Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Культура народов Причерноморья |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/24364 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля / А.С. Ванюшкин // Культура народов Причерноморья. — 2009. — № 155. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859957328468508672 |
|---|---|
| author | Ванюшкин, А.С. |
| author_facet | Ванюшкин, А.С. |
| citation_txt | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля / А.С. Ванюшкин // Культура народов Причерноморья. — 2009. — № 155. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Культура народов Причерноморья |
| first_indexed | 2025-12-07T16:20:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Величко Т.Г.
ДЕРЖАВНА ПІДТРИМКА МАТЕРІАЛЬНО-РЕСУРСНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПІДПРИЄМСТВ
АПК МИКОЛАЇВСЬКОЇ ОБЛАСТІ
68
лягатимуть певному скороченню.
Висновки та пропозиції. Державна підтримка аграрного сектору в питаннях саме матеріально-
ресурсного забезпечення, на наш погляд, в першу чергу повинна стосуватися вирішення питання в регулю-
ванні ціноутворення на продукцію промислового виробництва, а також продовження дії пільгового законо-
давства щодо компенсації витрат на її придбання підприємствами АПК. Адж ціни на основні види матеріа-
льних ресурсів, що споживаються сільським господарством, досягли небачено високого рівня – по відно-
шенню до цін на аграрну продукцію.
Аналіз переваг і ризиків для сільського господарства від участі у СОТ дозволяє визначити напрями
державної політики, здатні знизити ризики, нейтралізувати можливі негативні наслідки і прискорити реалі-
зацію переваг від лібералізації торговельних режимів. Вона повинна передбачати: сприяння експорту з ме-
тою розширення зовнішніх ринків збуту для українських експортерів; стимулювання внутрішнього попиту
на продовольство; підвищення конкурентоспроможності національних виробників за рахунок поліпшення
якості та безпеки продукції шляхом впровадження міжнародних стандартів якості; сприяння зростанню
конкурентоспроможності вітчизняних товаровиробників на внутрішніх і зовнішніх ринках шляхом прове-
дення реструктуризації збиткових сільськогосподарських підприємств, ефективного державного регулю-
вання аграрних ринків, використання ефективних механізмів підтримки сільськогосподарських товарови-
робників; підтримку на державному рівні розвитку обслуговуючої та збутової кооперації дрібних товарови-
робників, формування для них ринкової інфраструктури.
Джерела та література
1. Загальнодержавна Комплексна програма підтримки та розвитку українського села “Добробут через аг-
рарний розвиток” на 2005 – 2010 роки // http://darukraine.com.ua
2. Кириленко І.Г. Трансформація соціально-економічних перетворень у сільському господарстві України:
проблеми, перспективи / І.Г. Кириленко. – К.: ННЦ ІАЕ, 2005. – 452 с.
3. Лагодієнко В.В. Регіональні принципи державної підтримки процесу формування та функціонування
агропромислового виробництва / В.В. Лагодієнко // Інноваційна економіка. – 2007. №2 (4). – С. 248-
251.
Ванюшкин А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
Актуальность. Вовлечение Украины в процессы глобализации мировой экономики происходит по раз-
ным направлениям. Одним из наиболее перспективных направлений, с точки зрения извлечения выгоды для
Украины, является глобализация мировых финансовых рынков. Ожидаемая в данном случае выгода заклю-
чается в существенном расширении возможностей привлечения дешевых финансовых ресурсов для разви-
тия национальной экономики. Проблему повышения инвестиционной привлекательности страны и ее ре-
гионов для увеличения объема привлекаемых инвестиций в данной статье мы рассматривать не будем, т.к.
эта проблема выходит за рамки темы деятельности фондовых рынков. Рост участия страны в деятельности
мировых финансовых рынков требует более пристального изучения опыта работы на них. Поскольку ос-
новной категорией финансового рынка является инвестиционный портфель, то необходимо изучать вопро-
сы, связанные с его формированием. Мировая практика показывает, что самым главным вопросом, в дан-
ном случае, является методическое, точнее, математическое обеспечение формирования инвестиционного
портфеля. Поэтому выбранная тема исследования является актуальной.
Цель исследования. Целью данного исследования является поиск возможностей математического
обеспечения формирования инвестиционного портфеля. Для достижения этой цели необходимо решить
следующие задачи:
− изучение возможностей применения методов нелинейного программирования для обоснования струк-
туры активов инвестиционного портфеля;
− анализ возможности применения метода динамического программирования для оптимизации финансо-
вого плана, при рассмотрении динамической структуры инвестиционного портфеля;
− изучение возможности применения метода дискретного программирования для выбора конкретных
активов при их включении в инвестиционный портфель.
Исследование. Задача формирования финансового портфеля, как показывает мировая практика, на-
правлена на оптимизацию двух основных параметров: риска и доходности. Это указывает на целесообраз-
ность использования в этих целях методов математического программирования. Под оптимизацией струк-
туры портфеля активов подразумевается определение их долей w исходя из минимального риска σп. по
портфелю на основе портфельной теории Г.Марковица. Одна из основных рекуррентных формул этой тео-
рии связывает риск σп. по портфелю из двух активов с риском σi этих активов [1]. На ее основании сформи-
руем целевую функцию задачи выпуклого программирования, как показано в формулах (1).
σп. =√ σ1
2*w1
2 + σ2
2*w2
2 + 2*w1*w2*σ1*σ2*corr1,2
;
http://darukraine.com.ua
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
69
F* = σп.
2 = σ1
2*w1
2 + σ2
2*w2
2 → МIN. (1)
Обзор источников по математическому программированию выявил целесообразность использования
для решения данной задачи (1) выпуклого программирования метода Куна-Таккера [2].
Согласно теории Г.Марковица, для наилучшей диверсификации риска по портфелю необходимо выби-
рать активы с нулевой корреляцией corr1,2. Поэтому в представленной выше целевой функции F* слагаемое
с множителем corr1,2 отсутствует. Поскольку сумма долей w активов всегда равна единице, то это означает,
что в случае двух активов в целевой функции вместо двух одна неизвестная переменная w1. Поэтому далее
будем оптимизировать структуру портфеля из трех активов. В итоге, целевая функция примет вид (2).
F = σ1
2*w1
2 + σ2
2*w2
2 + σ3
2*w3
2 → МIN. (2)
Управление структурой портфеля предусматривает поддержание в заранее заданном состоянии доход-
ности М и риска σ. Кроме того, сумма долей w активов всегда равна единице. Отсюда мы получаем сле-
дующие ограничения (3).
М1*w1 + М2*w2 + М3*w3 ≥ B;
σ1*w1 + σ2*w2 + σ3*w3 ≤ С;
w1 + w2 + w3 = 1. (3)
Cформируем функцию Лагранжа и продифференцируем ее по w1 w2, w3. При этом по условиям метода
Куна-Таккера производная меньше нуля. С учетом необходимости перехода от задачи минимизации к зада-
че максимизации знак целевой функции меняется на противоположный (4).
L (w, λ) = σ1
2*w1
2 + σ2
2*w2
2 + σ3
2*w3
2 + λ1*(1 – w1 – w2 – w3) +
+ λ2*( С – σ1*w1 – σ2*w2 – σ3*w3) – λ3*(B – М1*w1 – М2*w2 – М3*w3).
(∂ L / ∂ w1) = --2*σ1
2*w1 – λ1 – λ2*σ1 + λ3*М1 ≤ 0;
(∂ L / ∂ w2) = --2*σ2
2*w2 – λ1 – λ2*σ2 + λ3*М2 ≤ 0;
(∂ L / ∂ w3) = --2*σ3
2*w3 – λ1 – λ2*σ3 + λ3*М3 ≤ 0. (4)
Приведем получившуюся линейную систему ограничений к каноническому виду с учетом необходимо-
сти введения искусственного базиса и переменных согласно М-методу (5).
2*σ1
2*w1 + λ1 + λ2*σ1 – λ3*М1 – y1 + z1 = 0;
2*σ2
2*w2 + λ1 + λ2*σ2 – λ3*М2 – y2 + z2 = 0;
2*σ3
2*w3 + λ1 + λ2*σ3 – λ3*М3 – y3 + z3 = 0;
М1*w1 + М2*w2 + М3*w3 – y4 + z4 = B;
σ1*w1 + σ2*w2 + σ3*w3 + y5 = С;
w1 + w2 + w3 + z6 = 1. (5)
Пусть М1=0,45; σ1=0,15; М2=0,3; σ2=0,1; М3=0,37; σ3=0,12; В=0,35; С=0,12. Подставим эти значения в
систему ограничений, умножив на 100 первые три уравнения и на 10 последующие два без учета искусст-
венных переменных y, z (6).
2*2,25*w1 + 100*λ1 + λ2*15 – λ3*45 – y1 + z1 = 0;
2*w2 + 100*λ1 + λ2*10 – λ3*30 – y2 + z2 = 0;
2*1,44*w3 + 100*λ1 + λ2*12 – λ3*37 – y3 + z3 = 0;
4,5*w1 + 3*w2 + 3,7*w3 – y4 + z4 = 3,5;
1,5*w1 + w2 + 1,2*w3 + y5 = 1,2;
w1 + w2 + w3 + z6 = 1. (6)
Представим дальнейшее решение задачи линейного программирования в виде симплекс-таблицы в
табл.1. Как видно из табл.1, оптимальному решению соответствуют доли w1=0,185; w2=0,497; w3=0,318.
Изучим возможность решения подобной задачи одним из градиентных методов – Франка-Вульфа. То-
гда, согласно [2], целевая функция должна содержать переменные, и в квадрате, и в первой степени. В каче-
стве последних, учитывая суть задачи, возможно принять риск. Ограничения примем по уровню доходно-
сти и риску портфеля в целом. Зададимся точностью ξ=0,01. При подстановке значений риска σ и доходно-
сти М целевая функция и ограничения задачи примут вид формул (7). Значения риска активов в целевой
функции умножим на 10, чтобы все переменные, в любой степени, имели сопоставимый порядок коэффи-
циентов. В противном случае промежуточные и конечные результаты алгоритма будут неверными (больше
единицы, чего быть не может). Координаты начальной точки примем Х0 (0; 0; 1) из допустимой области.
F = – 1,5*w1 – w2 – 1,2*w3 – 2,25*w1
2 – w2
2 – 1,44*w3
2 → МАХ.
0,45*w1 + 0,3*w2 + 0,35*w3 ≥ 0,35; (*10)
0,15*w1 + 0,1*w2 + 0,12*w3 ≤ 0,12; (*10)
w1 + w2 + w3 = 1. (7)
Далее определим градиент целевой функции и его вид в начальной точке Х0. Исследуем полученную
функцию на минимум при исходных ограничениях. Канонический вид задачи образуется так же, как и для
предыдущего примера, по последним трем ограничениям. Расчеты симплекс-методом по градиенту целе-
вой функции приведены в табл.2.
▼F = i*(– 1,5 – 4,5*w1) + j*(– 1 – 2*w2) + k*(– 1,2 – 2,88*w3)→ МАХ;
▼F (Х0) = – 1,5*w1 – w2 – 1,2*w3 – 2,88*w3 → МАХ.
Ванюшкин А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
70
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
71
Ванюшкин А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
72
Таблица 2. Выявление точки максимума по градиенту целевой функции в первой итерации
-1,5 -1 -4,08 0 0 M-- M--
Базис С б Р 0 w1 w2 w3 y1 y2 z1 z3
Р 0 / Х
(MIN)
z1 M-- 3,5 4,5 3 3,5 -1 0 1 0 0,78
y2 0 1,2 1,5 1 1,2 0 1 0 0 0,80
z3 M-- 1 1 1 1 0 0 0 1 1
Δ(MAX) 0 1,5 1 4,08 0 0 0 0
M (MAX) -4,5 -5,5 -4 -4,5 1 0 0 0
w1 -1,5 0,78 1 0,67 0,78 -0,22 0 0 1,17
y2 0 0,03 0 0 0,03 0,33 1 0 ∞
z3 M-- 0,22 0 0,33 0,22 0,22 0 1 0,67
Δ(MAX) -1,17 0 0 2,91 0,33 0 0
M (MAX) -0,22 0 -0,33 -0,22 -0,22 0 0
w1 -1,5 0,33 1 0 0,33 -0,67 0
y2 0 0,03 0 0 0,03 0,33 1
w2 -1 0,67 0 1 0,67 0,67 0
Δ(MAX) -1,17 0 0 2,91 0,33 0
M (MAX) 0 0 0 0 0 0
По результатам расчета в табл.2, градиент целевой функции в первой итерации имеет максимум в точке
А (0,33; 0,67; 0). Далее найдем координаты новой точки Х1, исходя из координат точек Х0 и А, выразив через
λ.
x11 = 0 + λ*(0,33 – 0) = 0,33*λ;
x21 = 0 + λ*(0,67 – 0) = 0,67*λ;
x 31 = 1 + λ*(0 – 1) = 1 – λ.
Выраженные через λ координаты точки Х0 подставим в целевую функцию F. Найдем ее производную и
приравняем к нулю.
F = – 1,5*0,33*λ – 0,67*λ – 1,2*(1 – λ) – 2,25*(0,33*λ) 2 – (0,67*λ)2 – 1,44*(1 – λ)2;
F = – 0,495*λ – 0,67*λ – 1,2 + 1,2*λ – 0,245*λ2 – 0,45*λ2 – 1,44 + 2,88*λ – 1,44*λ2 = = – 2,64 + 2,915*λ –
2,135*λ2.
F▼= 2,915 – 4,27*λ = 0; λ = 0,68.
x11 = 0,224; x21 = 0,456; x 31 = 0,32.
Проверим оптимальность полученного при первой итерации решения, сравнив значения целевой функ-
ции F при координатах Х0 и Х1. Сопоставим найденную разницу с требуемой по исходным условиям точно-
стью ξ=0,01.
F (Х0) = – 1,2 – 1,44 = – 2,64;
F (Х1) = – 0,336 – 0,456 – 0,384 – 0,107 – 0,208 – 0,147 = – 1,638.
Δ F = 2,64 – 1,638 = 1,002 > 0,01.
Как видно из проведенного сравнения, процесс оптимизации необходимо продолжать далее. Поэтому
начнем вторую итерацию с точки Х1 найдем градиент целевой функции при координатах этой точки и ис-
следуем его на максимум. Расчеты симплекс-методом по градиенту целевой функции при второй итерации
приведены в табл.3.
▼F (Х1) = – 1,5*w1 – 1,01*w1 – w2 – 0,912*w2 – 1,2*w3 – 0,922*w3 =
= – 2,51*w1 – 1,912*w2 – 2,122*w3.
Таблица 3. Выявление точки максимума по градиенту целевой функции во второй итерации
-2,51 -1,912 -2,122 0 0 M-- M--
Базис С б Р 0 w1 w2 w3 y1 y2 z1 z3
Р 0 / Х
(MIN)
z1 M-- 3,5 4,5 3 3,5 -1 0 1 0 0,78
y2 0 1,2 1,5 1 1,2 0 1 0 0 0,80
z3 M-- 1 1 1 1 0 0 0 1 1
Δ(MAX) 0 2,51 1,912 2,122 0 0 0 0
M (MAX) -4,5 -5,5 -4 -4,5 1 0 0 0
w1 -2,51 0,78 1 0,67 0,78 -0,22 0 0 1,17
y2 0 0,03 0 0 0,03 0,33 1 0 ∞
z3 M-- 0,22 0 0,33 0,22 0,22 0 1 0,67
Δ(MAX) -1,95 0 0,24 0,17 0,56 0 0
M (MAX) -0,22 0 -0,33 -0,22 -0,22 0 0
w1 -2,51 0,33 1 0 0,33 -0,67 0
y2 0 0,03 0 0 0,03 0,33 1
w2 -1,912 0,67 0 1 0,67 0,67 0
Δ(MAX) -1,95 0 0 0,01 0,40 0
M (MAX) 0 0 0 0 0 0
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
73
По результатам расчета в табл.3, градиент целевой функции во второй итерации имеет максимум в точ-
ке В (0,33; 0,67; 0). Далее найдем координаты новой точки Х2, исходя из координат точек Х1 и В, выразив
через λ.
x12 = 0,224 + λ*(0,33 – 0,224) = 0,224 + 0,106*λ;
x22 = 0,456 + λ*(0,67 – 0,456) = 0,456 + 0,214*λ;
x 32 = 0,32 + λ*(0 – 0,32) = 0,32 – 0,32*λ.
Выраженные через λ координаты точки Х2 подставим в целевую функцию F. Найдем ее производную и
приравняем к нулю.
F = – 1,5*(0,224 + 0,106*λ) – (0,456 + 0,214*λ) – 1,2*(0,32 – 0,32*λ) –
– 2,25*(0,224 + 0,106*λ)2 – (0,456 + 0,214*λ)2 – 1,44*(0,32 – 0,32*λ)2;
F = – 0,336 – 0,16*λ – 0,456 – 0,214*λ + 0,384*λ – 0,384 –
– 0,11 – 0,025*λ2 – 0,107*λ – 0,21 – 0,046*λ2 – 0,195*λ –
– 0,147 – 0,147*λ2 + 0,295*λ = 0,003*λ – 1,643 – 0,218*λ2.
F▼= 0,003 – 0,436*λ = 0; λ = 0,007.
x12 = 0,225; x22 = 0,457; x 32 = 0,318.
Проверим оптимальность полученного при второй итерации решения, сравнив значения целевой функ-
ции F при координатах Х1 и Х2. Сопоставим найденную разницу с требуемой по исходным условиям точно-
стью ξ=0,01.
F (Х1) = – 1,638; F (Х2) = – 0,338 – 0,457 – 0,382 – 0,108 – 0,208 – 0,146 = – 1,639.
Δ F = 1,639 – 1,638 = 0,001 < 0,01.
Таким образом, решение w1=0,225; w2=0,457; w3=0,318 является оптимальным для исходной формули-
ровки задачи (целевой функции). Данное решение, полученное методом Франка-Вульфа, отличается от ре-
шения, полученного методом Куна-Таккера (w1=0,185; w2=0,497; w3=0,318), т.к. отличаются формулировки
задач (целевых функций). Последняя формулировка (для метода Франка-Вульфа) включает в себя как квад-
ратичную степень, так и единичную степень, а первая (для метода Куна-Таккера) – только квадратичную
степень. При этом, как видно из сравнения, разница между решениями методом Франка-Вульфа и методом
Куна-Таккера заключается в разности распределения долей портфеля между первым и вторым активами (w1
w2) в 0,04.
Это соотносится с тем, что начальная точка в методе Франка-Вульфа была взята с координатами Х0 (0;
0; 1), т.е. с ненулевой третьей координатой, что обусловило частичное совпадение решений по третьей доле
(w3). Причина различия полученных решений указанными методами заключается в несовпадении миниму-
мов по части целевой функции с единичной степенью (усредненный риск по активам) и по части целевой
функции с квадратичной степенью (риск по портфелю в целом). Выбор одного из двух рассмотренных вы-
ше методов нелинейного программирования применительно к задаче оптимизации структуры портфеля
ценных бумаг зависит от деталировки самой задачи: требуется ли минимизировать только риск по портфе-
лю (метод Куна-Таккера), или в дополнение к этому необходимо еще минимизировать усредненный риск
по активам (метод Франка-Вульфа).
Приведенные выше примеры применения методов нелинейного программирования для решения задач
оптимизации структуры инвестиционного портфеля имеют статический характер, т.е. не учитывают дина-
мических аспектов данной проблемы, связанных с финансовым планированием. Поэтому рассмотрим при-
менение метода динамического программирования для задач финансового планирования. Основной целью
финансового планирования является составление плана денежных потоков предприятия таким образом,
чтобы на каждый период планирования (месяц, квартал, год) сальдо чистых притоков и оттоков денежных
средств было равно нулю [1]. При этом одинаково плохим для предприятия является как отрицательное, так
и положительное сальдо. Так, в первом случае предприятию необходимо прибегать к заимствованию фи-
нансовых ресурсов на рынке, а во втором – изыскивать на рынке возможности выгодного и безопасного
размещения временно свободных финансовых средств. Однако реальность такова, что нулевое сальдо у
предприятия бывает только в идеале. Поэтому далее будем анализировать решение задачи составления
полного финансового плана, т.е. с учетом возможностей по объемам дополнительных заимствований и ин-
вестиций на финансовом рынке.
Наиболее распространенными методами решения подобного класса задач являются модели остаточной
стоимости и изъятий [1]. Первая модель позволяет получить чистый финансовый остаток потока денежных
средств на конечный момент планирования при заданных ежегодных изъятиях. Вторая модель позволяет
определить сумму ежегодных изъятий, например, в целях амортизации, при заданной остаточной стоимо-
сти. Обе этих модели применяются при условии конкретной заданной конфигурации денежных потоков.
Под этим имеется в виду однозначность задания моментов времени для каждой из присутствующих в фи-
нансовом плане денежных сумм. Например, с помощью указанных моделей возможно сопоставить выгод-
ность реализации нескольких инвестиционных проектов в рамках предприятия при условии, что моменты
старта и окончания этих проектов являются неизменными.
Однако нередко при финансовом планировании, особенно в условиях неопределенности, возникает
крайне актуальная задача оптимизации конфигурации финансовых потоков. В этом случае моменты старта
и окончания инвестиционных проектов варьируются таким образом, чтобы получить наилучший финансо-
вый план, исходя из максимизации критериев, либо остаточной стоимости, либо изъятий. В связи с этим,
возникают два следующих очень важных вида подзадач:
− выбор наилучшего момента старта конкретного инвестиционного проекта;
− определение оптимального количества инвестиционных проектов для реализации в рассматриваемом
Ванюшкин А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
74
интервале финансового планирования.
Что касается последней подзадачи, то обычно она решается путем сопоставления внутренней нормы
рентабельности (IRR) каждого проекта и средневзвешенной стоимости привлечения финансовых ресурсов
(WACC) в совокупность проектов [1]. Однако данный подход предполагает, опять таки, неизменность мо-
ментов старта и окончания этих проектов.
Исходя из сказанного выше, для оптимизации конфигурации финансовых потоков предприятия при
варьировании моментов старта и количества реализуемых инвестиционных проектов наиболее целесооб-
разным является применение метода динамического программирования, который рассмотрен в [2]. Ниже, в
табл.4 представлены исходные данные подобной задачи.
Таблица 4. Исходные данные задачи динамического программирования
Момент времени t=1 t=2 t=3 t=4 t=5
Базовый платеж М 500 200 --300 100 200
Инвестиция Z (t=1) --500 600 0 0 0
Инвестиция Z (t=2) -------- --500 600 0 0
Инвестиция Z (t=3) -------- -------- --500 600 0
Инвестиция Z (t=4) -------- -------- -------- --500 600
Поток Z5 -------- -------- -------- -------- 50
-------- 10% 10% 10% -------- Доп. инвестиции h, % -------- 1 год 1 год 1 год --------
-------- 15% 15% 15% -------- Доп. займы S, % -------- 1 год 1 год 1 год --------
Остаточн. стоим-ть С 1000
Ежегодные изъятия Y ??? ??? ??? ??? ???
В табл.4 дана наиболее простая формулировка задачи, т.е. имеется один проект, при этом он может
быть реализован последовательно несколько раз, т.е. с разными моментами старта (в табл.4 это обозначено
Z1, Z2, Z3, Z4, Z5). Необходимо определить, во-первых, наилучший момент для старта проекта, а, во-
вторых, сколько таких проектов подряд лучше всего реализовать с точки зрения оптимального финансового
планирования. В принципе, ответ на первый вопрос можно получить и без применения динамического про-
граммирования, с помощью применения одного из двух упомянутых ранее стандартных методов, например,
остаточной стоимости. Это отражено ниже, в табл.5.
Таблица 5. Расчет остаточной стоимости при нулевых ежегодных изъятиях
Момент времени t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Итого
М + Z1 – S1 0 800 --300 100 200
Возврат доп. инв. h --------- --------- 880 638 812 1012
М + Z2 – S2 500 --300 300 100 200
Возврат доп. инв. h --------- 550 275 633 806 1006
М + Z3 – S3 500 200 --800 700 200
Возврат доп. инв. h --------- 550 825 28 801 1001
М + Z4 – S4 500 200 --300 --400 800
Возврат доп. инв. h --------- 550 825 578 196 996
М + Z5 500 200 --300 100 250
Возврат доп. инв. h --------- 550 825 578 746 996
Из табл.5 видно, что в рассматриваемом примере благодаря своевременному дополнительному инве-
стированию сумм положительного сальдо, образующихся на соответствующих периодах планирования, не-
обходимость в дополнительных займах S отсутствует. Наилучшим решением является реализация проекта
на самом начальном этапе планирования (Z1, t=1).
S (Z1) = 0. S (Z2) = 0. S (Z3) = 0. S (Z4) = 0.
Однако традиционный путь решения рассматриваемой задачи, показанный в табл.5, не является рацио-
нальным, т.к. можно обойтись меньшим количеством расчетов. Учитывая сущность задачи, воспользуемся
одним из методов дисконтирования денежных потоков во времени, заключающемся в отнесении сумм
сальдо по каждому интервалу планирования на конечный период времени. Рассчитаем остаточную стои-
мость этим методом для сравнения с расчетами, произведенными в табл.5.
C*(+h)1 = 0 + 800*1,13 – 300*1,12 + 100*1,1 + 200 = 1012.
C*(+h)2 = 500*1,14 – 300*1,13 + 300*1,12 + 100*1,1 + 200 = 1006.
C*(+h)3 = 500*1,14 + 200*1,13 – 800*1,12 + 700*1,1 + 200 = 1001.
C*(+h)4 = 500*1,14 + 200*1,13 – 300*1,12 – 400*1,1 + 800 = 996.
C*(+h)5 = 500*1,14 + 200*1,13 – 300*1,12 + 100*1,1 + 250 = 996.
Как видно, объем расчетов данным способом меньше, чем по табл.5. Поэтому далее воспользуемся
этим же методом для вычисления остаточной стоимости при реализации нескольких проектов. Ниже при-
ведены расчеты для наиболее характерных сочетаний, исходя из условия задачи (см. табл.4).
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
75
C*(+h)1-5 = 0 + 300*1,13 – 200*1,12 + 200*1,1 + 850 = 1227.
C*(+h)2-5 = 500*1,14 – 300*1,13 – 200*1,12 + 200*1,1 + 850 = 1161.
C*(+h)3-5 = 500*1,14 + 200*1,13 – 800*1,12 + 200*1,1 + 850 = 1101.
C*(+h)4-5 = 500*1,14 + 200*1,13 – 300*1,12 – 400*1,1 + 850 = 1046.
C*(+h)1-3 = 0 + 300*1,13 – 200*1,12 + 700*1,1 + 200 = 1127.
C*(+h)1-2 = 0 + 300*1,13 + 300*1,12 + 100*1,1 + 200 = 1072.
C*(+h)2-3 = 500*1,14 – 300*1,13 – 200*1,12 + 700*1,1 + 200 = 1061.
Следующим рациональным шагом является вычленение остаточной стоимости, образующейся исклю-
чительно за счет потока базовых платежей М (не зависящего от реализации проектов Z) и остаточных стои-
мостей от каждого из вариантов реализации проекта (Z1 – Z5).
C*(+h)0 = 500*1,14 + 200*1,13 – 300*1,12 + 100*1,1 + 200 = 946.
C*(+h)Z1 = – 500*1,14 + 600*1,13 = 66.
C*(+h)Z2 = – 500*1,13 + 600*1,12 = 60.
C*(+h)Z3 = – 500*1,12 + 600*1,1 = 55.
C*(+h)Z4 = – 500*1,1 + 600 = 50.
Последний вариант расчетов, во-первых, еще проще, чем приведенные выше, а, во-вторых, может быть
использован для ответа на вопрос, сколько проектов подряд лучше всего реализовать с точки зрения опти-
мального финансового планирования. Теперь очевидно, что дальнейшее упорядочение расчетов, призван-
ных ответить на этот вопрос, требует применения метода динамического программирования. Все возмож-
ные основные комбинации последовательных реализаций проекта (Z1 – Z5) в порядке, начиная с конечного
момента планирования, отражены ниже, в табл.6.
Таблица 6. Динамическое программирование остаточной стоимости для оптимизации финансового плана
Состояния
системы
Варианты
стратегии t= 5 t = 4, 5 t = 3 – 5 t = 2 – 5 t = 1 – 5
Инвест. 996 996 996 996 996 Z5 Нет 946 946 946 946 946
Инвест. 996 996 +50
= 1046 1046 1046 1046 Z4
Нет 946 996 996 996 996
Инвест. 1001 1001 +50
= 1051
1001 +50
+50 = 1101 1101 1101 Z3
Нет 946 996 1046 1046 1046
Инвест. 1006 1006 +50
= 1056
1006 +50
+50 = 1106
1006 +55 +50 +50
= 1161 1161 Z2
Нет 946 996 1046 1101 1101
Инвест. 1012 1012 +50 =
1062
1012 +50
+50 = 1112
1012 +55 +50 +50
= 1167
1012 +60 +55
+50 +50 = 1227 Z1
Нет 946 996 1046 1101 1161
Как видно из табл.6, наилучшим сочетанием, дающим максимальную остаточную стоимость, является
последовательная реализация проекта на всех этапах планирования (Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5). Жирным
шрифтом в табл.6 выделен оптимальный путь (см. предпоследнюю строку табл.6): Z1; (Z1 + Z5); (Z1 + Z4 +
Z5); (Z1 + Z3 + Z4 + Z5); (Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5). Приведенные в табл.6 расчеты свидетельствуют еще об
одном очень важном преимуществе метода динамического программирования для решения задач финансо-
вого планирования: он позволяет определить предельно допустимые объемы отклонений в финансовых по-
токах, превышение которых может привести к изменению найденного оптимального решения, а также ка-
кое решение станет оптимальным в случае такого превышения.
В случае определения сумм ежегодных изъятий Y требуется завершающий этап расчетов, показанный
ниже, т.ч. в табл.7. Суть этого этапа заключается в выделении сальдо денежных потоков по найденному оп-
тимальному варианту на каждый период планирования, по аналогии с табл.5. Далее величина Y находится
путем аппроксимации в сторону уменьшения от ее возможного максимума. При этом сальдо денежных по-
токов по интервалам планирования пересчитываются.
Таблица 7. Расчет остаточной стоимости при нулевых ежегодных изъятиях для найденного по табл.6 опти-
мального варианта
Момент времени t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 Итого
М + Z(1-5) – S(1-5) 0 300 --200 200 850
Возврат доп. инв. h --------- --------- 330 143 377 1227
Ymax = (1227 – 1000) / 4 = 57.→50. C2 = 300 – 50 = 250.
h3 = 250 * 1,1 = 275. C3 = --200 – 50 + 275 = 25.
h4 = 25 * 1,1 = 28. C4 = 200 – 50 + 28 = 178.
h5 = 178 * 1,1 = 196. C5 = 850 – 50 + 196 = 996.
Ванюшкин А.С.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
76
Упомянутые выше портфельная теория Г.Марковица и концепция составления оптимального финансо-
вого плана подразумевают, что конкретные виды активов из существующего их множества уже заранее
отобраны. Между тем, отбор активов из их множества является отдельной задачей. При этом такая задача
имеет ярко выраженный дискретный характер, т.е. области значения переменных являются не сплошными,
а дискретными. Согласно [2], для подобного класса задач применяется метод ветвей и границ. Поэтому рас-
смотрим его применение для дискретной задачи выбора наилучшей ценной бумаги по трем показателям:
доход, риск и ликвидность. При этом доход и ликвидность стремятся к максимуму, а риск – к минимуму.
Поскольку одновременное выполнение этих требований априори невозможно, то неизбежен компромисс.
Исходные данные приведены в табл.8. Решение задачи отражено на рис.1.
Таблица 8. Исходные данные для задачи дискретного программирования
Показ. А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10
Доход 0,2 0,15 0,17 0,18 0,16 0,22 0,17 0,16 0,18 0,2
Риск 0,1 0,08 0,11 0,12 0,1 0,15 0,11 0,08 0,1 0,12
Ликв.* 0,04 0,02 0,03 0,04 0,03 0,05 0,03 0,02 0,04 0,05
* отношение дневного объема операций к объему эмиссии.
Рис. 1. Решение задачи дискретного программирования методом ветвей и границ
Как видно из рис.1, наилучшим вариантом является актив «А10». Прокомментируем ход решения зада-
чи. В качестве первоначального варианта (рекорда) был взят актив с максимальным значением доходности
(0,22). Последующие варианты брались по мере уменьшения доходности (ослабление). Обозначение «кре-
стик в кружке» на рис.1 указывает на тупиковый вариант. Три случая на рис.1 требуют дополнительного
комментария: выбор предпочтения между «А1» и «А10», между «А8» и «А5», а также между «А10» и «А5»
по причине конфликта между риском, ликвидностью и доходностью. Во-первых, по умолчанию все три
критерия будем считать равнозначными. Во-вторых, для выявления предпочтения применим предельный
анализ: будем сравнивать относительные изменения критериев в каждом случае.
Δ р 6-10 = (0,15 – 0,12) / 0,15 = 0,2. Δ р 6-1 = (0,15 – 0,1) / 0,15 = 0,33. ΔΔр = 0,13.
Δ л 6-10 = (0,05 – 0,05) / 0,05 = 0. Δ л 6-1 = (0,05 – 0,04) / 0,05 = 0,2. ΔΔл = 0,2.
0,13 < 0,2 → «А10» лучше по ликвидности чем «А1».
Δ р 10-8 = (0,12 – 0,08) / 0,12 = 0,33. Δ р 10-5 = (0,12 – 0,1) / 0,12 = 0,17. ΔΔр = 0,16.
Δ л 10-8 = (0,05 – 0,02) / 0,05 = 0,6. Δ л 10-5 = (0,05 – 0,03) / 0,05 = 0,4. ΔΔл = 0,2.
0,16 < 0,2 → «А5» лучше по ликвидности, чем «А8».
Δ р 10-5 = 0,17. Δ л 10-5 = 0,4. Δ д 10-5 = (0,2 – 0,16) / 0,2 = 0,2. ΣΔл,д = 0,6.
0,6 > 0,17. → «А10» лучше по ликвидности и доходности, чем «А5».
Выводы. Проведенное нами исследование возможностей применения методов математического про-
граммирования для решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля привело нас к
следующим выводам. Во-первых, данную задачу необходимо разбить на три следующих подзадачи:
− нахождение оптимальной структуры долей активов инвестиционного портфеля по соотношению «риск
– доходность»;
− составление оптимального финансового плана для выявления возможностей изменения первоначальной
структуры инвестиционного портфеля;
− выбор наилучших активов из их общего множества для включения в инвестиционный портфель.
Первая из приведенных подзадач относится к классу задач выпуклого программирования, и может быть
решена двумя альтернативными методами: методом Куна-Таккера и методом Франка-Вульфа. Выбор одно-
0,22
0,15
0,05
0,15
0,08
0,02
0,2
0,12
0,05
0,16
0,1
0,03
0,18
0,1
0,04
0,18
0,12
0,04
0,2
0,1
0,04
0,16
0,08
0,02
Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
77
го из них зависит от конкретной постановки данной подзадачи: минимизирует ли целевая функция только
риск по портфелю в целом, или, в дополнение к этому, еще и риски по отдельным составляющим активам.
Для составления оптимального финансового плана целесообразно использовать метод динамического про-
граммирования. Спецификой использования этого метода для данной подзадачи является необходимость
проведения подготовительных вычислений, заключающихся в вынесении на конечный период планирова-
ния с помощью методов дисконтирования во времени отдельно сумм базовых платежей, и отдельно сумм
денежных потоков по инвестициям. Третья из приведенных выше подзадач относится к классу дискретного
программирования и решается методом ветвей и границ. В данном случае для выявления окончательного
предпочтения целесообразно дополнительно использовать предельный анализ: сравнивать относительные
изменения критериев в каждом случае.
Источники и литература
1. Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты. – М.: Инфра-М, 2001г. – 402с.
2. Рыжаков А.Н., Щербина О.А., Никольский В.Е. Математическое программирование. – Симферополь,
2005. – 264с.
Шаповалова І.О.
ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ РИНКУ МІНЕРАЛЬНИХ ВОД
Водні споживчі ресурси є важливішими природними ресурсами України, ефективне використання яких
не лише дозволяє забезпечити первинні потреби населення, але й підвищити експортний потенціал країни,
сприяє формуванню її позитивного іміджу. Україна є однією з провідних європейських держав з видобутку,
розливу та реалізації мінеральних вод і справедливо може вважати їх справжнім багатством, яке вимагає
господарського відношення щодо його використання, збереження і примноження.
Концептуальні проблеми розвитку ринкових відносин знайшли відображення у роботах відомих вітчи-
зняних і закордонних вчених, як Я. Бєлоусько, З. Борисенко, А. Кредісов, В. Марцин, А. Маршалл, С. Мо-
черний, А. Оніщенко, Б. Райзберг, П. Саблук, С. Соколенко, І. Сорока, Р. Фатхутдінов, В. Юрчишин та інші.
Актуальним питанням формування ринків природних ресурсів, продукції харчової промисловості,
проблемам продовольчої безпеки присвятили роботи Р. Баглей, Ю. Білик, П. Борщевський, Л. Дейнеко, С.
Дорогунцов, В. Єрьоменко, А. Заінчковський, О. Закорко, Л. Мельник, Т. Мостенська, Б. Пахавер, В.
Привалов, О. Скидан, В. Слюсар, О. Смаглій, В. Трегобчук, Л. Чернюк, А. Шумейко та інші.
Розглянемо більш детально, що являє собою ринок мінеральних вод як регульована господарська
система, з яких основних частин вона складається, виходячи з природи і призначення цих частин, елементів
ринку.
Нами виділено найбільш важливі і відмітні елементи ринку мінеральних вод, наявність яких
характеризує цей ринок. Загальна схема сукупності об’єктів регулювання ринку мінеральних вод зображена
на рис. 1
Рис. 1. Об’єкти регулювання ринку мінеральних вод
У ринковому середовищі функціонування і розвитку взаємодії суб’єктів ринку мінеральних вод
виникає необхідність постійного розподілу і перерозподілу їх ролей з метою відповідності структури ринку
зовнішньому середовищу.
Об’єкти регулювання ринку мінеральних вод
В
ир
об
ни
ки
/
ви
до
бу
ва
чі
С
по
ж
ив
ач
і
Ін
фр
ас
тр
ук
ту
ра
С
по
ж
ив
чі
в
од
ні
р
ес
ур
си
Ін
фо
рм
ац
ія
Гр
ош
ов
і п
от
ок
и
Зв’язки і відносини
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-24364 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-0808 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:20:10Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ванюшкин, А.С. 2011-07-12T22:22:29Z 2011-07-12T22:22:29Z 2009 Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля / А.С. Ванюшкин // Культура народов Причерноморья. — 2009. — № 155. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/24364 ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля Ванюшкин, А.С. Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| title | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| title_full | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| title_fullStr | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| title_full_unstemmed | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| title_short | Математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| title_sort | математическое обеспечение формирования инвестиционного портфеля |
| topic | Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| topic_facet | Проблемы материальной культуры – ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/24364 |
| work_keys_str_mv | AT vanûškinas matematičeskoeobespečenieformirovaniâinvesticionnogoportfelâ |