Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром
Постановка задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных сферическим и неголономным шарнирами, дана в работе [1]. В работах [1-3] найдены точные решения задачи. В работе [4] получены уравнения аксоидов для этой задачи. В статье для уравнений движения механической системы, рассмотренной в р...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27985 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859695459646308352 |
|---|---|
| author | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| author_facet | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| citation_txt | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Постановка задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных сферическим и неголономным шарнирами, дана в работе [1]. В работах [1-3] найдены точные решения задачи. В работе [4] получены уравнения аксоидов для этой задачи. В статье для уравнений движения механической системы, рассмотренной в работе [1], найдено частное решение.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:45:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О ДВИЖЕНИИ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА,
СОЧЛЕНЕННЫХ НЕГОЛОНОМНЫМ ШАРНИРОМ
Постановка задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных сферическим и
неголономным шарнирами, дана в работе [1]. В работах [1–3] найдены точные решения
задачи. В работе [4] получены уравнения аксоидов для этой задачи. В статье для уравнений
движения механической системы, рассмотренной в работе [1], найдено частное решение.
Исходные соотношения. Приведем вначале три дифференциальных
уравнения и одно алгебраическое из работы 1 [1]: (38)*, (39)*, (34)*, (37)*:
(ξ +1)[H(Ω2−ω2 cos θ)− (A0n+Nn0) sin θ] = 2[Hω′2− (Nn0 +A0n
′
0 sin θ)] sin θ,
(1)
(ξ−1)[H(Ω2 cos θ−ω2)− (An0 +Nn) sin θ] = 2[HΩ′2−N(n′0 sin θ−n)] sin θ, (2)
n′ = −n′0 cos θ, (3)
ω2 sin θ =
n
J
cos θ − n0
J0
. (4)
Здесь A,A0 – экваториальные моменты инерции тел, J, J0 – осевые моменты
инерции тел, N = mm0ll0/(m + m0) – параметр, имеющий размерность мо-
мента инерции, H = AA0−N2 > 0, штрихом обозначено дифференцирование
по θ.
Построение решения. Зададим инвариантное соотношение в виде
ξ = 1, (5)
при этом из уравнения (2) имеем
HΩ′2 −N(n′0 sin θ − n) = 0. (6)
Внесем сюда выражение n′ из (3), получим
HΩ′2 + N(n + n′ tg θ) = 0. (7)
Примем ограничение
N = 0, (8)
из (7) находим
Ω2 = C, (9)
1Звездочкой будем снабжать формулы работы [1].
63
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
где C – постоянная интегрирования.
Подставив (5), (8), (9) в (1), получим уравнение
A(ω2 sin θ)′ = AC − n sin θ + n′0 sin2 θ, (10)
которое, вследствие (3), (4), принимает вид
(
A
J
cos2 θ +
A
J0
+ sin2 θ
)
n′ +
(
1− A
J
)
n sin θ cos θ = AC cos θ (11)
и может быть проинтегрировано без ограничений на параметры A, J, J0, C:
n(θ) = e
∫
P (θ)dθ
(
C2 +
∫
Q(θ)e−
∫
P (θ)dθdθ
)
. (12)
Здесь
P (θ) =
(A/J − 1) sin θ cos θ
A/J0 + (A/J) cos2 θ + sin2 θ
,Q(θ) =
AC cos θ
A/J0 + (A/J) cos2 θ + sin2 θ
.
(13)
Отметим, что
A
J0
+
A
J
cos2 θ + sin2 θ > 0, e
∫
P (θ)dθ =
1√
A/J0 + (A/J) cos2 θ + sin2 θ
.
Теперь из (12) находим:
n(θ) =
1√
A/J0 + (A/J) cos2 θ + sin2 θ
×
(14)
×
(
C2 + AC
∫
d sin θ√
A/J0 + A/J + (1−A/J) sin2 θ
)
.
Если A = J , то
n(θ) =
1√
A/J0 + 1
(
C2 +
AC sin θ√
A/J0 + 1
)
. (15)
Если же A 6= J , то
∫
d sin θ√
A/J0 + A/J + (1−A/J) sin2 θ
=
=
1√
1−A/J
arcsin
√
(A− J)J0
A(J + J0)
sin θ, если A > J,
1√
1−A/J
arsh
√
(J −A)J0
A(J + J0)
sin θ, если A < J.
64
Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа
Подробно рассмотрим случай
C = 0. (16)
При этом зависимость n(θ), как следует из (14), такова:
n(θ) =
C2√
A/J0 + 1 + (A/J − 1) cos2 θ
. (17)
Введем новые параметры C∗, b∗ с целью сокращения записи
C2 =
√
A/J0 + 1JC∗, (18)
A/J − 1 = b∗(A/J0 + 1). (19)
Отметим, что b∗ > 0 при A > J , в противном случае b∗ < 0. Случай A = J
приведет к постоянному значению переменной n, его не рассматриваем.
С учетом (18), (19) переменная (17) примет вид
n(θ) =
JC∗√
1 + b∗ cos2 θ
. (20)
Условие (16) означает, что
Ω2 = 0. (21)
Подставим (20) в (3) и проинтегрируем, найдем
n0(θ) =
JC∗b∗ cos θ√
1 + b∗ cos2 θ
. (22)
Внеся (20), (22) в соотношение (4), определим
ω2(θ) =
JC∗(1 + b∗)
A
√
1 + b∗ cos2 θ
ctgθ. (23)
Таким образом, на инвариантном соотношении (5) найдены выражения
(20)–(23) для четырех переменных задачи. Компоненты угловых скоростей
ω3, Ω3 находим из соотношений (11)*
ω3(θ) sin θ = Ω2 − ω2 cos θ, (24)
Ω3(θ) sin θ = Ω2 cos θ − ω2. (25)
Подставив в (24), (25) соотношения (21), (23), получим
ω3(θ) = − JC∗(1 + b∗)
A
√
1 + b∗ cos2 θ
ctg2θ, (26)
65
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Ω3(θ) = − JC∗(1 + b∗)
A
√
1 + b∗ cos2 θ
ctg2θ sin θ. (27)
Для определения первых компонент угловых скоростей воспользуемся соот-
ношениями (28)*
ω1 = (ξ + 1)κ, Ω1 = (ξ − 1)κ, (28)
они на инвариантном соотношении (5) принимают вид
ω1(θ) = 2κ, (29)
Ω1(θ) = 0. (30)
Условие (30) вместе с (21) означают, что угловая скорость тела S0 направлена
по оси динамической симметрии
Ω =
n0
J0
e∗3 =
n0
J0
e3. (31)
Для определения κ (а, следовательно, и ω1(θ) ) воспользуемся интегралом
(13)*
G2
1 + G2
2 + G2
3 = g2, (32)
G1 = (A−N cos θ)ω1(θ) + (A0 −N cos θ)Ω1(θ),
G2 = (A−N cos θ)ω2(θ) + (A0 cos θ −N)Ω2(θ)− n0(θ) sin θ, (33)
G3 = (A0Ω2(θ)−Nω2(θ)) sin θ + n(θ) + n0(θ) cos θ.
Представим компоненты момента количества движения с учетом (8), (21),
(30), (29):
G1 = 2Aκ, G2 = Aω2 − n0 sin θ, G3 = n + n0 cos θ. (34)
Внесем их в интеграл (32)
4A2κ2 = g2 − (A2ω2
2 − 2An0ω2 sin θ + n2 + n2
0 + 2nn0 cos θ). (35)
Подставив (20), (22), (23) в (35), получим
2Aκ sin θ =
√
g2 sin2 θ − J2C2∗ (1 + b∗ cos2 θ). (36)
Вместо θ введем новую переменную
u = cos θ, (37)
тогда
u̇ = −θ̇ sin θ. (38)
Вследствие (31)*
θ̇ = −2κ, (39)
66
Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа
находим
u̇ = 2κ sin θ. (40)
Запишем уравнение (36) с учетом (40), (37)
A
g
u̇ =
√
1− J2C2∗/g2 − (1 + J2C2∗b∗/g2)u2. (41)
Из него найдем зависимость времени t от u
g
A
(t− t0) =
∫
du√
1− J2C2∗/g2 − (1 + J2C2∗b∗/g2)u2
. (42)
Так как выражения 1− J2C2∗/g2, 1 + J2C2∗b∗/g2 могут иметь разные знаки,
необходимо рассмотреть три варианта.
Первый из них
1− J2C2
∗/g2 > 0, 1 + J2C2
∗b∗/g2 > 0. (43)
Введем новые безразмерные параметры ε и a∗
J2C2
∗ = g2 sin2 ε, A = a∗J (44)
и безразмерное время
t∗ =
g
A
(t− t0), (45)
тогда зависимость времени t∗ от θ, как следует из (42) с учетом (43), (44),
такова
cos θ =
cos ε
ν
sin νt∗, (46)
где
ν =
√
1 + b∗ sin2 ε. (47)
Второй вариант интегрируемости
1− J2C2
∗/g2 > 0, 1 + J2C2
∗b∗/g2 < 0. (48)
С учетом обозначений (44) эти ограничения запишем в виде
cos2 ε > 0, 1 + b∗ sin2 ε = −γ2
∗ < 0, (49)
и из (42) получим
cos θ =
et∗γ − e−t∗γ cos2 ε
2γ
. (50)
Для третьего варианта
1− J2C2
∗/g2 < 0, 1 + J2C2
∗b∗/g2 < 0 (51)
67
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
вводим обозначение
J2C2
∗ = g2/ cos2 ε∗, (52)
при котором ограничения (51) примут вид
tg2ε∗ > 0, 1 + b∗/ cos2 ε∗ < 0. (53)
Выполнив интегрирование в (42), находим
cos θ =
eT + e−T sin2 ε
2σ
, (54)
где
σ2 = −(b∗ + cos2 ε), T =
σt∗
cos ε∗
. (55)
Таким образом, получены решения, явно зависящие от времени. С учетом
ограничений (43), (5), (8), (16), соотношения (46) и обозначений (44), (45),
(47) компоненты (20)–(23), (26), (27), (29), (36), (30) угловых скоростей тел в
полуподвижных осях имеют вид
ω1(t∗) =
g
A
cos ε
√
ν2 − (1 + b∗ sin2 ε) sin2 νt∗√
ν2 − cos2 ε sin2 νt∗
, (56)
ω2(t∗) =
g
A
ν(1 + b∗) sin ε cos ε sin νt∗√
ν2 + b∗ cos2 ε sin2 νt∗
√
ν2 − cos2 ε sin2 νt∗
, (57)
ω3(t∗) = − g
A
ν(1 + b∗) sin ε cos2 ε sin2 νt∗
(ν2 − cos2 ε sin2 νt∗)
√
ν2 + b∗ cos2 ε sin2 νt∗
, (58)
n(t∗) =
gν sin ε√
ν2 + b∗ cos2 ε sin2 νt∗
, (59)
Ω1(t∗) = 0, (60)
Ω2(t∗) = 0, (61)
Ω3(t∗) = − g
A
ν2(1 + b∗) sin ε cos ε sin νt∗
(ν2 − cos2 ε sin2 νt∗)
√
ν2 + b∗ cos2 ε sin2 νt∗
, (62)
n0(t∗) =
gb∗ sin ε cos ε sin νt∗√
ν2 + b∗ cos2 ε sin2 νt∗
. (63)
Для определения углов ϕ, Φ собственных вращений тел воспользуемся урав-
нениями (2)*, (3)*
ϕ̇ = −ω3 + n/J, (64)
Φ̇ = −Ω3 + n0/J0. (65)
68
Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа
В них подставим (20), (22), (26), (27), получим:
ϕ−ϕ0 =
JC∗
g
∫
[A/J + (1 + b∗ −A/J)u2]du
(1− u2)
√
(1 + b∗u2)[1 + J2C2∗/g2 − (1 + J2C2∗b∗/g2)u2]
, (66)
Φ− Φ0 = −JC∗
g
∫
[A/J + (1 + b∗ −A/J)u2]udu
(1− u2)
√
(1 + b∗u2)[1 + J2C2∗/g2 − (1 + J2C2∗b∗/g2)u2]
.
(67)
Интеграл (66) эллиптический, а (67) можно представить посредством элемен-
тарных функций времени, но в виде громоздких выражений. В дальнейшем
(при построении аксоидов тела S0) выяснилось, что эта зависимость нам не
потребуется, поэтому ее здесь не приводим. Так же легко можно выписать с
учетом (20)–(23), (26), (27), (29), (30) компоненты угловых скоростей тел в
полуподвижных осях в остальных двух случаях – (48), (51).
Чтобы получить компоненты угловых скоростей тел в неизменно связан-
ных с телами базисах, воспользуемся соотношениями
ω∗1(t) = ω1 cosϕ + ω2 sinϕ, ω∗2(t) = −ω1 sinϕ + ω2 cosϕ,
(68)
Ω∗1(t) = 0, Ω∗2(t) = 0.
Как показывают выражения (68), (63), тело S0 неравномерно вращается
с угловой скоростью n0(t)/J0 вокруг оси динамической симметрии.
Потенциальная энергия для найденных решений (56)–(63) и для решений
в случаях (48), (51) определяется из интеграла (15)*
A(ω2
1 +ω2
2)+A0(Ω2
1 +Ω2
2)−2N(Ω1ω1 cos θ+Ω2ω2)+n2/J +n2
0/J0 = 2h−2Π(θ).
(69)
В силу инвариантного соотношения (5) и ограничений (8), (16) потенциальная
энергия (69) имеет вид
2h− 2Π = g2/A + JC2
∗ (1− J/A) = const,
это означает, что пружина не напряжена, т. е. можно считать, что упругий
элемент отсутствует, а передача вращения от одного тела к другому осу-
ществляется только за счет неголономного шарнира.
1. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, со-
единенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. –
С. 15–21.
2. Лесина М.Е., Харламов А.П. Точное решение задачи о движении по инерции двух гиро-
скопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Там же. – 2004. – Вып. 34.
– С. 80–86.
3. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Условия существования линейного инвариантного соотно-
шения специального вида // Там же. – 2006. – Вып. 36. – С. 51–57.
4. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнения аксоидов задачи о движении двух гироскопов
Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Зб. наук.-метод. робiт. – Донецьк:
ДонНТУ, 2006. – Вип. 4. – С. 63–80.
Национальный техн. ун-т, Донецк, Украина Получено 06.11.07
69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27985 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:45:50Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. 2011-10-25T16:38:06Z 2011-10-25T16:38:06Z 2008 Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 63-69. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27985 531.38 Постановка задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных сферическим и неголономным шарнирами, дана в работе [1]. В работах [1-3] найдены точные решения задачи. В работе [4] получены уравнения аксоидов для этой задачи. В статье для уравнений движения механической системы, рассмотренной в работе [1], найдено частное решение. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром Article published earlier |
| spellingShingle | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| title | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| title_full | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| title_fullStr | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| title_full_unstemmed | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| title_short | Частное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| title_sort | частное решение задачи о движении двух гироскопов лагранжа, сочлененных неголономным шарниром |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27985 |
| work_keys_str_mv | AT lesiname častnoerešeniezadačiodviženiidvuhgiroskopovlagranžasočlenennyhnegolonomnymšarnirom AT gogolevanf častnoerešeniezadačiodviženiidvuhgiroskopovlagranžasočlenennyhnegolonomnymšarnirom |