Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления
Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предп...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27989 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27989 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. 2011-10-25T16:48:37Z 2011-10-25T16:48:37Z 2008 Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27989 531.55 Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо. Установлен эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведены численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| spellingShingle |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. |
| title_short |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| title_full |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| title_fullStr |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| title_full_unstemmed |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| title_sort |
вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления |
| author |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. |
| author_facet |
Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Рачинская, А.Л. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо. Установлен эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведены численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27989 |
| citation_txt |
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 95-110. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT akulenkold vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennoivâzkoižidkostʹûpoddeistviemmomentasilsvetovogodavleniâ AT leŝenkodd vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennoivâzkoižidkostʹûpoddeistviemmomentasilsvetovogodavleniâ AT račinskaâal vraŝeniâsputnikaspolostʹûzapolnennoivâzkoižidkostʹûpoddeistviemmomentasilsvetovogodavleniâ |
| first_indexed |
2025-11-25T21:10:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:10:29Z |
| _version_ |
1850552200233746432 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.55
c©2008. Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
ВРАЩЕНИЯ СПУТНИКА С ПОЛОСТЬЮ,
ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ,
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МОМЕНТА СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
Исследуется быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несим-
метричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью при малых чис-
лах Рейнольдса, под действием момента сил светового давления. Орбитальные движения
вокруг Солнца с произвольным эксцентриситетом предполагаются заданными. Анализи-
руется система, полученная после усреднения по движению Эйлера–Пуансо. Установлен
эффект убывания кинетической энергии вращательных движений спутника. Определена
ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат. Проведе-
ны численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в окрестности осевого
вращения. Рассмотрено движение в частном случае динамически симметричного спутника.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение спутника относительно
центра масс под действием момента сил светового давления. Тело содер-
жит полость, целиком заполненную сильно вязкой однородной жидкостью.
Вращательные движения рассматриваются в рамках модели динамики ква-
зитвердого тела, центр масс которого движется по заданной фиксированной
эллиптической орбите вокруг Солнца [1]. Задачи динамики, обобщенные и
осложненные учетом различных возмущающих факторов, и в настоящее вре-
мя остаются достаточно актуальными. Исследованиям вращательных движе-
ний тел относительно центра масс под действием возмущающих моментов сил
различной природы (гравитационных, светового давления, полости, запол-
ненной вязкой жидкостью, и др.), близким к проведенному ниже, посвящены
работы [1–12].
Введем три декартовые системы координат, начало которых совместим с
центром инерции спутника [2, 3]. Система координат Oxi (i = 1, 2, 3) движет-
ся поступательно вместе с центром инерции: ось Ox1 параллельна радиусу–
вектору перигелия орбиты, ось Ox2 – вектору скорости центра масс спутни-
ка в перигелии, ось Ox3 – нормали к плоскости орбиты. Система координат
Oyi (i = 1, 2, 3) связана с вектором кинетического момента G. Ось Oy3 на-
правлена по вектору кинетического момента G, ось Oy2 лежит в плоскости
орбиты (т.е. в плоскости Ox1x2), ось Oy1 лежит в плоскости Ox3y3 и направ-
лена так, что векторы y1, y2, y3 образуют правую тройку [2 – 4]. Оси системы
координат Ozi (i = 1, 2, 3) связаны с главными центральными осями инерции
твердого тела. Взаимное положение главных центральных осей инерции и
осей Oyi определим углами Эйлера. При этом направляющие косинусы αij
осей Ozi относительно системы Oyi выражаются через углы Эйлера ϕ,ψ, θ
по известным формулам [2]. Положение вектора кинетического момента G в
системе координат Oxi определяется углами λ и δ, как показано в [2–4].
95
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме
[3]:
dG
dt
= L3,
dδ
dt
=
L1
G
,
dλ
dt
=
L2
G sin δ
,
dθ
dt
= G sin θ sinϕ cosϕ
(
1
A1
− 1
A2
)
+
L2 cosψ − L1 sinψ
G
,
dϕ
dt
= G cos θ
(
1
A3
− sin2 ϕ
A1
− cos2 ϕ
A2
)
+
L1 cosψ + L2 sinψ
G sin θ
,
dψ
dt
= G
(
sin2 ϕ
A1
+
cos2 ϕ
A2
)
− L1 cosψ + L2 sinψ
G
ctgθ − L2
G
ctgδ.
(1)
Здесь Li – моменты приложенных сил относительно осей Oyi, G – величи-
на кинетического момента, Ai (i = 1, 2, 3) – главные центральные моменты
инерции относительно осей Ozi.
В некоторых случаях удобно наряду с переменной θ использовать в ка-
честве дополнительной переменной важную характеристику – кинетическую
энергию T , производная которой имеет вид
dT
dt
=
2T
G
L3 + G sin θ
[
cos θ
(
sin2 ϕ
A1
+
cos2 ϕ
A2
− 1
A3
)
(L2 cosψ − L1 sinψ)+
+ sinϕ cosϕ
(
1
A1
− 1
A2
)
(L1 cosψ + L2 sinψ)
]
. (2)
Центр масс спутника движется по кеплеровскому эллипсу с эксцентри-
ситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истинной аномалии ν от
времени t дается соотношением
dν
dt
=
ω0(1 + e cos ν)2
(1− e2)3/2
, ω0 =
2π
Q
=
√
µ(1− e2)3
`3
0
. (3)
Здесь `0 – фокальный параметр орбиты, ω0 – угловая скорость орбиталь-
ного движения, e – эксцентриситет орбиты, µ – гравитационная постоянная.
Проекции Li момента приложенных сил складываются из момента сил
светового давления Lc
i и момента сил вязкой жидкости в полости Lp
i .
Допустим, что поверхность космического аппарата представляет собой
поверхность вращения, причем единичный орт оси симметрии k направлен
вдоль оси Oz3. Как показано в [2, 5], в этом случае для момента сил светового
давления, действующего на спутник, имеет место формула
Lc =
(
ac (εs) R2
0/R2
)
er × k, (4)
ac (εs)
R2
0
R2
= pcS (εs)Z
|
0 (εs) , pc =
E0
c
(
R0
R
)2
.
96
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
Здесь er – единичный вектор по направлению радиус-вектора орбиты; εs
– угол между направлениями er и k так, что |er × k| = sin εs; R – текущее
расстояние от центра Солнца до центра масс спутника; R0 – фиксированное
значение R, например, в начальный момент времени; ac (εs) – коэффици-
ент момента сил светового давления, определяемый свойствами поверхности;
S – площадь “тени” на плоскости, нормальной к потоку; Z
|
0 – расстояние от
центра масс до центра давления; pc – величина светового давления на рассто-
янии R от центра Солнца; c – скорость света; E0 – величина потока энергии
светового давления на расстоянии R0 от центра Солнца.
Проекции Lp
i момента сил вязкой жидкости в полости на оси Oyi
(i = 1, 2, 3) имеют вид [1]:
Lp
i =
P
A1A2A3
{
p
[
q2A2(A1−
−A2)(A2 −A3 + A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 + A1)
]
αi1+
+ q
[
r2A3(A2 −A3)(A3 −A1 + A2) + p2A1(A1 −A2)(A3 −A1 −A2)
]
αi2+
+ r
[
p2A1(A3 −A1)(A1 −A2 + A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 + A3)
]
αi3+
+ ac(cos εs)R2
0/R2
{
A3
[ A2
1− α2
33
(
(pα31 + qα32)(γ31α33 − α22β1 + α12β2)+
+ α32γ33(pα32 − qα31)
)
− rγ31(A1 + A3)
]
αi1 + A3
[ A1
1− α2
33
(
(pα31 + qα32)×
× (α11β2 − γ32α33 − α21β1) + α31γ33(pα32 − qα31)
)
+ rγ32(A2 + A3)
]
αi2+
+ [qγ32A2(A1 −A2 −A3) + pγ31A1(A1 −A2 + A3)]αi3
}}
, (5)
γ3i = β1α1i + β2α2i + β3α3i (i = 1, 2, 3),
β1 = cos (ν − λ) cos δ, β2 = sin (ν − λ) , β3 = cos (ν − λ) sin δ.
Здесь αij – направляющие косинусы между системами координат Oyi и Ozi
(i = 1, 2, 3); p, q, r – проекции на оси Ozi вектора абсолютной угловой ско-
рости ω спутника относительно системы координат Ox1x2x3.
Величина
∼
P – тензор, зависящий только от формы полости, характеризует
диссипативный момент сил, обусловленный вязкостью жидкости, в квазиста-
тическом приближении [1]. Для простоты в уравнениях (5) рассмотрен так
называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной величиной
P > 0; компоненты его имеют вид
∼
P ij = Pδij , где δij – символы Кронекера
(такой вид тензор
∼
P имеет, например, в случае сферической полости). Ес-
ли форма полости существенно отличается от сферической, то определение
компонент тензора представляет значительные вычислительные трудности.
Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инер-
ции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A2 > A3,
97
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
в предположении, что угловая скорость ω движения спутника относительно
центра масс существенно больше угловой скорости орбитального движения
ω0, т.е. ε = ω0/ω ∼ A1ω0/G ¿ 1. В этом случае кинетическая энергия враще-
ния тела велика по сравнению с моментами возмущающих сил.
В работе предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз-
кости, т.е. ϑ À 1 (ϑ−1 ∼ ε2), форма полости сферическая, тогда [1]
∼
P = Pdiag(1, 1, 1), P =
8πρa7
525ϑ
. (6)
Здесь ρ, ϑ – плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в
полости, a – радиус полости.
В данной постановке задачи пренебрегаем моментом гравитационных сил.
Соотношения между характерными величинами моментов гравитационных
сил и моментов сил светового давления приведены в [2].
Полагаем [2], что в силу симметрии соответствующая функция имеет вид
ac = ac (cos εs), и аппроксимируем ее тригонометрическим полиномом по сте-
пеням cos εs. Представим функцию ac (cos εs) в виде ac = a0 + a1 cos εs + . . ..
Рассмотрим второй член разложения, когда ac (cos εs) = a1 cos εs в предполо-
жении, что a1 ∼ ε.
С учетом рассмотренных выше предположений видно, что второе слага-
емое (с коэффициентом ac (cos εs)) в формуле проекции момента сил вязкой
жидкости в полости (5) имеет порядок ε3, а значит, с точностью до величин
второго порядка малости (P ∼ ε2) проекции момента сил вязкой жидкости в
полости имеют вид
Lp
i =
P
A1A2A3
{
p
[
q2A2(A1−
−A2)(A2 −A3 + A1) + r2A3(A1 −A3)(A3 −A2 + A1)
]
αi1+
+ q
[
r2A3(A2 −A3)(A3 −A1 + A2) + p2A1(A1 −A2)(A3 −A1 −A2)
]
αi2+ (7)
+ r
[
p2A1(A3 −A1)(A1 −A2 + A3) + q2A2(A3 −A2)(A2 −A1 + A3)
]
αi3
}
(i = 1, 2, 3).
Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимпто-
тически большом интервале времени t ∼ ε−2, на котором происходит суще-
ственное изменение параметров движения.
2. Модифицированная процедура метода усреднения. Для ис-
следования системы (1)–(3) при малом ε на промежутке времени t ∼ ε−2
будем применять модифицированную схему метода усреднения [3, 13, 14].
Рассмотрим невозмущенное движение (ε = 0), когда моменты приложенных
сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела является движени-
ем Эйлера–Пуансо. Величины G, δ, λ, T, ν обращаются [15] в постоянные, а
ϕ, ψ, θ – некоторые функции времени t. Медленными переменными в возму-
щенном движении будут G, δ, λ, T, ν, а быстрыми – углы Эйлера ϕ, ψ, θ.
98
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
Рассмотрим движение при условии 2TA1 ≥ G2 ≥ 2TA2, соответствующем
траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наиболь-
шего момента инерции A1. Введем величину
k2 =
(A2 −A3)
(
2TA1 −G2
)
(A1 −A2) (G2 − 2TA3)
(
0 ≤ k2 ≤ 1
)
, (8)
представляющую собой в невозмущенном движении постоянную – модуль
эллиптических функций, описывающих это движение.
Для построения усредненной системы первого приближения подставим
решение невозмущенного движения Эйлера–Пуансо в правые части уравне-
ний движения (1), (2) и проведем усреднение по переменной ψ, а затем по
времени t с учетом зависимости ϕ, θ от t по схеме, предложенной в [3] для
нерезонансного случая. При этом для медленных переменных δ, λ, G, T
сохраняются прежние обозначения. В результате получим
dG
dt
= 0,
dδ
dt
= −a1R
2
0
(
2GR2
)−1
H sin δ sin 2(λ− ν),
dλ
dt
= −a1R
2
0
(
GR2
)−1
H cos δ cos2(λ− ν),
dT
dt
= −4PT 2(A1 −A3)(A1 −A2)(A2 −A3)
3A2
1A
2
2A
2
3 [A2 −A3 + (A1 −A2) k2]2
×
×
{
A2(A1 −A3)(A1 + A3 −A2)
[
(k2 − 1) + (1 + k2)
E(k)
K(k)
]
+
+ A1(A2 −A3)(A3 + A2 −A1)
[
(k2 − 2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]
+ (9)
+A3(A1 −A2)(A1 + A2 −A3)
[
(1− 2k2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]}
,
H =
1
2
[
3a2 E(k)
K(k)
− 1
]
при 2TA2 −G2 > 0,
H =
1
2
{
3a2
k2
[
k2 − 1 +
E(k)
K(k)
]
− 1
}
при 2TA2 −G2 < 0,
a2 =
σ + h
1 + σ
, σ =
A3
A1
A1 −A2
A2 −A3
, h =
(
2T
G2
− 1
A2
)
A2A3
A2 −A3
.
Здесь K(k) и E(k) – полные эллиптические интегралы первого и второ-
го рода соответственно [16]. Согласно первому уравнению (9) кинетический
момент спутника остается постоянным и равен G0. Дифференцируя выраже-
ние (8) для k2 и используя уравнения для кинетической энергии (9), полу-
чим дифференциальное уравнение, которое не зависит от других переменных
99
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
[1, 9],
dk2
dξ
= (1− χ)(1− k2)− [(1− χ) + (1 + χ)k2]
E(k)
K(k)
,
χ =
3A2[(A2
1 + A2
3)−A2(A1 + A3)]
(A1 −A3)[A2(A1 + A3 −A2) + 2A1A3]
, (10)
ξ = (t− t∗)/N, N =
3A2
1A
2
2A
2
3
PG2
0(A1 −A3)[A2(A1 + A3 −A2) + 2A1A3]
∼ ε−2.
Здесь t∗ – постоянная. Значению k2 = 1 отвечает равенство 2TA2 = G2,
что соответствует сепаратрисе для движения Эйлера–Пуансо. Уравнение (10)
описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на
сфере постоянного радиуса G0.
3. Анализ усредненного собственного вращения спутника. Из
уравнений движения (9) следует, что под влиянием момента сил вязкой жид-
кости в полости происходит эволюция кинетической энергии тела T в пре-
делах от вращения вокруг оси A3 (неустойчивое движение) до вращения во-
круг оси A1 (устойчивое движение). Изменения углов λ, δ зависят как от
действия момента сил светового давления, так и от действия момента сил
вязкой жидкости в полости. Выражение, стоящее в фигурных скобках пра-
вой части уравнения (9) для T , положительно (при A1 > A2 > A3), так как
справедливы неравенства (1− k2)K ≤ E ≤ K. Поэтому dT/dt < 0, поскольку
T > 0, т.е. переменная T строго убывает для любых k2 ∈ [0, 1].
Рассмотрим систему, состоящую из четвертого уравнения системы (9) и
уравнения (10). Проведем обезразмеривание в уравнении изменения кинети-
ческой энергии, считая характерными величинами задачи параметр N , опре-
деленный в (10), и момент инерции A1. Имеем
dT ′
dξ
= − 2(T ′)2(A
1
−A
2
)(A
2
−A
3
)
A1 [A2 (A1 + A3 −A2) + 2A1A3]
[
A
2
−A
3
+
(
A
1
−A
2
)
k2
]2×
×
{
A
2
(A
1
−A
3
)(A
1
+ A
3
−A
2
)
[
(k2 − 1) + (1 + k2)
E(k)
K(k)
]
+
+ A
1
(A
2
−A
3
)(A
3
+ A
2
−A
1
)
[
(k2 − 2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]
+
+A
3
(A
1
−A
2
)(A
1
+ A
2
−A
3
)
[
(1− 2k2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]}
,
(11)
где T ′ =
2A1T
G2
0
, ξ определяется согласно (10). Это равенство выполняется при
ξ > 0, т.е. для случая 2TA1 ≥ G2 ≥ 2TA2.
Проведен численный расчет при значениях моментов инерции A1 = 8,
A2 = 5, 6, 7, A3 = 4; k2(0) = 0.99999, G(0) = 1. Начальное значение кинети-
100
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
ческой энергии находилось из равенства
T =
G2
0
2
A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0)
A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0)
. (12)
В безразмерном виде имеем
T ′ =
A1(A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0))
A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0)
.
Рассмотрен также случай ξ < 0, что соответствует 2TA2 ≥ G2 ≥ ≥ 2TA3.
Уравнение (11) записывается следующим образом:
dT ′
dξ
=
2(T ′)2(A3 −A
2
)(A
2
−A
1
)
A3 [A2 (A1 + A3 −A2) + 2A1A3]
[
A
3
−A2 +
(
A
2
−A1
)
k2
]2×
×
{
A
2
(A
3
−A
1
)(A
1
+ A
3
−A
2
)
[
(k2 − 1) + (1 + k2)
E(k)
K(k)
]
+
+ A
3
(A
2
−A1)(A1
+ A
2
−A
3
)
[
(k2 − 2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]
+
+A1(A3
−A
2
)(A
2
+ A
3
−A
1
)
[
(1− 2k2)
(
1− E(k)
K(k)
)
+ k2
]}
с начальным условием
T ′ =
A3(A2 −A3 + (A1 −A2)k2(0))
A1(A2 −A3) + A3(A1 −A2)k2(0)
.
В этом случае численный расчет проводился для значений моментов инерции
Рис. 1. Рис. 2.
A1 = 4; A2 = 5, 6, 7; A3 = 8. Графики изменения кинетической энергии име-
ют вид, представленный на рис. 1. Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям
101
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
A2 = 5, 6, 7. Значение T ′ = 2 соответствует вращению около оси A3 (неустой-
чивое движение), T ′ = 1 – вращению около оси A1 (устойчивое движение).
При ξ = 0 (переход через сепаратрису) кривые имеют горизонтальную ка-
сательную (точки перегиба, см. рис. 2). Аналогичные графики изменения
кинетической энергии могут быть получены пересчетом из формулы (8) для
безразмерной кинетической энергии
T ′ =
A1[(A2 −A3) + k2(A1 −A2)]
A1(A2 −A3) + k2A3(A1 −A2)
.
Отсюда видно, что при k2 → 0 имеем T ′ → 1. Аналогично, для случая вра-
щения около оси A3 можно показать, что T ′ → 2.
4. Ориентация вектора кинетического момента. Рассмотрим систе-
му, состоящую из уравнений для λ и δ системы (9).
Как известно, R =
l0
1 + e cos ν
, а фокальный параметр орбиты определя-
ется равенством l0 =
µ1/3(1− e2)
ω
2/3
0
. Тогда первые два уравнения (9) примут
вид
dδ
dt
= −a1R
2
0
2G
ω
4/3
0 (1 + e cos ν)2
µ2/3(1− e2)2
H sin δ sin 2(λ− ν),
dλ
dt
= −a1R
2
0
G
ω
4/3
0 (1 + e cos ν)2
µ2/3(1− e2)2
H cos δ cos2(λ− ν).
(13)
Проведем обезразмеривание уравнения изменения кинетического момен-
та (9), уравнений для истинной аномалии (3) и k2 (10), уравнений системы
(13). Характерными параметрами задачи являются G0 – кинетический мо-
мент спутника при t = 0, Ω0 – величина угловой скорости ω движения спут-
ника относительно центра масс в начальный момент времени. Безразмерные
величины определяются формулами
∼
t = Ω0t,
∼
G =
G
G0
,
∼
Ai =
AiΩ0
G0
,
∼
Li =
Li
G0Ω0
,
∼
T =
T
G0Ω0
, ε2
∼
P =
PΩ0
G0
.
Введем обозначение
Γ =
a1R
2
0Ω0
G0µ2/3ω
2/3
0
(14)
и назовем эту величину приведенным коэффициентом момента сил светового
давления.
102
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
После обезразмеривания имеем систему уравнений движения
dδ
d
∼
t
= −ε2 Γ
∼
H(1 + e cos ν)2
2
∼
G(1− e2)2
sin δ sin 2(λ− ν),
dλ
d
∼
t
= −ε2 Γ
∼
H(1 + e cos ν)2
∼
G(1− e2)2
cos δ cos2(λ− ν),
dν
d
∼
t
= ε
(1 + e cos ν)2
(1− e2)3/2
,
d
∼
G
d
∼
t
= 0,
dk2
d
∼
t
= ε2 1
∼
N
{
(1− χ)
(
1− k2
)− [
(1− χ) + (1 + χ) k2
] E(k)
K(k)
}
,
∼
N =
3
∼
A2
1
∼
A2
2
∼
A2
3
∼
P (
∼
A1−
∼
A3)[
∼
A2(
∼
A1 +
∼
A3−
∼
A2) + 2
∼
A1
∼
A3]
,
∼
H =
1
2
[
3
∼
a
2 E(k)
K(k)
− 1
]
при 2
∼
T
∼
A2 −
∼
G
2
> 0,
∼
H =
1
2
{
3
∼
a
2
k2
[
k2 − 1 +
E(k)
K(k)
]
− 1
}
при 2
∼
T
∼
A2 −
∼
G
2
< 0,
∼
a
2
=
∼
σ +
∼
h
1 +
∼
σ
,
∼
σ =
∼
A3
(∼
A1 −
∼
A2
)
∼
A1
(∼
A2 −
∼
A3
) ,
∼
h =
(
2
∼
T
∼
G
2 −
1
∼
A2
) ∼
A2
∼
A3
∼
A2 −
∼
A3
.
(15)
Кинетическая энергия
∼
T находится из соотношения (8) в безразмерном
виде
∼
T =
∼
G
2
(( ∼
A2−
∼
A3
)
+ k2
( ∼
A1−
∼
A2
))
∼
A1
( ∼
A2−
∼
A3
)
+
∼
A3
( ∼
A1−
∼
A2
)
k2
.
Первые три уравнения для λ, δ и ν системы (15) можно записать следу-
ющим образом:
dδ
d
∼
t
= ε2∆(ν, δ, λ),
dλ
d
∼
t
= ε2Λ(ν, δ, λ),
dν
d
∼
t
= ε
(1 + e cos ν)2
h(e)
, h(e) = (1− e2)3/2.
(16)
Здесь ∆, Λ – коэффициенты в правых частях первого и второго уравнений
(15), δ, λ – медленные переменные, а ν – полумедленная.
103
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Получена система специального вида, для решения которой применяется
модифицированный метод усреднения по следующей схеме [14]
dδ
d
∼
t
= ε2 h(e)
2π
2π∫
0
∆(λ, δ, ν)
(1 + e cos ν)2
dν,
dλ
d
∼
t
= ε2 h(e)
2π
2π∫
0
Λ(λ, δ, ν)
(1 + e cos ν)2
dν.
После усреднения получим
dδ
d
∼
t
= 0,
dλ
d
∼
t
= −ε2 Γ
∼
H cos δ
2
∼
G(1− e2)1/2
. (17)
Интегрирование системы проводилось для медленного времени τ = ε2
∼
t .
Численный расчет проводился при
Рис. 3
начальных условиях
∼
G(0) = 1;
k2(0) = 0.99; λ(0) = 0.785 рад;
δ(0) = 0.785 рад;
∼
P (0) = 10. Для без-
размерного времени τ имеем картину,
представленную на рис. 3. Кривые 1,
2, 3 соответствуют различным значе-
ниям
∼
A2 = 5, 6, 7 для постоянных зна-
чений
∼
A1 = 8,
∼
A3 = 4. Из рис. 3 видно,
что характер изменения угла λ носит
почти линейный характер и с увели-
чением значения момента инерции
∼
A2
функция увеличивается быстрее.
Согласно численному расчету по-
казано, что для несимметричного спутника с полостью, заполненной вязкой
жидкостью, движущегося под действием момента сил светового давления,
вектор кинетического момента G остается величиной постоянной, направ-
ленной под постоянным углом δ к вертикали плоскости орбиты. При этом
конец вектора G движется по сфере радиуса G0 по ходу часовой стрелки и
кинетическая энергия убывает до значения 1, соответствующего устойчивому
движению спутника вокруг оси A1.
5. Предельный случай вращения, близкого к осевому. Рассмот-
рим движение тела при малых k2 ¿ 1, отвечающих движениям твердого
тела, близким к вращениям вокруг оси A1. В этом случае правую часть урав-
нения (10) можно упростить, используя разложения полных эллиптических
интегралов в ряды по k2 [16]. Тогда уравнение (10) интегрируется и асимп-
104
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
тотическое решение записывается в виде
k2 = C1 exp
[
−(3 + χ)ξ
2
]
при ξ > 0,
k2 = C1 exp
[
(3− χ)ξ
2
]
при ξ < 0,
C1 = const, 0 ≤ C1 ≤ 1.
(18)
Изменение кинетической энергии можно качественно грубо получить, сле-
дуя работе [1], простым пересчетом из соотношения (8), используя найденное
решение (18) для малых k2. Имеем
T =
G2
2A1
+
G2(A1 −A3)(A1 −A2)
2A2
1(A2 −A3)
C1 exp
[
−(3 + χ)ξ
2
]
при ξ > 0,
T =
G2
2A3
+
G2(A3 −A1)(A3 −A2)
2A2
3(A2 −A1)
C1 exp
[
(3− χ)ξ
2
]
при ξ < 0.
(19)
Для безразмерной величины кинетической энергии равенства (19) примут
вид
T ′ = 1 +
(A1 −A3)(A1 −A2)
A1(A2 −A3)
C1 exp
[
−(3 + χ)ξ
2
]
при ξ > 0,
T ′ =
A1
A3
+
A1(A3 −A1)(A3 −A2)
A2
3(A2 −A1)
C1 exp
[
(3− χ)ξ
2
]
при ξ < 0.
(20)
Постоянная интегрирования C1 находится
Рис. 4
грубо из условия равенства кинетической
энергии по формулам (20) при ξ = 0. Име-
ем
C1 =
A1A3(A2 −A3)(A1 −A2)
A2
3(A1 −A2)2 + A2
1(A2 −A3)2
. (21)
Графики изменения безразмерной ки-
нетической энергии T ′ в случае малых k2
представлены на рис. 4. Кривые 1, 2, 3 со-
ответствуют различным значениям A2 =
5, 6, 7, при постоянных значениях A1 = 8,
A3 = 4 для ξ > 0 и A1 = 4, A3 = 8 для
ξ < 0. Как видно из рис. 4, характер функции T ′ = T ′(ξ) тот же, что и для
0 ≤ k2 ≤ 1, асимптотические значения T ′ на положительных и отрицатель-
ных безразмерных временах сохраняют свои величины.
105
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Асимптотическое выражение модуля эллиптических функций можно пред-
ставить в виде функции безразмерного времени τ
k2 = k2
0 exp [ρτ ] , (22)
ρ =
∼
P
∼
A2
1
∼
A2
2
∼
A2
3
[ ∼
A1
∼
A2
( ∼
A1−
∼
A2
)
+
∼
A1
∼
A3
( ∼
A1−
∼
A3
)
+
∼
A2
∼
A3
]
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (17) для угла λ в безразмер-
ном времени τ для малых k2 с учетом (22). В правую часть уравнения вхо-
дит непостоянная величина
∼
H. При выполнении неравенства 2
∼
T
∼
A2−
∼
G2 < 0
функция H(τ) с учетом малых второго порядка имеет вид
∼
H =
1
2
{
3
∼
A3(
∼
A1 −
∼
A2)
2
∼
A1(
∼
A2 −
∼
A3)
k2
0 exp [−ρτ ]− 1
}
.
Ясно, что
∼
H → −0.5 при τ →∞. Подставляем полученное выражение для
H в уравнение изменения угла λ, интегрируем и находим
λ = λ0 +
3
∼
A3(
∼
A1 −
∼
A2)Γk2
0 cos δ
8
∼
A1(
∼
A2 −
∼
A3)ρ(1− e2)1/2
(exp [−ρτ ]− 1) +
Γτ cos δ
4(1− e2)1/2
,
константы λ0, k2
0 определяют-
Рис. 5
ся из начальных условий. Гра-
фик функции λ = λ(τ) при
k2 ¿ 1 представлен на рис. 5.
Кривые 1, 2, 3 соответству-
ют различным значениям
∼
A2 = 5, 6, 7 при постоянных
значениях
∼
A1 = 8,
∼
A3 = 4 и
при начальном значении уг-
ла λ(0) = 0.785 рад. Как вид-
но из рисунка, характер
кривых аналогичен функци-
ям λ = λ(τ) при произволь-
ных k2.
6. Движение динамически симметричного спутника. Рассмотрим
движение динамически симметричного спутника (A1 = A2), моменты инер-
ции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A3. Урав-
106
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
нения движения тела относительно центра масс запишем в форме [2]
dG
dt
= L3,
dδ
dt
=
L1
G
,
dλ
dt
=
L2
G sin δ
,
dθ
dt
=
L2 cosψ − L1 sinψ
G
,
dϕ
dt
= G cos θ
(
1
A3
− 1
A1
)
+
L1 cosψ + L2 sinψ
G sin θ
,
dψ
dt
=
G
A1
− L1 cosψ + L2 sinψ
G
ctgθ − L2
G
ctgδ.
(23)
Проекции на оси Oyi (i = 1, 2, 3) момента Lp
i сил вязкой жидкости в
полости при A1 = A2 имеют вид
Lp
i =
P
A1A2
(A1 −A3)
{
pr2A
3
αi1+ qr2A
3
αi2 − rA1
[
p2 + q2
]
αi3
}
(i = 1, 2, 3).
(24)
Для решения задачи будем применять метод усреднения [13]. В случае
невозмущенного движения Эйлера–Пуансо, когда эллипсоид инерции явля-
ется эллипсоидом вращения, ϕ, ψ являются линейными функциями, а угол
θ – величиной постоянной [15]. Для возмущенного движения углы ϕ, ψ яв-
ляются быстрыми переменными, а угол θ – медленной. Проводим усреднение
системы уравнений для медленных переменных G, λ, δ, θ по быстрым пере-
менным: сначала по ψ, а затем по ϕ.
После усреднения по быстрым переменным ϕ, ψ имеем уравнения в без-
размерных величинах
dG′
dt′
= 0,
dθ
dt|
= ε2Γ1(A′1 −A′3) sin θ cos θ,
dδ
dt′
= −ε2 Γ (1 + e cos ν)2
2 (1− e2)2
(
1− 3
2
sin2 θ
)
sin δ sin 2 (λ− ν) ,
dλ
dt′
= −ε2 Γ (1 + e cos ν)2
(1− e2)2
(
1− 3
2
sin2 θ
)
cos δ cos2 (λ− ν) .
(25)
Здесь безразмерные величины определяются равенствами t′ = Ω0t,
A′i =
AiΩ0
G0
, ε2υ′ =
υ
Ω0a2
, где Ω0 – угловая скорость движения спутника отно-
сительно центра масс в начальный момент времени.
Введены обозначения Γ, согласно (14), и Γ1 =
8πa5ρG3
0
525υ′A3
1A3Ω3
0
, где µ – грави-
тационная постоянная. Назовем величину Γ1 приведенным коэффициентом
момента сил вязкой жидкости в полости.
107
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
Исследуем решение системы (25) при малом ε на промежутке времени
τ = ε2t′. Из первого уравнения систе-
Рис. 6
мы (25) видно, что кинетический мо-
мент есть величина постоянная. Инте-
грируя второе уравнение системы
(25) для угла нутации, получим
tg θ = tg θ0 exp
[
Γ1(A′1 −A′3)τ
]
. (26)
График функции θ = θ(τ) представ-
лен на рис. 6. Расчет проводился при
начальном условии θ(0) = π/3 рад. Кри-
вая 1 соответствует случаю A′1 > A′3
(спутник “сплюснутый” по оси инерции
A3), а кривая 2 – A′1 < A′3 (спутник “вы-
тянутый” по оси инерции A3).
Последние два уравнения (25) и уравнение для истинной аномалии (3) в
безразмерном времени τ могут быть записаны в виде
dδ
dτ
= ε2∆ (ν, δ, λ) ,
dλ
dτ
= ε2Λ (ν, δ, λ) ,
dν
dτ
=
ε
h (e)
(1 + e cos ν)2 , h (e) =
(
1− e2
)3/2
,
(27)
где ∆, Λ – коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (25). Из
системы (27) видно, что δ, λ – медленные переменные, а ν – полумедленная.
Применяя модифицированный метод усреднения [14], получим
dδ
dτ
= 0,
dλ
dτ
= − Γ cos δ
2 (1− e2)1/2
(
1− 3
2
sin2 θ
)
.
Видно, что угол отклонения δ вектора кинетического момента G от верти-
кали остается постоянным в указанном приближении, как и в случае несим-
метричного спутника.
С учетом (26) находим аналитически закон изменения угла λ от времени
τ :
λ = λ0 + ατ − 3α
2β
ln
∣∣∣∣
1 + γ exp(βτ)
1 + γ
∣∣∣∣ ,
α = − Γ cos δ
2(1− e2)3/2
, β = 2Γ1(A′1 −A′3), γ = tg2 θ0.
График изменения функции λ = λ(τ) представлен на рис. 7 для началь-
ного значения угла нутации θ(0) = π/3 рад и при начальном значении уг-
ла λ(0) = π/4 рад. Кривые построены при различных значениях параметра
β = −0.5, −1, − 1.5, − 2. Из рис. 7 видно, что при значениях β ≥ −1 на
108
Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью
малых временах τ < 2.5 график функции имеет вид линейной монотонно
убывающей функции. При значениях β < −1 на малых временах функция
λ = λ(τ) не является ни монотонной, ни линейной, при этом, чем меньше
параметр β, тем больше возрастает функция. При временах τ > 2.5 графики
всех функций линейны и параллельны между собой.
Рис. 7 Рис. 8
Для тех же значений параметра β построены графики изменения угла
нутации θ = θ(τ) (рис. 8). Видно, что чем меньше параметр β, тем быстрее
угол θ стремится к нулю, т.е. чем более “вытянуто” тело по оси A3, тем быстрее
спутник стремится к положению устойчивого вращения вокруг этой оси.
Таким образом, при движении динамически симметричного спутника с
полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил све-
тового давления вектор кинетического момента G остается величиной посто-
янной, направленной под постоянным углом δ к вертикали плоскости орбиты.
Направление движения конца вектора G зависит от формы спутника. В слу-
чае спутника, “сплюснутого” по оси инерции A3, конец вектора G движется
по сфере радиуса G0 против хода часовой стрелки. При этом угол нутации
стремится к предельному значению π/2 рад. Для динамически “вытянутого”
по этой же оси спутника конец вектора G движется по сфере радиуса G0,
сначала по ходу часовой стрелки, а затем против хода часовой стрелки, а
угол нутации стремится к нулю.
1. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидко-
стью, при малых числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1965. – 5,
№ 6. – С. 1049–1070.
2. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.:
Наука, 1965. – 416 с.
3. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гра-
витационных моментов // Прикл. математика и механика. – 1963. – 27, вып.3. – С. 474–
483.
4. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле.
109
Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская
– М.: Изд-во МГУ, 1975. – 308 с.
5. Карымов А.А. Устойчивость вращательного движения геометрически симметричного
искусственного спутника Солнца в поле сил светового давления // Прикл. математика
и механика. – 1964. – 28, вып. 5. – С. 923–930.
6. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. –
М.: Наука, 1986. – 304 с.
7. Сазонов В.В. Движение астероида относительно центра масс под действием момента
сил светового давления // Астрон. вестник. – 1994. – 28, № 2. – С. 95–107.
8. Осипов В.З, Суликашвили Р.С. О колебании твердого тела со сферической полостью,
целиком заполненной вязкой жидкостью, на эллиптической орбите // Тр. Ин-та/ Тби-
лис. Мат. ин-т АН Груз. ССР. – 1978. – 58. – С. 175–186.
9. Смирнова Е.П. Стабилизация свободного вращения асимметричного волчка с поло-
стями, целиком заполненными жидкостью // Прикл. математика и механика. – 1974.
– 33, вып. 6. – С. 980–985.
10. Сидоренко В.В. Эволюция вращательного движения планеты с жидким ядром // Аст-
рон. вестник. – 1993. – 27, № 2. – С. 119–127.
11. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы.
Часть II. – М.: Изд-во механико-математического фак-та МГУ, 1997. – 160 с.
12. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция вращений спутника с по-
лостью, заполненной вязкой жидкостью // Механика твердого тела. – 2007. – 37. –
С. 126–139.
13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных
систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 с.
14. Акуленко Л.Д. Схемы усреднения высших степеней в системах с быстрой и медленной
фазами // Прикл. математика и механика. – 2002. – 66, вып. 2. – С. 165–176.
15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1973.
– 208 с.
16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. –
М.: Наука, 1971. – 1108 с.
Ин-т проблем механики РАН, Москва, Россия,
Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса, Украина
leshchenko_d@ukr.net, rachinskaya@onu.edu.ua
Получено 27.05.08
110
|