Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения
Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005), посвящена исследованию гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, которая возникает на критическом подмногообразии фазового пространства волчка Ковалевской в двойном силовом поле и обобщает семейство особо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27982 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 20-30. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27982 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Харламов, М.П. 2011-10-25T16:28:21Z 2011-10-25T16:28:21Z 2008 Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 20-30. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27982 531.38 Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005), посвящена исследованию гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, которая возникает на критическом подмногообразии фазового пространства волчка Ковалевской в двойном силовом поле и обобщает семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота классической задачи. Введены вещественные переменные u1, u2, в которых уравнения движения разделяются. Даны алгебраические выражения через u1, u2 исходных фазовых переменных. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения |
| spellingShingle |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения Харламов, М.П. |
| title_short |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения |
| title_full |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения |
| title_fullStr |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения |
| title_full_unstemmed |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения |
| title_sort |
обобщение 4-го класса аппельрота: аналитические решения |
| author |
Харламов, М.П. |
| author_facet |
Харламов, М.П. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 35, 2005), посвящена исследованию гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, которая возникает на критическом подмногообразии фазового пространства волчка Ковалевской в двойном силовом поле и обобщает семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельрота классической задачи. Введены вещественные переменные u1, u2, в которых уравнения движения разделяются. Даны алгебраические выражения через u1, u2 исходных фазовых переменных.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27982 |
| citation_txt |
Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 20-30. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp obobŝenie4goklassaappelʹrotaanalitičeskierešeniâ |
| first_indexed |
2025-11-26T13:49:05Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:49:05Z |
| _version_ |
1850623702518988800 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. М.П. Харламов
ОБОБЩЕНИЕ 4-ГО КЛАССА АППЕЛЬРОТА:
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 35,
2005), посвящена исследованию гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, ко-
торая возникает на критическом подмногообразии фазового пространства волчка Кова-
левской в двойном силовом поле и обобщает семейство особо замечательных движений
4-го класса Аппельрота классической задачи. Введены вещественные переменные u1, u2, в
которых уравнения движения разделяются. Даны алгебраические выражения через u1, u2
исходных фазовых переменных.
Введение. Семейство траекторий волчка Ковалевской в двойном сило-
вом поле, обобщающее 4-й класс Аппельрота критических движений волчка в
поле силы тяжести, изучалось в работе [1] с точки зрения бифуркаций и мно-
жества допустимых значений двух почти всюду независимых первых инте-
гралов в инволюции. В [1] анонсирована возможность разделения переменных
для этой системы. В данной статье эта возможность реализуется. Ввиду ис-
пользования многих формул работы [1], для экономии места будем ссылаться
на них по номерам, снабжая такие ссылки индексом 1, например, (281) озна-
чает формулу (28) работы [1]. Таким образом, рассматривается динамическая
система, заданная в пространстве переменных ωj , αj , βj (j = 1, 2, 3) уравне-
ниями Эйлера–Пуассона (11) и ограниченная на инвариантное подмножество
O, заданное в R9 тремя геометрическими интегралами (21) с условием (31)
и двумя инвариантными соотношениями (61). В окрестности точки общего
положения dimO = 4, однако, гладкость O нарушается в точках, заданных
уравнениями (71). Исключая эти точки из O, получим четырехмерное мно-
гообразие O∗, инвариантное относительно системы (11).
В дальнейшем используем комплексные фазовые переменные (i 2 = −1):
x1 = (α1 − β2) + i (α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i (α2 + β1),
y1 = (α1 + β2) + i (α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i (α2 − β1),
z1 = α3 + i β3, z2 = α3 − i β3,
w1 = ω1 + i ω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3 .
(1)
Как показано в [1], система дифференциальных уравнений (11), ограни-
ченная на O∗, имеет два почти всюду независимых первых интеграла в ин-
волюции S и T, которые в переменных (1) запишутся в виде
S = −1
4
(y2w1 + x1w2 + z1w3
w1
+
x2w1 + y1w2 + z2w3
w2
)
,
T =
1
2
[w1(x2w1 + y1w2 + z2w3) + w2(y2w1 + x1w2 + z1w3)] + x1x2 + z1z2.
(2)
20
Обобщение 4-го класса Аппельрота
Обозначив постоянные этих интегралов через s и τ соответственно, напомним
введенные в [1] обозначения параметров p > 0, r > 0, σ, χ > 0
p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2, σ = τ2 − 2p2τ + r4, 4s2χ2 = σ + 4s2τ (3)
и переменных x, µ1, µ2, ξ, µ
x2 = x1x2, µ1 = r2x1 − τy1, µ2 = r2x2 − τy2, (4)
ξ = x1x2 + z1z2 − τ, µ2 = µ1µ2. (5)
В [1] показано, что для траекторий на интегральном многообразии
Js,τ = {ζ ∈ O∗ : S(ζ) = s,T(ζ) = τ}
имеет место тождество
µ2 = τξ2 + σx2 − τσ. (6)
Поверхность Γ, заданная этим уравнением в пространстве R3(x, ξ, µ), в си-
лу (3) зависит только от постоянной τ . При всех допустимых τ она являет-
ся однополостным гиперболоидом. Оказалось, что образ связной компоненты
множества Js,τ (в регулярном случае – двумерного тора Лиувилля) на Γ огра-
ничен прямолинейными образующими этой поверхности. В связи с этим в [1]
формулируется гипотеза – в системе локальных координат (u, v) на Γ, по-
рожденных семействами прямолинейных образующих, уравнения движения
разделяются. Явное нахождение соответствующих уравнений и зависимости
фазовых переменных от u, v оказалось технически весьма сложным. Полно-
стью этот результат представлен в работе [2]. В полученных уравнениях вида
f(u, v)
du
dt
=
1
u
√
Q(u), f(u, v)
dv
dt
=
1
v
√
Q(v)
многочлен Q имеет восьмую степень. Кроме того, при различных значениях
τ переменные u, v могут быть как вещественными, так и комплексными. В
[2] предложена дополнительная замена, которая понижает степень подкорен-
ного многочлена до шестой. При этом вопрос вещественности новых вспомо-
гательных переменных не решен и явные зависимости от них исходных фа-
зовых переменных не получены. В настоящей статье вводятся вещественные
переменные, в которых уравнения движения разделяются. Выписаны явные
формулы для исходных фазовых переменных.
1. Параметрические уравнения для фазовых переменных.На дву-
мерном интегральном многообразии фазовые переменные (1) могут быть вы-
ражены через две вспомогательные переменные, в качестве которых на пер-
вом этапе примем x, ξ. Геометрические интегралы (21) запишем в виде
z2
1 = r2 − x1y2, z2
2 = r2 − x2y1, (7)
2z1z2 = 2p2 − x1x2 − y1y2, (8)
21
М.П. Харламов
а из уравнений (301), (311) с учетом обозначений (5) получим1
(µ1 − 2sτ) + (µ2 − 2sτ) =
ξ2
2s
− 2s(x2 + χ2),
(µ1 − 2sτ)(µ2 − 2sτ) = 4s2χ2x2.
Отсюда
µ1 = 2sτ +
1
8s
(
√
Ψ1 −
√
Ψ2)2, µ2 = 2sτ +
1
8s
(
√
Ψ1 +
√
Ψ2)2, (9)
где обозначено
Ψ1(x, ξ) = ξ2 − 4s2(x + χ)2, Ψ2(x, ξ) = ξ2 − 4s2(x− χ)2.
Дополним три уравнения (4) уравнением y1y2 = 2p2− 2(ξ + τ) + x2, выте-
кающим из (8). Из этой системы с учетом (9) находим
x1 =
2s
r2
4r4(x2 − τ) + τ(
√
Φ1 +
√
Φ2)2
16s2τ + (
√
Ψ1 +
√
Ψ2)2
,
x2 =
2s
r2
4r4(x2 − τ) + τ(
√
Φ1 −
√
Φ2)2
16s2τ + (
√
Ψ1 −
√
Ψ2)2
,
(10)
y1 = 2s
4[2τξ − τ(x2 − τ) + σ]− (
√
Φ1 −
√
Φ2)2
16s2τ + (
√
Ψ1 +
√
Ψ2)2
,
y2 = 2s
4[2τξ − τ(x2 − τ) + σ]− (
√
Φ1 +
√
Φ2)2
16s2τ + (
√
Ψ1 −
√
Ψ2)2
,
(11)
где
Φ1(x, ξ) = (ξ+τ+r2)2−2(p2+r2)x2, Φ2(x, ξ) = (ξ+τ−r2)2−2(p2−r2)x2. (12)
Подстановка зависимостей (10), (11) в (7) дает
z1 =
1
2r
(
√
Φ1 +
√
Φ2), z2 =
1
2r
(
√
Φ1 −
√
Φ2). (13)
В результате получены выражения для конфигурационной группы перемен-
ных. Знаки радикалов в формулах (10), (11), (13) произвольны, но согласо-
ваны.
1Отметим, что в соответствующей системе (331) имеется опечатка в первом уравнении,
не повлиявшая на дальнейшие вычисления.
22
Обобщение 4-го класса Аппельрота
Для нахождения переменных wi, отвечающих за компоненты угловой ско-
рости, воспользуемся уравнениями (41) для общих интегралов K, H и выра-
жениями (181) их постоянных через s, τ . В переменных (1) с учетом обозна-
чений (3) имеем
K = (w2
1 + x1)(w2
2 + x2) = χ2, (14)
H =
1
2
w2
3 + w1w2 − 1
2
(y1 + y2) = s +
p2 − τ
2s
. (15)
Из (14), (2) получаем
x2w
2
1 + x1w
2
2 = − 1
4s2
[ξ2 + 4s2(x2 − χ2)], w1w2 =
ξ
2s
. (16)
Отсюда
w1 =
i
4s
√
x2
(
√
Θ1 +
√
Θ2), w2 =
i
4s
√
x1
(
√
Θ1 −
√
Θ2), (17)
где
Θ1(x, ξ) = (ξ − 2sx)2 − 4s2χ2, Θ2(x, ξ) = (ξ + 2sx)2 − 4s2χ2. (18)
Интегральное соотношение (15) с подстановкой y1, y2 из (11) и w1w2 из вто-
рого уравнения (16) дает
w2
3 =
1
4sµ2
[P −
√
Φ1Φ2Ψ1Ψ2], (19)
где
P = 4s2(x2 − χ2)[2(τ − p2)x2 − τ2 + r4] + 8s2[(τ − 2χ2)x2 + τχ2]ξ−
− 2[(τ − p2 − 2s2)x2 + τ(p2 − 2s2)− r4]ξ2 − 2τξ3 − ξ4.
Обозначая
Q = (ξ + τ + 2s2 − p2)2 − 4s2x2 − (p2 − 2s2)2 + r4,
имеем тождество P 2−Φ1Φ2Ψ1Ψ2 = 4x2(τξ2 +σx2− τσ)Q2. Поэтому с учетом
уравнения (6) из (19) получим
w3 =
1
2
√
2sµ
(
√
P1 −
√
P2), (20)
где
P1 = P + 2xµQ, P2 = P − 2xµQ. (21)
Таким образом, соотношения (10), (11), (13), (17), (20) дают искомые за-
висимости всех переменных (1) от двух переменных x, ξ, принятых в качестве
промежуточных.
23
М.П. Харламов
2. Замена переменных. Удовлетворяя соотношению (6), которое теперь
является следствием найденных выражений для переменных, введем на по-
верхности Γ локальные координаты u1, u2 как корни квадратного уравнения
u2 − 2τξ
τ − x2
u +
τξ2 + σx2
τ − x2
= 0.
Его дискриминант в силу (6) неотрицателен, поэтому переменные u1, u2 ве-
щественны и могут быть записаны в виде
u1 =
τξ + xµ
τ − x2
, u2 =
τξ − xµ
τ − x2
. (22)
Разрешая (6), (22) относительно x, ξ, µ, получим
x =
√
τ(U1 − U2)
u1 + u2
, ξ =
u1u2 + σ + U1U2
u1 + u2
, µ =
√
τ(u2U1 + u1U2)
u1 + u2
, (23)
где обозначено
U1 =
√
u2
1 − σ, U2 =
√
u2
2 − σ. (24)
Сразу же отметим, что эти радикалы (вещественные или чисто мнимые в
зависимости от знака τ) рассматриваются как алгебраические, различные
сочетания знаков обеспечивают все возможные тройки значений x, ξ, µ в (23),
удовлетворяющие системе (6), (22) при заданных u1, u2.
Отметим непосредственно проверяемые соотношения
xµ =
u1 − u2
u1 + u2
τξ, (25)
(u1u2 + σ + U1U2)(u1u2 + σ − U1U2)
(u1 + u2)2
= σ, (26)
u1u2 + σ + U1U2
u1u2 − σ + U1U2
=
(U1 − U2)2
(u1 − u2)2
, (27)
позволяющее значительно упростить некоторые из последующих выкладок.
Вывод явных зависимостей фазовых переменных от u1, u2 начнем с вы-
ражения переменных µ1, µ2, определяющих знаменатели в (10), (11). Пусть
ψ = 16s2τ + Ψ1 + Ψ2. Согласно (9) имеем
µ1 =
1
8s
(ψ − 2
√
Ψ1Ψ2), µ2 =
1
8s
(ψ + 2
√
Ψ1Ψ2).
Из определения переменных следует тождество ψ2−4Ψ1Ψ2 = 64s2µ2, и можно
записать 2
√
Ψ1Ψ2 =
√
ψ + 8sµ
√
ψ − 8sµ. Поэтому
µ1 =
1
16s
(
√
ψ + 8sµ−
√
ψ − 8sµ)2, µ2 =
1
16s
(
√
ψ + 8sµ +
√
ψ − 8sµ)2.
24
Обобщение 4-го класса Аппельрота
При подстановке (23) находим
ψ + 8sµ =
4R2ϕ2
1ϕ
2
2
(u1 + u2)2
, ψ − 8sµ =
4R2ψ2
1ψ
2
2
(u1 + u2)2
,
где
ϕ1 =
√
2s
√
τ + U1, ϕ2 =
√
2s
√
τ + U2,
ψ1 =
√
2s
√
τ − U1, ψ2 =
√
2s
√
τ − U2.
Заметим, что последние обозначения являются промежуточными, знаки этих
радикалов на окончательные выражения фазовых переменных не влияют, а
существенным является новое обозначение алгебраического значения корня
R =
√
u1u2 + σ + U1U2. (28)
Теперь выражения для µ1, µ2 примут вид
µ1 =
R2(ϕ1ϕ2 − ψ1ψ2)2
4s(u1 + u2)2
, µ2 =
R2(ϕ1ϕ2 + ψ1ψ2)2
4s(u1 + u2)2
, (29)
или, в более развернутой форме,
µ1 =
R2(4s2τ + U1U2 − V1V2)
2s(u1 + u2)2
, µ2 =
R2(4s2τ + U1U2 + V1V2)
2s(u1 + u2)2
. (30)
Здесь введены обозначения алгебраических радикалов
V1 =
√
4s2χ2 − u2
1, V2 =
√
4s2χ2 − u2
2, (31)
знаки которых произвольны.
Найдем переменные x1, x2. В дополнение к (24), (28), (31) обозначим
M1 =
√
u1 + τ + r2, M2 =
√
u2 + τ + r2,
N1 =
√
u1 + τ − r2, N2 =
√
u2 + τ − r2.
(32)
Знаки этих величин также произвольны. Для многочленов (12) имеем
Φ1 =
2R2M2
1 M2
2
(u1 + u2)2
, Φ2 =
2R2N2
1 N2
2
(u1 + u2)2
. (33)
Пусть X = 4r4(x2−τ)+τ(Φ1+Φ2). Используя (33) и тождество (26), находим
X2 − 4τ2Φ1Φ2 =
16τ2r4(u1 − u2)2R4
(u1 + u2)4
.
25
М.П. Харламов
Cледовательно, 2τ
√
Φ1Φ2 =
√
X1X2, где
X1 = X +
√
X2 − 4τ2Φ1Φ2 =
4τR2N2
1 M2
2
(u1 + u2)2
,
X2 = X −
√
X2 − 4τ2Φ1Φ2 =
4τR2M2
2 N2
1
(u1 + u2)2
,
и для числителей в выражениях (10) получим
4r4(x2 − τ) + τ(
√
Φ1 ±
√
Φ2)2 =
1
2
(
√
X1 ±
√
X2)2.
Поэтому из (9), (10), (29) будем иметь
x1 =
2sτ
r2
(
M2N1 + M1N2
ϕ1ϕ2 + ψ1ψ2
)2
, x2 =
2sτ
r2
(
M2N1 −M1N2
ϕ1ϕ2 − ψ1ψ2
)2
. (34)
Эти же выражения в развернутой форме таковы
x1 =
2sτ
r2
(u1 + τ)(u2 + τ)− r4 + M1N1M2N2
4s2τ + U1U2 + V1V2
,
x2 =
2sτ
r2
(u1 + τ)(u2 + τ)− r4 −M1N1M2N2
4s2τ + U1U2 − V1V2
.
(35)
Зависимость переменных y1, y2 от u1, u2 можно получить из (11), но в дан-
ном случае удобнее воспользоваться определением (4) для µ1, µ2 и записать
τy1µ2 = r2x1µ2 − µ2, τy2µ1 = r2x2µ1 − µ2.
Отсюда с подстановкой (30), (35), (23) сразу же получаем
y1 = 2s
τ(u1 + u2 − 2p2 + 2τ)− U1U2 + M1N1M2N2
4s2τ + U1U2 + V1V2
,
y2 = 2s
τ(u1 + u2 − 2p2 + 2τ)− U1U2 −M1N1M2N2
4s2τ + U1U2 − V1V2
.
(36)
Выражения для z1, z2 находим из (13), (33):
z1 =
R√
2 r
M1M2 + N1N2
u1 + u2
, z2 =
R√
2 r
M1M2 −N1N2
u1 + u2
. (37)
Выразим переменные, связанные с компонентами угловой скорости. Вна-
чале найдем зависимость для w3. Используя тождество (26), представим по-
линомы P,Q в виде
P =
4ξ2
(u1 + u2)2
P̃ , Q =
2ξ
u1 + u2
Q̃,
26
Обобщение 4-го класса Аппельрота
где
P̃ = −(u2
1 − r4)(u2
2 − r4) + τ [(2s2 − u2)u2
1 + (2s2 − u1)u2
2 − p2(u2
1 + u2
2)+
+ r4(u1 + u2 − 4s2 + 2p2)] + 2τ2(2s2 − p2)(u1 + u2)+
+ τ3(u1 + u2 + 4s2 − 2p2) + τ4,
Q̃ = u1u2 + (2s2 − p2)(u1 + u2) + r4 + τ(u1 + u2 + 4s2 − 2p2) + τ2.
С учетом обозначений (31), (32) для функций (21) получим
P1 =
4ξ2
(u1 + u2)2
M2
1 N2
1 V 2
2 , P2 =
4ξ2
(u1 + u2)2
M2
2 N2
2 V 2
1 .
Тогда из (20), используя тождество (25), найдем
w3 =
U1 − U2√
2sτ
M2N2V1 −M1N1V2
u2
1 − u2
2
=
1√
2sτ
M2N2V1 −M1N1V2
U1 + U2
. (38)
Найдем выражения для w1, w2. Заметим, что формально в слагаемых чис-
лителя (38) можно расставить знаки как угодно, поскольку в формулах для
xi, yi, zi фигурирует лишь произведение V1V2. Выбрав запись в виде (38) и
желая применить формулы (17), мы должны указать правила, определяю-
щие знаки радикалов
√
Θ1,
√
Θ2 так, чтобы получить все их комбинации,
удовлетворяющие вместе с (38) системе трех линейных по wi уравнений в со-
ставе уравнений (221). При этом, поскольку в силу однородности системы ее
определитель должен равняться нулю (уравнение (301)), можно ограничиться
проверкой двух из этих уравнений, например,
(y2 + 2s)w1 + x1w2 + z1w3 = 0,
x2w1 + (y1 + 2s)w2 + z2w3 = 0.
(39)
Из (34) запишем
√
x1 =
√
2sτ
r
M2N1 + M1N2
ϕ1ϕ2 + ψ1ψ2
,
√
x2 =
√
2sτ
r
M2N1 −M1N2
ϕ1ϕ2 − ψ1ψ2
.
Здесь формальные знаки выражений выбраны так, чтобы выполнялось необ-
ходимое условие
√
x1
√
x2 ≡ x, где величина x определена согласно (23). Для
многочленов Θ1,Θ2 уравнения (18) и (23) дают (u1 + u2)2Θ1 = −2R2ϕ2
1ψ
2
2,
(u1 + u2)2Θ2 = −2R2ψ2
1ϕ
2
2, поэтому, вводя ε1,2 = ±1, можно записать
(u1 + u2)
√
Θ1 = i ε1
√
2Rϕ1ψ2, (u1 + u2)
√
Θ2 = i ε2
√
2Rψ1ϕ2.
Тогда из (17)
w1 =
rR
4s
√
sτ
(ε2ϕ
2
2 − ε1ψ
2
2)V1 + (ε1ϕ
2
1 − ε2ψ
2
1)V2
(u1 + u2)(M1N2 −M2N1)
,
w2 =
rR
4s
√
sτ
(ε2ϕ
2
2 − ε1ψ
2
2)V1 − (ε1ϕ
2
1 − ε2ψ
2
1)V2
(u1 + u2)(M1N2 + M2N1)
.
27
М.П. Харламов
Выберем ε2 = −ε1. Получим выражения
w1 = ± rR√
s(u1 + u2)
V1 − V2
M2N1 −M1N2
, w2 = ∓ rR√
s(u1 + u2)
V1 + V2
M2N1 + M1N2
,
не удовлетворяющие (39) ни при каком выборе знаков. Для ε1 = ε2 = ε из
двух вариантов ε = ±1 с (38), (39) оказывается совместен только один
w1 =
r(U1V2 + U2V1)R
2s
√
sτ(u1 + u2)(M2N1 −M1N2)
, w2 =
r(U1V2 − U2V1)R
2s
√
sτ(u1 + u2)(M2N1 + M1N2)
.
(40)
Итак, формулы (35), (36), (37), (38) и (40) в алгебраической форме опреде-
ляют значения комплексных координат (1) для заданных u1, u2 с точностью
до выбора знаков следующих радикалов
L =
√
sτ , R, U1, U2, V1, V2, M1, M2, N1, N2, (41)
значения которых могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми.
Знаки подкоренных выражений радикалов (41), а следовательно, и области
изменения вспомогательных переменных, определяются требованием веще-
ственности переменных αj , βj , ωj (j = 1, 2, 3) в (1).
3. Уравнения движения. Для вывода дифференциальных уравнений,
которым подчинены переменные u1, u2, используем в качестве промежуточ-
ных переменные s1, s2, фигурирующие в [1] при исследовании областей воз-
можности движения:
s1 =
x2 + z2 + r2
2x
=
ξ + τ + r2
2x
, s2 =
x2 + z2 − r2
2x
=
ξ + τ − r2
2x
. (42)
Их производные в силу системы (11) имеют вид (см. также [3])
ds1
dt
= i
r2
4x3
(z1 + z2)(x1w2 − x2w1),
ds2
dt
= i
r2
4x3
(z1 − z2)(x1w2 + x2w1). (43)
С другой стороны, запишем
ds1
dt
=
∂s1
∂u1
du1
dt
+
∂s1
∂u2
du2
dt
,
ds2
dt
=
∂s2
∂u1
du1
dt
+
∂s2
∂u2
du2
dt
. (44)
В подстановке (23) из (42) найдем
∂s1
∂u1
= −u1u2 − σ + U1U2
2
√
τ(u1 − u2)2
M2
2
U1
,
∂s1
∂u2
=
u1u2 − σ + U1U2
2
√
τ(u1 − u2)2
M2
1
U2
,
∂s2
∂u1
= −u1u2 − σ + U1U2
2
√
τ(u1 − u2)2
N2
2
U1
,
∂s2
∂u2
=
u1u2 − σ + U1U2
2
√
τ(u1 − u2)2
N2
1
U2
.
(45)
28
Обобщение 4-го класса Аппельрота
Из (44), (45) находим
du1
dt
=
√
τ(u1 − u2)U1
r2(u1u2 − σ + U1U2)
(M2
1
ds2
dt
−N2
1
ds1
dt
),
du2
dt
=
√
τ(u1 − u2)U2
r2(u1u2 − σ + U1U2)
(M2
2
ds2
dt
−N2
2
ds1
dt
).
(46)
Выразим через u1, u2 значения (43), используя (23), (35), (37), (40). Получим
ds1
dt
= i
(u1u2 + σ + U1U2)M1M2(M1N2V2 −M2N1V1)
2
√
2s τ(U1 − U2)2(u1 − u2)
,
ds2
dt
= i
(u1u2 + σ + U1U2)N1N2(M2N1V2 −M1N2V1)
2
√
2s τ(U1 − U2)2(u1 − u2)
.
Подставляя эти выражения в (46), учтем отмеченное ранее соотношение (27).
После очевидных преобразований приходим к системе уравнений типа
С.В.Ковалевской
(u1 − u2)
du1
dt
=
√
1
2sτ
(4s2χ2 − u2
1)(u
2
1 − σ)[r4 − (u1 + τ)2] ,
(u1 − u2)
du2
dt
=
√
1
2sτ
(4s2χ2 − u2
2)(u
2
2 − σ)[r4 − (u2 + τ)2] .
(47)
Ввиду вещественности переменных u1, u2, для всех найденных в [1] областей
в плоскости констант интегралов s, τ , отвечающих различным типам инте-
гральных многообразий, качественный характер траекторий в переменных
u1, u2 легко устанавливаются.
4. Сводка формул для исходных фазовых переменных. Обращая
замену (1), из формул (35), (36), (37) найдем выражения для вещественных
конфигурационных переменных αj , βj (j = 1, 2, 3):
α1 =
(A− r2U1U2)(4s2τ + U1U2)− (τ + r2)M1N1M2N2V1V2
4r2s τ(U1 + U2)2
,
α2 = i
(A− r2U1U2)V1V2 − (4s2τ + U1U2)(τ + r2)M1N1M2N2
4r2s τ(U1 + U2)2
,
α3 =
R
r
√
2
M1M2
u1 + u2
,
(48)
β1 = i
(B + r2U1U2)V1V2 − (4s2τ + U1U2)(τ − r2)M1N1M2N2
4r2s τ(U1 + U2)2
,
β2 = −(B + r2U1U2)(4s2τ + U1U2)− (τ − r2)M1N1M2N2V1V2
4r2s τ(U1 + U2)2
,
β3 = −i
R
r
√
2
N1N2
u1 + u2
.
(49)
29
М.П. Харламов
Здесь для сокращения записи введены обозначения
A = [(u1 + τ + r2)(u2 + τ + r2)− 2(p2 + r2)r2]τ,
B = [(u1 + τ − r2)(u2 + τ − r2) + 2(p2 − r2)r2]τ.
Отметим, что, в силу приведения силовых полей к ортогональной паре [4], вы-
ражения (48), (49) проекций на связанные оси неподвижных в пространстве
векторов α,β полностью определяют 3×3-матрицу
∥∥α/a β/b (α× β)/ab
∥∥
направляющих косинусов подвижных осей относительно естественным обра-
зом выбранного неподвижного базиса.
Для угловых скоростей ωj (j = 1, 2, 3) из (1), (38), (40) найдем:
ω1 =
R
4rs
√
s τ
M2N1U1V2 + M1N2U2V1
u2
1 − u2
2
,
ω2 = − i R
4rs
√
s τ
M2N1U2V1 + M1N2U1V2
u2
1 − u2
2
,
ω3 =
1√
2sτ
M2N2V1 −M1N1V2
U1 + U2
.
(50)
Интервалы изменения переменных u1, u2 при заданных константах инте-
гралов s, τ определяются, как отмечалось, требованием вещественности всех
исходных фазовых переменных. Формулы (48), (49), (50) определяют мно-
гозначные зависимости этих переменных от u1, u2 при фиксированных кон-
стантах первых интегралов. Многозначность диктуется выборами знаков ра-
дикалов (41). Изменение знаков вещественных или чисто мнимых величин
(41) может дать ту же самую точку интегрального многообразия Js,τ или
другую точку на той же компоненте связности Js,τ , или же точку на другой
компоненте связности. Количество компонент связности интегрального мно-
гообразия определяется структурой областей изменения u1, u2 и количеством
независимых групп радикалов, которые вдоль соответствующей траектории
уравнений (47) не меняют своего знака (аналогичная, но существенно более
простая ситуация имеет место в случае, изученном в работе [3]). Подробное
исследование всех возникающих здесь вариантов даст описание фазовой то-
пологии рассматриваемого решения в регулярных случаях.
1. Харламов М.П. Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота // Ме-
ханика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 38–48.
2. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений
и разделение переменных // Нелинейная динамика. – 2006. – 2, № 4. – С. 453–472.
3. Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообразия
в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр. математ.
вестник. – 2004. – 1, вып. 4. – С. 548–565.
4. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движе-
нии волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34.
– С. 47–58.
Академия гос. службы, Волгоград, Россия
mharlamov@vags.ru
Получено 01.08.07
30
|