P̂43 −P̂44 0 0 −R̂34 −R̂44
q1
q2
q3
q4
p1
p2
p3
p4
. (10)
Ненульовi операторнi елементи симетричних операторних матриць P, Q та операторної
матрицi R мають такi значення:
Q̂11 = −
ρω2
4π
, Q̂12 = −
∂
∂x2
, Q̂13 = −
∂
∂x3
,
Q̂22 =
1
4πc55
, Q̂33 =
4πµ
∆1
, Q̂34 =
4πβ51
∆1
, Q̂44 = −
c55∗
∆1
,
−P̂11 =
4π
c11
, −P̂12 = −
c12
c11
∂
∂x2
, −P̂13 = −
c12
c11
∂
∂x3
,
−P̂22 = −
1
4π
[
ρω2 +
(
c11 −
c2
12
c11
)
∂2
∂x2
2
− α11
∂2
∂x2
3
]
,
−P̂23 = −
1
4π
[
α11 −
(
c12 −
c2
12
c11
)]
∂2
∂x2∂x3
, −P̂24 = α12
∂2
∂x2∂x3
,
−P̂33 =
1
4π
[
ρω2
− α11
∂2
∂x2
2
+
(
c11 −
c2
12
c11
)
∂2
∂x2
3
]
, −P̂34 = α12
∂2
∂x2
2
,
R̂33 = −ir11
∂
∂x2
, R̂34 = −ir21
∂
∂x2
, R̂42 = −ir12
∂
∂x3
,
R̂43 = −ir12
∂
∂x2
, R̂44 = −ir22
∂
∂x2
.
(11)
Тут використанi позначення
r11r00 = −µc54∗ − 4πβ51β52, r21r00 = −4παβ51 − 4πµβ52,
r12r00 = β52c55∗ − β51c54∗, r22r00 = αc55∗ − 4πβ51β52,
r00 = µc55∗ + 4πβ2
51, −α11 = c55∗ + c54∗r11 + 4πβ52r12,
−α12 = β51 + β52r11 + αr12, −α22 = −µ + β52r21 + αr22.
(12)
Систему (10) можна записати у виглядi операторної гамiльтонової системи
dqi
dx1
=
∂H
∂pi
,
dpi
dx1
= −
∂H
∂qi
(13)
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
при такому значеннi операторної функцiї Гамiльтона:
H =
1
2
P̂ikqiqk + R̂ikpiqk +
1
2
Q̂ikpipk. (14)
Елементи операторних матриць P̂, Q̂, R̂ в (14) i (13) розглядаються як сталi величини
i тiльки пiсля обчислення частинних похiдних в (13) їх треба розглядати як диференцiальнi
оператори, що дiють на канонiчнi змiннi qi, pi.
Таким чином, в результатi описаних перетворень система тринадцяти рiвнянь (2), (6), (8)
звелась до восьми рiвнянь (10) або (13) вiдносно функцiй (9). Таке зображення особливо
буде доцiльним при розв’язаннi крайових задач з межами α1 = const, оскiльки функцiї (9)
при досконалому механiчному i електромагнiтному контактах при α1 = const будуть непе-
рервними функцiями на цих межах.
У випадку антиплоскої задачi для хвиль зсуву рiвняння лiнеаризованої магнiтострикцiї
феритiв з дисипативним феромагнiтним резонансом розглядалися в роботах [4, 5] i були
перетворенi до операторної гамiльтонової системи.
Робота виконана при частковiй фiнансовiй пiдтримцi в рамках “Комплексного iнтеграцiйного
проекту СВ РАН та НАН України”.
1. Такер Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. – Москва: Мир, 1975. – 453 с.
2. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. –
200 с.
3. Шульга М.О. Про поширення поперечних хвиль в магнiтопружних перiодичних середовищах // Доп.
НАН України. – 2002. – № 7. – С. 60–63.
4. Шульга М.О. До теорiї магнiтопружних хвиль в перiодичних середовищах // Там же. – № 8. –
С. 55–59.
5. Шульга М. Застосування гамiльтонового формалiзму в теорiї поширення магнiтов’язкопружних
хвиль зсуву в неоднорiдно-перiодичних середовищах // Фiз.-мат. моделювання та iнформ. техно-
логiї. – 2006. – Вип. 3. – С. 217–224.
6. Шульга М.О. Про визначальнi спiввiдношення лiнеаризованої магнiтострикцiї феритiв // Доп. НАН
України. – 2006. – № 8. – С. 67–71.
7. Shul’ga N.A. Propagation of elastic waves in periodic-nonhomogeneous space // Int. Appl. Mech. – 2003. –
39, No 7. – P. 763–796.
8. Shul’ga N.A. Propagation of coupled waves in layered-periodic continua for interaction with an electro-
magnetic field // Ibid. – No 10. – P. 1146–1172.
9. Shul’ga N.A., Levchenko V.V., Ratushnyak T.V. Surface magnetoelastic shear waves in periodic-dielectric
regularly stratified structures // Ibid. – No 11. – P. 1305–1309.
10. Shul’ga N.A., Ratushnyak T.V. Oscillation modes of magnetoelastic Lave-type waves in periodic-dielectric
media // Ibid. – 2004. – 40, No 8. – P. 886–892.
11. Shul’ga N.A., Ratushnyak T.V. Spatial shapes of magnetoelastic shear body waves at the transmission
edges in a periodically inhomogeneous magnetostrictive medium // Ibid. – 2006. – 42, No 3. – P. 300–307.
12. Shul’ga N.A., Levchenko V.V., Ratushnyak T.V. Propagation of magnetoelastic shear waves across layers
in a periodically layered medium // Ibid. – 2006. – 42, No 6. – P. 655–660.
13. Shul’ga N.A., Ratushnyak T.V. On shapes of body waves in periodically inhomogeneous, magnetostrictive,
dielectric materials // Ibid. – No 7. – P. 775–781.
14. Shul’ga N.A. Effective magnetoelastic properties of laminated composites // Ibid. – No 8. – P. 879–885.
15. Shul’ga N.A., Ratushnyak T.V. Volume magnetoelastic shear waves in periodically inhomogeneous media //
Ibid. – No 10. – P. 1090–1101.
Надiйшло до редакцiї 21.12.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 77
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2435 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:20:37Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. Левченко, В.В. 2008-10-10T11:36:20Z 2008-10-10T11:36:20Z 2007 Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 73-77. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2435 539.3:538.6:534.1 The full system of three-dimensional equations of linearized magnetostriction for ferrites in view of a ferromagnetic resonance is transformed to a system of eight equations of the operational Hamilton type for rather definitely chosen initial variables. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом Article published earlier |
| spellingShingle | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом Шульга, М.О. Левченко, В.В. Механіка |
| title | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| title_full | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| title_fullStr | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| title_full_unstemmed | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| title_short | Про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| title_sort | про тривимірну задачу лінеаризованої магнітострикції феритів з феромагнітним резонансом |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2435 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo protrivimírnuzadačulínearizovanoímagnítostrikcííferitívzferomagnítnimrezonansom AT levčenkovv protrivimírnuzadačulínearizovanoímagnítostrikcííferitívzferomagnítnimrezonansom |