О редукции уравнений Эйлера–Пуассона
Дан обзор работ, посвященных исследованию проблемы понижения порядка уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Обсуждаются замены переменных, упрощающие поиск алгебраических инвариантных соотношений. С использованием переменных Гесса, Харламова, Андуайе-Деприполучены новые формыурав...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27938 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О редукции уравнений Эйлера–Пуассона / И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 69-84. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27938 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гашененко, И.Н. Мозалевская, Г.В. Харламова, Е.И. 2011-10-24T21:11:03Z 2011-10-24T21:11:03Z 2007 О редукции уравнений Эйлера–Пуассона / И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 69-84. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27938 531.38 Дан обзор работ, посвященных исследованию проблемы понижения порядка уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Обсуждаются замены переменных, упрощающие поиск алгебраических инвариантных соотношений. С использованием переменных Гесса, Харламова, Андуайе-Деприполучены новые формыуравнений. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О редукции уравнений Эйлера–Пуассона Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона |
| spellingShingle |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона Гашененко, И.Н. Мозалевская, Г.В. Харламова, Е.И. |
| title_short |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_full |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_fullStr |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_full_unstemmed |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона |
| title_sort |
о редукции уравнений эйлера–пуассона |
| author |
Гашененко, И.Н. Мозалевская, Г.В. Харламова, Е.И. |
| author_facet |
Гашененко, И.Н. Мозалевская, Г.В. Харламова, Е.И. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Дан обзор работ, посвященных исследованию проблемы понижения порядка уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Обсуждаются замены переменных, упрощающие поиск алгебраических инвариантных соотношений. С использованием переменных Гесса, Харламова, Андуайе-Деприполучены новые формыуравнений.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27938 |
| citation_txt |
О редукции уравнений Эйлера–Пуассона / И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 69-84. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gašenenkoin oredukciiuravneniiéilerapuassona AT mozalevskaâgv oredukciiuravneniiéilerapuassona AT harlamovaei oredukciiuravneniiéilerapuassona |
| first_indexed |
2025-11-26T05:38:53Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:38:53Z |
| _version_ |
1850614025379905536 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 531.38
c©2007. È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
Î ÐÅÄÓÊÖÈÈ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÝÉËÅÐÀ�ÏÓÀÑÑÎÍÀ
Äàí îáçîð ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâàíèþ ïðîáëåìû ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèé
äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. Îáñóæäàþòñÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ,
óïðîùàþùèå ïîèñê àëãåáðàè÷åñêèõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðå-
ìåííûõ Ãåññà, Õàðëàìîâà, Àíäóàéå�Äåïðè ïîëó÷åíû íîâûå ôîðìû óðàâíåíèé.
Ââåäåíèå. Èñòîðèÿ ñîçäàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè
òâåðäîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ âåñüìà èíòåðåñíîé è ïîó÷èòåëüíîé, îíà äàåò âîçìîæ-
íîñòü ïðîñëåäèòü âñå ýòàïû ôîðìèðîâàíèÿ îäíîé èç íàèáîëåå óäà÷íûõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè.
 1749 ã. Æàí Ëåðîí Äàëàìáåð ïðèñòóïèë ê èçó÷åíèþ ÷ðåçâû÷àéíî òðóä-
íîé çàäà÷è î äâèæåíèè Çåìëè, ðàññìàòðèâàåìîé êàê òâåðäîå òåëî, ïîä äåé-
ñòâèåì ñèë ïðèòÿæåíèÿ Ñîëíöà è Ëóíû. Ýòà ðàáîòà ïðèâëåêëà ê ñåáå áîëü-
øîå âíèìàíèå íàó÷íîé îáùåñòâåííîñòè è ÿâèëàñü ìîùíûì ñòèìóëîì ðàçâè-
òèÿ èññëåäîâàíèé ïî äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. Ïîñëåäîâàâøèå çà ýòèì ðàáî-
òû Ëåîíàðäà Ýéëåðà ïðèçíàíû êëàññè÷åñêèìè. Îí ñîçäàë ãåîìåòðèþ ìàññ,
ââåë ïîíÿòèå óãëîâîé ñêîðîñòè, îïðåäåëèë ãëàâíûå îñè êîîðäèíàò, îòíåñÿ ê
íèì êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, çàïèñàë äèíàìè÷åñêèå è êèíåìàòè÷å-
ñêèå óðàâíåíèÿ, ñâåë ê êâàäðàòóðàì çàäà÷ó î äâèæåíèè ïðîèçâîëüíîãî òåëà
ïî èíåðöèè.
Ðåçóëüòàòîì òèòàíè÷åñêîé ðàáîòû Ýéëåðà ÿâèëèñü äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ýòè
çíàìåíèòûå óðàâíåíèÿ íîñÿò òåïåðü íàçâàíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà:
Ṁ = M× ω − γ × r, γ̇ = γ × ω, (1)
ãäå M = Aω− êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò, A = diag(A1, A2, A3)− òåíçîð èíåðöèè
òåëà â åãî íåïîäâèæíîé òî÷êå, ω− óãëîâàÿ ñêîðîñòü, γ− îðò ñèëû òÿæåñòè,
r− îðò, íàïðàâëåííûé èç íåïîäâèæíîé òî÷êè ê öåíòðó òÿæåñòè òåëà. Ïåðâûå
èíòåãðàëû óðàâíåíèé (1) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
H =
1
2
M · ω − r · γ = h, G = M · γ = g, I = γ · γ = 1. (2)
Ñôîðìèðîâàííûå Ë. Ýéëåðîì óðàâíåíèÿ ñòðåìèëèñü óñîâåðøåíñòâîâàòü
Æ.Ë. Ëàãðàíæ, Ñ.Ä. Ïóàññîí, Â. Ãåññ [1], Ï.À. Øèôô [2], Ñ.À. ×àïëûãèí [3],
Í. Êîâàëåâñêèé [4], À.Ä. Áèëèìîâè÷ [5] è äð. Â ðåçóëüòàòå áûëè ñîçäàíû
çàìå÷àòåëüíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå äî ñèõ ïîð óäèâëÿþò îñòðîóìèåì è ðàç-
íîîáðàçèåì ïðèìåíåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðèåìîâ.
69
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
1. Ñïåöèàëüíûå îñè è óðàâíåíèÿ Ï.Â.Õàðëàìîâà. Ñóùåñòâåííûì
îáðàçîì ïîíèçèòü ïîðÿäîê ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ñ ïî-
ìîùüþ èçâåñòíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (2) óäàëîñü íå òàê äàâíî: â 1962 ãîäó
Ï.Â. Õàðëàìîâ îòêàçàëñÿ îò òðàäèöèîííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãëàâíûõ îñåé òåí-
çîðà èíåðöèè â íåïîäâèæíîé òî÷êå òåëà è îïðåäåëÿþùóþ ðîëü ïðèäàë îñè,
èäóùåé èç íåïîäâèæíîé òî÷êè ê öåíòðó ìàññ òåëà. Âìåñòî òåíçîðà èíåðöèè
îí èñïîëüçîâàë ãèðàöèîííûé òåíçîð è ñâÿçàë ñ íèì îïðåäåëåííûì îáðàçîì
âûáîð îñòàâøèõñÿ äâóõ îñåé. Òàêèå îñè Ï.Â. Õàðëàìîâ [6] íàçâàë ñïåöèàëüíû-
ìè. Ïîíèæåíèå ïîðÿäêà óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñïå-
öèàëüíûõ îñÿõ êîîðäèíàò íàèáîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì, ÷òî è îáóñëîâèëî èõ
ïîÿâëåíèå. Çàäà÷à î äâèæåíèè òåëà áûëà ñâåäåíà ê äâóì äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì, êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê.
Ïóñòü ei � ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà èíåðöèè A, ñîîòâåòñòâóþùèé
äèàãîíàëüíîé êîìïîíåíòå Ai. Ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â òðåõìåðíîì êî-
îðäèíàòíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíî îðòîíîðìèðîâàííûì ðåïåðîì
(e1, e2, e3). Âûáåðåì íîâûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ (e
′
1, e
′
2, e
′
3) òàê, ÷òî
e1
′
= r, e
′
2 =
1
|r× e1| [(r× e1) cosα + (r× (r× e1)) sin α] ,
e
′
3 = e
′
1 × e
′
2 =
1
|r× e1| [(r× (r× e1)) cos α− (r× e1) sin α] .
(3)
Óãîë α ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòó êîîðäèíàòíûõ îñåé, æåñòêî ñâÿçàííûõ ñ òå-
ëîì. Öåëåñîîáðàçíûé âûáîð óãëà α ïîçâîëÿåò óïðîùàòü äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ñëåäóÿ ðàáîòå [7, �2.6], ïîëîæèì
tg 2α =
2A1(A2 −A3) r1r2r3
A2(A3 −A1)(r2
2 + r2
3)2 + A1(A2 −A3)(r2
3 − r2
2r
2
1)
. (4)
Ôîðìóëàìè (3),(4) çàäàíî ïðåîáðàçîâàíèå îò ãëàâíûõ îñåé ê ñïåöèàëüíûì
îñÿì Ï.Â. Õàðëàìîâà.  ðåçóëüòàòå ïåðâàÿ êîîðäèíàòíàÿ îñü ïðîâåäåíà ÷åðåç
öåíòð ìàññ òåëà, à âòîðàÿ è òðåòüÿ íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû èíòåãðàë ýíåðãèè
ïðèíÿë âèä
H =
1
2
a11M2
1 +
1
2
a22M2
2 +
1
2
a33M2
3 + a12M1M2 + a13M1M3 − ν1, (5)
ãäå Mi � êîìïîíåíòû êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M è νi � êîìïîíåíòû åäè-
íè÷íîãî âåêòîðà âåðòèêàëè ν â áàçèñå (e
′
1, e
′
2, e
′
3). Â íîâûõ ïåðåìåííûõ èí-
òåãðàëû G, I èìåþò òîò æå âèä, ÷òî è â ñòàðûõ ïåðåìåííûõ:
G = M · ν = g, I = ν · ν = 1. (6)
Èçìåíåíèå êîîðäèíàòíîãî áàçèñà ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèÿì
ãèðàöèîííîãî òåíçîðà è òåíçîðà èíåðöèè òâåðäîãî òåëà:
a = RBA−1BT RT , A = a−1 = RBABT RT ,
70
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
R =
1 0 0
0 cosα sinα
0 − sinα cosα
, B =
r1 r2 r3
− (r2
2 + r2
3)√
r2
2 + r2
3
r1r2√
r2
2 + r2
3
r1r3√
r2
2 + r2
3
0 − r3√
r2
2 + r2
3
r2√
r2
2 + r2
3
.
Ñëåäñòâèåì (4) ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà a23 = a32 = 0, A12A13 −A11A23 = 0.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Ïóñòü r = (1, 0, 0), òîãäà ïðåîá-
ðàçîâàíèå ïîäâèæíîãî áàçèñà (3) íå òðåáóåòñÿ, òàê êàê â èñõîäíûõ ïåðåìåí-
íûõ (M, γ) ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä (5) ñ êîýôôèöèåíòàìè
a11 = A−1
1 , a22 = A−1
2 , a33 = A−1
3 , a12 = a13 = 0.
 ñëó÷àå Ëàãðàíæà ñëåäóåò ïîëîæèòü A2 = A3 > A1/2, ò.å. a22 = a33 < 2a11.
Ïóñòü öåíòð ìàññ òåëà íàõîäèòñÿ â ãëàâíîé ïëîñêîñòè, r = (r1, r2, 0). Â
ýòîì ñëó÷àå, â ñîîòâåòñòâèè ñ (4), çàäàäèì α = 0. Íàõîäèì âûðàæåíèÿ
B =
r1 r2 0
−r2 r1 0
0 0 1
, A =
A1r
2
1 + A2r
2
2 (A2 −A1) r1r2 0
(A2 −A1) r1r2 A1r
2
2 + A2r
2
1 0
0 0 A3
,
R = diag(1, 1, 1), a =
A−1
1 r2
1 + A−1
2 r2
2 (A−1
2 −A−1
1 ) r1r2 0
(A−1
2 −A−1
1 ) r1r2 A−1
1 r2
2 + A−1
2 r2
1 0
0 0 A−1
3
.
Äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷èì x, y, z êîìïîíåíòû Mi êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà
M â áàçèñå (e
′
1, e
′
2, e
′
3).
Óðàâíåíèÿ Ï.Â. Õàðëàìîâà (1962):
X
(
y
dz
dx
− z
dy
dx
)
+ (a12y + a13z)(y2 + z2)+
+x
[
(a11 − 1
2
a22)y2 + (a11 − 1
2
a33)z2
]
+
1
2
a11x
3 − hx− g = 0,
(7)
[
(a11 − a22)xy + (a12y + a13z)y − a12x
2 + X
dz
dx
]2
+
+
[
(a11 − a33)xz + (a12y + a13z)z − a13x
2 −X
dy
dx
]2
+
+
[
1
2
(a11x
2 + a22y
2 + a33z
2) + (a12y + a13z)x− h
]2
= 1,
(8)
71
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
ãäå X = (a33 − a22)yz + (a13y − a12z) x, x � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, y, z �
äâå çàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Óðàâíåíèÿ Õàðëàìîâà [6, 7] ïîëó÷åíû â ïðåäïî-
ëîæåíèè x 6= const. Îïðåäåëèâ èç óðàâíåíèé (7),(8) çàâèñèìîñòü y è z îò x,
íàéäåì x(t) èç óðàâíåíèÿ
dx
dt
= (a33 − a22)yz + (a13y − a12z) x. (9)
Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà áûëà
ïîëíîñòüþ ðåøåíà.
Ñ ïîìîùüþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T =
1
2
aM · M óðàâíåíèÿ (7), (8)
çàïèñûâàþòñÿ â áîëåå êîìïàêòíîì âèäå:
(
y
∂T
∂z
− z
∂T
∂y
)(
y
dz
dx
− z
dy
dx
)
+ (x2 + y2 + z2)
∂T
∂x
− (T + h)x− g = 0,
[
y
∂T
∂x
− x
∂T
∂y
+
(
y
∂T
∂z
− z
∂T
∂y
)
dz
dx
]2
+ (10)
+
[
z
∂T
∂x
− x
∂T
∂z
−
(
y
∂T
∂z
− z
∂T
∂y
)
dy
dx
]2
+ (T − h)2 = 1.
Êîìïîíåíòû ãèðàöèîííîãî òåíçîðà aij âõîäÿò â óðàâíåíèÿ (10) íåÿâíî, êàê
êîýôôèöèåíòû ôóíêöèè T è åå ïðîèçâîäíûõ.
2. Óðàâíåíèÿ Â. Ãåññà. Èäåÿ èñêëþ÷åíèÿ êîìïîíåíò γi èç óðàâíåíèé
Ýéëåðà�Ïóàññîíà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ (2) ïðèíàäëåæèò Âèëüãåëüìó Ãåññó.
 ðàáîòå [1] îí ïîêàçàë, ÷òî óðàâíåíèÿ (1) ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê óðàâíåíèþ
Aω̇ = Aω × ω + ζ1r×Aω + ζ3r× (Aω × r). (11)
Ïóñòü âåêòîðû Aω, r íåêîëëèíåàðíû, òîãäà ïîëîæèì
γ = ζ1Aω + ζ2r + ζ3Aω × r. (12)
Ïîäñòàíîâêîé (12) â èíòåãðàëû (2) íàõîäèì êîýôôèöèåíòû
ζ1 =
g − (T − h)(Aω · r)
|Aω × r|2 , ζ2 =
(T − h)|Aω|2 − (Aω · r)g
|Aω × r|2 , ζ3 =
√
f
|Aω × r|2 ,
ãäå T =
1
2
Aω ·ω, f = |Aω × r|2−|(T − h)Aω − gr|2.
Ôóíêöèÿ f(ω)−
1
2 � ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü óðàâíåíèé (11).
72
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
Ï.Â. Õàðëàìîâ ïîêàçàë [7, �3.6], ÷òî â ñïåöèàëüíûõ îñÿõ óðàâíåíèÿ Ãåññà
(11) èìåþò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä:
Ṁ1 = (a33 − a22)M2M3 + (a13M2 − a12M3)M1,
Ṁ2 = (a11 − a33)M1M3 − a13(M2
1 −M2
3) + a12M2M3 − ζ1M3 + ζ3M2,
Ṁ3 = (a22 − a11)M1M2 + a12(M2
1 −M2
2)− a13M2M3 + ζ1M2 + ζ3M3,
ãäå ζ1 =
g − (T − h)M1
M2
2 +M2
3
, ζ3 =
√
f
M2
2 +M2
3
,
T =
1
2
a11M2
1 +
1
2
a22M2
2 +
1
2
a33M2
3 + a12M1M2 + a13M1M3, (13)
f = M2
2 +M2
3 − (T − h)2(M2
1 +M2
2 +M2
3) + 2g(T − h)M1 − g2.
Êàê ñëåäóåò èç (10),(11), ñòðóêòóðó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âïîëíå îïðåäå-
ëÿþò ôóíêöèè 1
2
Aω ·ω, |Aω|2, Aω ·r. Ãåññ [1] ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü ýòè
ôóíêöèè â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
T =
1
2
Aω · ω, µ = |Aω|2, x = Aω · r, w1 = ω · r, ω2 = |ω|2.
Âòîðàÿ ôîðìà óðàâíåíèé Â. Ãåññà (1890):
(
1
2
dµ
dt
)2
=
∣∣∣∣∣∣
1 g T − h
g µ x
T − h x 1
∣∣∣∣∣∣
, (14)
(
d x
dt
)2
=
∣∣∣∣∣∣
1 x w1
x µ 2T
w1 2T ω2
∣∣∣∣∣∣
, (15)
(
µ− x2
) d T
dt
=
(
T − 1
2
w1x
)
dµ
dt
+ [g − (T − h) x]
d x
dt
. (16)
Êðîìå òðåõ îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ, óðàâíåíèÿ (14)-(16) ñîäåðæàò âåëè÷èíû
ω2, w1, çàâèñèìîñòü êîòîðûõ îò T, µ, x îïðåäåëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè àë-
ãåáðàè÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè. Ãåññó [1, �3] óäàëîñü âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå
òîëüêî îäíî èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé:
(
ω2 − w2
1
)
(b5 x− b3 w1)− (2T − x w1) [(b1 − b4)x− (b2 − b5)w1] +
+ (µ− x2)(x− b4 w1) = 0,
(17)
ãäå ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû èìåþò âèä
b1 = A1 + A2 + A3, b2 = A1A2 + A2A3 + A3A1, b3 = A1A2A3,
b4 = A1r
2
1 + A2r
2
2 + A3r
2
3, b5 = A1A2r
2
3 + A2A3r
2
1 + A3A1r
2
2.
73
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
 ÷àñòíîì ñëó÷àå A2 6= A3, r = (1, 0, 0) óðàâíåíèÿ Ãåññà (14)-(16) ïðåîáðà-
çóþòñÿ â àâòîíîìíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñëåäóþùåãî âèäà:
(
1
2
dµ
dt
)2
= µ− x2 − g2 + 2gx (T − h)− µ(T − h)2,
(
d x
dt
)2
= − [
2T − µA−1
2 + (A−1
2 −A−1
1 )x2
] [
2T − µA−1
3 + (A−1
3 −A−1
1 )x2
]
,
(
µ− x2
) d T
dt
=
(
T − x2
2A1
)
dµ
dt
+ [g − (T − h) x]
d x
dt
.
Äî òåõ ïîð, ïîêà íå îïðåäåëåíà ÿâíàÿ è ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü w1 îò T, µ, x,
óðàâíåíèÿ (14)�(16) áóäóò èìåòü ëèøü îãðàíè÷åííîå ïðèìåíåíèå. Äîïîëíèì
íà÷àòîå Ãåññîì èññëåäîâàíèå îáùåãî ñëó÷àÿ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
c0 =
a22 − a33
a2
12 + a2
13
, c1 =
a22a
2
13 + a33a
2
12
a2
12 + a2
13
, c3 =
a2
22a
2
13 + a2
33a
2
12
a2
12 + a2
13
, c2 = a11 − c1.
Çàìåíèì ïåðåìåííûå w1, T íà w0, T0 ñ ïîìîùüþ ôîðìóë
w0 = w1 − a11x, T0 = 2T − c1µ− c2 x2. (18)
 íîâûõ ïåðåìåííûõ ñîîòíîøåíèå (17) ïðèìåò âèä
w0
[
ω2 − (w0 + a11x)2
]− c3 w0(µ− x2)−
− [
(a22 + a33)w0 + (a2
12 + a2
13) x
]
(T0 − xw0) = 0.
(19)
Çàïèøåì âòîðîå àëãåáðàè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå
1
a2
12
[
c0w
2
0 + T0 − 2xw0
]2 +
1
a2
13
[
c0w
2
0 − T0 + 2xw0
]2 = 4 c2
0w
2
0(µ− x2). (20)
Èìåííî ñîîòíîøåíèÿ (18), (20) âûðàæàþò çàâèñèìîñòü w1 îò ãåññîâûõ ïåðå-
ìåííûõ T, µ, x. Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ω2 óðàâíåíèÿ (14)�(16) ïðèìóò âèä
µ̇2 =4(µ− x2 − g2) + 4gx
[
T0 + c1µ + c2x
2 − 2h
]−
− µ
[
T0 + c1µ + c2x
2 − 2h
]2
,
w0ẋ
2 = a2
12a
2
13c
2
0w0(µ− x2)2 − w0(T0 − xw0)2+
+
[
(a2
12 − a2
13)c0w0 + (a2
12 + a2
13) x
]
(T0 − xw0)(µ− x2),
(
µ− x2
)
Ṫ0 = [T0 − xw0] µ̇ +
[
2g − (T0 + (c2 + a11)µ− c2 x2 − 2h) x
]
ẋ.
(21)
Óðàâíåíèÿ (20), (21) ìîæíî äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïðèâåñòè ê ñèñòåìå äâóõ äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Âûáåðåì µ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.
74
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (21) íàéäåì w0, ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå
â (20) è âî âòîðîå óðàâíåíèå (21). Âåëè÷èíó dt èñêëþ÷èì ñ ïîìîùüþ ïåðâî-
ãî óðàâíåíèÿ (21). Ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì äèôôåðåíöèàëüíûå ïîëèíîìû
áóäóò òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ dx/dµ, dT0/dµ.
Ï.À. Øèôô [2] âñëåä çà Â. Ãåññîì ïîëó÷èë äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
âèäà (14)�(16), ñâÿçûâàþùèå ïåðåìåííûå x, µ, T è êîìïîíåíòû ω1, ω2, ω3 óã-
ëîâîé ñêîðîñòè ω. Ýòè óðàâíåíèÿ, íàçâàííûå â [8] óðàâíåíèÿìè Ãåññà�Øèôôà,
íå èìåþò ïðåèìóùåñòâ ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà�
Ïóàññîíà, ïîñêîëüêó èõ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñîâìåñòíî ñ òðåìÿ àëãåáðàè-
÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè 2T = Aω · ω, µ = |Aω|2, x = Aω · r.
3. Óãëû Ýéëåðà è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ñïåöèàëüíûõ
îñåé. Ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíî òðåìÿ íåçàâèñè-
ìûìè êîîðäèíàòàìè � óãëàìè Ýéëåðà ϕ, θ, ψ. Íàéäåì âûðàæåíèÿ ôàçîâûõ
ïåðåìåííûõ Mi, νi ÷åðåç èìïóëüñû pθ, pϕ, pψ è óãëû Ýéëåðà θ, ϕ, ψ :
M1 = pϕ, M2 =
sinϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ) + pθ cosϕ,
M3 =
cosϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ)− pθ sinϕ;
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ sinϕ, ν3 = sin θ cosϕ.
(22)
Ïîëîæèì θ ∈ (0, π), ϕ, ψ ∈ [0, 2π). Îáðàòíîå ê (22) ïðåîáðàçîâàíèå äàþò
ôîðìóëû
pϕ = M1, ϕ = arctg(ν2/ν3), pψ = M · ν,
pθ =
M2ν3 −M3ν2√
ν2
2 + ν2
3
, θ = arccos ν1.
(23)
Ïîäñòàíîâêîé ñîîòíîøåíèé (22) â (5) íàéäåì ãàìèëüòîíèàí
H =
1
2
a11p
2
ϕ +
1
2
a22
(
sinϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ) + pθ cosϕ
)2
+
+
1
2
a33
(cosϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ)− pθ sinϕ
)2
+
+ a12 pϕ
(
sinϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ) + pθ cosϕ
)
+
+ a13 pϕ
(cosϕ
sin θ
(pψ − pϕ cos θ)− pθ sinϕ
)
− cos θ.
Ñîîòâåòñòâóþùèå êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èìåþò âèä
dϕ
dt
=
∂H
∂pϕ
,
dθ
dt
=
∂H
∂pθ
,
dψ
dt
=
∂H
∂pψ
,
75
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
dpϕ
dt
= −∂H
∂ϕ
,
dpθ
dt
= −∂H
∂θ
,
dpψ
dt
= −∂H
∂ψ
.
Ïåðåìåííàÿ ψ íå âõîäèò ÿâíî â ãàìèëüòîíèàí H, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèé
èìïóëüñ pψ ïîñòîÿíåí. Èñêëþ÷åíèåì îäíîãî èç îñòàâøèõñÿ èìïóëüñîâ (pϕ
èëè pθ) èç óðàâíåíèé è çàìåíîé âðåìåíè, ïîëó÷èì ñèñòåìó êàíîíè÷åñêèõ
óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Îïèñàòü äâèæåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè ìîæíî óðàâíåíèÿìè
Ëàãðàíæà, â êîòîðûõ óãëû Ýéëåðà ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè.
À.Ä. Áèëèìîâè÷ [5] ïðèìåíèë èçâåñòíûå ìåòîäû àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè äëÿ
ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà òàêîé ñèñòåìû: îí çàïèñàë óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è Ðàóñà,
ïåðåøåë ê óðàâíåíèþ ßêîáè, ïîêàçàë, ÷òî çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îä-
íîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà y
′′
= P3 +V P2
√
V1P2,
ãäå x = tg(θ/2), y = tg(ϕ/2), ′ def=d/dx; V, V1 � ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè ïå-
ðåìåííûõ x, y; P2, P3 � ïîëèíîìû âòîðîé è òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî
ïðîèçâîäíîé y
′ ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè x, y.
Àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [9] �
[12] äðóãèìè ìåòîäàìè, ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàò, çàäàþùèõ
ïðîñòðàíñòâåííóþ îðèåíòàöèþ òâåðäîãî òåëà. Ñì. òàêæå ðàáîòû [13]�[15],
ðàçâèâàþùèå ýòè èññëåäîâàíèÿ.
4. Öåíòð ìàññ ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé îñè èíåðöèè. Íåêîòîðûå ÷àñò-
íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà áûëè íàéäåíû â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî öåíòð ìàññ òåëà ëåæèò íà îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè. Ñèììåòðèè
ýòîãî ñëó÷àÿ ïîçâîëÿþò ââîäèòü óäîáíûå ôàçîâûå ïåðåìåííûå è çàïèñûâàòü
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîñòûõ
òî÷íûõ ðåøåíèé, âûðàæàåìûõ â òåðìèíàõ õîðîøî èçó÷åííûõ ôóíêöèé. Â
ðàáîòå [4] Í. Êîâàëåâñêèé ïðèìåíèë ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ ê èíòåãðè-
ðóåìîìó ñëó÷àþ Ýéëåðà, çàïèñàë â äîñòàòî÷íî ïðîñòîé ôîðìå óðàâíåíèÿ äâè-
æåíèÿ òâåðäîãî òåëà ïðè îãðàíè÷åíèÿõ A2 6= A3, r = (r1, 0, 0), íàøåë íîâîå
÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà.
Óðàâíåíèÿ Í. Êîâàëåâñêîãî (1908):
σ
′′
τ +
1
2
σ
′
τ
′
+ a1 + a2σ + a3τ
′
ω1 + a4τ + a5ω
2
1 = 0,
στ
′′
+
1
2
σ
′
τ
′
+ b1 + b2σ
′
ω1 + b3σ + b4τ + b5ω
2
1 = 0,
(24)
ãäå ω1− íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ′ def=d/dω1, çàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè ÿâ-
ëÿþòñÿ
σ = (A2 −A3) ω2
2/A1, τ = (A2 −A3) ω2
3/A1,
ïîñòîÿííûå ai, bi � ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè Ai è
êîíñòàíòû ýíåðãèè h.
76
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
Èíòåãðàëû óðàâíåíèé (24) èìåþò âèä
σ
′
τ − στ
′
+ c1 + c2ω1 + c3σω1 + c4τω1 + c5ω
3
1 = 0,
d1(σ
′
)2τ + σ(τ
′
)2 + d2 + d3σ + d4τ + d5σ
2 + d6σ
′
τω1 + d7στ
′
ω1+
+ d8στ + d9τ
2 + d10ω
2
1 + d11σω2
1 + d12τω2
1 + d13ω
4
1 = 0,
(25)
îíè îáðàçóþò çàìêíóòóþ ïîäñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿäêà.
Êàê èçâåñòíî èç [3], Ñ.À. ×àïëûãèí ñòðåìèëñÿ òàêèì îáðàçîì ïðåîáðàçî-
âàòü èñõîäíûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, ÷òîáû íàõîæäåíèå íîâûõ ñëó÷àåâ èíòåãðè-
ðóåìîñòè ñòàëî áîëåå ïðîçðà÷íûì. Ñ ýòîé öåëüþ â íåñêîëüêèõ íåîïóáëèêî-
âàííûõ ðóêîïèñÿõ [3] îí èñïîëüçîâàë ïåðåìåííûå
σ1 =
1
2(A2 −A3)
(
2A2T − |M|2) =
A3
2
ω2
3 −
A1(A1 −A2)
2(A2 −A3)
ω2
1,
τ1 =
1
2(A2 −A3)
(
2A3T − |M|2) = −A2
2
ω2
2 +
A1(A3 −A1)
2(A2 −A3)
ω2
1
äëÿ âûâîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûõ óðàâíåíèÿì (24),
çàòåì çàïèñàë èíòåãðàë ïëîùàäåé (25) è ïîêàçàë, êàê èç ïîëó÷åííûõ óðàâ-
íåíèé ñëåäóþò èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè Êîâàëåâñêîé è Ãîðÿ÷åâà�×àïëûãèíà.
Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè óðàâíåíèÿ Í. Êîâàëåâñêîãî ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå
èçó÷åííûìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ñòå-
ïåííîé ãåîìåòðèè äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (24) â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ âû-
÷èñëåíû âñå ñåìåéñòâà ñòåïåííûõ è ñòåïåííî-ëîãàðèôìè÷åñêèõ àñèìïòîòèê è
ðàçëîæåíèé. Óêàçàíû ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ A1, A2, A3, â êîòîðûõ
ðàçëîæåíèÿ âñåõ ñåìåéñòâ à) íå èìåþò êîìïëåêñíûõ ïîêàçàòåëåé, á) íå èìåþò
ëîãàðèôìîâ, â) èìåþò òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ïîêàçàòåëè. Âû÷èñëåíû õàðàêòå-
ðèñòèêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñåìåéñòâ ðàçëîæåíèé ðåøåíèé óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà. Êðàòêèé îáçîð ïåðå÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ñì. â ðàáîòå [16]. Êðîìå
òîãî, â ÿâíîì âèäå íàéäåíû âñå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (24), ïðåäñòàâè-
ìûå êîíå÷íûìè ñóììàìè ðàöèîíàëüíûõ ñòåïåíåé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
ω1. Ýòè ðåçóëüòàòû èçëîæåíû â ðàáîòå [17].
5. Öåíòð ìàññ ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé ïëîñêîñòè èíåðöèè. Âñå ÷àñò-
íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ïîëó÷åíû ïðè óñëîâèè, ÷òî öåíòð
ìàññ òåëà íàõîäèòñÿ â îäíîé èç ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé èíåðöèè. Ïîýòîìó îñî-
áûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòûå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè îãðàíè÷åíèè
r = (r1, r2, 0).
77
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
Èíòåãðîäèôôðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Å.È. Õàðëàìîâîé [18]:
Re
{[
2
dY
dx
+ a33(x− iy)
] [
(ν0
1 + iν0
2) exp
∫ x
x0
ia33 dζ
X(ζ, y(ζ))
+
+
∫ x
x0
[(a22 − ia12)y(ζ) + (a12 − ia11)ζ]
dY (ζ, y(ζ))
dζ
(
exp
∫ x
ζ
ia33 dτ
X(τ, y(τ))
)
×
× dζ
X(ζ, y(ζ))
]}
= a33g + (a22y
2 + 2a12xy + a11x
2 − 2h)
dY
dx
,
ãäå
X(x, y) = a12x+(a22−a33)y, Y (x, y) =
1
2
(a11−a33)x2+
1
2
(a22−a33)y2+a12xy.
Èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâÿçûâàåò êîìïîíåíòû x, y âåêòîðà
êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M è òåì ñàìûì îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ y(x). Åñëè
ýòà ôóíêöèÿ íàéäåíà, òî çàâèñèìîñòü ν1(x), ν2(x) óñòàíàâëèâàåòñÿ èç ñîîò-
íîøåíèÿ
ν1 + iν2 = (ν0
1 + iν0
2) exp
∫ x
x0
ia33 dζ
X(ζ, y(ζ))
+
∫ x
x0
[(a22 − ia12)y(ζ)+
+(a12 − ia11)ζ]
dY (ζ, y(ζ))
dζ
(
exp
∫ x
ζ
ia33 dτ
X(τ, y(τ))
)
dζ
X(ζ, y(ζ))
.
Èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ, òðàíñöåíäåíò-
íûå ïî îòíîøåíèþ ê y(x). Äëÿ èçó÷åíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ àëãåáðàè÷å-
ñêèõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ñâÿçûâàþùèõ y è x, ýòî óðàâíåíèå áûëî
ïðåîáðàçîâàíî â [19] ê áîëåå óäîáíîé ôîðìå.  ÷àñòíîñòè, â [19] ââåäåíà íîâàÿ
íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ σ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
a33
s
dx
dσ
= a12x + (a22 − a33)y,
ãäå s � ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð, èñïîëüçóåìûé äëÿ óïðîùåíèÿ ïîëó÷àþùèõñÿ
âûðàæåíèé. Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåð-
äîãî òåëà, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ, è ðåçóëüòàòû ñèñòåìíîãî àíàëèçà óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ àëãåáðà-
è÷åñêèõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ïðèâåäøåãî ê îòêðûòèþ íîâûõ ðåøåíèé
çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà, èçëîæåíû â ìîíîãðàôèè [20].
Óðàâíåíèÿ À.È. Äîêøåâè÷à [21]:
U
′′
+ U = a0 + a1V
′
V
′′
+ a2V
′2
+ a3V V
′
+ a4V
2,
(V
′
+ b1V )U
′ − (2V
′′
+ b2V )U + b3V
2V
′′
+
+ b1V
′3
+ b4V V
′2
+ b5V
3 + b6V = b0,
(26)
78
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
ãäå τ � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ′ def=d/dτ, dτ/dt = a33z, êîýôôèöèåíòû
ai, bi � ïîñòîÿííûå. Çàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè â (26) ÿâëÿþòñÿ
V =
a33
a33 − a22
x, U =
1
2
z2 +
1
2
x2
[
2a11 − a22
a33 − a22
+
3a2
12
(a33 − a22)2
]
. (27)
Çàìåòèì, ÷òî èç èíòåãðàëà I = 1 ìîæíî ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíîå äèôôå-
ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â âèäå ïîëèíîìà âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî U, U
′
ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò V, V
′
, V
′′
.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíå-
íèå (26) áóäåò ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ óðàâíåíèé.
Äëÿ ìíîãèõ èçâåñòíûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà õà-
ðàêòåðíà ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü ïåðåìåííîé V îò τ : V = aτ + b â ñëó÷àå
Ãðèîëè, V = a cosλτ â ñëó÷àÿõ Ñòåêëîâà è Ãîðÿ÷åâà, V = a cosλτ + b â ñëó-
÷àå Êîâàëåâñêîãî, V = a cos3/2 λτ â ñëó÷àå ×àïëûãèíà è ò.ä. Ýòî ñâîéñòâî
ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ïåðâîå óðàâíåíèå (26) â âèäå íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè:
U
′′
+ U = F (τ).
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (26) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óðàâíåíèé Í.È. Ìåðöàëîâà,
ïîëó÷åííûõ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ A1 = A2, r = (r1, 0, 0).
Íîâàÿ ôîðìà óðàâíåíèé:
[
[(τ +
1
2
a33µ) x− g]x
′
+ (µ− x2)τ
′
+ b0x
2 − τ − h
]2
−
− [
b0x
2 − τ − h
]
x2b1 = 0,
(28)
[
1− (τ +
1
2
a33µ)2
]
x
′2
+ 2
[
(τ +
1
2
a33µ) x− g
]
x
′
τ
′
+
+ (µ− x2) τ
′2
+
1
2
(a22 − a33)
[
b0x
2 − τ − h
]
= 0,
(29)
ãäå µ = |Aω|2 � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ′ def=d/dµ, çàâèñèìûìè ïåðåìåííû-
ìè ÿâëÿþòñÿ τ = T − h − a33 µ/2, x = Aω · r, ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû
b0, b1 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû ãèðàöèîííîãî òåíçîðà:
b1 =
1
2
a2
12/(a33 − a22), b0 = b1 +
1
2
(a11 − a33),
à ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü µ(t) çàäàíà äîïîëíèòåëüíûì óðàâíåíèåì
µ̇2 = 4(µ− x2 − g2) + 8gx (τ +
1
2
a33µ)− 4µ(τ +
1
2
a33µ)2. (30)
Óðàâíåíèÿ (28),(29) ïîëó÷åíû â ïðåäïîëîæåíèè a22 6= a33, µ 6= const.  ðà-
áîòå [22] ïåðå÷èñëåíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû, êîãäà äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíê-
öèÿ âðåìåíè µ = |Aω|2 ïîñòîÿííà âäîëü êàêîé-ëèáî òðàåêòîðèè óðàâíåíèé
79
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
Ýéëåðà�Ïóàññîíà (1). Ýòè ñëó÷àè ñóòü ðåøåíèå Ýéëåðà (r = 0), ðàâíîìåð-
íûå âðàùåíèÿ âîêðóã âåðòèêàëè, ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ïðè óñëîâèÿõ Ëàãðàíæà
(a22 = a33, a12 = a13 = 0) è Ãåññà (a22 = a33, a13 = 0) , ñîîòâåòñòâóþùèå ïðå-
öåññèîííûì äâèæåíèÿì òâåðäîãî òåëà. Çàìåòèì, ÷òî â (28)-(30) èñïîëüçîâàíû
ôàêòè÷åñêè òå æå ïåðåìåííûå, ÷òî è â óðàâíåíèÿõ Ãåññà (14)-(16).
Ââåäåíèåì áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ
τ̃ = τ + µ0, µ̃ = µκ2 − µ0, x̃ = xκ, t̃ = 2 tκ, κ =
√
a33/2
ïðåäñòàâèì óðàâíåíèÿ (28)-(30) â ôîðìå
[
((τ̃ + µ̃) x̃− g̃)x̃
′
+ (µ̃ + µ0 − x̃2)τ̃
′
+ b̃0x̃
2 − τ̃ − h̃
]2
−
−
(
b̃0x̃
2 − τ̃ − h̃
)
x̃2b̃1 = 0,
[
1− (τ̃ + µ̃)2
]
x̃
′ 2
+ 2 [(τ̃ + µ̃) x̃− g̃] x̃
′
τ̃
′
+ (µ̃ + µ0 − x̃2) τ̃
′ 2
+
+
(
b̃0x̃
2 − τ̃ − h̃
)
b̃2 = 0,
(31)
˙̃µ2 = µ̃ + µ0 − x̃2 − g̃2 + 2 g̃x̃ (τ̃ + µ̃)− (µ̃ + µ0)(τ̃ + µ̃)2, (32)
ãäå b̃1 = a2
12/[(a33 − a22)a33], b̃0 = b̃1 + (a11 − a33)/a33, b̃2 = (a22 − a33)/a33,
h̃ = h − µ0, g̃ = gκ. Ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ µ0, èñêóññòâåííî ââåäåííàÿ
â óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ñòåïåííûå ïî ïåðåìåííîé µ + µ0 ðàçëîæå-
íèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (28),(29) ìåòîäîì èíâàðèàíòíûõ
ñîîòíîøåíèé [20] ëèáî ìåòîäàìè ñòåïåííîé ãåîìåòðèè [16].
6. Ïåðåìåííûå Àíäóàéå�Äåïðè äëÿ ñïåöèàëüíûõ îñåé. Èñïîëüçó-
åì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: OXY Z � íåïîäâèæíûé òðèýäð ñ íà÷àëîì â òî÷êå
ïîäâåñà, Oxyz � ñïåöèàëüíûå îñè, ïîëó÷åííûå ïðåîáðàçîâàíèåì (3), (4), Σ �
ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âåêòîðó êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M è ïðîõî-
äÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó çàêðåïëåíèÿ òåëà. Òîãäà ïåðåìåííûå Àíäóàéå�Äåïðè [23]
òàêîâû: I1 � ïðîåêöèÿ âåêòîðà M íà ïîäâèæíóþ îñü Ox, I2 � ìîäóëü âåêòî-
ðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà M, I3 � ïðîåêöèÿ âåêòîðà M íà íåïîäâèæíóþ
îñü OZ (âåðòèêàëü), ϕ1 � óãîë ìåæäó îñüþ Ox è ëèíèåé ïåðåñå÷åíèÿ Σ ñ
Oyz, ϕ2 � óãîë ìåæäó ëèíèÿìè ïåðåñå÷åíèÿ Σ ñ ïëîñêîñòÿìè Oyz è OXY,
ϕ3 � óãîë ìåæäó îñüþ OX è ëèíèåé ïåðåñå÷åíèÿ Σ ñ OXY. Ñîïðÿæåí-
íûå ñ I1, I2, I3 ïåðåìåííûå ϕ1, ϕ2, ϕ3 ÿâëÿþòñÿ óãëàìè, èçìåíÿþùèìèñÿ ïî
ìîäóëþ 2π. Çàâèñèìîñòü ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ îò êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ
Àíäóàéå�Äåïðè âûðàæåíà ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
M1 = I1, M2 =
√
I2
2 − I2
1 sinϕ1, M3 =
√
I2
2 − I2
1 cosϕ1, (33)
ν1 = cos η cos ζ − sin η sin ζ cosϕ2,
ν2 = (sin η cos ζ + cos η sin ζ cosϕ2) sin ϕ1 + sin ζ cosϕ1 sinϕ2,
ν3 = (sin η cos ζ + cos η sin ζ cosϕ2) cos ϕ1 − sin ζ sinϕ1 sinϕ2,
(34)
80
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
ãäå cos η = I1/I2, cos ζ = I3/I2. Ôîðìóëû îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò
âèä
I1 = M1, ϕ1 = arctg(M2/M3), I3 = M · ν,
I2 = |M|, ϕ2 = arcsin
(
(M3ν2 −M2ν3)√
M2
2 +M2
3
|M|
|M× ν|
)
.
(35)
Ñîîòíîøåíèÿ (34) ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âåêòîðíîé ôîðìå [24]
ν = M I3
I2
2
+(M×r)
√
I2
2 − I2
3
I2
√
I2
2 − I2
1
sinϕ2+M×(M×r)
√
I2
2 − I2
3
I2
2
√
I2
2 − I2
1
cosϕ2. (36)
Ãàìèëüòîíèàí ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ôóíêöè-
åé ïåðåìåííûõ Àíäóàéå�Äåïðè
H =
1
2
a11 I2
1 +
1
2
a22 (I2
2 − I2
1 ) sin2 ϕ1 +
1
2
a33 (I2
2 − I2
1 ) cos2 ϕ1+
+ a12I1
√
I2
2 − I2
1 sinϕ1 + a13I1
√
I2
2 − I2
1 cosϕ1 − I1I3
I2
2
+
+
1
I2
2
√
I2
2 − I2
3
√
I2
2 − I2
1 cosϕ2.
(37)
Ñîîòâåòñòâóþùèå (37) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà çàïèñûâàþòñÿ â ñòàíäàðòíîì
âèäå
ϕ̇i =
∂H
∂Ii
, İi = − ∂H
∂ϕi
, i = 1, 3. (38)
Ïåðåìåííàÿ ϕ3 ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòîé, òàê êàê íå âõîäèò ÿâíî
â âûðàæåíèå H. Èç (38) íàõîäèì
I3 = const, ϕ̇3 = − I1
I2
2
− I3
√
I2
2 − I2
1
I2
2
√
I2
2 − I2
3
cosϕ2. (39)
Óðàâíåíèÿ (39) äîñòàòî÷íî ïðîñòî çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôàçîâûõ ïåðå-
ìåííûõ:
I3 = g, ϕ̇3 =
g γ · r−M · r
|M|2 − g2
èëè ϕ̇3 =
g ν1 −M1
|M|2 − g2
.
Çàïèøåì óðàâíåíèå Ãåññà (14) â êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ Àíäóàéå�Äåïðè:
1
2
d|M|2
dt
≡ I2
dI2
dt
=
√
I2
2 − I2
1
√
I2
2 − I2
3
I2
sinϕ2. (40)
81
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
Âûðàçèì êîîðäèíàòó ϕ2 èç èíòåãðàëà ýíåðãèè H(I1, I2, I3, ϕ1, ϕ2) = h, âìåñòî
ôóíêöèè H çàïèøåì íîâûé ãàìèëüòîíèàí â âèäå
K =arccos
(
1
2
√
I2
2 − I2
3
√
I2
2 − I2
1
{
2I1I3 + 2I2
2h− a11 I2
1I2
2−
− I2
2 (I2
2 − I2
1 )(a22 sin2 ϕ1 + a33 cos2 ϕ1)−
−2I1I
2
2
√
I2
2 − I2
1 (a12 sinϕ1 + a13 cosϕ1)}
)
.
(41)
Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èìååò âòîðîé ïîðÿäîê:
dI1
dI2
= − ∂K
∂ϕ1
,
dϕ1
dI2
=
∂K
∂I1
. (42)
Ïðîèíòåãðèðîâàâ ñèñòåìó (42), íàéäåì âåëè÷èíû I1, ϕ1 êàê ôóíêöèè îò ïåðå-
ìåííîé I2. Çàâèñèìîñòü I2 îò âðåìåíè t íàéäåì èç óðàâíåíèÿ (40), âûðàçèâ
ϕ2 ÷åðåç I2 ñ ó÷åòîì (41) è ðåøåíèé ñèñòåìû (42).
 ðàçâåðíóòîì âèäå ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (42) ñîäåðæàò ðàäèêàëû è
òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ óïðîùåíèÿ óðàâíåíèé (42) ïðåîáðàçóåì
ïåðåìåííûå (I1, ϕ1) → (u, v) ïî ôîðìóëàì
I1 = I2
2u
1 + u2
,
√
I2
2 − I2
1 = I2
1− u2
1 + u2
, sinϕ1 =
2v
1 + v2
, cosϕ1 =
1− v2
1 + v2
.
Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â (38), â ðåçóëüòàòå íåñëîæíûõ óïðîùåíèé ïîëó-
÷èì íîâóþ ôîðìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé
òî÷êè:
u
′
I2P1
(1− u2)
(1 + u2)
+ 2v
′
I4
2P2
(1− u2)3
(1 + v2)
+ uP1 = 0,
v
′
=
(1 + u2)(1 + v2)P1
I2(1− u2)2
√
F
,
dI2
dt
=
√
F
2I2(1 + u2)2(1 + v2)2
,
(43)
ãäå I2 � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ ñèñòåìû âòîðîãî ïîðÿäêà, ′ def=d/dI2, u, v �
äâå çàâèñèìûå ïåðåìåííûå, F (u, v, I2), P1(u, v, I2), P2(u, v) � ïîëèíîìû ñëåäó-
þùåãî âèäà:
F = 4(1− u4)2(1 + v2)4(I2
2 − I2
3 )− b2
1,
P1 = b3I
3
2 − 2u(1 + u2)2(1 + v2)2 I2h− (1 + u2)3(1 + v2)2I3,
P2 = v(1− v2)(1− u2)(a22 − a33) + u(1− v4)a12 − 2uv(1 + v2)a13,
82
Î ðåäóêöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà
b1 =I3
2b2 − 2(1 + u2)2(1 + v2)2 I2h− 4u(1 + u2)(1 + v2)2 I3,
b2 =4u2(1 + v2)2a11 + 4v2(1− u2)2a22 + (1− v2)2(1− u2)2a33+
+8uv(1 + v2)(1− u2)a12 + 4u(1− v4)(1− u2)a13,
b3 =2u(1 + v2)2(1 + u4)a11 − 4uv2(1− u2)2a22 − u(1− v2)2(1− u2)2a33+
+2v(1 + v2)(1− u2)3a12 + (1− v4)(1− u2)3a13.
Óðàâíåíèÿ (43) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç (20), (21) çàìåíîé ïåðåìåííûõ
x =
2I2 u
1 + u2
, µ = I2
2 , w0 =
I2(1− u2)(2a12v + a13 − a13v
2)
(1 + u2)(1 + v2)
,
T0
w0
=
I2(a22 − a33)(1− u2)(2a12v − a13 + a13v
2)
(1 + u2)(1 + v2)(a2
12 + a2
13)
+
4I2u
1 + u2
.
Ââåäåì ïåðåìåííûå s, ϕ1, ϕ2 ïî ôîðìóëàì
M1 =
1
s
sinϕ2, M2 =
1
s
cosϕ2 sinϕ1, M3 =
1
s
cosϕ2 cosϕ1. (44)
Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ T íàéäåì èç (13),(44). Äàëåå ïîäñòàíîâêîé âûðàæå-
íèé (44) â (11) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:
ϕ
′
1 = λ−1 ∂Φ
∂ϕ2
, ϕ
′
2 = −λ−1 ∂Φ
∂ϕ1
+
sinϕ2
s cosϕ2
,
d s
dt
= λ,
λ = s cosϕ2
√
s2 − g2s4 − Φ2, Φ = [(T − h)− g s sinϕ2] s/ cosϕ2.
(45)
Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ (45) îáðàçóþò çàìêíóòóþ ïîäñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿä-
êà, s � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ′ def=d/ds. Ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòè óðàâíåíèÿ,
íàéäåì çàâèñèìîñòü s(t) èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ (45). Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ
(45) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû (38) ëèáî íåïîñðåäñòâåí-
íîé ïîäñòàíîâêîé ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò (44) â óðàâíåíèÿ Ï.Â. Õàðëàìîâà
(7)�(9).
Óðàâíåíèÿ (21), (28), (29), (45) ïîëó÷åíû È.Í. Ãàøåíåíêî, îíè âïåðâûå
ïóáëèêóþòñÿ â ýòîé ðàáîòå. Ïðîáëåìû ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ òÿæåëîãî ãèðîñòàòà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè áóäóò ðàññìîòðåíû â
îòäåëüíîé ñòàòüå.
1. Hess W. �Uber die Euler'schen Bewegungsgleichungen und �uber eine neue particul�are L�osung
des Problems der Bewegung eines starren K�orpers um einen festen Punkt// Math. Ann. �
1890. � 37. � S. 153�181.
2. Øèôô Ï.À. Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæ-
íóþ òî÷êó// Ìàò. ñáîðíèê. � 1903. � 24, âûï. 2. � Ñ. 169�177.
3. Ñðåòåíñêèé Ë.Í. Î ðàáîòàõ Ñ.À. ×àïëûãèíà ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå. �  êí.:
×àïëûãèí Ñ.À. Ñîáð. ñî÷. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1950. � Ò. 3. � Ñ. 366�376.
83
È.Í. Ãàøåíåíêî, Ã.Â. Ìîçàëåâñêàÿ, Å.È. Õàðëàìîâà
4. Kowalewski N. Eine neue partikul�are L�osung der Di�erentialgleichungen der Bewegung eines
schweren starren K�orpers um einen festen Punkt// Math. Ann. � 1908. � 65. � S. 528�537.
5. Áèëèìîâè÷ À.Ä. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé
òî÷êè//  êí.: Ñá. ñòàòåé, ïîñâÿùåííûõ ïðîô. Ã.Ê. Ñóñëîâó. � Êèåâ, 1911. � Ñ. 23�74.
6. Õàðëàìîâ Ï.Â. Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷-
êó// Ïðèêë. ìàòåì. è ìåõàíèêà. � 1963. � 27, âûï. 4. � Ñ. 703�707.
7. Õàðëàìîâ Ï.Â. Ëåêöèè ïî äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. � Íîâîñèáèðñê: Èçä�âî Íîâîñèáèð.
óí-òà, 1965. � 221 ñ.
8. St�ackel P. Die reduzierten Di�erentialgleichungen der Bewegung des schweren unsymmetri-
schen Kreisels// Math. Ann. � 1909. � 67. � S. 399�432.
9. Õàðëàìîâà Å.È. Î êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ
òî÷êó// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1969. � Âûï. 1. � Ñ. 102�107.
10. Õàðëàìîâà Å.È. Ñâåäåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó, ê
îäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ// Òàì æå. � 1969. � Âûï. 1. � Ñ. 107�116.
11. ßõüÿ Õ.Ì. Î ïîíèæåíèè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òâåðäîãî
òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè// Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ñåð. 1. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà.
� 1976. � � 6. � Ñ. 76�79.
12. Yehia H.M. On the reduction of the order of equations of motion of a gyrostat in an
axisymmetric �eld// J. de M�ecanique the�or. et appl. �1983. � 2, � 3. � P. 451�462.
13. Êîëîñîâ Ã.Â. Î íåêîòîðûõ âèäîèçìåíåíèÿõ íà÷àëà Ãàìèëüòîíà â ïðèìåíåíèè ê ðåøå-
íèþ âîïðîñîâ ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà. � ÑÏá, 1903. � 76 ñ.
14. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Ïîíèæåíèå ïîðÿäêà â ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ ñèììåòðèåé// Ìåõà-
íèêà òâåðäîãî òåëà. � 1976. � Âûï. 8. � Ñ. 4�18.
15. Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â, Õàðëàìîâà Å.È. Óðàâíåíèÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ïåðåìåííûõ
Ñ.À. ×àïëûãèíà// Òàì æå. � 1999. � Âûï. 28. � Ñ. 9�20.
16. Áðþíî À.Ä. Àíàëèç óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà ìåòîäàìè ñòåïåííîé ãåîìåòðèè// Òàì
æå. � 2002. � Âûï. 32. � Ñ. 3�15.
17. Áðþíî À.Ä., Ãàøåíåíêî È.Í. Êîíå÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Í. Êîâàëåâñêîãî// Òàì
æå. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ. 31�37.
18. Õàðëàìîâà Å.È. Ñâåäåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî íåïî-
äâèæíóþ òî÷êó, ê îäíîìó óðàâíåíèþ. Íîâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è// Ïðèêë.
ìàòåì. è ìåõàíèêà. � 1966. � 30, âûï. 4. � Ñ. 784�788.
19. Õàðëàìîâà Å.È., Õàðëàìîâ Ï.Â. Î ïðåîáðàçîâàíèè èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó//
Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1971. � Âûï. 3. � Ñ. 12�16.
20. Õàðëàìîâà Å.È., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â. Èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè
òâåðäîãî òåëà. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. � 296 ñ.
21. Äîêøåâè÷ À.È. Èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà
âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè// Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 1968. � 4, âûï. 11. � Ñ. 95�100.
22. Ãîðð Ã.Â., Èëþõèí À.À. Ñëó÷àè ïîñòîÿíñòâà ìîäóëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
ãèðîñòàòà// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1974. � Âûï. 6. � Ñ. 9�15.
23. Äåïðè À. Èçó÷åíèå ñâîáîäíîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè ñ
ïîìîùüþ ôàçîâîé ïëîñêîñòè// Ìåõàíèêà. Ñá. ïåðåâîäîâ. � 1968. � � 2. � Ñ. 3�9.
24. Ãàøåíåíêî È.Í. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè â çàäà÷å î äâèæåíèè òåëà ñ íåïîäâèæ-
íîé òî÷êîé// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2006. � Âûï. 36. � Ñ. 3�12.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
applmech@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 20.07.07
84
|