Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка"
Рассмотрена замкнутая система n гироскопов Лагранжа, связанных упругими цилиндрическими шарнирами. Эта система может служить конечномерной моделью упругого стержня, ось которого расположена в одной плоскости во все время движения. Для системы, описывающей конфигурацию типа “восьмерки", состояще...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27995 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 151-160. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248890320617472 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 151-160. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена замкнутая система n гироскопов Лагранжа, связанных упругими цилиндрическими шарнирами. Эта система может служить конечномерной моделью упругого стержня, ось которого расположена в одной плоскости во все время движения. Для системы, описывающей конфигурацию типа “восьмерки", состоящей из четырех, шести и восьми тел, найдены положения равновесия и определены значения геометрических параметров, при которых эти положения устойчивы.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2008. Вып. 38
УДК 531.38
c©2008. И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
УСТОЙЧИВОСТЬПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗАМКНУТОЙ
СИСТЕМЫ ТЕЛ КОНФИГУРАЦИИ “ВОСЬМЕРКА”
Рассмотрена замкнутая система n гироскопов Лагранжа, связанных упругими цилиндриче-
скими шарнирами. Эта система может служить конечномерной моделью упругого стержня,
ось которого расположена в одной плоскости во все время движения. Для системы, опи-
сывающей конфигурацию типа “восьмерки”, состоящей из четырех, шести и восьми тел,
найдены положения равновесия и определены значения геометрических параметров, при
которых эти положения устойчивы.
Введение. Использование системы n твердых тел, связанных упругими
шарнирами, для моделирования колебаний балочных конструкций (систем с
малым прогибом) оказалось весьма эффективным при изучении устойчиво-
сти их малых колебаний [1, 2]. Как установлено в работах [3, 4], конечномер-
ные системы можно использовать и для моделирования движения стержне-
вых систем, допускающих прогибы значительной величины. Выражение для
упругого момента в этом случае получено в работе [4].
Особый интерес к изучению стержневых систем появился в последние
годы в связи с активным использованием их в качестве моделей третичной
структуры молекул ДНК. Эти молекулы могут иметь как незамкнутую, так и
замкнутую форму, однако, как отмечено в [5], “геномные ДНК многих бакте-
рий и прекариот имеют кольцевую структуру”, и поэтому именно замкнутые
системы являются объектом исследования многих ученых. В этой связи, к
примеру, можно отметить работы [5–9].
Для замкнутых стержневых систем были найдены различные формы рав-
новесия оси, такие как “круговая” [5–7], “восьмерка” и “роза” [8, 9]. Конечно-
мерные аналоги таких конфигураций были найдены в работах [3, 4, 10], при
этом решения уравнений равновесия системы были выписаны в элементарных
функциях. Следующим шагом при изучении поведения систем в окрестности
найденных решений является установление и изучение условий устойчивости
найденных положений равновесия.
В настоящей работе получены достаточные условия устойчивости формы
оси стержня для конфигурации типа ”восьмерки” в случае, когда ось стержня
остается в одной плоскости.
1. Постановка задачи. Рассмотрим замкнутую систему n гироскопов
Лагранжа, связанных упругими цилиндрическими шарнирами. Полагаем, что
шарниры расположены в точках Oj пересечения осей симметрии тел Sj , оси
симметрии OjOj+1 = hj лежат в одной плоскости OXY , а оси шарниров
перпендикулярны этой плоскости. Как установлено в [4], упругий момент в
шарнире равен Lj = k2 sin(ψj − ψj−1). При малой разности углов ψj и ψj−1
151
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
будем считать этот момент равным
Lj = k2(ψj − ψj−1), j = 1, n, (1)
где k2 = c2/(2h), c2− изгибная жесткость, h = min
j
hj , ψj− угол поворота те-
ла Sj вокруг оси j-го шарнира, угол ψ0 определяется из условий закрепления
точки O1, и в случае замкнутых систем (O1 = On+1), как и в [3, 4], считаем
ψ0 = ψn.
Введенная конечномерная система позволяет нам моделировать колеба-
ние упругого стержня, ось которого расположена в одной плоскости во все
время движения.
Как и в [3, 4], полагаем, что на систему не действуют внешние силы и
моменты, тогда из (1) следует, что потенциальная энергия системы равна
Π =
k2
2
n∑
j=1
(ψj − ψj−1)2. (2)
Для замкнутых систем имеем
n∑
j=1
hj =
n∑
j=1
hjex
j = 0, (3)
где ex
j− единичный орт оси OjOj+1, составляющий угол ψj с осью OX. Тогда
ex
j = cosψjex +sinψjey (здесь ex, ey соответственно орты осей OX и OY ) и из
(3) получаем два скалярных соотношения, которым должны удовлетворять
углы ψj :
f1 =
n∑
j=1
hj cosψj = 0, f2 =
n∑
j=1
hj sinψj = 0. (4)
Как известно [11, 12], для систем с дополнительными нелинейными связя-
ми, наложенными на переменные, положения равновесия находятся из усло-
вия
δL = δΠ + λ1δf1 + λ2δf2 = 0, (5)
где λ1, λ2 – неопределенные множители Лагранжа. Из (2), (4), (5) получаем
систему уравнений
k2(ψj+1− 2ψj +ψj−1) = hj(λ1 cosψj −λ2 sinψj), j = 1, n, ψn+1 = ψ1, (6)
которая вместе с (4) позволяет определить как неизвестные углы ψj , так и
множители Лагранжа λ1, λ2. Система уравнений (6) совпадает с полученной
ранее в работе [4] при условии малости разности углов ψj , ψj−1. При этом
в [4] роль множителей Лагранжа λ1, λ2 играют реакции связи в шарнирных
сочленениях, найденные с учетом замкнутости системы.
152
Устойчивость положения равновесия системы тел конфигурации “восьмерка”
В [3] было установлено, что в случае λ1 = λ2 = 0, ψj = 2πj/n + αj , hj = h
равновесная форма является конечномерной моделью круговой конфигура-
ции оси стержня.
Для конечномерной системы, описывающей конфигурацию оси типа “вось-
мерки”, явный вид решения для конкретного числа тел в системе был получен
в [4]. Далее будем называть эту систему “восьмеркой”. Для таких систем пола-
галось, что они содержат четное число тел (n = 2N), и, кроме того, системы
считались симметричными относительно оси OX. При этих предположениях
доказано [4], что имеют место соотношения
ψN+l = π − ψl, hN+l = hl (l = 1, N), λ2 = 0. (7)
Как установлено в [4, 13], одинаковые конечномерные конфигурации мо-
гут быть реализованы при различном числе тел в системе в зависимости от
наличия или отсутствия шарнира в точке O пересечения осей симметрии тел.
Так, на рис. 1 при отсутствии шарнира система содержит четыре тела, а при
наличии – шесть. На рис. 2 соответственно имеем шесть либо восемь тел.
Рис. 1. Четыре и шесть тел. Рис. 2. Шесть и восемь тел.
2. Частные случаи “восьмерки”. Рассмотрим системы, изображенные
на рис. 1. Как отмечалось выше, это могут быть системы, состоящие из че-
тырех либо шести тел. Тогда, обозначая через ψ0
k (k = 1, 2N) стационарное
решение системы (6), найденное с учетом (4), µ = λ1/k2, H1 = O1O2 (в слу-
чае четырех тел H1 = h1, а в случае шести H1 = h1/2) и, учитывая (7), имеем
решение для случая четырех тел
ψ0
1 = −ψ, ψ0
2 = ψ0
4 =
π
2
, ψ0
3 = π + ψ (8)
и для шести тел
ψ0
1 = ψ0
2 = −ψ, ψ0
3 = ψ0
6 =
π
2
, ψ0
4 = ψ0
5 = π + ψ; (9)
здесь sinψ = h2/H1. При этом в обоих случаях
µ =
π + 2ψ
H1 cosψ
> 0. (10)
153
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Очевидно, что решение существует при условии h2/H1 < 1.
Следующая конфигурация, изображенная на рис. 2, может быть пред-
ставлена либо шестью, либо восемью телами. Тогда решения уравнений рав-
новесия (6) с учетом (4) и (7) будут следующими. Для шести тел
ψ0
1 = ψ0
3 = θ, ψ0
2 = −ψ, ψ0
4 = ψ0
6 = π − θ, ψ0
5 = π + ψ, (11)
а для восьми –
ψ0
1 = ψ0
4 = θ, ψ0
2 = ψ0
3 = −ψ, ψ0
5 = ψ0
8 = π − θ, ψ0
6 = ψ0
7 = π + ψ. (12)
Оба эти решения реализуются, когда сила реакции связи равна
µ =
2(θ + ψ)
H2 cosψ
, (13)
где H2 = O2O3, а углы ψ и θ удовлетворяют соотношению
(θ + ψ) tg ψ = (π − 3θ − ψ) tg θ. (14)
Поскольку углы ψ и θ острые, это соотношение выполняется при условии
π − 3θ − ψ > 0, которое реализуется в области 0 < ψ < π/2, 0 < θ < π/3. Из
(14) можно найти значения ψ и θ, при которых решения (11) и (12) существу-
ют. Численное решение этого уравнения представлено на рис. 3. Отметим,
что для равных углов из (14) следует ψ = θ = π/6.
Рис. 3. Область существования решений (11), (12).
Замечание. В [4] проведен полный анализ условий существования ре-
шения (11) для случая, в котором учтена нелинейность упругого момента.
В явном виде найдены значения углов θ и ψ в зависимости от параметра
a = h1/H2:
sin θ =
√
1− p2
4a2 − p2
, sinψ = 2a
√
1− p2
4a2 − p2
,
154
Устойчивость положения равновесия системы тел конфигурации “восьмерка”
где p = −2a+1+
√
1− 4a. Решения существуют в области a ∈ (0; (
√
2−1)/2).
Поскольку решение (12) реализуется при тех же условиях, что и (11), то
этот анализ может быть перенесен и на случай восьми тел в системе.
3. Исследование устойчивости положения равновесия “восьмер-
ка”. Известно, что положение изолированного равновесия консервативной
системы с голономными и стационарными связями является устойчивым при
минимуме потенциальной энергии системы. Однако, если эти связи нелиней-
ны, можно, как и в [11, 12], воспользоваться методом неопределенных мно-
жителей Лагранжа и находить минимум функции L = Π + λ1f1 + λ2f2, в
которой множители λ1, λ2 найдены из условий стационарности функции L.
Замечание. В [3] установлено, что в случае круговой оси λ1 = λ2 = 0.
Тогда L = Π и из вида потенциальной энергии (2) следует ее положительная
определенность по разности углов ψj , ψj−1 и, следовательно, устойчивость по
этим переменным [14], что как раз и свидетельствует об устойчивости формы
рассматриваемой замкнутой конфигурации.
В случае “восьмерки”, как было отмечено выше, имеем лишь λ2 = 0 и
условия устойчивости положения равновесия будут выполнены в области [15]
δ2L = δ2Π + λ1δ
2f1 > 0, δf1 = 0, δf2 = 0. (15)
Полагая в возмущенном движении ψj = ψ0
j + ξj , из (4) получаем
n∑
j=1
hjξj sinψ0
j + ... = 0,
n∑
j=1
hjξj cosψj + ... = 0. (16)
Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка малости по
переменной ξj .
Введем новые переменные Xj = ξj − ξj−1. Тогда, учитывая (4) и полагая
ξ0 = ξn, имеем
ξj =
j∑
i=1
Xi + ξn,
n∑
i=1
Xi = 0. (17)
Из (16), (17) получаем
n−1∑
i=1
Xi
n−1∑
j=i
hj sinψ0
j + ... = 0,
n−1∑
i=1
Xi
n−1∑
j=i
hj cosψ0
j + ... = 0. (18)
Подстановка (17), (18) в (15) дает возможность представить функцию δ2L в
виде
δ2L =
1
2
n−1∑
k=1
X2
k − hkµ sinψ0
k
k∑
j=1
Xj
2
+
(
n−1∑
k=1
Xk
)2
. (19)
155
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Для нахождения области выполнения достаточных условий устойчивости по-
ложения равновесия системы необходимо определить область положительной
определенности квадратичной формы (19), из которой исключены две пере-
менные согласно (18).
4. Случай четырех тел. В случае, когда система состоит из четырех
тел (см. рис. 1), решение имеет вид (8), а µ определено формулой (10). Под-
становка (8) в (18) дает X2 = −X3 = X1.
Тогда из (19) получаем δ2L = X2
1 (2 − µh2) и функция L положительна
определена по переменной X1 при условии µh2 < 2. Подставляя сюда зна-
чение µ из (10) и учитывая, что h2 = h1 sinψ, получаем неравенство, позво-
ляющее определить область определения параметра ψ, определяющего гео-
метрию системы, в которой выполнены достаточные условия устойчивости
положения равновесия в случае четырех тел
(π
2
+ ψ
)
tg ψ < 1, 0 < ψ <
π
2
. (20)
5. Случай шести тел с шарниром в точке O. Рассмотрим теперь ту
же геометрическую конфигурацию, что и в предыдущем случае (см. рис. 1),
однако теперь уже будем считать, что в точке O имеется шарнирное соедине-
ние. Тогда решение имеет вид (9), а µ по-прежнему определяется формулой
(10). Подстановка (9) в (18) дает X3 = X1, X5 = −2X1 −X2 − 2X4, и после
исключения переменных X3, X5 из (18) находим
δ2L = (3− Λ)X2
1 + X2
2 + (3 + 2Λ)X2
4 , (21)
где Λ = (π + 2ψ) tg ψ.
Используя критерий Сильвестра для определения области положительной
определенности функции (21), получаем следующие неравенства:
Λ < 1.5, Λ <
√
2, 2Λ2 + 2Λ− 1 < 0,
из которых заключаем, что квадратичная форма (21) положительно опреде-
лена, а, следовательно, выполнены достаточные условия устойчивости поло-
жения равновесия (9) в области
(π + 2ψ) tg ψ <
√
3− 1
2
, 0 < ψ <
π
2
. (22)
Из (20), (22) следует, что область выполнения достаточных условий устой-
чивости положения равновесия сужается в случае, когда в точке O имеется
дополнительный шарнир.
6. Случай шести тел без шарнира в точке O. Изучим устойчивость
решения (11). Соответствующая ему геометрическая конфигурация изобра-
жена на рис. 2. Это решение зависит уже от двух углов ψ и θ, удовлетворя-
ющих соотношению (14).
156
Устойчивость положения равновесия системы тел конфигурации “восьмерка”
Подстановка (11) в (18) с учетом (4) позволяет определить X5 и X4 сле-
дующим образом:
X5 = − 1
a1 + 2
[(a1 + 2)X1 + 2(a1 + 1)X2 − a1X3] ,
(23)
X4 = − 1
a1 + 2
[(a1 + 2)X1 + 2a1X2 − 2a1X3] ,
где a1 = 2 tg θ/ tg ψ > 0.
Из (19) и (23) получаем
δ2L =
1
(a1 + 2)2
{(a1 + 2)2(4− x)X2
1 + [a1x(3a1 + 4)− 2(5a2
1 + 6a1 + 4)]X2
2+
+[a2
1x− 2(3a2
1 + 2a1 + 4)]X2
3 + (a1 + 2)[x(3a1 + 2)− 2(5a1 + 2)]X1X2+ (24)
+(a1 + 2)[x(a1 − 2)− 2(3a1 − 2)]X1X3 + 2[x(a2
1 − 2a1 − 4)− 6a2
1]X2X3}.
Здесь x = 2h1 sin θµ > 0. Подставляя сюда значение µ из (13) и учитывая
соотношение 2h1 sin θ−H2 sinψ = 0, полученное из условий замкнутости (4),
находим
x = 2(θ + ψ) tg ψ > 0. (25)
Записывая критерий Сильвестра для квадратичной формы (24), получим сле-
дующие условия ее положительной определенности:
[(a2
1 − 4)x− 2(3a2
1 + 4a1 + 4)](x− 2)(x− 6) < 0,
x− 4 < 0, (26)
(3a1 − 2)(a1 + 2)x2 − 4(7a2
1 + 12a1 + 4)x + 2(30a2
1 + 56a1 + 56) > 0.
Из (26) заключаем, что на интервале x ∈ (0, 4) должно быть выполнено нера-
венство
[(a2
1 − 4)x− 2(3a2
1 + 4a1 + 4)](x− 2) > 0 (27)
и последнее из неравенств (26).
Поскольку выражение (3a2
1 + 4a1 + 4)/(a2
1 − 4) > 3, при a1 > 2 и выра-
жение в квадратной скобке в неравенстве (27) меньше нуля при a1 6 2, то
на заданном интервале неравенство (27) выполнено при условии 0 < x < 2.
Нетрудно убедиться, что при этом условии выполнены все неравенства (26).
Тогда, учитывая (25), получаем условие устойчивости положения равновесия
(11) в виде
(θ + ψ) tg ψ < 1. (28)
Поскольку в нашем случае θ < π/2, то из (20), (28) заключаем, что из устой-
чивости формы при n = 4 (см. рис. 1) следует и устойчивость формы при
n = 6 (см. рис. 2) при соответствующем выборе угла ψ.
157
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
7. Случай восьми тел с шарниром в точке O. Пусть теперь “вось-
мерка”, изображенная на рис. 2, состоит из восьми тел. Тогда решение имеет
вид (12). Его подстановка в (18) позволяет определить X5 и X7. Имеем
X5 =
1
b2 + 1
[−(b2 + 1)X1 − 2b2X2 + 2b2X4],
X7 = − 1
b2 + 1
[2(b2+1)X1+2(2b+1)2X2+(b2+1)X3−2b2X4+2(b2+1)X6], (29)
где b2 = tg θ/ tg ψ.
Подставляя (29) в (19), получим
δ2L = 3X1 +
1
(b2 + 1)2
[(b2 + 1)x + 11b2
2 + 10b2 + 3]X2
2 + X2
3+
+
1
(b2 + 1)2
(5b2
2 + 2b2 + 1)X2
4 +
1
b2 + 1
[x + 3(b2 + 1)2]X2
6+
+
1
b2 + 1
{[x + 2(5b2 + 10)]X2 + 2(b2 + 1)X3 + 2[x + 2(b2 + 1)]X6]}X1+ (30)
+
1
(b2 + 1)2
{2x(b2 + 1)(2b2 + 1)X3 + [2x(b2 + 1) + 13b2
2 + 6b2 + 1]X4+
+[2(2b2 + 1)x + 92
2 + 14b2 + 5]X6}X2 +
1
b2 + 1
{−(x + 2b2)X4+
+[x + 2(b2 + 1)]X6}X3 +
1
(b2 + 1)2
(2b2x + 5b2
2 + 6b2 + 1)X4X6,
где x = h1µ(b2+1) sin θ. Условия положительной определенности этой формы
следуют из критерия Сильвестра. Они могут быть представлены в виде:
F1 = x2 + 4(b2 − 1)x− 4(5b2
2 + 6b2 + 3) < 0,
F2 = x2 + 4(2b2 − 1)x− 4(8b2
2 + 10b2 + 5) < 0,
F3 = [(b2−1)−3b2
2−2b2−1][x2+2(b2+1)x−2(b2+1)2][x2−8(b2+1)2] < 0, (31)
F4 = x4 + 4(2b2 − 1)x3 − 4(5b2
2 + 8b2 + 4)x2 − 16b2(4b2 + 3)(b2 + 1)x+
+8(11b2
2 + 10b2 + 5)(b2 + 1)2) > 0.
Здесь b2 определено в (29) и оно всегда больше нуля.
Первое неравенство (31) выполнено в области x ∈ (0, x1), а второе – в
области x ∈ (0, x2), где
x1 = 2
(
1− b2 +
√
6b2
2 + 4b2 + 4
)
, x2 = 2
(
1− 2b2 +
√
12b2
2 + 6b2 + 6
)
,
158
Устойчивость положения равновесия системы тел конфигурации “восьмерка”
и поскольку x1 < x2, то оба эти неравенства выполнены на интервале
x ∈ (0, x1). (32)
Решение третьего неравенства имеет вид
0 < b2 6 1, x ∈ (0, x(1)
3 ) ∪ (x(2)
3 ,∞); b2 > 1, x ∈ (0, x(1)
3 ) ∪ (x(2)
3 , x
(3)
3 ), (33)
где x
(i)
3 (i = 1, 2, 3) – положительные корни уравнения Fi = 0, равные
x
(1)
3 = (
√
3− 1)(b2 + 1), x
(2)
3 = 2
√
2(b2 + 1), x
(3)
3 =
3b2
2 + 2b2 + 1
b2 − 1
(положительный корень x
(3)
3 существует лишь при условии b2 > 1).
Учитывая далее, что x
(1)
3 < x
(2)
3 < x1 < x
(3)
3 , из (32), (33) получаем, что
первые три неравенства выполнены в области
x ∈ (0, x
(1)
3 ) ∪ (x(2)
3 , x1). (34)
Проведем анализ последнего неравенства (31). Поскольку многочлен F4 имеет
две перемены знака коэффициентов, то он имеет не более двух положитель-
ных корней. Кроме того, учитывая, что
F4(x
(1)
3 ) > 0, F4(x
(2)
3 ) < 0, F4(x1) < 0, F4(∞) > 0,
получаем,что эти корни, которые мы обозначим x
(1)
4 , x
(2)
4 (x(1)
4 < x
(2)
4 ), распо-
ложены на промежутках
x
(1)
4 ∈ (x(1)
3 , x
(2)
3 ), x
(2)
4 ∈ (x1,∞). (35)
Тогда неравенство F4 > 0 выполнено в области
x ∈ (0, x
(1)
4 ) ∪ (x(2)
4 ,∞). (36)
Окончательно из (34)–(36) вытекает, что система неравенств (30) выполнена
на интервале x ∈ (0, x(1)
3 ). Подставляя сюда x из (30) и x
(1)
3 из (33), полу-
чаем, что достаточные условия устойчивости рассматриваемого положения
равновесия выполнены при условии
(θ + ψ) tg ψ <
√
3− 1. (37)
Из (28), (37) следует, что введение шарнира в точку O сужает область вы-
полнения достаточных условий устойчивости. Такой же эффект был отмечен
и при изучении положения равновесия для систем, изображенных на рис. 1.
Кроме того, учитывая, что θ < π/2, из (28), (37) получаем, что для значений
ψ, при которых устойчива форма при n = 6 (см. рис. 1), следует устойчивость
и формы при n = 8 (см. рис. 2). Поскольку, как отмечено в п. 5, это свой-
ство имеет место и для случаев четырех и шести тел, то можно заключить,
что для значений ψ, при которых устойчива конфигурация, изображенная на
рис. 1, следует и устойчивость конфигурации, изображенной на рис. 2.
159
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
1. Савченко А.Я., Болграбская И.А., Кононыхин Г.А. Устойчивость движения систем
связанных твердых тел. – Киев: Наук. Думка, 1991. – 166 с.
2. Bolgrabskaya I.A.Stability of permanent rotations of interconnected rigid bodies system
with small asymmetry // Multibody System Dynamics. – 2001. – 6. – P. 59–72.
3. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39.
4. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер-
дых тел // Там же. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103.
5. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // В кн.:
Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999. –
С. 308–338.
6. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. – 1986. – 21D. – P. 213–226.
7. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Meccanica 31. – 1996. – 3. –
P. 235–271.
8. Starostin E.I. Equilibrion configurations of a thin elastic rod with self contacts//Proc. Appl.
Math. Mech. – 2002. – 1. – P. 137–138.
9. Starostin E.I. Symmetric equilibria of a thin elastic rod with self contacts//Phil. Teans. K.
Soc. Lon., A,. – 2004. – 362. – P. 1317–1334.
10. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопере-
сечением // Механика твердого тела. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151.
11. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с.
12. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах
и задачах. – М.: Наука, 1968. – 304 с.
13. Bolgrabskaya I.A., Savchenko A.Ya., Shchepin N.N. Stability of two-dimensional equilibrium
positions of closed-loop systems // Тез. докл. 10 междунар. конф. “Устойчивость, управ-
ление и динамика твердого тела” (5 – 10 июня 2008, Донецк). – Донецк, 2008. – С. 110–
111.
14. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по части пе-
ременных. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
15. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1976. – 534 с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.08.08
160
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-27995 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:54Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. 2011-10-25T17:05:20Z 2011-10-25T17:05:20Z 2008 Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2008. — Вип 38. — С. 151-160. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27995 531.38 Рассмотрена замкнутая система n гироскопов Лагранжа, связанных упругими цилиндрическими шарнирами. Эта система может служить конечномерной моделью упругого стержня, ось которого расположена в одной плоскости во все время движения. Для системы, описывающей конфигурацию типа “восьмерки", состоящей из четырех, шести и восьми тел, найдены положения равновесия и определены значения геометрических параметров, при которых эти положения устойчивы. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| title | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| title_full | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| title_fullStr | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| title_full_unstemmed | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| title_short | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| title_sort | устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации "восьмерка" |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/27995 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia ustoičivostʹpoloženiâravnovesiâzamknutoisistemytelkonfiguraciivosʹmerka AT ŝepinnn ustoičivostʹpoloženiâravnovesiâzamknutoisistemytelkonfiguraciivosʹmerka |