Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента
Исследовано движение твердого тела, близкое к регулярной прецессии, в случае Лагранжа под действием постоянного возмущающего момента и восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени и угла прецессии. Получено решение усредненной системы уравнений в первом и втором приближении....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27990 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 111-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27990 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. 2011-10-25T16:51:16Z 2011-10-25T16:51:16Z 2008 Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 111-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27990 531.55:521.2 Исследовано движение твердого тела, близкое к регулярной прецессии, в случае Лагранжа под действием постоянного возмущающего момента и восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени и угла прецессии. Получено решение усредненной системы уравнений в первом и втором приближении. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| spellingShingle |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. |
| title_short |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| title_full |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| title_fullStr |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| title_full_unstemmed |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| title_sort |
эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента |
| author |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. |
| author_facet |
Зинкевич, Я.С. Козаченко, Т.А. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Исследовано движение твердого тела, близкое к регулярной прецессии, в случае Лагранжа под действием постоянного возмущающего момента и восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени и угла прецессии. Получено решение усредненной системы уравнений в первом и втором приближении.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27990 |
| citation_txt |
Эволюция вращений твердого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента / Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 111-115. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zinkevičâs évolûciâvraŝeniitverdogotelapoddeistviemnestacionarnogovosstanavlivaûŝegomomenta AT kozačenkota évolûciâvraŝeniitverdogotelapoddeistviemnestacionarnogovosstanavlivaûŝegomomenta |
| first_indexed |
2025-11-26T13:49:14Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:49:14Z |
| _version_ |
1850623705408864256 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.55:521.2
c©2008. Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко
ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА
Исследовано движение твердого тела, близкое к регулярной прецессии, в случае Лагранжа
под действием постоянного возмущающего момента и восстанавливающего момента, зави-
сящего от медленного времени и угла прецессии. Получено решение усредненной системы
уравнений в первом и втором приближении.
Рассмотрим движение динамически симметричного твердого тела отно-
сительно неподвижной точки O под действием постоянного возмущающего
момента и восстанавливающего момента, зависящего от медленного времени
и угла прецессии. Уравнения движения имеют вид:
Aṗ + (C −A) qr = k (τ, ψ) sin θ cosϕ + M1,
Aq̇ + (A− C) pr = −k (τ, ψ) sin θ sinϕ + M2,
Cṙ = M3, Mi = Mi (p, q, r, ψ, θ, ϕ) (i = 1, 2, 3) , τ = εt,
ψ̇ = (p sinϕ + q cosϕ) cosecθ,
θ̇ = p cosϕ− q sinϕ,
ϕ̇ = r − (p sinϕ + q cosϕ) ctgθ.
(1)
Здесь p, q, r – проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инер-
ции тела; величины Mi (i = 1, 2, 3) – проекции вектора возмущающего момен-
та на те же оси, являющиеся периодическими функциями углов Эйлера ψ, ϕ, θ
с периодами 2π; ϕ – угол собственного вращения; ψ – угол прецессии; θ – угол
нутации; A – экваториальный, C – осевой момент инерции тела относительно
точки O. Предполагается, что на тело действует восстанавливающий момент,
зависящий от медленного времени τ = εt, ε << 1 и угла прецессии k (τ, ψ).
При отсутствии возмущений Mi = 0 (i = 1, 2, 3) и k = const уравнение(1)
отвечает случаю волчка Лагранжа. В данной работе делаются следующие
исходные предположения:
(p2 + q2)1/2 << r, Cr2 >> k, |Mi| << k (i = 1, 2, 3), (2)
которые означают, что направление угловой скорости тела близко к оси ди-
намической симметрии; угловая скорость достаточно велика; возмущающие
моменты малы по сравнению с восстанавливающим моментом.
Неравенства (2) позволяют ввести малый параметр ε << 1 и положить:
p = εP, q = εQ, k = εK,
Mi = ε2M∗
i (P, Q, r, ψ, θ, ϕ) (i = 1, 2, 3).
(3)
111
Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко
Ставится задача исследования асимптотического поведения системы (1),
если выполнены условия (2)–(3), которое будет проводиться методом усред-
нения [1, 2] на интервале времени порядка ε−1. Рассмотрим систему нулевого
приближения (предварительно разделив обе части первых двух уравнений
(1) на ε после замены переменных (3)), и положим ε = 0. Тогда решение
полученной системы имеет вид
r = r0, ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 + r0t ,
P = a cos γ0 + b sin γ0 + K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 sin (r0t + ϕ0),
Q = a sin γ0 − b cos γ0 + K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 cos (r0t + ϕ0),
a = P0 −K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 sinϕ0,
b = −Q0 + K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 cosϕ0,
γ0 = n0t, n0 = (C −A)A−1r0, r0 6= 0, |n0/r0| ≤ 1.
(4)
Здесь r0, ψ0, θ0, ϕ0, P0, Q0 – постоянные, равные начальным значениям пере-
менных при t = 0, а переменная γ = γ0 имеет смысл фазы прецессионных
колебаний. Пользуясь соотношениями (3), (4), перейдем в системе (1) от пе-
ременных p, q, r, ψ, θ, ϕ к новым переменным a, b, δ, ψ, θ, α, γ, где α = γ + ϕ,
r = r0 + εδ. После преобразований получим систему семи уравнений вида:
ȧ = ε
{
A−1(M0
1 cos γ + M0
2 sin γ)−K(τ, ψ)C−1r−1
0 cos θ(b−
−K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ cosα)− C−1r−1
0 sin θ sinα
[∂K(τ, ψ)
∂τ
+
+ (a sinα− b cosα + K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ)cosecθ
∂K(τ, ψ)
∂ψ
]
+
+ ε
(
K(τ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ(b− 2K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ cosα)+
+ C−1r−2
0 δ sin θ sinα
[∂K(τ, ψ)
∂τ
+ (a sinα− b cosα+
+ 2K(τ, ψ)C−1r−1
0 δ sin θ)cosecθ
∂K(τ, ψ)
∂ψ
]
−K(τ, ψ)C−2r−2
0 M0
3 sin θ sinα
)}
,
ḃ = ε
{
A−1(M0
1 sin γ −M0
2 cos γ) + K(τ, ψ)C−1r−1
0 cos θ(a+
+ K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ sinα) + C−1r−1
0 sin θ cosα
[∂K(τ, ψ)
∂τ
+ (5)
+ (a sinα− b cosα + K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ)cosecθ
∂K(τ, ψ)
∂ψ
]
−
− εK(τ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ(a + 2K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ sinα)+
112
Эволюция вращений твердого тела
+ C−1r−2
0 δ sin θ cosα
[∂K(τ, ψ)
∂τ
+ (a sinα− b cosα+
+ 2K(τ, ψ)C−1r−1
0 sin θ)cosec θ
∂K(τ, ψ)
∂ψ
]
+ K(τ, ψ)C−2r−2
0 M0
3 sin θ cosα,
)}
,
δ̇ = εC−1M0
3 ,
ψ̇ = ε
(
cosecθ (a sinα− b cosα) + K(τ, ψ)C−1r−1 − εK(τ, ψ)C−1r−2
0 δ
)
,
θ̇ = ε (a cosα + b sinα),
α̇ = CA−1r0 + ε
(
CA−1δ − ctgθ (a sinα− b cosα)−
−K(τ, ψ)C−1r−1
0 cos θ + εK(τ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ
)
,
γ̇ = n0 + ε(C −A)A−1δ,
M0
i (a, b, δ, ψ, θ, α, γ) = M∗
i (P, Q, r, ψ, θ, ϕ) (i = 1, 2, 3).
Рассмотрим полученную систему с точки зрения применения метода усред-
нения [1, 2]. Система (5) содержит медленные переменные a, b, r, ψ, ϕ, θ и
быстрые переменные – фазы α, γ с постоянными частотами CA−1r и
(C −A) A−1r соответственно. Проекции M0
i возмущающего момента явля-
ются периодическими функциями α, γ с периодом 2π. В работах [3, 4] иссле-
дованы движения твердого тела при предположениях (2), когда восстанавли-
вающий момент постоянен k = const или k = k (θ), а также случай зависи-
мости восстанавливающего момента от медленного времени и угла нутации
одновременно k = k (τ, θ). В данной работе рассматривается случай зависи-
мости восстанавливающего момента от медленного времени и угла прецессии
k = k (ψ, θ). Зависимость восстанавливающего момента от τ и ψ приводит
к появлению в первых двух уравнениях системы (5) слагаемых, содержащих
частные производные
∂K (τ, ψ)
∂τ
и
∂K (τ, ψ)
∂ψ
. Рассмотрим возмущенное движе-
ние твердого тела в случае Лагранжа под действием возмущающего момента,
постоянного в связанных осях:
M1 = M2 = M3 = const
и восстанавливающего момента конкретного вида:
k(τ, ψ) = k(τ) sin ψ = εK(τ) sinψ.
После ряда преобразований решение усредненной системы уравнений пер-
вого приближения для медленных переменных примет вид:
θ(1) = θ0, δ(1)(τ) = C−1M0
3 τ,
tg
ψ(1)(τ)
2
= tg
ψ0
2
expF1(τ),
113
Я.С. Зинкевич, Т.А. Козаченко
a(1)(τ) = exp(1/2F (τ))(a0 + b0)1/2 cos(G + β),
b(1)(τ) = exp(1/2F (τ))(a0 + b0)1/2 sin(G + β),
F (τ) = −C−1r−1
0
τ∫
0
K
(
τ ′
) 1− tg2 ψ0
2
exp 2F1
(
τ ′
)
1 + tg2 ψ0
2
exp 2F1
(
τ ′
)dτ ′,
F1 (τ) = C−1r−1
0
τ∫
0
K
(
τ ′
)
dτ ′, tgβ =
b0
a0
,
G (τ) = C−1r−1
0 cos θ0
τ∫
0
K
(
τ ′
)
sinψ(1)
(
τ ′
)
dτ ′,
sinψ(1) (τ) =
2 tg2 ψ0
2
expF1 (τ)
1 + tg2 ψ0
2
exp 2F1 (τ)
.
Отметим некоторые качественные особенности движения в данном случае.
Угол прецессии 2π-периодическая переменная, для которой выполняется со-
отношение tg
ψ
2
≥ tg
ψ0
2
. Медленные переменные a, b являются произведени-
ем осциллирующего сомножителя с частотой, обусловленной видом восста-
навливающего момента и экспоненциального сомножителя. Определим эво-
люцию углов прецессии и нутации во втором приближении:
ψ∨ε (t) = 2 arctg
[
tg
ψ0
2
exp(F1(εt))
]
+ ε exp (−F (εt))
εt∫
0
g(τ) exp (F (τ))dτ + S1,
S1 = εAC−1r−1
0 cosecθ exp(1/2F (εt))
[
a0 cos(α−G) + b0 sin(α−G)
]
,
θ∨ε (t) = θ0 + εAC−2r−2
0 sin θ0
εt∫
0
∂K(τ, ψ(1)(τ))
∂τ
dτ+
+
1
4
AC−3r−3
0 sin θ0
εt∫
0
K2(τ) sin 2ψ(1)dτ + S2,
S2 = εAC−1r−1
0 exp(1/2F (εt))
[
a0 sin(α−G)− b0 cos(α−G)
]
,
α(t) = ϕ0 + CA−1r0t +
1
2
ε2A−1M0
3 t2 − εC−1r0 cos θ
t∫
0
K(εt′) sin ψ(1)(εt′)dt′,
g(τ) = AC−3r−3
0 cos θ0K
2(τ) sin2 ψ(1) − C−2r−2
0 K(τ) sin ψ(1)M0
3 τ.
114
Эволюция вращений твердого тела
Зависимость восстанавливающего момента от медленного времени и угла пре-
цессии привела к усложнению приближенных выражений для угла прецессии
и нутации. Полученные второе и третье слагаемые в ψ∨ε (t) дополняют извест-
ное из приближенной теории гироскопов выражение для угловой скорости
прецессии.
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. – М.: Наука, 1974. – 503 с.
2. Волосов В. М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных
систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 c.
3. Кушпиль Т.А., Тимошенко И.А., Лещенко Д.Д. Некоторые задачи эволюции вращений
твердого тела под действием возмущающих моментов // Механика твердого тела. –
2000. – Вып. 30. – С. 119–125.
4. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Возмущенные вращения твердого те-
ла под действием нестационарного восстанавливающего момента // Там же. – 2002. –
Вып. 32. – С. 77–84.
Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса, Украина
yaninaz@mail.ru,kushpil.ru@rambler.ru
Получено 10.09.08
115
|