Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
Уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, сочлененных идеальным сферическим шарниром, содержат потенциальную энергию упругого элемента в виде произвольной дифференцируемой функции угла между осями динамической симметрии тел. Произвол в выборе потенциальной энергии перенесен на переменную ξ, специ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27986 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 70-79. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261583970631680 |
|---|---|
| author | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| author_facet | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| citation_txt | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 70-79. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, сочлененных идеальным сферическим шарниром, содержат потенциальную энергию упругого элемента в виде произвольной дифференцируемой функции угла между осями динамической симметрии тел. Произвол в выборе потенциальной энергии перенесен на переменную ξ, специальный выбор которой позволил построить два новых решения задачи.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУОБРАТНОГО МЕТОДА
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ
ПО ИНЕРЦИИ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА
Уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, сочлененных идеальным сферическим
шарниром, содержат потенциальную энергию упругого элемента в виде произвольной диф-
ференцируемой функции угла между осями динамической симметрии тел. Произвол в
выборе потенциальной энергии перенесен на переменную ξ, специальный выбор которой
позволил построить два новых решения задачи.
В монографии [1] приведены шесть различных форм уравнений движе-
ния по инерции двух гироскопов Лагранжа, сочлененных идеальным сфе-
рическим шарниром. Четвертая форма уравнений движения 1 (5.60)∗ имеет
вид
λ′ − µξctg2τ = Λ(τ, ξ), (1)
µ′ + λξtg2τ = M(τ, ξ), (2)
где
Λ(τ, ξ) = {(A + N)n0 − (A0 + N)n− [(A + N)n0 + (A0 + N)n]ξ}cos τ
H
,
M(τ, ξ) = {(A−N)n0 + (A0 −N)n− [(A−N)n0 − (A0 −N)n]ξ}sin τ
H
(штрихом обозначено дифференцирование по τ).
Новые переменные λ, µ связаны с переменными ω2,Ω2 соотношениями
[1, (5.58)∗]:
ω2 = (λ sin τ − µ cos τ)/ sin 2τ, (3)
Ω2 = (λ sin τ + µ cos τ)/ sin 2τ. (4)
На основе уравнений (1), (2) при ξ, равных 0, 1 и
1
sin τ cos τ
, в [1, с. 161–167]
получено три точных решения. Оказывается, четвертую форму уравнений
можно использовать и для построения других точных решений. Для этого
преобразуем систему (1), (2) к одному неоднородному уравнению второго
порядка с переменными коэффициентами
λ′′ + [2(tgτ + ctgτ)− ξ′/ξ]λ′ + ξ2λ = f(τ, ξ, ξ′), (5)
1При ссылке на формулы монографии [1] будем снабжать их номера звездочкой.
70
Применение полуобратного метода
где
f(τ, ξ, ξ′) = M(τ, ξ)ξctg2τ + Λ(τ, ξ)[2(tgτ + ctgτ)− ξ′/ξ] + Λ′(τ, ξ). (6)
Запишем соответствующее однородное уравнение
λ′ + [2(tgτ + ctgτ)− ξ′/ξ]λ′ + ξ2λ = 0. (7)
Если, задавая определенным образом ξ, сможем найти соответствующее ему
какое-либо частное решение λ1(τ), то второе линейно независимое частное
решение найдем по формуле Лиувилля
λ2(τ) = λ1(τ)
∫
W (τ)
λ2
1(τ)
dτ, (8)
где W (τ) – определитель Вронского
W (τ) = e−
∫
[2(tgτ+ctgτ)−ξ′/ξ]dτ . (9)
Выполнив интегрирование в (9), находим
W (τ) = ξ(τ)ctg2τ. (10)
Зная систему фундаментальных решений λ1(τ), λ2(τ), общее решение неод-
нородного уравнения (5) определим в виде
λ(τ) = C1λ1(τ)+C2λ2(τ)−λ1(τ)
∫
λ2(τ)f∗(τ)
W (τ)
dτ +λ2(τ)
∫
λ1(τ)f∗(τ)
W (τ)
dτ, (11)
где f∗(τ) – функция, соответствующая выбранному значению ξ(τ) после под-
становки его в (6).
Выбирая ξ = − 4 sin τ cos τ
sin4 τ + cos4 τ
или ξ =
1
sin τ
, можно построить два новых
решения.
Первое решение. Зададим инвариантное соотношение в виде
ξ = − 4 sin τ cos τ
sin4 τ + cos4 τ
. (12)
При этом уравнение (7) допускает частное решение
λ1(τ) =
C∗
1 + tg4τ
. (13)
Определитель Вронского находим из (10) с учетом (12)
W (τ) = − 4(1 + tg2τ)
tgτ(1 + tg4τ)
. (14)
71
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Подставив найденные значения (13), (14) в (8), получим второе частное
решение
λ2(τ) = − 1
1 + tg4τ
[
ln(tg4τ) + tg4τ
]
.
Общее решение уравнения (7) имеет вид
λ(τ) =
C1
1 + tg4τ
− C2
[
ln(tg4τ) + tg4τ
]
1 + tg4τ
.
В дальнейшем будем считать циклические постоянные нулевыми, а также
постоянную интегрирования C2 обратим в нуль:
n = n0 = 0, C2 = 0, (15)
т. е. будем изучать частное решение, соответствующее
λ(τ) =
C∗ cos4 τ
sin4 τ + cos4 τ
(16)
(учет ненулевых значений циклических постоянных приводит к громоздким
выражениям для всех переменных задачи).
Переменную µ определим из (1) с учетом условия (15) и выражений (12),
(16) в виде
µ(τ) =
C∗ sin4 τ
sin4 τ + cos4 τ
. (17)
Подставив (16), (17) в соотношения (3), (4), получим
ω2(τ) =
C∗(cos3 τ − sin3 τ)
2(sin4 τ + cos4 τ)
, (18)
Ω2(τ) =
C∗(cos3 τ + sin3 τ)
2(sin4 τ + cos4 τ)
. (19)
Теперь из конечных соотношений (5.61)∗
ω3(τ) = 2(λ sin3 τ + µ cos3 τ)
/
sin2 2τ, (20)
Ω3(τ) = 2(−λ sin3 τ + µ cos3 τ)
/
sin2 2τ (21)
находим
ω3(τ) =
C∗(cos τ + sin τ) cos τ sin τ
2(sin4 τ + cos4 τ)
, (22)
Ω3(τ) =
C∗(− cos τ + sin τ) cos τ sin τ
2(sin4 τ + cos4 τ)
. (23)
72
Применение полуобратного метода
Запишем формулы (5.57)∗
ω1 = (ξ + 1)κ, Ω1 = (ξ − 1)κ. (24)
Подставив в них (12), определим
ω1(τ) = −sin2 2τ + 4 sin 2τ − 2
2− sin2 2τ
κ(τ),
(25)
Ω1(τ) =
−2− 4 sin 2τ + sin2 2τ
2− sin2 2τ
κ(τ).
Для нахождения κ(τ) воспользуемся интегралом (5.18)∗
G2
1 + G2
2 + G2
3 = g2, (26)
G1(τ) = (A−N cos 2τ)ω1(τ) + (A0 −N cos 2τ)Ω1(τ),
G2(τ) = (A−N cos 2τ)ω2(τ) + (A0 cos 2τ −N)Ω2(τ)− n0 sin 2τ, (27)
G3(τ) = [A0Ω2(τ)−Nω2(τ)] sin 2τ + n + n0 cos 2τ.
Отметим, что G2
2 + G2
3 можно представить в виде
G2
2 + G2
3 = −H(ω2
2 + Ω2
2 − 2Ω2ω2 cos 2τ)+
+(A + A0 − 2N cos 2τ)(Aω2
2 + A0Ω2
2 − 2NΩ2ω2), H = AA0 −N2 > 0. (28)
Вследствие (18), (19) имеем
ω2
2 + Ω2
2 − 2Ω2ω2 cos 2τ =
C2∗ sin2 τ cos2 τ
sin4 τ + cos4 τ
,
Aω2
2 + A0Ω2
2 − 2Nω2Ω2 =
C2∗
4(sin4 τ + cos4 τ)2
(A + A0 + 2N) sin6 τ+
+
C2∗
4(sin4 τ + cos4 τ)2
[
(A + A0 − 2N) cos6 τ − 2(A−A0) cos3 τ sin3 τ)
]
. (29)
Подставив эти выражения в (28), находим
G2
2 + G2
3 =
−HC2∗ cos2 τ sin2 τ
sin4 τ + cos4 τ
+
+
C∗[(A + A0 − 2N) cos2 τ + (A + A0 + 2N) sin2 τ ]
4(sin4 τ + cos4 τ)2
[(A + A0 − 2N) cos6 τ−
−2(A−A0) cos3 τ sin3 τ + (A + A0 + 2N) sin6 τ ]. (30)
73
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Преобразуем (27) с учетом (25)
G1(τ) =
κ(τ)
sin4 τ + cos4 τ
[−4(A + A0 − 2N) cos3 τ sin τ−
−4(A + A0 + 2N) sin3 τ cos τ + (A−A0)(cos4 τ + sin4 τ)].
Внесем это выражение и (30) в (26), получим
4κ2(z)Q2
4(z) = P ∗
8 (z), (31)
где
z = tgτ, (32)
Q4(z)(A−A0)z4 − 4(A + A0 + 2N)z3 − 4(A + A0 − 2N)z + A−A0,
P ∗
8 (z) = P0z
8 + P2z
6 + P3z
5 + P4z
4 + P5z
3 + P6z
2 + P8,
P0 = 4g2 − C2
∗ (A + A0 + 2N)2, P2 = [4H − (A + A0 − 2N)(A + A0 + 2N)]C2
∗ ,
P3 = 2C2
∗ (A−A0)(A + A0 + 2N), P4 = 8g2, P5 = 2C2
∗ (A−A0)(A + A0 − 2N),
P6 = [4H − (A + A0 − 2N)(A + A0 + 2N)]C2
∗ , P8 = 4g2 − C2
∗ (A + A0 − 2N)2.
Для определения зависимости времени t от вспомогательной переменной
z продифференцируем (32) по времени. Тогда
τ̇ = ż/(1 + z2), (33)
и подставим в него (5.59)∗
τ̇ = −κ. (34)
После этого из (31) находим
t− t0 = −2
∫
Q4(z)
(1 + z2)
√
P ∗
8 (z)
dz.
Зависимость z от t можно получить обращением этого абелева интеграла
[2]. Для определения потенциальной энергии упругого элемента воспользу-
емся интегралом энергии (5.14)∗
(Aω2
1 + A0Ω2
1 − 2NΩ1ω1 cos 2τ) + (Aω2
2 + A0Ω2
2 − 2NΩ2ω2) = 2h− 2Π. (35)
Подставив в него (25), (29), (31), получим
2h− 2Π(z) =
C2∗ (1 + z2)
(1 + z4)2
[(A + A0 + 2N)z6 − 2(A−A0)z3 + A + A0 − 2N ]+
+
P ∗
8 (z)Q10(z)
Q2
4(z)(1 + z4)2(1 + z2)
, (36)
74
Применение полуобратного метода
где
Q10(z) = (A+A0− 2N)z10− 8(A−A0)z9 +17(A+A0 +2N)z8− 16(A−A0)z7+
+[50(A + A0) + 28N ]z6 − 16(A−A0)z5 + [50(A + A0)− 28N ]z4−
−16(A−A0)z3 + 17(A + A0 − 2N)z2 − 8(A−A0)z + A + A0 + 2N.
Компоненты угловых скоростей полуподвижных базисов определены со-
отношениями (18)–(23), (25), (31), их представим как функции от переменной
z:
ω1(z) =
z4 − 4z3 − 4z + 1
z4 + 1
κ(z), Ω1(z) = −z4 + 4z3 + 4z + 1
z4 + 1
κ(z),
ω2(z) =
(1− z3)
√
z2 + 1
2(z4 + 1)
, Ω2(z) =
(1 + z3)
√
z2 + 1
2
√
z4 + 1
, (37)
ω3(z) =
C∗z(1 + z)
√
z2 + 1
2(z4 + 1)
, Ω3(z) =
C∗z(1− z)
√
z2 + 1
2(z4 + 1)
.
Для определения угловых скоростей тел в неизменно связанных с телами
базисах необходимо воспользоваться формулами (5.32)∗, (5.37)∗, (15):
ω∗1 = ω1 cosϕ + ω2 sinϕ, ω∗2 = −ω1 sinϕ + ω2 cosϕ, n = 0,
(38)
Ω∗1 = Ω1 cosΦ + Ω2 sinΦ, Ω∗2 = −Ω1 sinΦ + Ω2 cosΦ, n0 = 0.
Из циклических интегралов (5.11)∗
ω3 + ϕ̇ = n/J, Ω3 + Φ̇ = n0/J0
при ограничениях (15) имеем
ϕ̇ = −ω3(z), Φ̇ = −Ω3(z).
А так как ω3, Ω3 представлены посредством функций z, то вследствие (33),
(34) получим
ϕ− ϕ0 =
∫
ω3(z)
(1 + z2)κ(z)
dz, Φ− Φ0 =
∫
Ω3(z)
(1 + z2)κ(z)
dz. (39)
Таким образом, задавая ξ в виде (12), получили решение, определяемое со-
отношениями (37)–(39).
Второе решение. Зададим инвариантное соотношение в виде
ξ = 1/ sin τ. (40)
75
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Тогда уравнение (7) имеет частное решение
λ1(τ) = −1/ sin τ. (41)
Определитель Вронского (10) при значении (40) таков
W (τ) =
ctg2τ
sin τ
. (42)
Второе линейно независимое частное решение λ2(τ) находим по формуле (8),
подставив в нее (41), (42):
λ2(τ) = −ctgτ − ln(tg τ
2 )
sin τ
. (43)
Общее решение однородного уравнения (7) имеет вид
λ(τ) =
C1
sin τ
− C2
(
ctgτ +
ln(tg τ
2 )
sin τ
)
.
Определим правую часть уравнения (5) на инвариантном соотношении (40)
f∗(τ) =
1
H
{
[(A + N)n0 − (A0 + N)n]
1 + 2 cos2 τ
sin τ
− [(A + N)n0+
+(A0 + N)n]
1 + cos2 τ
sin2 τ
+ [(A−N)n0 + (A0 −N)n]ctg2τ−
−[(A−N)n0 − (A0 −N)n]
ctg2τ
sin τ
}
. (44)
Общее решение неоднородного уравнения (5) можно найти по формуле (11)
после подстановки в нее (41), (42), (44).
Можно показать, что интеграл
∫
λ2(τ)f∗(τ)
W (τ)
dτ
относится к “неберущимся” интегралам. Поэтому будем считать, что цикли-
ческие постоянные удовлетворяют условию (15). Чтобы избавиться от транс-
цендентных функций в зависимостях для ωi, Ωi, потребуем, чтобы C2 = 0.
Т. е. будем рассматривать частное решение
λ(τ) = − B
sin τ
(45)
(B – произвольная постоянная).
76
Применение полуобратного метода
Из уравнения (1) вследствие (40), (45), (15) находим
µ(τ) = Btgτ. (46)
Подставив (45), (46) в (3), (4), получим
ω2(τ) = −B(1 + sin τ)
sin 2τ
, Ω2(τ) = −B(1− sin τ)
sin 2τ
, (47)
после этого из (20), (21) определим
ω3(τ) =
2B sin τ(cos2 τ − sin τ)
sin2 2τ
, Ω3(τ) =
2B sin τ(cos2 τ + sin τ)
sin2 2τ
. (48)
Вследствие (40) из (24) находим
ω1(τ) =
1 + sin τ
sin τ
κ(τ), Ω1(τ) =
1− sin τ
sin τ
κ(τ). (49)
Для определения κ(τ) сначала получим G1(τ) из (27) при ограничениях
(15) и значениях (49)
G1(τ) =
(A−A0) sin τ + A + A0 − 2N cos 2τ
sin τ
κ(τ). (50)
Затем, подставив в (28) соотношения (47), с учетом ограничения (15) имеем
G2
2 + G2
3 = B2
{−H(1 + cos2 τ)
cos2 τ
+
A + A0 − 2N cos 2τ
sin2 2τ
[(A + A0 + 2N) sin2 τ+
+A + A0 − 2N + 2(A−A0) sin τ ]
}
. (51)
Представим интеграл (26) в виде
G1(τ) =
√
g2 −G2
2 −G2
3 ,
внесем в это соотношение (50), (51) и получим
κ(τ) cos τ =
g
√
P4(sin τ)
2AQ2(sin τ)
. (52)
Введем новую переменную
υ(τ) = sin τ. (53)
Вычислим ее производную с учетом (34):
υ̇ = −κ cos τ. (54)
77
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Тогда из (52) находим
A
g
υ̇ = −
√
P4(υ)
2Q2(υ)
,
откуда определяем зависимость времени t от вспомогательной переменной υ
g
A
(t− t0) = −2
∫
Q2(υ)√
P4(υ)
dυ,
где
Q2(υ) = 4bυ2 + (1− a∗)υ + 1 + a∗ − 2b, (55)
P4(υ) = {−4 + 4C2[(1 + a∗ + 3b)b− a∗]}υ4 + 8C2(1− a∗)bυ3+
+{4 + C2[1 + 10a∗ + a2
∗ + 4(1 + a∗)b− 20b2]}υ2+
+2C2(1− a∗)(1 + a∗ − 2b)υ + C2(1 + a∗ − 2b)2, (56)
a∗ = A0/A, (57)
b = N/A, (58)
gC = AB. (59)
Условием существования движений является выполнение неравенства P4(υ) >
> 0. Отметим, что
P4(1) = 4C2(2a∗ − b2 + 2b + 1), (60)
P4(−1) = 4C2(a2
∗ + 2a∗b + 2a∗ − b2). (61)
Вследствие (5.45)∗ имеют место неравенства
A + A0 + 2N > 0, A + A0 − 2N > 0, AA0 −N2 > 0,
которые с учетом обозначений (57), (58) принимают вид
1 + a∗ + 2b > 0, 1 + a∗ − 2b > 0, a∗ − b2 > 0.
Представим (60), (61) в виде
P4(1) = 4C2[(a∗− b2) + (1 + a∗ + 2b)], P4(−1) = 4C2[(a∗− b2) + a∗(1 + a∗ + 2b)]
и заметим, что
P4(1) > 0, P4(−1) > 0, P4(0) = C2(1 + a∗ − 2b)2 > 0.
Совокупность этих трех условий всегда определяет интервал, принадлежа-
щий [-1; 1], в котором P4(υ) > 0.
78
Применение полуобратного метода
Используя интеграл (35), соотношения (47), (49), (51), а также обозначе-
ния (53), (56)–(58), находим потенциальную энергию упругого элемента
2h− 2Π(υ) =
g2
4Aυ2(1− υ2)
{C2[(1 + a∗ + 2b)υ2 + 2(1− a∗)υ + 1 + a∗ − 2b]+
+
P4(υ)
Q2
2(υ)
[−4bυ4 + (1 + a∗ + 6b)υ2 + 2(1− a∗)υ + 1 + a∗ − 2b]}. (62)
Запишем уравнение (39) с учетом замены (53), (54)
κ(υ)
√
1− υ2
dϕ
dυ
= ω3(υ), κ(υ)
√
1− υ2
dΦ
dυ
= Ω3(υ)
и, подставив в них (48), (52), (59), находим
dϕ
dυ
=
C(−υ2 − υ + 1)Q2(υ)
υ(1− υ2)
√
P4(υ)
,
dΦ
dυ
=
C(−υ2 + υ + 1)Q2(υ)
υ(1− υ2)
√
P4(υ)
.
Теперь для углов собственных вращений тел имеем
ϕ− ϕ0 = C
∫
(−υ2 − υ + 1)Q2(υ)
υ(1− υ2)
√
P4(υ)
dυ, Φ− Φ0 = C
∫
(−υ2 + υ + 1)Q2(υ)
υ(1− υ2)
√
P4(υ)
dυ,
(63)
где Q2(υ), P4(υ) определены в (55), (56).
Компоненты угловых скоростей тел в неизменно связанных с телами ба-
зисах можно найти по формулам (38).
Таким образом, построено второе точное решение, для которого
ω1(υ) =
(1 + υ)
υ
κ(υ), Ω1(υ) =
(1− υ)
υ
κ(υ),
κ(υ) =
g
√
P4(υ)
2AQ2(υ)
√
1− υ2
,
ω2(υ) = − Cg(1 + υ)
2Aυ
√
1− υ2
, Ω2(υ) = − Cg(1− υ)
2Aυ
√
1− υ2
,
ω3(υ) =
Cg(−υ2 − υ + 1)
2Aυ(1− υ2)
, Ω3(υ) =
Cg(−υ2 + υ + 1)
2Aυ(1− υ2)
,
а ϕ(υ), Φ(υ) определены квадратурами (63). При этом потенциальная энергия
упругого элемента имеет вид рациональной функции (62).
1. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики систем со-
члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – 238 с.
2. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. – М.: Наука, 1977. – 328 с.
Национальный техн. ун-т, Донецк, Украина Получено 06.11.07
79
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27986 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:58Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. 2011-10-25T16:40:44Z 2011-10-25T16:40:44Z 2008 Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 70-79. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27986 531.38 Уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, сочлененных идеальным сферическим шарниром, содержат потенциальную энергию упругого элемента в виде произвольной дифференцируемой функции угла между осями динамической симметрии тел. Произвол в выборе потенциальной энергии перенесен на переменную ξ, специальный выбор которой позволил построить два новых решения задачи. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа Article published earlier |
| spellingShingle | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| title | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_full | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_fullStr | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_full_unstemmed | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_short | Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа |
| title_sort | применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов лагранжа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27986 |
| work_keys_str_mv | AT lesiname primeneniepoluobratnogometodadlâpostroeniârešeniizadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranža AT zinovʹevaâv primeneniepoluobratnogometodadlâpostroeniârešeniizadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranža |