Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода
Saved in:
| Published in: | Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27082 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода / Ю.Л. Забулонов, Г.В. Лисиченко, Е.Г. Ревунова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27082 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Забулонов, Ю.Л. Лисиченко, Г.В. Ревунова, Е.Г. 2011-09-27T15:27:25Z 2011-09-27T15:27:25Z 2009 Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода / Ю.Л. Забулонов, Г.В. Лисиченко, Е.Г. Ревунова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0067 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27082 621.396;681.511 ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| spellingShingle |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода Забулонов, Ю.Л. Лисиченко, Г.В. Ревунова, Е.Г. |
| title_short |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| title_full |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| title_fullStr |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| title_full_unstemmed |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| title_sort |
повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода |
| author |
Забулонов, Ю.Л. Лисиченко, Г.В. Ревунова, Е.Г. |
| author_facet |
Забулонов, Ю.Л. Лисиченко, Г.В. Ревунова, Е.Г. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| issn |
XXXX-0067 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27082 |
| citation_txt |
Повышение эффективности решения обратной задачи с использованием проекционного подхода / Ю.Л. Забулонов, Г.В. Лисиченко, Е.Г. Ревунова // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2009. — Вип. 53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zabulonovûl povyšenieéffektivnostirešeniâobratnoizadačisispolʹzovaniemproekcionnogopodhoda AT lisičenkogv povyšenieéffektivnostirešeniâobratnoizadačisispolʹzovaniemproekcionnogopodhoda AT revunovaeg povyšenieéffektivnostirešeniâobratnoizadačisispolʹzovaniemproekcionnogopodhoda |
| first_indexed |
2025-11-25T22:40:38Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:40:38Z |
| _version_ |
1850568652863045632 |
| fulltext |
УДК621.396+681.511
Ю.Л. Забулонов, Г.В. Лисиченко, Е.Г.Ревунова
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОЕКЦИОННОГО ПОДХОДА
Актуальность. Обострение экономических и экологических условий в
связи с необходимостью поиска новых и разработки известных
энергетических ресурсов, прогрессирующим увеличением техногенной
нагрузки на геосферу вызывает необходимость разработки принципиально
новых и эффективных методов поиска месторождений полезных ископаемых
с минимальными горными работами, прогноза развития техногенного и
естественного загрязнения окружающей среды, и решения других задач. Эти
методы должны базироваться на эффективном использовании современных
спектрометрических многоканальных авиационных (дистанционных)
измерительных системах, позволяющих измерять значительно количество
физических параметров. Для эффективного использования дистанционных
измерительных систем необходимы новые методы решения обратных задач
обработки полученной информации, учитывающие нелинейные связи между
измерениями и восстанавливаемыми параметрами.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу отыскания решения
интегрального уравнения следующего вида:
где K(s,t) – ядро интегрального уравнения (аналитически заданная функция
двух переменных), g(s) – известный сигнал, f(t) – сигнал, который требуется
отыскать. Для получения численного решения интегральное уравнение
преобразуют в матричный вид: функцию ядра K(s,t) преобразуют в матрицу
Ф, сигнал g(s) – в вектор у. Такая задача называется «обратной» [1], [2], [3].
Для отыскания приближенного решения, уравнение (1) представляют в
дискретном виде [1], [2], [3] следующим образом:
В случае, когда в уравнении (2) вектор у содержит аддитивный шум,
матрица Ф имеет высокое число обусловленности ||Ф-1|| ||Ф|| и ряд
сингулярных чисел Ф плавно спадает к нулю, задачу отыскания вектора
сигнала х называют [1] дискретной некорректной обратной задачей.
Решение дискретной некорректной обратной задачи как линейной задачи
наименьших квадратов
a
bK(s,t)f(t) dt = g(s), c≤s≤d (1)
Фх=у, (2)
х'=argminх ||у−Фх||2 (3)
в виде: х'=Ф+у является неустойчивым [1], [2]. Признаком неустойчивости
является то, что малым изменениям вектора y соответствуют большие
изменения решения х'.
Для преодоления неустойчивости используют прием регуляризации [1],
[2], [3], состоящий в как можно более полном учете априорной информации о
решении. Типами априорной информации является, например, информация:
что l2 норма решения ||x||2 мала; либо что решение является разреженным ||x||0
мало; учитывается также априорная информация о (требуемой) точности
аппроксимации.
При наличии априорной информации о том, что l2 норма решения мала
для получения устойчивого решения используют решение минимальной
номы [4] либо регуляризацию Тихонова [1]. При регуляризации Тихонова
задачу формулируют следующим образом
х'=argminх ||у−Фх||2+λ||х||2, (4)
где λ – параметр регуляризации.
Недостатком, присущим методам решения обратных задач на основе
регуляризации Тихонова является необходимость подбора λ параметра
регуляризации, от правильности которого в значительной мере зависит
устойчивость решения. Методы подбора параметра регуляризации имеют
высокую вычислительную сложность.
В последние годы широко распространился проекционный подход к
решению задач обработки сигналов, развиваемый в рамках направления
сжатого считывания (Compressed Sensing) [5], [6], [7].
Подход состоит в том, что сигнал xN преобразуют (сжимают) путем
умножения на матрицу проектор Rk×N, получая сигнал yk.
Современные работы в области Compressed Sensing, обзор которых дан в [5],
строго показывают, что точное восстановление сжимаемого сигнала x по
наблюдениям y алгоритмически возможно при условии, что сигнал x и
матрица проектор R обладают определенными свойствами. В качестве
матрицы проектора [7], [8] используют, например, матрицу, столбцы которой
сформированы случайной величиной с нормальным законом распределения
либо детерминированную матрицу Фурье [7]. В случае, когда сигнал x
представлен в виде (2) проекционному преобразованию подвергаются левая и
правая части уравнения, такой подход используется, например, в [8].
Исследуем проекционный подход к решению обратной задачи.
Умножим обе части исходного уравнения Фх=у на матрицу Rk×N, k≤N.
Получим уравнение RФх=Rу, RФ=А, Аk×N, Rу=b, bk.
Восстановление сигнала методом наименьших квадратов (минимальной
нормы)
х'=argminх ||х||2 при условии RуRФх, (5)
Тогда восстановление сигнала х на основе псевдообращения получим как
х'= (RФ)+Rу, х'=(A)+b, (6)
либо как:
х'=((RФ)ТRФ)+(RФ)ТRу, х'=(АТА)+АТb. (7)
Восстановление сигнала методом регуляризации Тихонова получим как
х'=argminх ||Rу − RФх||2+λ||х||2. (8)
Число столбцов N матрицы R фиксировано и обусловлено размерностью
исходной матрицы Ф, число строк k может выбираться 1,…,N.
Эффективность решения обратной задачи будем оценивать с помощью
относительной ошибки d восстановления истинного сигнала х вычисляемой
как: d=||х–х'||/||х||=||х||/||х'||, где х – ошибка решения, х' – вектор
восстановленного сигнала. Исследуем экспериментально поведение
зависимости относительной ошибки восстановления сигнала от уровня
аддитивного собственного шума в сигнале у (векторе правой части уравнения
(2)).
Экспериментальное исследование. Исследовались следующие
примеры дискретных некорректных обратных задач:
№ Название
задачи
Вид K(s,t), g(s)
1 Барта K(s,t) = exp(s cos t), g(s) = 2 sin s /s ;
2 Филипса K(s,t) = (s–t) , (x) = 1+cos(x/3) при |x|<3, (x) = 0
при |x|≥3, g(s) = (6–|s|)(1+0.5cos(s/3))+9/2sin(|s|/3);
Во всех задачах матрица Ф, полученная при оцифровке ядра, имела
размерность 200×200, высокое число обусловленности (||Ф-1|| ||Ф||>>1), и ряд
сингулярных чисел, плавно спадающий к нулю. Вектор правой части
уравнения (2) после оцифровки искажался аддитивным шумом c
нормальным распределением. Для перечисленных выше задач исследовалось
поведение зависимости относительной ошибки восстановления сигнала от
уровня аддитивного собственного шума в сигнале у. Сравнивалось поведение
зависимости d() для методов на основе псевдообращения и регуляризации
без применения проецирования; с поведением аналогичной зависимости
после применения проецирования.
Рассмотрим тестовую задачу Филипса.
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1 10
pinv1 pinv2 reg1 reg2
reg3 pinv1r pinv2r reg1r
reg2r reg3r
1,E-13
1,E-11
1,E-09
1,E-07
1,E-05
1,E-03
1,E-01
1,E+01
1,E+03
1,E-07 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01
lmb1 lmb2 lm b3
lmb1r lmb2r lm b3r
Рис. 1 Зависимость относительной ошибки
от уровня шума
Рис. 2 Зависимость параметра
регуляризации от уровня шума
Результаты зависимости относительной ошибки восстановления сигнала
от уровня шума без умножения на матрицу проектор (pinv1, pinv2, reg1, reg2,
reg3) и результаты для экспериментов с умножением на матрицу R (pinv1r,
pinv2r, reg1r, reg2r, reg3r) приведены на рис.1. Среди методов решения
обратной задачи без проецирования наибольшую ошибку дают методы на
основе псевдообращения матрицы Ф.
При уровне шума 1e-7 относительная ошибка d для pinv1 составляет
0.36, а для pinv2 0.14. При уровнях шума начиная с 1e-5 и 1e-6 для pinv1 и
pinv2 соответственно, – относительная ошибка превышает единицу, что
свидетельствует о значительном искажении формы восстанавливаемого
сигнала. Метод pinv2 во всем исследованном диапазоне шума дает ошибку
меньшую, чем pinv1.
Зависимость ошибки от уровня шума, полученная методом
регуляризации Тихонова с подбором параметра регуляризации по методу
обобщенной невязки reg3, ведет себя сходно с аналогичной зависимостью
для методов на основе псевдоинверсии: при уровнях шума 1e-7, 1e-6 ошибка
составляет 0.047, 0.48; а при уровнях шума, начиная с 1e-5 и выше, -
относительная ошибка превышает единицу. Такое поведение ошибки связано
с тем, что выбор параметра регуляризации методом обобщенной невязки
осуществляется неверно рис.2. Для регуляризации Тихонова с подбором
параметра регуляризации по методу L–кривой: в диапазоне шума от 1e-7 до
1е-3 – метод ведет себя неустойчиво, значение ошибки колеблется в пределах
0.13 до 0.37; при дальнейшем возрастании уровня шума ошибка растет.
Высокая относительная ошибка метода L–кривой связана с тем, что значения
параметра регуляризации полученные этим методом не оптимальны.
Наименьшие значения ошибки демонстрирует метод основе регуляризации
Тихонова с подбором параметра регуляризации по методу кроссвалидации. В
диапазоне шумов 1е-7 – 1е-3 метод обеспечивает наименьшую ошибку среди
всех исследованных нами методов регуляризации без проецирования. Низкие
значения ошибки в указанном диапазоне шумов обеспечиваются благодаря
удачному подбору параметра регуляризации.
Рассмотрим методы решения обратной задачи с проецированием. Все
методы решения обратной задачи с проецированием обеспечивают более
устойчивое восстановление сигнала и более низкий уровень относительной
ошибки, чем соответствующие методы без применения проецирования.
Исключение составляет регуляризация с выбором параметра регуляризации
по методу кросс валидации для которого значение ошибки при уровнях шума
1е-6 – 1е-4 после проецирования приближается к значениям ошибки до
проецирования. При дальнейшем нарастании уровня шума ошибка после
проецирования для reg1r становится много меньшей чем для метода без
проецирования.
Среди методов регуляризации с проецированием reg1r reg2r reg3r
наименьшую относительную ошибку демонстрирует метод с выбором
параметра регуляризации по методу обобщенной невязки reg3r.
Преобладание reg3r связано с тем, что, как видно из рисунка 2, только для
этого метода параметр регуляризации lmb3r изменяется с ростом шума, в то
время как для методов reg1r reg2r значения параметра регуляризации lmb1r
lmb2r колеблются вокруг некоторого уровня и неустойчивы.
Необходимо отметить, что после проецирования методы, основанные на
псевдообращении матрицы, обеспечивают относительную ошибку не хуже,
чем методы регуляризации. Учитывая меньшую вычислительную сложность
методов pinv1r, pinv2r и их более гарантированную устойчивость,
исключающую риск от неправильного выбора параметра регуляризации –
использование этих методов в данной задаче предпочтительно.
Рассмотрим тестовую задачу Барта.
0,01
0,1
1
10
1,E-09 1,E-08 1,E-07 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02
уровень шума
от
но
си
те
ль
на
я
ош
иб
ка
pinv1 pinv2 reg1 reg2
reg3 pinv1r pinv2r reg1r
reg2r reg3r 1,E-14
1,E-12
1,E-10
1,E-08
1,E-06
1,E-04
1,E-02
1,E+00
1,E+02
1,E-09 1,E-08 1,E-07 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02
уровень шума
па
ра
м
ет
р
ре
гу
ля
ри
за
ци
и
lmb1r lmb2r
lmb3r lmb1
lmb2 lmb3
Рис. 3 Зависимость относительной
ошибки от уровня шума
Рис. 4 Зависимость параметра
регуляризации от уровня шума
На рис.3 приведены экспериментально полученные зависимости
относительной ошибки восстановления сигнала от уровня шума без
умножения на матрицу проектор для методов pinv1, pinv2, reg1, reg2, reg3 и
результаты экспериментов с умножением на матрицу R: pinv1r, pinv2r, reg1r,
reg2r, reg3r. В диапазоне собственных шумов 1е-8,…,1е-3 относительная
ошибка восстановления сигнала для методов с умножением на матрицу R
меньше относительной ошибки для методов без умножения.
Без проецирования относительная ошибка для методов на основе
псевдообращения матрицы во всем диапазоне шумов выше, чем для методов
регуляризации. После проецирования относительная ошибка восстановления
сигнала для методов на основе псевдообращения матрицы, во всем
исследованном диапазоне шумов, становится меньше ошибки для методов
регуляризации.
Вывод. При использовании проецирования работа методов
регуляризации становится более устойчивой, относительная
ошибка восстановления сигнала понижается. При этом точность
для методов на основе псевдообращения матрицы не хуже, чем для
методов на основе регуляризации Тихонова. Этот факт делает использование
методов на основе псевдообращения матрицы предпочтительным в силу
их большей устойчивости и меньшей вычислительной сложности.
1. P.C. Hansen, Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical Aspects of
Linear Inversion, SIAM, Philadelphia, 1998.
2. V.A. Morozov, Methods for Solving Incorrectly Posed Problems, Springer, 1984.
3. H.W. Engl, M. Hanke, Neubaer, Regularization of inverse problems. Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 2000.
4. J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, 1997.
5. E.J. Candès, Compressive sampling, Proc. International Congress of Mathematics,
3, pp.1433-1452, Madrid, Spain, 2006.
6. E.J. Candès, J. Romberg, T. Tao, Stable signal recovery from incomplete and inaccurate
measurements. Comm. Pure Appl. Math., No. 59, p. 1207-1223, 2005.
7. M. Rudelson, R. Veshynin, Sparse Reconstruction by Convex Relaxation: Fourier and
Gaussian Measurements. CISS 2006 (40th Annual Conference on Information Sciences and
Systems).
8. M. Elad, Optimized Projections for Compressed-Sensing, IEEE Trans. on Signal
Processing, Vol. 55, No. 12, p. 5695-5702, 2007.
|