Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла
The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a generalized quasielastic four-element Maxwell's body has been solved. The analytical dispersive formulas have been obtained for the phase velocities and absorption coefficients in the wave processes under study.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2443 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 116-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249595311816704 |
|---|---|
| author | Бицань, Є.М. |
| author_facet | Бицань, Є.М. |
| citation_txt | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 116-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a generalized quasielastic four-element Maxwell's body has been solved. The analytical dispersive formulas have been obtained for the phase velocities and absorption coefficients in the wave processes under study.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:41:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 530.3+550.344
© 2007
Є.М. Бицань
Поширення плоских теплових i термопружних
сейсмiчних хвиль в узагальненому квазiпружному
чотириелементному реологiчному тiлi типу Максвелла
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a generalized
quasielastic four-element Maxwell’s body has been solved. The analytical dispersive formulas
have been obtained for the phase velocities and absorption coefficients in the wave processes
under study.
Сейсмiчнi хвилi дають важливу iнформацiю про будову Землi, i їх дослiдження — одна
з найважливiших задач геофiзики. Мiж параметрами сейсмiчних хвиль i властивостями фi-
зичних середовищ, в яких вони поширюються, iснує зв’язок, який є предметом дослiдження
динамiчної теорiї пружностi. Реальнi фiзичнi середовища є непружними [1], тобто такими,
що не задовольняють закону Гука. Насамперед непружнiсть фiзичних порiд проявляється
у перетвореннi механiчної енергiї в теплову i пов’язаних з цим згасаннi сейсмiчних хвиль,
зсувi фаз мiж напругою й деформацiєю та повзучостi, а також враховується за допомогою
реологiчних моделей [2] шляхом включення в розрахункову математичну модель поряд iз
пружними в’язкi й пластичнi елементи. Врахування пiдвищеної температури середовища
зводиться до додаткових доповнень у математичну модель.
У повiдомленнi розглядається задача про поширення плоских теплових i термопружних
хвиль в однорiдному iзотропному середовищi, непружнi властивостi якого апроксимуються
реологiчним тiлом (РТ), що схематично зображається паралельним об’єднанням двох ре-
ологiчних тiл Максвелла. Реологiчна формула цього тiла записується таким чином: M∗ =
= (H −N)|(H −N), де H — пружний, а N — в’язкий елементи; вертикальна риска означає
паралельне, а горизонтальна — послiдовне з’єднання. Реологiчне рiвняння узагальненого
тiла Максвелла виводиться з умови, що його деформацiя дорiвнює сумi деформацiй у його
складових, а напруга в дослiджуваному тiлi та в РТ — складових однакова:
σI = σ1 = σ2 = σ, εI = ε1 + ε2 = ε. (1)
Тут σ — напруга; ε — деформацiя; нижнiй iндекс указує на належнiсть до певного РТ.
Зв’язок мiж напругою й деформацiєю в реологiчному тiлi Максвелла описується таким
чином:
σ + τ (i)σ̇i = ηi[ε̇i − β0iθ̇i], (2)
де τ (i) = ηi/Ei — час релаксацiї напруги при постiйнiй деформацiї в i-му тiлi Максвелла,
ηi i Ei — його в’язкi та пружнi модулi; β0i = (1 + νi)/(1 − νi)αTi
, νi — коефiцiєнт Пуансона,
αT i — коефiцiєнт лiнiйного температурного розширення; θi = Ti−T0i, T0i — температура не-
деформованого, а Ti — деформованого i-го тiла Максвелла в точцi з поточною координатою
x(θi/T0i ≪ 1). Крапка зверху означає диференцiювання по часовiй координатi t.
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Реологiчне рiвняння дослiджуваного тiла одержимо, виключаючи iз системи (2) за допо-
могою рiвнянь (1) парцiальнi напруги й деформацiї, i припускаючи, що θ2β02/β01
∼= θ1 = θ:
σ + (τ1 + τ2)σ̇ + τ1τ2σ̈ = H[ε̇ + τ3ε̈ − β01(θ̇ + τ3θ̈)], (3a)
де τ3 =
η1η2(E1 + E2)
(η1 + η2)E1E2
, H = η1 + η2 — релаксуючий в’язкий модуль узагальненого чотири-
елементного реологiчного тiла Максвелла.
Рiвняння (3а) можна записати в стандартнiй формi через релаксацiйнi параметри:
σ + (τ
(1)
rel + τ
(2)
rel )σ̇ + τ
(1)
rel τ
(2)
rel σ̈ = H[ε̇ + τretε̈ − β01(θ̇ + τretθ̈)], (3б)
де τ
(1)
rel = τ1 i τ
(2)
rel = τ2 — часи релаксацiї напруги при постiйнiй деформацiї (часи релаксацiї),
а τret = τ3 — час релаксацiї деформацiї при постiйнiй напрузi (часи пiслядiї) в узагальненому
реологiчному тiлi Максвелла.
Система рiвнянь зв’язаної динамiчної задачi термопружностi складається з рiвняння
руху в перемiщеннях i рiвняння теплопровiдностi.
Рiвняння руху для плоскої поздовжньої одновимiрної хвилi опишемо формулою [3]
ρü = σ′, (4)
де u — змiщення середовища; ρ — питома густина; штрихом позначено диференцiювання
за лiнiйною змiнною x.
Продиференцiюємо спiввiдношення (3а) за змiнною x i пiдставимо σ з рiвняння (4).
З огляду на те, що ε = u′, одержимо в пiдсумку рiвняння руху в перемiщеннях для дослi-
джуваного тiла в такому виглядi:
u̇ + (τ1 + τ2)ü + τ1τ2u =
H[u′′ + τ3u̇
′′ − β01(θ
′ + τ3θ̇
′
)]
ρ
. (5)
Рiвняння теплопровiдностi запишемо так [4]:
θ′′ − 1
κ
θ̇ − mu̇′ = 0, (6)
де κ — коефiцiєнт температуропровiдностi; m = β01E0T0/λq, λq — коефiцiєнт теплопровiд-
ностi, E0 = E1 + E2 — зведений пружний модуль.
Розв’язок системи рiвнянь зв’язаної динамiчної задачi термопружностi (5), (6) буде та-
ким [4]:
u = u0e
i(kx−ωt), θ = θ0e
i(kx−ωt), (7)
де u0 i θ0 — довiльнi постiйнi iнтегрування; ω — кругова частота; k = ω/c0 + iα — хвильове
число, c0 — фазова швидкiсть, а α — згасання дослiджуваних сейсмiчних хвиль; i =
√
−1.
Пiдставимо u й θ у формi (7) у систему рiвнянь термопружностi (5), (6) i приходимо до
такої однорiдної лiнiйної системи рiвнянь для визначення сталих iнтегрування u0 i θ0:
(
−k2 +
iω
κ
)
θ0 − mωku0 = 0,
iHβ01k(1 − i∆3)θ0 + [−ρω(∆1 + ∆2 + i(1 − ∆1∆2)) + Hk2(1 − i∆3)]u0 = 0,
(8)
де ∆i = ωτi — безрозмiрний параметр.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 117
Умова нетривiальностi розв’язку системи рiвнянь динамiчної теорiї термопружностi для
дослiджуваного тiла дає таке характеристичне бiквадратне рiвняння для хвильових чисел:
H(1−i∆3)k
4−
[
ρω(∆1+∆2+i(1−∆1∆2))+
µωH
κ
(1−i∆3)+imωHβ01(1−i∆3)
]
k2+
+
iρω2
κH
(∆1 + ∆2 + i(1 − ∆1∆2)) = 0, (9)
яке можна записати у зведенiй формi таким чином:
k4 −
[
ω2
c2
0
+
ω
κ
(1 + δ0)i
]
k2 +
iω3
κc2
0
= 0, (10)
де c2
0 = E/ρ — комплексна швидкiсть; E = E0(1 − iβ) — комплексний, а E0 = Re(E) —
динамiчний модуль; β — фазова характеристика комплексного модуля, яка мала́ вiдносно
одиницi i називається кутом втрат або внутрiшнiм тертям [5, 6]; δ0 = mκβ01 — константа
зв’язностi, яка мала́ порiвняно з одиницею [4, 7].
Внутрiшнє тертя, комплексна константа зв’язностi, комплексний i динамiчний модулi
визначаються вiдповiдно виразами:
E =
ωH(1 − i∆3)
∆1 + ∆2 + i(1 − ∆1∆2)
=
ωH(1 − iωa3)
ωa1 + i(1 − ω2a2)
= E1 − iE2 = E0(1 − iβ), (11a)
E0 =
ωηH(∆1 + ∆2 − ∆3 + ∆1∆2∆3)
1 + ∆2
1 + ∆2
2 + ∆2
1∆
2
2
= ω2ηH
a1 − a3(1 − ω2a2)
a2
1ω
2 + (1 − ω2a2)2
, (11б)
β = − arctg
(
Im(E)
Re(E)
)
= arctg
(
1 − ∆1∆2 + ∆3(∆1 + ∆2)
∆1 + ∆2 − ∆3(1 − ∆1∆2)
)
=
= arctg
(
1 − ω2a2 + ω2a1a3
ω(a1 − a3(1 − ω2a2))
)
. (11в)
Iнодi для аналiзу непружних особливостей фiзичних середовищ використовуються мит-
тєвий та тривалий модулi [7]:
E(0) = E(0), E(∞) = E(∞).
З формул (11) випливає, що комплексний модуль i зв’язанi з ним динамiчний модуль,
комплексна швидкiсть i внутрiшнє тертя визначаються через механiчнi або релаксацiйнi
константи i не залежать вiд температури.
Зауважимо, що фiзичнi породи є переважно слабко пружними [8], тобто для них має мiс-
це така нерiвнiсть: β ≪ 1, а тому у формулi (11в) для внутрiшнього тертя можна опустити
символ арктангенса.
Коренi бiквадратного рiвняння (7) визначаємо за такою формулою:
k2
1,2 =
1
2
[
ω2
c2
0
+
iω
κ
(1 + δ0) ±
√(
ω2
c2
0
+
iω
κ
(1 + δ0)
)2
− 4iω3
κc2
0
]
, (12)
118 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
яку можна перетворити, враховуючи ту обставину, що складовi в радикалi мають рiзний
порядок, i пiсля елементарних перетворень одержати в пiдсумку такий вираз для хвильових
чисел:
k2
1,2 =
1
2
[
ω2
c2
0
+
iω
κ
(1 + δ0) ±
(
ω2
c2
0
− iω
κ
(1 + δ0)
)√
1 + δ
]
, (13)
де
δ =
4iδ0ω
2/c2
0
[ω2/c2
0 − iω(1 − δ0)/κ]2
=
4iδ0ξ
[ξ − i(1 − δ0)]2
≪ 1, ξ =
ωκ
c2
0
≪ 1.
Рiвняння (13) дає двi пари хвильових чисел. Перша пара належить термопружнiй хвилi,
а друга — тепловiй. Додатне значення береться для хвилi, що рухається в позитивному
напрямi осi x, а вiд’ємне — для хвилi, що рухається у зворотному напрямi.
Модуль комплексної константи δ малий вiдносно одиницi i це дозволяє лiнеаризувати
радикал у формулi (13), i одержати в пiдсумку лiнеаризованi формули для хвильових чисел:
k1 =
ω
ĉ0
√
1 − iβ
1 − δ0
2
, k2 =
√
ω(1 + δ0/2)
2κ
(1 − i), (14)
де ĉ0 =
√
E0/ρ.
Спiввiдношення (14) для слабопружних середовищ трансформуються в такi вирази:
k1 =
ω
ĉ0
[1 − δ0/2 + iβ/2], k2 =
√
ω(1 + δ0)
2κ
[1 + i],
за допомогою яких можна одержати вирази для фазових швидкостей i коефiцiєнтiв згасання
термопружних i теплових сейсмiчних хвиль [5]:
V1 =
ω
Re(k1)
=
c̃0
1 − δ0/2
, α1 = Im(k1) =
ωβ
2c̃0
,
V2 =
ω
Re(k2)
=
√
2κ(1 + δ0)
ω
, α2 = Im(k2) =
√
ω(1 + δ0)
2κ
.
(15)
Далi розглянемо поведiнку дослiджуваного реологiчного тiла в стандартних випадках у фiк-
сованiй точцi x = x0.
1. Якщо в тiлi пiдтримується постiйна напруга σ = σ0 = const, то в цьому випадку
в тiлi вiдбувається процес повзучостi. Рiвняння теплопровiдностi (6) дає таку залежнiсть
мiж температурою й деформацiєю:
θ = −mκε, (16)
а реологiчне рiвняння (3а) зводиться до диференцiального рiвняння вiдносно деформацiї ε:
ε̇ + τ3ε̈ =
σ0
H(1 + δ0)
, (17)
розв’язок якого запишемо так:
ε = τ3
(
σ0
H(1 + δ0)
− ε̇(0)
)
e−t/τ3 + ε(0) + τ3ε̇(0) +
σ0(t − τ3)
H(1 + δ0)
, (18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 119
де ε0 = ε(0), ε̇0 = ε̇(0), ε∗ = σ0/[H(1 + δ0)] — частковий розв’язок неоднорiдного рiвняння
(17), а час пiслядiї τ3 задовольняє такому рiвнянню:
τ3 =
η1η2(E1 + E2)
(η1 + η2)E1E2
. (19)
У виразi (18) для деформацiї в квазiпружному узагальненому тiлi Максвелла є складова,
прямо пропорцiйна часу, звiдки випливає, що при постiйнiй напрузi деформацiя в ньому
необмежено зростає, i в тiлi буде вiдбуватися плин. Отже, це тiло є у певному розумiннi
рiдиною.
Далi з рiвняння (19) знаходимо фiзичне трактування реологiчної сталої τ3. Це час пiс-
лядiї (повзучостi), який для фiзичних порiд сягає кiлькох тисяч рокiв [9], так що надалi
будемо вважати, що τ3 ≫ 1.
Якщо в момент t = t1 тiло розвантажити, то в ньому буде вiдбуватися пiслядiя. Дефор-
мацiя в цьому випадку можна описати таким виразом:
ε = ε1 − ε0 + τ3ε̇1(1 − e−(t−t1)/τ3),
де ε1 = ε(t1), ε̇1 = ε̇(t1) i буде змiнюватись вiд ε1−ε0 при t = t1, до ε1−ε0 +τrelε̇1 при t = ∞.
2. В випадку, коли в тiлi пiдтримується постiйна деформацiя ε = ε̂ = const, має мiсце ре-
лаксацiя напруг, а реологiчне рiвняння (3а) дає таке диференцiальне рiвняння для напруг σ
σ + (τ (1) + τ (2))σ̇ + τ (1)τ (2)σ̈ = 0, (20)
розв’язок якого набуде вигляду
σ =
τ1(σ0 + τ2σ̇0)
τ1 − τ2
e−t/τ1 +
τ2(σ0 + τ1σ̇0)
τ2 − τ1
e−t/τ2 , (21)
де σ0 = σ(0), σ̇0 = σ̇(0), а часи релаксацiї напруг при постiйнiй деформацiї νi (часи пiслядiї)
задовольняють характеристичному рiвнянню
τ2 − (τ (1) + τ (2))τ + τ (1)τ (2) = 0, (22)
i будуть залежати вiд спiввiдношення парцiальних часiв релаксацiй τ (i):
τ1 =
η2
E2
= τ (2), τ2 =
η1
E1
= τ
(1)
1 , τ (2) > τ (1),
τ1 =
η1
E1
= τ (1), τ2 =
η2
E2
= τ (2), τ (2) < τ (1),
τ1 = τ2 = τ (1) = τ (2) =
η1
E1
=
η2
E2
, τ (1) = τ (2).
(23)
У третьому випадку маємо виродження — узагальнене реологiчне тiло Максвелла буде
еквiвалентним ординарному тiлу Максвелла, механiчнi параметри якого дорiвнюють сумi
вiдповiдних параметрiв узагальненого тiла Максвелла.
Зауважимо, що чотириелементне узагальнене тiло Максвелла на вiдмiну вiд iнших ква-
зiпружних чотириелементних реологiчних тiл (Бюргерса, Трутона–Ренкiна i узагальненого
тiла Джеффрiса) не вимагає додаткових вимог до його релаксацiйних параметрiв.
120 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №8
Одержанi вирази для часiв релаксацiй та пiслядiї разом з вiдомою формулою для релак-
сованого пружного модуля дозволяють виразити механiчнi параметри узагальненого тiла
Максвелла (пружнi та в’язкi елементи) через його реологiчнi константи — часи релаксацiй
та релаксований модуль.
Запишемо реологiчнi параметри дослiджуваного тiла, i одержимо систему рiвнянь чет-
вертого порядку вiдносно механiчних параметрiв, розв’язок якої має такий вигляд:
E
(1)
M =
(τ2 − τ3)H
(τ2 − τ1)τ2
, E
(2)
M =
(τ3 − τ1)H
(τ2 − τ1)τ1
,
η
(1)
M =
(τ2 − τ3)H
τ2 − τ1
, η
(2)
M =
(τ3 − τ1)H
τ2 − τ1
, τ (2) > τ (1),
E
(1)
M =
(τ1 − τ3)H
(τ1 − τ2)τ2
, E
(2)
M =
(τ3 − τ2)H
(τ1 − τ2)τ1
,
η
(1)
M =
(τ1 − τ3)H
τ1 − τ2
, η
(2)
M =
(τ3 − τ2)H
τ1 − τ2
, τ (1) > τ (2).
(24)
3. Якщо в тiлi пiдтримується гармонiчне напруження σ = σ0e
iωt, то деформацiя у цьому
випадку буде запiзнюватись по фазi вiд напруження i запишеться як
ε = ε0e
i(ωt−φ), (25)
а зсув фаз φ мiж деформацiєю й напруженням i початкова деформацiя ε0 визначаються
такими формулами:
φ =
arctg E2
E1
= β, ε0 =
σ0
|E| , (26)
де E = E0(1 + iβ) = E1 + iE2 — комплексний в’язкопружний модуль, який визначається
за формулою:
K =
ωηH(1 + δ0cH + i∆3(1 + δ0))
∆1 + ∆2 − i(1 − ∆1∆2)
. (27)
1. Зинер К.М. Упругость и неупругость металлов. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1954. – 396 с.
2. Рейнер М. Реология. – Москва: Наука, 1965. – 294 с.
3. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1955. – 192 с.
4. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. – Москва: Мир, 1970. – 165 с.
5. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения. – Москва: Госстройиздат, 1960. – 152 с.
6. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. – Киев: Наук. думка, 1970. – 239 с.
7. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. – Москва: Госстройиздат, 1968. – 416 с.
8. Уайт Дж. Возбуждение и распространение сейсмических волн. – Москва: Недра, 1986. – 261 с.
9. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. – Москва: Наука, 1983. – 416 с.
Надiйшло до редакцiї 01.03.2007Iнститут геофiзики iм. С. I. Суботiна
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №8 121
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2443 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:41:17Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бицань, Є.М. 2008-10-10T11:54:07Z 2008-10-10T11:54:07Z 2007 Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2007. — N 8. — С. 116-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2443 530.3+550.344 The problem of propagation of plane thermal and thermoelastic seismic waves in a generalized quasielastic four-element Maxwell's body has been solved. The analytical dispersive formulas have been obtained for the phase velocities and absorption coefficients in the wave processes under study. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла Бицань, Є.М. Науки про Землю |
| title | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла |
| title_full | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла |
| title_fullStr | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла |
| title_full_unstemmed | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла |
| title_short | Поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу Максвелла |
| title_sort | поширення плоских теплових і термопружних сейсмічних хвиль в узагальненому квазіпружному чотириелементному реологічному тілі типу максвелла |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/2443 |
| work_keys_str_mv | AT bicanʹêm poširennâploskihteplovihítermopružnihseismíčnihhvilʹvuzagalʹnenomukvazípružnomučotirielementnomureologíčnomutílítipumaksvella |