Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда
В работе рассматривается простейшая модель роликовой доски скейтборда со стоящим на нем спортсменом (райдером). В отличие от предшествующих работ, в которых рассматривался только случай малых углов наклона доски и поворота колесных осей, в данной работе предполагается, что эти углы могут принимать к...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27941 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда / А.В. Кремнев, А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 112-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27941 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кремнев, А.В. Кулешов, А.С. 2011-10-24T21:18:04Z 2011-10-24T21:18:04Z 2007 Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда / А.В. Кремнев, А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 112-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27941 531.36 В работе рассматривается простейшая модель роликовой доски скейтборда со стоящим на нем спортсменом (райдером). В отличие от предшествующих работ, в которых рассматривался только случай малых углов наклона доски и поворота колесных осей, в данной работе предполагается, что эти углы могут принимать конечные значения. Выписаны нелинейные кинематические соотношения между этими углами. С учетом найденных кинематических соотношений построены полные уравнения движения модели скейтборда. Анализ полученных уравнений позволил выявить некоторые весьма интересные особенности движения скейтборда. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (07 01 00290), гранта "Научные школы" (НШ 6667.2006.1). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| spellingShingle |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда Кремнев, А.В. Кулешов, А.С. |
| title_short |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| title_full |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| title_fullStr |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| title_full_unstemmed |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| title_sort |
нелинейная динамика простейшей модели скейтборда |
| author |
Кремнев, А.В. Кулешов, А.С. |
| author_facet |
Кремнев, А.В. Кулешов, А.С. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе рассматривается простейшая модель роликовой доски скейтборда со стоящим на нем спортсменом (райдером). В отличие от предшествующих работ, в которых рассматривался только случай малых углов наклона доски и поворота колесных осей, в данной работе предполагается, что эти углы могут принимать конечные значения. Выписаны нелинейные кинематические соотношения между этими углами. С учетом найденных кинематических соотношений построены полные уравнения движения модели скейтборда. Анализ полученных уравнений позволил выявить некоторые весьма интересные особенности движения скейтборда.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27941 |
| citation_txt |
Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда / А.В. Кремнев, А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2007. — Вип 37. — С. 112-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kremnevav nelineinaâdinamikaprosteišeimodeliskeitborda AT kulešovas nelineinaâdinamikaprosteišeimodeliskeitborda |
| first_indexed |
2025-11-27T03:51:24Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:51:24Z |
| _version_ |
1850797970926075904 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2007. Âûï. 37
ÓÄÊ 531.36
c©2007. À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
ÍÅËÈÍÅÉÍÀß ÄÈÍÀÌÈÊÀ
ÏÐÎÑÒÅÉØÅÉ ÌÎÄÅËÈ ÑÊÅÉÒÁÎÐÄÀ
 ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ðîëèêîâîé äîñêè � ñêåéòáîðäà ñî ñòîÿùèì
íà íåì ñïîðòñìåíîì (ðàéäåðîì).  îòëè÷èå îò ïðåäøåñòâóþùèõ ðàáîò [1�4], â êîòîðûõ
ðàññìàòðèâàëñÿ òîëüêî ñëó÷àé ìàëûõ óãëîâ íàêëîíà äîñêè è ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé, â
äàííîé ðàáîòå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè óãëû ìîãóò ïðèíèìàòü êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ. Âûïè-
ñàíû íåëèíåéíûå êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýòèìè óãëàìè. Ñ ó÷åòîì íàéäåííûõ
êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé ïîñòðîåíû ïîëíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîäåëè ñêåéòáîðäà.
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ïîçâîëèë âûÿâèòü íåêîòîðûå âåñüìà èíòåðåñíûå îñîáåííî-
ñòè äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà.
Ââåäåíèå. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñêåéòáîðäèíã � èñêóññòâî êàòàíèÿ íà
ñêåéòáîðäå � ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ âèäîâ ñïîðòà. Ìíîãèå
ìèëëèîíû ëþäåé óâëåêàþòñÿ ñêåéòáîðäèíãîì. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà áîëüøóþ
ïîïóëÿðíîñòü ñêåéòáîðäèíãà, êîëè÷åñòâî ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ ðàçëè÷-
íûì âîïðîñàì äèíàìèêè ñêåéòáîðäà, ñðàâíèòåëüíî íåâåëèêî. Â êîíöå 70-õ
� íà÷àëå 80-õ ãîäîâ XX âåêà ïîÿâèëèñü äâå ñòàòüè Ìîíòà Õàááàðäà [1, 2],
â êîòîðûõ áûëè ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñû-
âàþùèå äâèæåíèå ñêåéòáîðäà ñî ñòîÿùèì íà íåì ðàéäåðîì. Ïðè ýòîì äëÿ
ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìîäåëåé èñïîëüçîâàëèñü îáùèå òåîðåìû äè-
íàìèêè. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû äàåì äàëüíåéøåå ðàçâèòèå îäíîé èç ìîäåëåé
ñêåéòáîðäà, ïðåäëîæåííûõ Õàááàðäîì.
Îáû÷íûé ñêåéòáîðä ñîñòîèò èç
Ðèñ. 1. Ñêåéòáîðä: âèä ñáîêó.
äîñêè, äâóõ ïîäâåñîê, ñîåäèíÿþùèõ
êîëåñà ñ äîñêîé, è ÷åòûðåõ êîëåñ
(ðèñ. 1). Ñîâðåìåííûå äîñêè îáû÷íî
èìåþò 78�83 ñì. â äëèíó, 17�21 ñì.
â øèðèíó, òîëùèíà èõ 1�2 ñì. Êðîìå
ðàçìåðîâ, äîñêè ðàçëè÷àþòñÿ ïî êîí-
êåéâó (ïðîãèáó), êîòîðûì îïðåäåëÿ-
åòñÿ ïðåäíàçíà÷åíèå ñêåéòáîðäà. Äëÿ èñïîëíåíèÿ ñëîæíûõ òðþêîâ ëó÷øå
èñïîëüçîâàòü áîëåå ãèáêóþ äîñêó. Áîëåå æåñòêîé äîñêîé ñëåäóåò ïîëüçîâàòü-
ñÿ ïðè êàòàíèè íà áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ (íàïðèìåð, ïðè ñêàòûâàíèè ñ ãîðû).
Íàèáîëåå ñóùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè ñêåéòáîðäà ÿâëÿþòñÿ ïîäâåñêè, ïðè
ïîìîùè êîòîðûõ îñè êîëåñ êðåïÿòñÿ ê äîñêå. Âðàùåíèå êàê ïåðåäíåé, òàê è
çàäíåé êîëåñíîé ïàðû ïðîèñõîäèò âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ íàêëîííûõ îñåé
� ïèâîòîâ (ðèñ. 1). Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñÿêèé ðàç, êîãäà äîñêà íå ïà-
ðàëëåëüíà ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ, êîëåñíûå ïàðû ïîâîðà÷èâàþòñÿ íà ñîîòâåò-
ñòâóþùèå óãëû îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêî-
ñòè äâèæåíèÿ (ðèñ. 2). Óïðàâëÿþò ñêåéòáîðäîì, èñïîëüçóÿ èìåííî ýòè ñâÿçè
112
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà
Ðèñ. 2. Ñêåéòáîðä: âèä ñâåðõó. Ðèñ. 3. Ñêåéòáîðä: âèä ñçàäè.
ìåæäó óãëîì íàêëîíà äîñêè è óãëàìè ïîâîðîòà êîëåñíûõ ïàð.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî â ñëó÷àå íàêëîíà äîñêè ñêåéòáîðäà âîçíèêàåò
âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò, êîòîðûé âîçâðàùàåò äîñêó â ïåðâîíà÷àëüíîå ïî-
ëîæåíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåëè÷èíà ýòîãî ìîìåíòà ïðîïîðöèîíàëüíà óãëó
íàêëîíà äîñêè. Òàêîé ìîìåíò ìîæåò âîçíèêàòü, íàïðèìåð, åñëè äîñêà ñîåäè-
íåíà ñ êîëåñàìè ïðè ïîìîùè òîðñèîííûõ ïðóæèí (ðèñ. 3). Ðàíåå òî æå ñàìîå
ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èèè âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà áûëî ñäåëàíî â ðà-
áîòàõ [1, 2]. Æåñòêîñòü ïðóæèíû áóäåì îáîçíà÷àòü k1.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ðàéäåð, ñòîÿùèé íà ñêåéòáîðäå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òâåðäîå òåëî, îñòàþùååñÿ
ïåðïåíäèêóëÿðíûì ê ïëîñêîñòè äîñêè âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëü-
íî, ïðè íàêëîíå äîñêè íà íåêîòîðûé óãîë γ ðàéäåð îòêëîíÿåòñÿ îò âåðòèêàëè
íà òîò æå óãîë (ðèñ. 3).
Ââåäåì íåïîäâèæíóþ ñèñòå-
Ðèñ. 4. Íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò OXY Z.
ìó êîîðäèíàò OXY Z ñ íà÷àëîì
â íåêîòîðîé òî÷êå O ïëîñêîñòè,
ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ñêåéòáîðä,
è îñüþ OZ ïåðïåíäèêóëÿðíîé
ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ. Îáîçíà-
÷èì ñåðåäèíû îñåé ïåðåäíèõ è
çàäíèõ êîëåñ ñêåéòáîðäà ÷åðåç
F è R ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü
ðàññòîÿíèå FR ðàâíî a. Ïîëî-
æåíèå îòðåçêà FR îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY Z
îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè X, Y åãî ñåðåäèíû è óãëîì θ, êîòîðûé äàííûé
îòðåçîê îáðàçóåò ñ íåïîäâèæíîé îñüþ OX (ðèñ. 4).
Ïðè íàêëîíå äîñêè íà óãîë γ îñü ïåðåäíåé êîëåñíîé ïàðû ïîâîðà÷èâàåòñÿ
íà óãîë δf ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à îñü çàäíåé êîëåñíîé ïàðû ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà
óãîë δr ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 2). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêåéòáîðä äâè-
æåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî åãî êîëåñà íå ìîãóò ïðîñêàëüçûâàòü â íàïðàâëåíèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòè êîëåñà. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
113
À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
íà ñèñòåìó íàêëàäûâàþòñÿ äâå íåãîëîíîìíûå ñâÿçè
−Ẋ sin (θ − δf ) + Ẏ cos (θ − δf ) +
a
2
θ̇ cos δf = 0,
−Ẋ sin (θ + δr) + Ẏ cos (θ + δr)− a
2
θ̇ cos δr = 0.
(1)
Ìû ìîæåì ðàçðåøèòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (1) îòíîñèòåëüíî Ẋ è Ẏ . Ïîëó÷èì
Ẋ =− aθ̇
2 sin (δf +δr)
[cos δf cos (θ+δr)+cos δr cos (θ−δf )] ,
Ẏ =− aθ̇
2 sin (δf +δr)
[cos δf sin (θ+δr)+cos δr sin (θ−δf )] .
(2)
Ñêîðîñòè òî÷åê F è R ïðè ýòîì áóäóò íàïðàâëåíû ãîðèçîíòàëüíî è ïåð-
ïåíäèêóëÿðíî îñÿì êîëåñ.  ýòîì ñëó÷àå íà îòðåçêå FR ñóùåñòâóåò òî÷êà P ,
ñêîðîñòü êîòîðîé íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé FR (ñì. [1�6]). Âåëè÷èíó ñêîðî-
ñòè òî÷êè P îáîçíà÷èì ÷åðåç u. Òîãäà äëÿ ðàññòîÿíèÿ FP îò ïåðåäíåé ïîä-
âåñêè äî òî÷êè P è äëÿ ñêîðîñòè u ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû [5, 6]:
FP =
a sin δf cos δr
sin (δf + δr)
, u = −aθ̇ cos δf cos δr
sin (δf + δr)
, (3)
îòêóäà
θ̇ = −u sin (δf + δr)
a cos δf cos δr
.
 ðàáîòàõ [5, 6] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óãëû ïîâîðîòà δf è δr êîëåñíûõ îñåé
ñâÿçàíû ñ óãëîì íàêëîíà äîñêè ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
tg δf = tg λf sin γ, tg δr = tg λr sin γ, (4)
ãäå λf è λr � ïîñòîÿííûå óãëû, êîòîðûå îáðàçóþò íàêëîííûå îñè ñêåéòáîðäà
ñ ãîðèçîíòàëüþ.
Ñ ó÷åòîì ñâÿçåé (4) ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (2) äëÿ Ẋ è Ẏ â âèäå
Ẋ =u cos θ +
(tg λf − tg λr)
2
u sin γ sin θ,
Ẏ =u sin θ − (tg λf − tg λr)
2
u sin γ cos θ.
(5)
Ñîîòíîøåíèÿ (3) ïåðåïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
FP =
a tg λf
tg λf + tg λr
= const, θ̇ = −(tg λf + tg λr)
a
u sin γ. (6)
114
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîñêà ñêåéòáîðäà ðàñïîëîæåíà íà âûñîòå h îò ïðÿìîé
FR, äëèíà äîñêè òàêæå ðàâíà a, à åå öåíòð ìàññ ðàñïîëîæåí íà ïðîäîëüíîé
îñè ïîñåðåäèíå ìåæäó òî÷êàìè êðåïëåíèÿ ïîäâåñîê. Îòíîñèòåëüíî ðàéäåðà
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îí ñòîèò íå â öåíòðå äîñêè, à íà åå ïðîäîëüíîé
îñè íà ïîñòîÿííîì ðàññòîÿíèè d îò òî÷êè êðåïëåíèÿ F ïåðåäíåé ïîäâåñêè.
Ïóñòü l � âûñîòà öåíòðà ìàññ ðàéäåðà íàä òî÷êîé P . Êðîìå òîãî, ïóñòü mb �
ìàññà äîñêè, mr � ìàññà ðàéäåðà, Ibx, Iby, Ibz � ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
èíåðöèè äîñêè, Irx, Iry, Irz � ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè ðàéäåðà.
Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèÿ
Ix = Ibx + Irx, Iy = Iby + Iry, Iz = Ibz + Irz.
Òîãäà ñêîðîñòü u òî÷êè P è óãîë íàêëîíà äîñêè γ óäîâëåòâîðÿþò ñëåäó-
þùèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì [5]:
(
A + (C − 2D) sin2 γ + K sin4 γ
)
u̇ +
(
C − 3D + 3K sin2 γ
)
uγ̇ sin γ cos γ+
+ B
(
γ̈ cos γ − γ̇2 sin γ
)
sin γ = 0, (7)
Eγ̈ +
(
D −K sin2 γ
)
u2 sin γ cos γ + k1γ − (mbh + mrl) g sin γ+
+ B (u̇ sin γ + uγ̇ cos γ) cos γ = 0.
Çäåñü A, . . ., E, K � ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ, à èìåííî:
A = mb + mr,
E = Ix + mbh
2 + mrl
2,
B =
mbh
2
(tg λf − tg λr) +
mrl
a
((a− d) tg λf − d tg λr) ,
C =
mb
4
(tg λf − tg λr)
2 +
Iz
a2
(tg λf + tg λr)
2 +
mr
a2
((a− d) tg λf − d tg λr)
2 ,
D =
(tg λf + tg λr)
a
(mbh + mrl) ,
K =
(tg λf + tg λr)
2
a2
(
Iy + mbh
2 + mrl
2 − Iz
)
.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (5)�(7) îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé
äâèæåíèÿ ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà.
2. Óñòîé÷èâîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Óðàâíå-
íèÿ (7) èìåþò ÷àñòíîå ðåøåíèå
u = u0 = const, γ = 0, (8)
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîìåðíîìó ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæåíèþ ñêåéòáîðäà.
Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ èìåþò âèä [1�6]
Bu0 > 0, Du2
0 + k1 − (mbh + mrl) g > 0 (9)
115
À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
èëè, âûïèñûâàÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ B è D,
[
mbh
2
(tg λf − tg λr) +
mrl
a
((a− d) tg λf − d tg λr)
]
u0 > 0, (10)
k1 +
(
(tg λf + tg λr)
u2
0
a
− g
)
(mbh + mrl) > 0. (11)
Èç óñëîâèÿ (10) ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî
äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ. Åñëè â îäíîì íà-
ïðàâëåíèè äâèæåíèå ñêåéòáîðäà áóäåò óñòîé÷èâûì, òî â ïðîòèâîïîëîæíîì
� îáÿçàòåëüíî íåóñòîé÷èâûì. Òàêîå ïîâåäåíèå ïðèñóùå ìíîãèì íåãîëîíîì-
íûì ñèñòåìàì.  ïåðâóþ î÷åðåäü çäåñü ñëåäóåò íàçâàòü çàäà÷ó î äâèæåíèè
�êåëüòñêîãî êàìíÿ� (ñì., íàïðèìåð [7, 8]), â êîòîðîé óñòîé÷èâîñòü âðàùåíèÿ
êàìíÿ çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò B ïîëîæèòåëåí, B > 0. Òîãäà ïðè u0 > 0
ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ â �óñòîé÷èâîì� íàïðàâëåíèè, à ïðè u0 < 0 � â �íåóñòîé-
÷èâîì�. Çíà÷åíèå u0 = 0 ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîâåñèþ ñêåéòáîðäà, êîãäà îí íåïî-
äâèæíî ñòîèò íà ïëîñêîñòè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâî-
ñòè äàííîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìååò âèä (ñì. [1�6])
k1 − (mbh + mrl) g > 0. (12)
Ñ÷èòàÿ óñëîâèå (12) âûïîëíåííûì, ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû âáëèçè
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (7) îòíîñèòåëüíî u̇ è γ̈ è ïîëà-
ãàÿ u è γ ìàëûìè âåëè÷èíàìè, âûïèøåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
ñèñòåìû ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè âêëþ÷èòåëüíî:
u̇ =
B (k1 − (mbh + mrl) g)
AE
γ2,
γ̈ +
k1 − (mbh + mrl) g
E
γ = −Buγ̇
E
.
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
Ω2 =
k1 − (mbh + mrl) g
E
,
îêîí÷àòåëüíî ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ê âèäó
u̇ =
BΩ2
A
γ2, γ̈ + Ω2γ = −Buγ̇
E
. (13)
Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (13) óæå ïðèâå-
äåíà ê âèäó, ñîîòâåòñòâóþùåìó íîðìàëüíûì êîëåáàíèÿì. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ
116
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà
íåëèíåéíîé ñèñòåìû (13) ïðèâåäåì åå ê íîðìàëüíîé ôîðìå [8, 9]. Ñíà÷àëà
ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ
γ =
z1 − z2
2i
, γ̇ =
z1 + z2
2
Ω, u = z3.
 ïåðåìåííûõ zk, k = 1, 2, 3, ëèíåéíàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (13) èìååò äèàãîíàëü-
íóþ ôîðìó è ïîëó÷åíèå íîðìàëüíîé ôîðìû ñâîäèòñÿ ê âûäåëåíèþ ðåçîíàíñ-
íûõ ÷ëåíîâ èç íåëèíåéíîñòåé â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû (13).
Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíàÿ ôîðìà ñèñòåìû (13) èìååò âèä
ż1 = iΩz1 − B
2E
z1z3, ż2 = −iΩz2 − B
2E
z2z3, ż3 =
BΩ2
2A
z1z2.
Ââîäÿ âåùåñòâåííûå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ñîãëàñíî ôîðìóëàì
z1 = ρ1 (cosσ + i sinσ) , z2 = ρ1 (cosσ − i sinσ) , z3 = ρ2
èç ñèñòåìû (13) ïîëó÷èì íîðìàëèçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî
äâèæåíèÿ, êîòîðàÿ ðàñïàäàåòñÿ íà äâå íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû:
ρ̇1 = − B
2E
ρ1ρ2, ρ̇2 =
BΩ2
2A
ρ2
1, (14)
σ̇ = Ω. (15)
 (14) îòáðîøåíû ÷ëåíû âûøå âòîðîãî, à â (15) � âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà
îòíîñèòåëüíî ρk, k = 1, 2.
 ε-îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (14) è
(15) îòëè÷àþòñÿ îò îòâå÷àþùèõ èì ïðàâûõ ÷àñòåé òî÷íûõ óðàâíåíèé âîç-
ìóùåííîãî äâèæåíèÿ íà âåëè÷èíû ïîðÿäêà ε3 è ε2 ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøåíèÿ
òî÷íûõ óðàâíåíèé àïïðîêñèìèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (14), (15) ñ ïî-
ãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà ε2 äëÿ ρ1, ρ2 è ïîðÿäêà ε äëÿ σ íà èíòåðâàëå âðåìåíè
ïîðÿäêà 1/ε. Îãðàíè÷èâàÿñü ýòîé òî÷íîñòüþ, áóäåì âìåñòî ïîëíûõ óðàâíåíèé
âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàòü ïðèáëèæåííóþ ñèñòåìó (14), (15).
Óðàâíåíèå (15) ñðàçó èíòåãðèðóåòñÿ. Ïîëó÷àåì
σ = Ωt + σ0.
Ñèñòåìà (14) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ àìïëèòóäû ρ1 êîëåáàíèé äîñêè è ñêîðî-
ñòè ρ2 ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ
ñèñòåìà èìååò ïåðâûé èíòåãðàë
Eρ2
1 +
A
Ω2
ρ2
2 = An2
1. (16)
Çäåñü n1 � ïîñòîÿííàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Âîñïîëü-
çóåìñÿ èíòåãðàëîì (16) äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (14) è ïîëó÷åíèÿ
117
À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
ÿâíûõ çàâèñèìîñòåé ρ1 = ρ1 (t) è ρ2 = ρ2 (t). Âûðàæàÿ èç èíòåãðàëà (16) ρ2
1 è
ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (14), ïîëó÷èì
ρ̇2 =
B
2E
(
Ω2n2
1 − ρ2
2
)
. (17)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) èìååò âèä
ρ2 (t) =
Ωn1
(
1− n2 exp
(−BΩn1
E t
))
(
1 + n2 exp
(−BΩn1
E t
)) , (18)
ãäå n2 � íåîòðèöàòåëüíàÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. ßâíóþ çàâèñèìîñòü
ôóíêöèè ρ1 îò âðåìåíè ìîæíî îïðåäåëèòü òåïåðü èç èíòåãðàëà (16):
ρ1 (t) = 2n1
√
An2
E
exp
(−BΩn1
2E t
)
1 + n2 exp
(−BΩn1
E t
) . (19)
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíî íà ñâîéñòâàõ ðåøåíèé (18), (19) ñèñòåìû (14) è
èõ ñâÿçè ñ õàðàêòåðîì äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà. Ñèñòåìà (14) èìååò ïîëîæåíèå
ðàâíîâåñèÿ
ρ1 = 0, ρ2 = Ωn1 (20)
(ýòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îáùèõ çàâèñèìîñòåé (18),
(19) åñëè ïîëîæèòü â íèõ n2 = 0). Ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ n1
ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëî-
æèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé n1 ñîîòâåòñòâóþò ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæå-
íèþ ñêåéòáîðäà ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ â �óñòîé÷èâîì� íàïðàâëåíèè, à îòðèöà-
òåëüíûå � â �íåóñòîé÷èâîì�. Äåéñòâèòåëüíî, ëèíåàðèçîâàííûå â îêðåñòíîñòè
ðàâíîâåñèÿ (20) óðàâíåíèÿ (14) äàþò
ρ̇1 = − B
2E
Ωn1ρ1, ρ̇2 = 0.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè n1 > 0 ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî, à ïðè n1 < 0 �
íåóñòîé÷èâî.
Çàâèñèìîñòè ôóíêöèé ρ1 è ρ2 îò âðåìåíè äàþò ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå î õà-
ðàêòåðå äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû
íàõîäèìñÿ â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (n1 > 0) è â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ρ2 (0) ≥ 0, ò.å. n2 ≤ 1 (ñëó÷àé n1 > 0, n2 > 1 àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ
n1 < 0, n2 < 1, êîòîðûé áóäåò ðàññìîòðåí íèæå). Ýòè óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò
òîìó, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñêåéòáîðä ïîëó÷èë ìàëóþ ñêîðîñòü
ρ2 (0) = Ωn1
1− n2
1 + n2
â �óñòîé÷èâîì� íàïðàâëåíèè. Òîãäà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè �àìïëèòóäà� êîëå-
áàíèé äîñêè ρ1 ìîíîòîííî óáûâàåò îò åå íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ
ρ1 (0) =
2n1
1 + n2
√
An2
E
118
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà
äî íóëÿ, à ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ρ2 âîçðàñòàåò ïî ìîäóëþ. Â ïðåäåëå
ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ Ωn1.
Ïóñòü òåïåðü ìû íàõîäèìñÿ â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
n1 < 0. Ïðåäïîëîæèì ñíîâà, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè n2 < 1, ò.å.
ρ2 (0) < 0 (ñëó÷àé n1 < 0, n2 > 1 àíàëîãè÷åí ðàçîáðàííîìó âûøå ñëó÷àþ
n1 > 0, n2 < 1). Ýòè óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò òîìó, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò
ñêåéòáîðä ïîëó÷èë ìàëóþ ñêîðîñòü
ρ2 (0) = Ωn1
1− n2
1 + n2
â �íåóñòîé÷èâîì� íàïðàâëåíèè.  ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíîå äâèæåíèå ñèñòåìû
áóäåò òàêèì æå, êàê è ïðè ρ2 (0) ≥ 0, íî ýâîëþöèÿ äâèæåíèÿ ñóùåñòâåííî
èíàÿ. Ïðè
0 < t < t∗ =
E ln (n2)
BΩn1
�àìïëèòóäà� êîëåáàíèé ρ1 ïî ìîäóëþ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à ñêåéòáîðä
äâèæåòñÿ â íåóñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñî âñå óìåíüøàþùåéñÿ ñêîðîñòüþ.
 ìîìåíò t = t∗ ñêîðîñòü ñêåéòáîðäà îáðàùàåòñÿ â íóëü, à �àìïëèòóäà�
êîëåáàíèé ρ1 äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî (ïî ìîäóëþ) çíà÷åíèÿ
ρ1 (t∗) = n1
√
A
E
.
Ïðè t > t∗ ñêåéòáîðä äâèæåòñÿ óæå â óñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè ñ âîçðàñ-
òàþùåé ñêîðîñòüþ, à àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìîíîòîííî ïî ìîäóëþ óáûâàåò.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ρ2 (0) < 0 çà âðåìÿ ýâîëþöèè äâèæåíèÿ îäèí ðàç ïðîèñ-
õîäèò ñìåíà íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ñêåéòáîðäà ñ ïîñòîÿí-
íîé ñêîðîñòüþ. Àíàëîãè÷íûå íåëèíåéíûå ýôôåêòû (â ÷àñòíîñòè, ñìåíà íà-
ïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ) íàáëþäàëèñü ðàíüøå è â äðóãèõ çàäà÷àõ íåãîëîíîìíîé
ìåõàíèêè (íàïðèìåð, â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å î äâèæåíèè �êåëüòñêîãî êàìíÿ�
[7, 8]). Ýòèì åùå ðàç ìîæíî ïîä÷åðêíóòü ñâÿçü ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñ
êëàññè÷åñêèìè çàäà÷àìè äèíàìèêè íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì.
Ãðàôèêè ôóíêöèé ρ1 è ρ2 îò âðåìåíè, êàê â ñëó÷àÿõ n1 > 0, n2 ≤ 1, òàê
è â ñëó÷àÿõ n1 < 0, n2 ≤ 1, ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5�8.
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì γ, u, ìû ìîæåì íàïèñàòü
γ = ρ1
(
sinσ − B
4EΩ
ρ2 cosσ
)
, γ̇ = Ωρ1
(
cosσ − B
4EΩ
ρ2 sinσ
)
,
u = ρ2 − BΩ
2A
ρ2
1 sinσ cosσ.
Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ôóíêöèé u è γ îò âðåìåíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 9�12.
Îíè åùå ðàç ïîäòâåðæäàþò ñäåëàííûå íàìè âûâîäû î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ
ñêåéòáîðäà ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ â óñòîé÷èâîì è íåóñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèÿõ.
119
À.Â. Êðåìíåâ, À.Ñ. Êóëåøîâ
Ðèñ. 5. Ãðàôèê ôóíêöèè ρ1
â ñëó÷àå n1 > 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 6. Ãðàôèê ôóíêöèè ρ2
â ñëó÷àå n1 > 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 7. Ãðàôèê ôóíêöèè ρ1
â ñëó÷àå n1 < 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 8. Ãðàôèê ôóíêöèè ρ2
â ñëó÷àå n1 < 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 9. Ãðàôèê ñêîðîñòè u â ñëó÷àå
n1 > 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 10. Çàâèñèìîñòü óãëà γ îò âðåìåíè
â ñëó÷àå n1 > 0, n2 ≤ 1.
120
Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïðîñòåéøåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà
Ðèñ. 11. Ãðàôèê ñêîðîñòè u
â ñëó÷àå n1 < 0, n2 ≤ 1.
Ðèñ. 12. Çàâèñèìîñòü óãëà γ îò âðåìåíè
â ñëó÷àå n1 < 0, n2 ≤ 1.
Òàêîâû íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàññìîòðåííîé íàìè ïðîñòåéøåé ìîäåëè
ñêåéòáîðäà ñî ñòîÿùèì íà íåì ðàéäåðîì ïðè äâèæåíèè ïî ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (07�01�00290), ãðàí-
òà �Íàó÷íûå øêîëû� (ÍØ�6667.2006.1).
1. Hubbard M. Lateral Dynamics and Stability of the Skateboard // J. Appl. Mech. � 1979. �
46. � P. 931�936.
2. Hubbard M. Human Control of the Skateboard // J. of Biomech. � 1980. � 13. � P. 745�754.
3. Kuleshov A.S. Mathematical Model of the Skateboard // Proc. of XXIV Int. Symp. on
Biomech. in Sports. � Salzburg, 2006. � 2 � P. 715�719.
4. Êóëåøîâ À.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñêåéòáîðäà ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû // Äîêë.
ÐÀÍ. � 2007. � 414, No 3. � Ñ. 330�333.
5. Êðåìíåâ À.Â., Êóëåøîâ À.Ñ. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà è óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ïðîñòåé-
øåé ìîäåëè ñêåéòáîðäà. � Ì.: Èçä-âî Ìåõ.-ìàò. ô-òà ÌÃÓ, 2007. � 104 ñ.
http://akule.pisem.net/Kuleshov.pdf
6. �Osterling A.E. MAS 3030. On the skateboard, kinematics and dynamics. � School of
Mathematical Sciences. � University of Exeter. UK, 2004. � 45 p.
http://akule.pisem.net/theSkateboard.pdf
7. Àñòàïîâ È.Ñ. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ êåëüòñêîãî êàìíÿ // Âåñòí. Ìîñê. ãîñ. óí-òà.
Ñåð. 1. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. � 1980. � No 2. � Ñ. 97�100.
8. Ìàðêååâ À.Ï. Î äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè // Ïðè-
êë. ìàòåìàòèêà è ìåçàíèêà. � 1983. � 47, âûï. 4. � Ñ. 575�582.
9. Áðþíî À.Ä. Ëîêàëüíûé ìåòîä íåëèíåéíîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. �
Ì.: Íàóêà. � 1979. � 256 ñ.
ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
avkremen@mail.ru
kuleshov@mech.math.msu.su
Ïîëó÷åíî 18.09.07
121
|