Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной
Решена задача устойчивости для нелинейных систем дифференциальных уравнений с известной функцией со знакопостоянной производной. Решение основано на использовании метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций....
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28000 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 3-28. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860202065570037760 |
|---|---|
| author | Ковалев, А.М. |
| author_facet | Ковалев, А.М. |
| citation_txt | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 3-28. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Решена задача устойчивости для нелинейных систем дифференциальных уравнений с известной функцией со знакопостоянной производной. Решение основано на использовании метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.36
c©2009. А.М. Ковалев
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
СО ЗНАКОПОСТОЯННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Решена задача устойчивости для нелинейных систем дифференциальных уравнений с из-
вестной функцией со знакопостоянной производной. Решение основано на использовании
метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций.
Введение. Наибольшие успехи в решении задач устойчивости движения
связаны с методом функций Ляпунова [1]. Опыт применения этого метода
показал, что основную роль в успешном решении задачи играет построение
функции, производная которой в силу системы является знакоопределенной,
либо знакопостоянной. Случай, когда производная является знакоопределен-
ной функцией, полностью решается второй и третьей теоремами Ляпунова.
Движение при этом может быть асимптотически устойчивым, либо неустой-
чивым. Намного сложнее и не решенным в полной мере является случай,
когда производная является функцией знакопостоянной. На необходимость
его изучения одним из первых указал Н.Н. Красовский [2].
Важное место в развитии теории устойчивости занимает теорема Барбаши-
на–Красовского [3], которая усиливает первую теорему Ляпунова, привлекая
в рассмотрение анализ множества M обращения в нуль производной V̇ (x)
на возможность содержания этим множеством траекторий системы. Этот ре-
зультат распространен на задачи частичной устойчивости. Из работ данного
направления выделим теорему Ризито [4]. Идеи, использованные в теореме
Барбашина–Красовского, Н.Н. Красовский применил к получению условий
неустойчивости для систем со знакопостоянной производной [5]. Ключевую
роль в получении всех этих результатов играло свойство инвариантности.
Дальнейшее развитие задачи устойчивости для систем со знакопостоян-
ной производной связано с получением дополнительных функций [6–8], кото-
рые первоначально были использованы при построение функции Ляпунова
для систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского. При полу-
чении этих функций использован метод инвариантных соотношений [9, 10].
Применение дополнительных функций в общей ситуации, когда сама функ-
ция не является знакоопределенной, позволило получить новые результаты
по неустойчивости [11, 12], устойчивости [13, 14] и частичной устойчивости
[15, 16]. Основную роль в этих исследованиях сыграла Центральная теорема
(терминология настоящей статьи), дающая способ и формулы преобразова-
ния функции со знакопостоянной производной к виду, когда множество об-
ращения в нуль ее производной является инвариантным. Важность этой тео-
ремы в том, что свойство инвариантности тесно связано со свойством устой-
3
А.М. Ковалев
чивости. Это показали выполненные исследования автора и работы выше
упомянутых авторов.
Полученные результаты дают возможность решения в полном объеме за-
дачи устойчивости для систем с известной функцией со знакопостоянной про-
изводной, чему и посвящена настоящая статья.
1. Постановка задачи и методы решения. Рассматривается устой-
чивость нулевого решения системы
ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1)
где D – некоторая окрестность нуля, функция f(x) предполагается непре-
рывно дифференцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает
дифференцирование по времени t зависимой переменной x, а также функции
v(x) в силу системы (1): v̇(x) = 〈∇v(x), f(x)〉. Здесь ∇ – оператор диф-
ференцирования, в применении к скалярной функции он дает градиент, а к
вектор-функции – матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает скалярное произве-
дение.
С целью более детальной характеристики движений в окрестности нуле-
вого решения воспользуемся подходом, принятым в частичной устойчивости
[17], и введем понятия устойчивых, асимптотически устойчивых и неустой-
чивых переменных.
Определение 1. Переменная y = g(x) (y ∈ R1, y(0) = 0) называется устой-
чивой, асимптотически устойчивой, неустойчивой, если нулевое решение си-
стемы (1) является, соответственно, устойчивым, асимптотически устойчи-
вым, неустойчивым относительно этой переменной. Отметим, что устойчивые
переменные (по определению) при неограниченном возрастании времени не
стремятся к нулю, оставаясь все время в заданной ограниченной области.
Сформулируем следующие задачи, решение которых направлено на со-
здание конструктивных методов теории устойчивости.
Задача 1. Выделить устойчивые, асимптотически устойчивые и неустой-
чивые переменные для системы (1), если для нее известна функция со зна-
копостоянной производной.
Задача 2. Для системы (1) получить функцию, производная которой яв-
ляется знакопостоянной функцией.
Отметим, что задача 1 является обобщением решенной в работе [15] зада-
чи 1, в которой дополнительно требуется знакоопределенность самой функ-
ции. Частные случаи задачи 1 решены в работах [11–16]. Задача 2 решена
для линейных систем [15], за исключением некоторых особых случаев, для
которых решение задачи устойчивости тривиально.
Настоящая статья посвящена задаче 1. Ее решение будет проводиться с
помощью двух методов: метода функций Ляпунова и метода дополнительных
функций, основные элементы которого излагаются ниже.
2. Дополнительные функции. Теорема Барбашина–Красовского вы-
явила важность исследования множества M обращения в нуль знакопосто-
4
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
янной производной V̇ (x) функции Ляпунова V (x) на наличие в этом мно-
жестве траекторий системы. Решение этого вопроса и новую информацию
о свойствах производной дает метод инвариантных соотношений. Приведем
необходимые для дальнейшего рассмотрения результаты.
Определение 2. Множество G ⊂ D называется инвариантным множе-
ством системы (1), если всякое решение x(t), имеющее с G общую точку x(t∗),
целиком принадлежит этому множеству: x(t) ∈ G, t ∈ [t0,∞).
Определение 3. Соотношение ϕ(x) = 0 называется инвариантным соот-
ношением системы (1), если определяемое им множество содержит инвари-
антное множество системы (1).
Удобным инструментом для проверки, является ли заданное соотношение
инвариантным соотношением системы (1), является следующая теорема.
Теорема 1 [10]. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0
(∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ G) инвариантное множество G системы (1) опре-
делено уравнениями
ϕ(i)(x) = 0 (i = 0, 1, ..., l − 1), (2)
где l – число функционально независимых функций в последовательности
ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), ... . (3)
С использованием теоремы 1 устанавливается важное свойство, необходи-
мое для преобразования функции со знакопостоянной производной.
Лемма 1. Пусть множество M = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} ⊂ D содер-
жит инвариантное множество N , определяемое первыми l независимыми
функциями последовательности (3). Тогда для каждой точки x0 ∈ M\N
найдется k такое, что ϕ(k)(x0) 6= 0.
Док а з а т е л ь с т в о. С целью указания значения k каждой точки x0 ∈
∈ M\N будем искать решение системы (2) путем последовательного реше-
ния подсистем ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0, ..., ϕ(j)(x) = 0, j = 1, 2, ..., l − 1. Для
системы ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0 существуют точки x(1)
0 , для которых ϕ(x(1)
0 ) = 0,
ϕ̇(x(1)
0 ) 6= 0. Эти точки принадлежат множеству M\N . Для следующей си-
стемы ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0, ϕ̈(x) = 0 существуют точки x
(2)
0 , для которых
ϕ(x(2)
0 ) = 0, ϕ̇(x(2)
0 ) = 0, ϕ̈(x(2)
0 ) 6= 0. Наконец, для последней системы, совпа-
дающей с системой (2), ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0, ..., ϕ(l−1)(x) = 0 существуют точки
x
(l−1)
0 , для которых ϕ(x(l−1)
0 ) = 0, ϕ̇(x(l−1)
0 ) = 0, ..., ϕ(l−1)(x(l−1)
0 ) 6= 0.
Из рассмотрения следует, что M\N =
l−1⋃
i=1
x
(i)
0 и при этом ϕ(i)(x(i)
0 ) 6= 0
i = 1, 2, ..., l − 1, что и доказывает лемму. �
Отметим, что данная лемма обобщает лемму 1, доказанную для систем,
удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского [7, 8] и для которых вы-
полнено дополнительное условие N = ∅.
5
А.М. Ковалев
Лемма 1 дает возможность использовать производные ϕ(s)(x) для умень-
шения множества обращения в нуль производной V̇ (x). Для этого к функции
V (x) прибавляется функция, производная которой положительна на множе-
стве M , а вне множества M значения этой функции могут быть подобраны
так, чтобы не изменять свойства функций V̇ (x), V (x), прежде всего знако-
постоянство V̇ (x) и, возможно, знакоопределенность V (x). В соответствии
со своим назначением эти функции названы дополнительными функциями
(имеется ввиду, к функции V (x)). В простейшем случае, когда вопрос суще-
ствования инвариантного множества N ⊂M для системы (1) решается двумя
первыми членами последовательности (3): ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0, дополнитель-
ная функция (первого типа) имеет вид:
Va(x) = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m
〈
〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x)
〉
. (4)
Основное свойство функции (4) определяется следующей леммой.
Лемма 2. Пусть функция V (x) имеет знакопостоянную производную
V̇ (x), которая обращается в нуль на множествеM = {x : ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) 6=
6= 0}, содержащем инвариантное множество N , определяемое уравнениями
ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0. Тогда производная функции (4) принимает на множе-
стве M \N положительное значение
V̇a(x) = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m+2 и V̇a(x) = 0 для x ∈ N.
Док а з а т е л ь с т в о. Непосредственным дифференцированием функции
(4) находим V̇a = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m+2 для x ∈M . Неравенство 〈∇ϕ(x), f(x)〉 6=
6= 0 для x ∈M\N следует из леммы 1. Равенство V̇a(x) = 0 для x ∈ N следует
из условия инвариантности множества N . Лемма доказана. �
Определяющую роль в построении дополнительной функции играет зна-
чение ее производной на множествеM\N ⊂M , поэтому в формуле (4) доста-
точно учитывать лишь ненулевые на множестве M значения функции f(x).
Это приводит к тому, что при исследовании устойчивости с применением до-
полнительных функций систему (1) целесообразно преобразовать к виду
ẋ = fM (x) + fN (x), (5)
где функция fM (x) обращается в нуль на множестве M , а функция fN (x)
отлична от нуля на множестве M .
Представление (5) дает возможность упростить функцию (4):
Va(x) = 〈∇ϕ(x), fN (x)〉2m
〈
〈∇ϕ(x), fN (x)〉, ϕ(x)
〉
. (6)
Для построения дополнительных функций Va большое значение имеет
структура множества M , определяемая его геометрическими и дифферен-
циальными особенностями. Во-первых (геометрические особенности), множе-
ство M может быть суммой подмножеств M =
s⋃
i=1
Mi, Mi = {x : ϕi(x) = 0,
6
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
∇ϕi(x) 6= 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk
⋂
Mm могут содержать
ненулевые точки для некоторых k,m, что также необходимо учитывать. Во-
вторых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi во-
прос о существовании инвариантного множества может не решаться первыми
двумя членами последовательности (3), т.е. в лемме 1 для точек x0 ∈Mi су-
ществуют k > 1.
Решение вопроса с геометрическими особенностями приводит к новой до-
полнительной функции (второго типа), производная которой принимает по-
ложительные значения на множестве Mi и обращается в нуль на остальных
множествах Mj :
Vai(x) = 〈∇ϕi(x), f(x)〉2m
〈
〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)
〉 s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x). (7)
Для функции (7) сохранено предположение о том, что вопрос инвариант-
ности множества Ni ⊂Mi решается двумя первыми членами последователь-
ности (3). Справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Пусть функция V (x) имеет знакопостоянную производную
V̇ (x), которая обращается в нуль на множестве M =
s⋃
i=1
Mi, Mi = {x :
ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}. Множества Mi содержат инвариантные множе-
ства Ni, определяемые уравнениями ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0. Тогда производ-
ная функции (7) принимает на множестве Mi \Ni положительное значе-
ние V̇ai(x) = 〈∇ϕi(x), f(x)〉2m+2
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x) и V̇ai(x) = 0 для x ∈ Ni, x ∈ Mj
(j 6= i, j = 1, ..., s).
Док а з а т е л ь с т в о. Вычисляем производную функции (7)
V̇ai(x) =
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x)
(
〈∇ϕi(x), f(x)〉2m d
dt
〈
〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)
〉
+
+
〈
〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)
〉 d
dt
〈∇ϕi(x), f(x)〉2m
)
+
+〈∇ϕi(x), f(x)〉2m
〈
〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)
〉 d
dt
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x). (8)
Для x ∈Mi\Ni имеем ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 〈∇ϕi(x), f(x)〉 6= 0 и из формулы (8)
получаем V̇ai(x) = 〈∇ϕi(x), f(x)〉2m+2. Для x ∈ Ni имеем ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0,
и для x ∈ Mj выполнено ϕj(x) = 0 (j 6= i, j = 1, ..., s). Для этих значений x
из формулы (8) следует V̇ai(x) = 0. Лемма доказана. �
7
А.М. Ковалев
При использовании дополнительных функций Vai второго типа также ока-
зывается полезным преобразование системы (1) к виду
ẋ = fMi(x) + fNi(x), (9)
где функция fMi(x) обращается в нуль на множестве Mi, а функция fNi(x)
отлична от нуля на множестве Mi.
С помощью представления (9) функция (7) упрощается
Vai(x) = 〈∇ϕi(x), fNi(x)〉2m
〈
〈∇ϕi(x), fNi(x)〉, ϕi(x)
〉 s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x). (10)
Вопрос с дифференциальными особенностями для дополнительных функ-
ций первого и второго типа решается путем последовательного рассмотрения
множеств, на которых соответствующие производные отличны от нуля, как
это сделано при доказательстве леммы 1.
3. Центральная теорема. Применим дополнительные функции к пре-
образованию функции, имеющей знакопостоянную производную, для расши-
рения множества знакоопределенности ее производной. Сначала рассмотрим
случай, когда вопрос инвариантности решается двумя первыми членами по-
следовательности (3), т.е. содержащееся в множестве M = {x : V̇ (x) = 0}
инвариантное множество N определяется системой ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0. В
этом случае достаточно использовать дополнительную функцию первого ти-
па. Предварительно преобразуем систему (1) с помощью замены переменных,
вводимой следующей леммой.
Лемма 4. Пусть множество M = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} содержит
инвариантное множество N = {x : ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0,∇ϕ(x) 6= 0}; функ-
ции ϕ1(x), ..., ϕk(x), ϕ̇1(x), ..., ϕ̇l(x) (l ≤ k) являются независимыми и через
них выражаются все функции последовательности (3). Тогда с помощью
невырожденной замены переменных
yj = ϕj(x), j = 1, ..., k; z(1)s = ϕ̇s(x), s = 1, ..., l;
(11)
z(2)i = xm+i, i = 1, ..., n−m, m = k + l
система (1) приводится к виду
ẏ = F (y, z(1)), ż(1) = F(1)(y, z(1)), ż(2) = F(2)(y, z(1), z(2)). (12)
Для обеспечения невырожденности замены (11), при необходимости, мо-
жет быть изменена нумерация переменных xi, ϕj.
Док а з а т е л ь с т в о. Выберем переменные xi, ϕj таким образом, чтобы
замена (11) была невырожденной. Производные ẏ, ż(1) запишем с использо-
ванием функций ϕ, ϕ̇, ϕ̈, ... . Имеем ẏi = ϕ̇i(x), ż(1)j = ϕ̈j(x) (i = 1, ..., k;
8
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
j = 1, ..., l). В силу того, что все функции последовательности (3) выра-
жаются через ϕ1(x), ..., ϕk(x), ϕ̇1(x), ..., ϕ̇l(x), получаем ẏ = F (y, z(1)), ż(1) =
= F(1)(y, z(1)). Производные от z(2)s = xs+m (s = 1, ..., n−m) зависят от всех
переменных y, z(1), z(2), откуда получаем последнюю из формул (12). Лемма
доказана. �
Замечание 1. Отметим важное свойство замены (11). С ее помощью вы-
полнена редукция исходной системы (1) к системе на множестве D \N , опи-
сываемой двумя первыми уравнениями системы (12).
Используя вид (4), (6) дополнительной функции первого типа, ее свойства
и свойства преобразованной системы (12), определяемые леммами 2, 4, дока-
жем следующую теорему, являющуюся упрощенным вариантом Центральной
теоремы.
Теорема 2. Пусть функция V (x) имеет знакопостоянную производную
V̇ (x), обращающуюся в нуль на множестве M = {x : ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) 6=
6= 0}. Множество M содержит инвариантное множество N = {x : ϕ(x) =
= 0, ϕ̇(x) = 0,∇ϕ(x) 6= 0}. Предполагаем, что функции f(x), ϕ(x), V (x) явля-
ются дифференцируемыми достаточное число раз, знакопостоянство V̇ (x)
и выполнение неравенства 〈∇ϕ(x), f(x)〉 6= 0 определяются членами разло-
жения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда существуют числа
m,α такие, что производная функции Vf (x) = V (x) + αVa(x) сохраняет
знак для x ∈ D \N и обращается в нуль для x ∈ N . Неравенство V̇f нулю на
множестве D \ N определяется членами разложения в окрестности нуля
конечного порядка. Здесь функция Va(x) определена формулой (6).
Док а з а т е л ь с т в о. Используя лемму 4, с помощью преобразования (11)
приведем систему (1) к виду (12). При этом в силу определения множества
M производная V̇ (x) будет знакоопределенной функцией от y. Поэтому для
преобразования V̇ (y) достаточно ограничиться редуцированной системой
ẏ = F (y, z(1)), ż(1) = F(1)(y, z(1)). (13)
Отметим, что множество M определяется уравнением y = 0, а ϕ̇(x) и после-
дующие производные зависят только от y, z(1), и в силу леммы 1 для всех
точек (0, z(1)) выполняется ϕ̇(0, z(1)) 6= 0 при z(1) 6= 0. Систему (13) запишем
в виде (5)
ẏ = FM (y, z(1)) + FN (z(1)), ż(1) = F(1)M (y, z(1)) + F(1)N (z(1)). (14)
В соответствии с определением функций FM , FN для функции (6) полу-
чаем выражение Va(y, z(1)) = F 2m
N (z(1))〈FN (z(1), y)〉, причем FN (z(1)) 6= 0 при
z(1) 6= 0. Используем полученное выражение для вычисления производной
V̇a(y, z(1)) функции Va(y, z(1)) в силу системы (14)
V̇a(y, z(1)) = F 2m+2
N (z(1)) + F 2m
N (z(1))〈FN (z(1)), FM (y, z(1))〉+
9
А.М. Ковалев
+F 2m
N (z(1))
〈
〈∇FN (z(1)), F(1)M (y, z(1)) + F(1)N (z(1))〉, y
〉
+
+2mF 2m−2
N (z(1))
〈
〈∇FN (z(1)), F(1)M (y, z(1))+
+F(1)N (z(1))〉, FN (z(1))
〉
〈FN (z(1), y)〉. (15)
Производную V̇f представим в виде
V̇f = V̇ (y) + αF 2m+2
N (z(1)) + V̇fa(y, z(1)). (16)
В силу условия FN (z(1)) 6= 0 для z(1) 6= 0 заключаем, что при α =
= signV̇ (y) функция V̇ (y) + αF 2m+2
N (z(1)) знакоопределена. Для установле-
ния знакоопределенности V̇f проанализируем влияние V̇fa(y, z(1)).Оценим ма-
лость слагаемых V̇f , используя представление (16). Пусть β – максимальный
порядок формы в разложении V̇ . Из формул (15), (16) находим V̇fa(y, z(1)) ∼
∼ O(‖FN (z(1))‖2m)O(‖y‖). Поскольку разложение FN (z(1)) начинается с чле-
нов не ниже первой степени z(1), то ‖FN (z(1))‖ ∼ o(‖(z(1))‖) и V̇fa(y, z(1)) ∼
∼ o(‖z(1)‖2m)O(‖y‖). Оценим влияние функции V̇fa(y, z(1)) для y ∼ zk
(1) при
k > 0. Для 0 < k ≤ 2, приняв m > β, имеем V̇fa ∼ o(V̇ ), а для k > 2
имеем V̇fa ∼ o(‖FN (z(1))‖2m+2). Отсюда следует, что функция V̇fa(y, z(1))
при сделанных предположениях не нарушает знакоопределенность V̇ (y)+
+αF 2m+2
N (z(1)). При этом неравенство V̇f нулю при (y, z(1)) 6= 0 определя-
ется членами разложения в окрестности нуля конечного порядка. Подводя
итог, можно утверждать, что теорема справедлива, если выбрать m = β, α =
= signV̇ (y). �
Замечание 2. В случае N = ∅ данное доказательство совпадает с доказа-
тельством теоремы о построении функции Ляпунова для систем, удовлетво-
ряющих теореме Барбашина–Красовского [6].
Перейдем к рассмотрению общего случая, характеризуемого наличием
геометрических и дифференциальных особенностей, упомянутых выше. Для
построения дополнительной функции Va, обеспечивающей искомое преобра-
зование производной, предлагается следующая схема:
1. Множество M = {x : ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) 6= 0} представляется в виде
суммы множеств Mi = {x : ϕi(x) = 0,∇ϕi(x) 6= 0} без пересечений: M =
=
s⋃
i=1
Mi, Mk
⋂
Mm = ∅ (k,m = 1, ..., s).
2. Каждое множествоMi представляется в виде суммы подмножествMi =
=
si⋃
j=1
Mij таких, что ∀x ∈Mij имеем
ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0, ..., ϕ(j−1)
i (x) = 0, ϕ(j)
i (x) 6= 0.
10
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
3. Для каждого подмножества Mij строится дополнительная функция
Vaij(x) второго типа (7) или ее упрощенная форма (10).
4. Выбираются значения параметров mij , αij и строится функция Vf (x) =
= V (x) +
∑
αijVaij(x) со знакоопределенной производной на множестве, рас-
ширенном по сравнению с исходным множеством M для функции V (x).
Построение проводится поэтапно последовательным добавлением к исход-
ной функции V (x) дополнительных функций с выбором соответствующих
значений параметров mij , αij . Доказательство знакоопределенности на каж-
дом этапе совпадает с доказательством теоремы 2 для дополнительной функ-
ции первого типа. При построении возможны два случая. В первом случае
уравнения (2) для l = si допускают только нулевое решение, т.е. все мно-
жества Mi не содержат инвариантного множества. Во втором случае наря-
ду с множествами Mi, не содержащими инвариантных множеств, имеются
множества M1, ...,Mc, содержащие инвариантные множества, описываемые
функциями ϕp1(x), ..., ϕpc(x) : ϕpi(x) = 0, i = 1, ..., c. Пусть среди функ-
ций ϕpi(x) имеется k независимых. Примем их в качестве новых перемен-
ных yi = ϕpi(x), i = 1, ..., k. Тогда дополнительные функции, соответствую-
щие первой группе, обеспечивают знакоопределенность производной на соот-
ветствующих множествах, а функции второй группы приводят к знакоопре-
деленности лишь по отношению к переменным yi. Поэтому построенная по
предложенной схеме функция Vf (x) будет иметь y-знакоопределенную про-
изводную. Более точно, справедлива теорема.
Теорема 3 (Центральная теорема). Пусть для системы (1) существует
функция V (x), производная которой в силу системы (1) является знако-
постоянной функцией. Множество M = {x : V̇ (x) = 0} представляется
суммой множеств M =
s,si⋃
i=1
j=1
Mij
Mij = {x : ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0, ..., ϕ(j−1)
i (x) = 0, ϕ(j)
i (x) 6= 0,∇ϕi(x) 6= 0},
(17)
Mij
⋂
Mkl = ∅.
Предполагаем, что V (x), ϕi(x) – функции, дифференцируемые достаточное
число раз, знакопостоянство V̇ (x) и неравенства ϕ(j)
i (x) 6= 0 определяются
членами разложения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда суще-
ствуют числа mij , αij такие, что функция
Vf (x) = V (x) +
s,si∑
i,j=1
αijVaij(x) (18)
будет иметь y-знакоопределенную производную и множество обращения ее
в нуль является инвариантным множеством.
11
А.М. Ковалев
Здесь функции Vaij(x) определены формулами (4), (7); yT = (y1, ..., yk),
yi = ϕpi(x) – независимые функции, с помощью которых описываются ин-
вариантные множества, содержащиеся в множествах Mij.
Док а з а т е л ь с т в о. В силу сделанных предположений для установления
знакоопределенности V̇f (x) достаточно проанализировать разложения V̇ (x)
и V̇aij(x). Построение функции Vf (x), обеспечивающее знакоопределенность
V̇f (x) (и, соответственно, доказательство), проводится поэтапно, последова-
тельным добавлением дополнительных функций, построенных для множеств
Mij . На начальном этапе множества Mij делятся на две группы: 1) не содер-
жащие инвариантных множеств; 2) содержащие инвариантные множества.
Среди функций ϕpi, описывающих множества второй группы, выбираются
независимые функции yi = ϕ
(ki)
pli
, i = 1, ..., k, через которые выражаются
все функции ϕpi, используемые при формировании множеств Mij . При этом
каждое множество Mij описывается уравнениями
Φijl(y1, ..., yk) = 0, l = 1, ..., kij , (19)
где Φijl(y1, ..., yk) – независимые функции последовательности ϕi(x), ϕ̇i(x), ...,
ϕ
(j−1)
i (x). Поскольку по построению ϕ
(j)
i (x) 6= 0, то при y2
1 + ...+y2
k 6= 0 имеем
kij∑
l=1
Φ̇2
ijl(y1, ..., yk) > 0. (20)
С учетом изложенного с помощью формулы (7) для функции Vaij(x) по-
лучаем выражение
Vaij(x) = 〈∇Φij(y), f(y, z)〉2mij
〈
〈∇Φij(y), f(y, z)〉,Φij(y)
〉 ∏
(k,l) 6=(i,j)
Φ2
kl(y). (21)
Здесь функции y(x) = (y1(x), ..., yk(x))T , z(x) = (z1(x), ..., zn−k(x))T являют-
ся достаточное число раз дифференцируемыми функциями, при этом y(0) =
= 0, z(0) = 0, det
∂(y, z)
∂x
∣∣∣
x=0
6= 0; Φij(y) = (Φij1(y), ...,Φijkkij
(y))T . Необходи-
мо отметить, что Vaij = Vaij(y), поскольку величина 〈∇Φij(y), f(y, z)〉 состоит
из производных функций ϕi(x) и в силу сделанных предположений выра-
жается через переменную y. Это же замечание справедливо и относительно
производных V (s)
aij в силу системы (1).
Для множеств Mij первой группы строится функция Vf1(x), производная
которой обращается в нуль лишь на множествах второй группы, а в осталь-
ных точках области D сохраняющая знак. Для множеств Mij второй группы
из формул (19)–(21) следует, что V̇aij(y) > 0 для y ∈ Mij . Повторяя дока-
зательство теоремы 2 знакоопределенности функции V̇f = V̇s + αVa(x), по-
лучаем, что производная функции (17) будет y-знакоопределенной. В силу
12
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
построения множество обращения производной функции (18) в нуль являет-
ся инвариантным. Теорема доказана. �
Замечание 3. В качестве дополнительных функций Vaij вместо опреде-
ленных формулой (7) можно использовать упрощенные функции (10).
Теорема 3 будет использована для преобразования функции Ляпунова
при решении задачи 1.
4. Основные теоремы. Решение задачи 1 из п. 1 требует применения
методов исследования устойчивости по всем и по части переменных. Удоб-
ный аппарат для этого дает метод дополнительных функций, позволивший
модернизировать теоремы Ляпунова, объединив исследования по всем и по
части переменных и перейдя к координатному описанию на основе опреде-
ления 1. Приведем теоремы, необходимые для решения задачи 1. Начнем
с выделения асимптотически устойчивых переменных. Этот вопрос решает
следующая теорема [15, 16].
Теорема 4. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функ-
ция V (x), производная которой в силу системы (1) является знакопосто-
янной, знака противоположного V (x). Множество M = {x : V̇ (x) = 0}
представляется суммой множеств M =
s,si⋃
i=1,
j=1
Mij, описываемых формулами
(17). Предполагаем, что V (x), ϕi(x) – функции, дифференцируемые доста-
точное число раз, знакоопределенность функции V (x) определяется формой
конечного порядка; знакопостоянство V̇ (x) и неравенства ϕ(j)
i (x) 6= 0 опреде-
ляются членами разложения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда
существуют числа mij , αij такие, что функция (18) будет знакоопределен-
ной, а ее производная V̇f (x) будет y-знакоопределенной, знака, противопо-
ложного Vf (x), и нулевое решение системы (1) будет устойчиво по всем
переменным и асимптотически y-устойчиво.
Здесь функции Vaij(x) определены формулами (4), (7); yT = (y1, ..., yk),
yi = ϕpi(x) – независимые функции, с помощью которых описываются ин-
вариантные множества, содержащиеся в множествах Mij.
Док а з а т е л ь с т в о. Условия теоремы 4 отличаются от условий теоре-
мы 3 лишь требованием знакоопределенности функции V (x). Поэтому утвер-
ждение теоремы 4 относительно производной V̇f (x) следует из теоремы 3.
Остается лишь доказать, что при выборе чисел mij , αij , обеспечивающих y-
знакоопределенность V̇f , удается сохранить знакоопределенность Vf (x). Для
этого достаточно проанализировать разложения V (x) и Vaij(x). Поскольку
знакоопределенность функции V (x) определяется формой конечного поряд-
ка, то знакоопределенность функции Vf (x) достигается путем выбора чисел
mij таким образом, чтобы дополнительные слагаемые от функций Vaij(x)
имели более высокий порядок, чем формы V (x). Принимая во внимание эти
требования на выбор mij при анализе V̇f (x), получаем функцию Vf (x) с ука-
занными в теореме 4 свойствами. Теорема доказана. �
13
А.М. Ковалев
Замечание 4. Теорема 4 обобщает теорему 2 статьи [19], расширяя мно-
жество переменных, относительно которых нулевое решение асимптотически
устойчиво.
Замечание 5. Теорема 4 при k = n дает построение [6–8] функции
Ляпунова для систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского,
а при k < n обобщает известные распространения теоремы Барбашина–
Красовского на случай частичной асимптотической устойчивости, когда функ-
ция V (x) знакоопределенная.
В связи с теоремой 4 рассмотрим вопрос о том, можно ли расширить по-
лученное в теореме 4 множество частичной асимптотической устойчивости,
построив, например, другую функцию Ляпунова. Ответ на этот вопрос – от-
рицательный. Причина этому – наличие следующих двух свойств построен-
ного множестваMp, дополнительного множеству частичной асимптотической
устойчивости:
1. множество Mp = {x : y = 0} – инвариантно;
2. V̇f (x) = 0 для точек x ∈Mp.
Справедлива следующая теорема [15, 16].
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда множество, от-
носительно которого нулевое решение системы (1) асимптотически устой-
чиво, является максимально возможным, т.е. не допускает расширения.
Док а з а т е л ь с т в о. Для доказательства покажем, что все решения си-
стемы (1) с начальными условиями из множества Mp не будут асимптотиче-
ски устойчивыми, а лишь устойчивыми. Переходя к переменным y, z, вводи-
мым при доказательстве теоремы 4, в силу инвариантности множества Mp,
заключаем, что для этих решений y = 0 ∀ t ≥ t0, а для переменной z при y = 0
получаем систему ż = fr(z) с функцией Ляпунова Vf (z) > 0, V̇f (z) = 0. Отсю-
да следует, что имеется частный интеграл Vf (z) = c и все решения лежат на
его поверхностях уровня, которые отделены от нуля в силу положительной
определенности функции Vf (z). Поэтому с возрастанием времени все решения
не стремятся к нулю, и переменные z являются устойчивыми по определению
1, что и доказывает утверждение теоремы. �
Теоремы 4, 5 решают вопрос выделения асимптотически устойчивых и
устойчивых переменных для случая, когда для известной знакопостоянной
производной V̇ (x) сама функция V (x) является знакоопределенной, знака,
противоположного V̇ (x).
Перейдем к рассмотрению случая, когда функция V (x) является знако-
постоянной, знака, противоположного V̇ (x). Важное значение для анализа
имеет следующее свойство.
Свойство 1. Пусть для системы (1) известна положительно постоян-
ная функция V (x), производная которой есть функция отрицательно по-
стоянная. Тогда выполняется включение {x : V (x) > 0} ⊇ {x : V̇ (x) < 0} и
множество {x : V (x) = 0} инвариантно.
Док а з а т е л ь с т в о. Для доказательства первой части утверждения от-
14
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
метим, что предположение о нарушении включения приводит к противоре-
чию при рассмотрении окрестностей точек, в которых V (x) = 0. Из данного
включения следует, что {x : V̇ (x) = 0} ⊇ {x : V (x) = 0}. Поэтому для всех
точек множества {x : V (x) = 0} выполняется равенство V̇ (x) = 0, что на
основании теоремы 1 означает инвариантность множества {x : V (x) = 0} . �
Задачу выделения асимптотически устойчивых переменных в этой ситу-
ации решает следующая теорема.
Теорема 6. Пусть для системы (1) существует y-знакоопределенная
функция V (y)
(
yT = (y1, ..., ym) = (x1, ..., xm)
)
, производная которой в силу
системы (1) является знакопостоянной функцией V̇ (y), знака, противопо-
ложного V (y). Множество M = {y : V̇ (y) = 0} представляется суммой
множеств M =
s,si⋃
i=1
j=1
Mij
Mij = {y : ϕi(y) = 0, ϕ̇i(y) = 0, ..., y(j−1)
i (y) = 0, ϕ(j)
i (y) 6= 0,∇ϕi(y) 6= 0},
Mij
⋂
Mkl = ∅.
Предполагаем, что V (y), ϕi(y) – функции, дифференцируемые достаточное
число раз. Знакоопределенность функции V (y) определяется формой конеч-
ного порядка, знакопостоянство V̇ (y) и неравенства ϕ(j)
i (y) 6= 0 – членами
разложения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда существуют чис-
ла mij , αij такие, что функция
Vf (y) = V (y) +
s,si∑
i,j=1
αijVaij(y)
будет y-знакоопределенной, а ее производная V̇f (y) будет y(1)-знакоопре-
деленной, знака, противоположного Vf (y), и нулевое решение системы (1)
будет y-устойчиво и асимптотически y(1)-устойчиво.
Здесь функции Vaij(y) определены формулами (4),(7); yT
(1) = (y(1)1, ..., y(1)k),
y(1)i = ϕpi(y) – независимые функции, с помощью которых описываются ин-
вариантные множества, содержащиеся в множествах Mij.
Док а з а т е л ь с т в о. На основании свойства 1 заключаем, что множество
{y : V (y) > 0} инвариантно. Используя лемму 4 и принимая z(1) = 0, z(2) = z,
запишем систему (1) в виде
ẏ = F1(y), ż = F2(y, z). (22)
В силу того, что V = V (y), V̇ = V̇ (y), вместо системы (22) достаточно огра-
ничиться рассмотрением системы
ẏ = F1(y). (23)
15
А.М. Ковалев
Тогда условия данной теоремы для системы (23) совпадают с условиями тео-
ремы 4 для системы (1) и, следовательно, справедливо ее заключение, сфор-
мулированное в переменных y. Это заключение совпадает с утверждением
теоремы 6. �
Замечание 6. Теорема 6 включает теорему о частичной асимптотической
устойчивости и обобщения теоремы Барбашина–Красовского на частичную
асимптотическую устойчивость [17], когда функция V (x) знакопостоянна.
Теоремы 4–6 выделяют асимптотически устойчивые и устойчивые пере-
менные в случаях, когда V (x) – знакоопределенная, а V̇ (x) – знакопостоян-
ная функции, и в случаях, когда V (x) и V̇ (x) – знакопостоянные функции. Во
втором случае требуется дальнейшая детализация характеристики движений
относительно переменных, не участвующих в формировании функций V, V̇ .
Перейдем к изучению неустойчивых движений. В дополнение к теоре-
мам Ляпунова и Четаева о неустойчивости движения метод дополнительных
функций позволяет доказать следующую теорему [11, 12].
Теорема 7. Пусть для системы (1) существует функция V (x), произ-
водная которой является функцией знакопостоянной и представима в фор-
ме знакоопределенной функции V̇ (y) меньшего числа переменных y1, ..., yk
(k < n), причем множество M = {x : V̇ (x) = 0} – инвариантно. При этом
в сколь угодно малой окрестности B нуля существуют точки x ∈ B \M ,
в которых функция V (x) принимает значения того же знака, что и V̇ (x).
Тогда нулевое решение неустойчиво.
Док а з а т е л ь с т в о. Выберем достаточно малую окрестность B0 нуля, в
которой выполнены условия теоремы, и покажем, что в любой сколь угод-
но малой окрестности нуля B ⊂ B0 найдется точка, начинающаяся в ко-
торой траектория системы (1) покидает B0. Для удобства сделаем замену
y = (y1, ..., yn) = y(x), выделив подвектор y(1) = (y1, ..., yk), относительно
которого производная V̇ (y(1)) знакоопределена и который определяет мно-
жество M = {x : V̇ (x) = 0} уравнением y(1) = 0. Необходимо отметить, что
ввиду инвариантности множества M траектории системы (1), начинающиеся
в области B0 \M , не попадают в множество M , и поэтому для этих траекто-
рий выполнено V̇ (y(1)) > 0. Здесь и в дальнейшем функция V̇ (y(1)) принята
положительно определенной.
В силу условий теоремы начальная точка x0, для которой V (x0) > 0,
присутствует в любой сколь угодно малой окрестности нуля и x0 ∈ B0\
\ M . Вдоль траектории, начинающейся в этой точке, выполнено неравенство
V (x(t)) > V (x0) и, поскольку V (x) непрерывна и V (0) = 0, то ‖y(1)(t)‖ ≥
≥ α > 0. Тогда в силу знакоопределенности V̇ (y(1)) имеем V̇ (y(1)(t)) ≥ β > 0.
Следовательно,
V (x(t)) = V (x0) +
t∫
t0
V̇ (y(1)(τ))dτ ≥ V (x0) + β(t− t0).
16
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
Отсюда следует, что V (x(t)) возрастает с увеличением времени, и траектория
x(t) покидает заданную окрестность нуля, сколь бы близко к нулю не была
выбрана начальная точка x0. Это и доказывает неустойчивость нулевого ре-
шения. �
Замечание 7. Теорема 7 обобщает первую теорему Ляпунова о неустойчи-
вости на случай знакопостоянной производной, совпадая с ней, когда произ-
водная становится знакоопределенной. Вторая теорема Ляпунова о неустой-
чивости и теорема Четаева о неустойчивости представляют два различных са-
мостоятельных направления исследований неустойчивости, отличные от тео-
ремы 7 и первой теоремы Ляпунова о неустойчивости.
5. Разбиение на варианты. Теоремы 4–7 являются основными, посколь-
ку с их помощью решается задача установления свойства асимптотической
устойчивости, устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (1),
если для нее известна функция со знакоопределенной производной. Для пол-
ной классификации переменных, т.е. решения задачи 1, может потребоваться
несколько функций и проведение анализа поэтапно. Начнем с рассмотрения
первого этапа.
Пусть для системы (1) известна функция V (x) со знакопостоянной про-
изводной V̇ (x). Для определенности будем считать V̇ (x) отрицательно посто-
янной. С помощью Центральной теоремы переходим к функции V (x) с от-
рицательно постоянной производной V̇ (x), для которой множество M = {x :
V̇ (x) = 0} инвариантно (для упрощения записи у преобразованной функции
сохранено исходное обозначение). В зависимости от значений функции V (x)
в окрестности нуля возможны следующие пять вариантов:
1. V (x) – положительно определенная функция;
2. V (x) – положительно постоянная функция;
3. V (x) – отрицательно определенная функция;
4. V (x) – отрицательно постоянная функция;
5. V (x) – знакопеременная функция.
Переходя к рассмотрению вариантов, заключаем, что для варианта 1 во-
прос об устойчивости полностью решается применением теорем 4, 5. Вектор
x разделяется на два подвектора x = (x(1), x(2)), и нулевое решение асимпто-
тически устойчиво по переменной x(1) и устойчиво по переменной x(2).
Для анализа варианта 2 применяется теорема 6. Вектор x разделяется
на три подвектора x = (x(1), x(2), x(3)), и нулевое решение асимптотически
устойчиво по переменной x(1) и устойчиво по переменной x(2). Множество
M = {x : x(1) = 0, x(2) = 0} является инвариантным, на нем V̇ (x)=0, и для
исследования поведения переменной x(3) требуется построение новой функ-
ции Vs(x).
Рассмотрение вариантов 3–5 проводится с применением теоремы 7. Нуле-
вое решение является неустойчивым. Более детальная характеристика пове-
дения решения требует дополнительного анализа.
Таким образом, теоремы 4–7 позволили сделать заключение о том, яв-
17
А.М. Ковалев
ляется ли нулевое решение асимптотически устойчивым, устойчивым либо
неустойчивым, а также некоторые заключения о частичной асимптотической
устойчивости и частичной устойчивости. Однако для полной характеристики
переменных в общей ситуации одного этапа может оказаться недостаточно.
Следующим шагом исследования будет описание всей информации о пере-
менных, которую можно получить на одном этапе для заданной функции
V (x) со знакопостоянной производной.
6. Устойчивые движения. Опишем случаи, в которых движение яв-
ляется устойчивым, либо асимптотически устойчивым по всем и по части
переменных. Движение является асимптотически устойчивым (по всем пере-
менным) только в первом варианте при дополнительном условии M = ∅, при
этом все переменные являются асимптотически устойчивыми. В вариантах 1,
2 движение асимптотически устойчиво по переменной x(1), и переменные x(1)
являются асимптотически устойчивыми.
Движение является устойчивым по переменной x(2) для вариантов 1, 2.
Кроме того, движение устойчиво по переменной x(2) и для варианта 3, если
подвектор x(2) ввести следующим образом: x = (x(1), x(2)), M = {x : x(1) =
= 0}. При этом V̇ (x(2)) = 0 и функция V (x(2)) = V (0, x(2)) знакоопределена в
силу знакоопределенности функций V̇ (x(1)), V (x(1), x(2)). Отсюда заключаем,
что существует знакоопределенный интеграл V (x(2)) = const, что влечет за
собой устойчивость по переменной x(2). Во всех трех случаях переменные x(2)
являются устойчивыми.
Отметим, что устойчивые переменные могут появиться при исследовании
решений системы (1) для вариантов 2, 4, 5 в инвариантном множестве M с
использованием новой функции Vs со знакопостоянной производной.
7. Неустойчивые движения. Движения системы (1) неустойчивы для
вариантов 3–5. Это заключение получается с использованием теоремы 7. Опи-
шем подробнее ее применение для каждого из вариантов.
Для варианта 3 отмечаем, что для всех точек некоторой окрестности нуля
функция V (x) принимает отрицательные значения, и на основании теоремы
7 отсюда следует неустойчивость нулевого решения. В множестве M , как
показано выше, движение устойчиво относительно переменных, его опреде-
ляющих.
Рассматривая вариант 4, заметим, что V (x) принимает отрицательные
значения в любой сколь угодно малой окрестности из B0\M , поскольку пред-
положение противного означает, что для всех x ∈ B0 \M имеем V (x) = 0.
Отсюда следует, что V̇ (x) = 0, однако во всех этих точках имеем V̇ (x) < 0. Та-
ким образом, выполнены условия теоремы 7, и нулевое решение неустойчиво.
Поведение системы в инвариантном множестве M требует дополнительного
исследования.
Для варианта 5 в любой сколь угодно малой окрестности из B0 \M функ-
ция V (x) принимает значения разных знаков. Случаи, когда она принимает
значения одного знака, рассмотрены в вариантах 2, 4. Применяя теорему 7,
18
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
получаем заключение о неустойчивости движения. Как и в вариантах 2, 4,
поведение системы в множестве M для варианта 5 требует дополнительного
исследования.
8. Результаты одного этапа и полный анализ. Вся информация,
которую можно получить об устойчивости нулевого решения при известной
функции со знакопостоянной производной, приведена в п.п. 5–7. Сведем по-
лученные результаты в таблицу.
Таблица результатов одного этапа
№ Описание Преобразованная функция и результат Полнота
варианта анализа
1. V̇ (x) ≤ 0, V (x(1), x(2)) = V1(x(1)) + V2(x(1), x(2)) полный
V (x) > 0 V̇ (x(1), x(2)) = V̇1(x(1)), V̇2(x(1), x(2)) = 0 анализ
V1(x(1)) > 0, V2(0, x(2)) > 0, V̇1(x(1)) < 0
x(1) – асимптотически устойчивые
переменные
x(2) – устойчивые переменные
2. V̇ (x) ≤ 0, V (x(1), x(2), x(3)) = V1(x(1))+ не изучено
V (x) ≥ 0 +V2(x(1), x(2)) инвариантное
V̇ (x) = V̇ (x(1)), V̇ (x(1), x(2)) = 0 множество
V1(x(1)) > 0, V2(0, x(2)) > 0, V̇1(x(1)) < 0 M = {x : x(1) =
x(1) – асимптотически устойчивые = x(2) = 0}
переменные
x(2) – устойчивые переменные
3. V̇ (x) ≤ 0, V (x(1), x(2)) = V1(x(1)) + V2(x(1), x(2)) не выделены
V (x) < 0 V̇ (x) = V̇1(x(1)), V̇2(x(1), x(2)) = 0 неустойчивые
V1(x(1)) < 0, V2(0, x(2)) < 0, V̇1(x(1)) < 0 переменные
x(2) – устойчивые переменные
движение неустойчиво
4. V̇ (x) ≤ 0, M = {x : V̇ (x) = 0} – инвариантное не выделены
V (x) ≤ 0 множество неустойчивые
переменные;
5. V̇ (x) ≤ 0, ∀ B0 ∃ x∗ ∈ B0\M : V (x∗) < 0 не изучено
V (x) ≷ 0 движение неустойчиво множество M
Из таблицы видно, что для всех пяти вариантов удается получить за-
ключение об устойчивости нулевого решения. Однако решение задачи 1, что
соответствует полному анализу, получено лишь для первого варианта. Для
вариантов 2, 4, 5 остался открытым вопрос о поведении системы в инва-
риантном множествеM . Кроме того, самостоятельное значение имеет задача
19
А.М. Ковалев
исследования неустойчивых движений, а именно выделение неустойчивых пе-
ременных. Этот вопрос присутствует в вариантах 3–5, и его решение в полном
объеме для нелинейных систем требует дополнительного исследования (даже
в пределах одного этапа).
Таким образом, на следующем этапе необходимо исследовать поведение
решений системы (1) в инвариантном множестве M для вариантов 2, 4, 5.
Для этого вектор x разбивается на два подвектора x = (x(1), x(2)) таким
образом, что инвариантное множество M описывается уравнением x(1) = 0.
Дальнейшее исследование может быть осуществлено двумя способами.
Первый способ состоит в построении функции V (x) со знакопостоянной
производной V̇ (x(2)). При втором способе рассматривается система ẋ(2) =
= f(0, x(2)) и строится функция V (x(2)) со знакопостоянной производной
V̇ (x(2)). По результатам этого анализа делается заключение о необходимости
следующего этапа. Число этапов конечно и не превышает n – размерности
системы (1).
В качестве простого примера использования n этапов для полного реше-
ния задачи 1 приведем линейную диагональную систему ẋi = λixi (i = 1, ..., n)
и функции Vi = x2
i (i = 1, ..., n), используемые на i-том этапе.
9. Примеры. Продемонстрируем применение полученных результатов к
исследованию устойчивости линейных и нелинейных систем. Два первых при-
мера представляют системы с асимптотически устойчивыми и устойчивыми
переменными. Следующие два примера иллюстрируют свойство неустойчи-
вости.
Пример 1 [6]. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
ẋ1 = λ1x1,
ẋ2 = λ2x2 − ax2
2x4 + bx2
3,
ẋ3 = ωx4 + cx2
4 − bx2x3,
ẋ4 = −ωx3 − cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4.
(24)
В качестве функции Ляпунова примем V = x2
1+x2
2+x2
3+x2
4. Для производной
имеем выражение V̇ = 2(λ1x
2
1 + λ2x
2
2 + λ4x
4
4). Отсюда получаем V̇ ≤ 0 при
λ1 < 0, λ2 < 0, λ4 < 0. Множество M = {x : V̇ = 0} определяется уравнени-
ями ϕ1 = x1 = 0, ϕ2 = x2 = 0, ϕ3 = x4 = 0. Дополняя эти уравнения еще
одним уравнением ϕ̇2 = ẋ2 = λ2x2− ax2
2x4 + bx2
3 = 0, получаем, что при b 6= 0
система уравнений ϕ = 0, ϕ̇ = 0 имеет только нулевое решение, и на основа-
нии теоремы 1 множество M не содержит целых полутраекторий. Поэтому,
применяя теорему Барбашина–Красовского [3], заключаем, что нулевое ре-
шение системы (24) асимптотически устойчиво.
Для построения функции Ляпунова со знакоопределенной производной
применим метод дополнительных функций. В данном случае имеем ϕ1 =
20
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
= x1, ϕ2 = x2, ϕ3 = x4, поэтому
(∇ϕ(x), f(x)) = (λ1x1, λ2x2 − ax2
2x4 + bx2
3,−ωx3 − cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4)T .
Отсюда по формуле (4) находим
Va = [λ2
1x
2
1 + (λ2x2 − ax2
2x4 + bx2
3)2 + (−ωx3 − cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4)2]m×
(25)
×[λ1x
2
1 + (λ2x2 − ax2
2x4 + bx2
3)x2 + (−ωx3 − cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4)x4].
Представление (5) для системы (24) имеет вид
fM = (λ1x1, λ2x2 − ax2
2x4, ωx4 + cx2
4 − bx2x
2
3,−cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4)2)T ,
(26)
fN = (0, bx2
3, 0,−ωx3)T .
С учетом формул (6), (26) получаем упрощенное выражение для функции
Va:
Vaf = (b2x4
3 + ω2x2
3)m(bx2x
2
3 − ωx3x4). (27)
Производные функций (25), (27) принимают на множестве M значение
V̇a = (b2x4
3 + ω2x2
3)m+1.
Используем теорему 4 для построения функции Ляпунова со знакоопре-
деленной производной. Принимаем m = 4, α = −1 и получаем
Vf = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 − (b2x4
3 + ω2x2
3)4(bx2x
2
3 − ωx3x4).
Для V̇f находим выражение
V̇f = 2(λ1x
2
1 + λ2x
2
2 + λ4x
4
4)− (b2x4
3 + ω2x2
3)5 − (b2x4
3 + ω2x2
3)3×
×
[(
8(2b2x3
3 + ω2x3)(bx2x
2
3 − ωx3x4) + (b2x4
3 + ω2x2
3)(2bx2x3−
−ωx4)
)
(ωx4 + cx2
4 − bx2x3) + bx2
3(b2x4
3 + ω2x2
3)(λ2x2 − ax2
2x4)−
−ωx3(b2x4
3 + ω2x2
3)(−cx3x4 + ax3
2 + λ4x
3
4)
]
.
Пример 2. [15] Рассмотрим систему
ẋ1 = λ1x1 + ax2
2 + bx3
3,
ẋ2 = −ax1x2 + cx2x3x4,
ẋ3 = ωx4 + λ2x
2
2x3 − bx1x
2
3,
ẋ4 = −ωx3 − cx2
2x3.
(28)
21
А.М. Ковалев
При λ1λ2ωac 6= 0 для системы (28) нуль является изолированной осо-
бой точкой. Для исследования устойчивости нулевого решения рассмотрим
функцию
V = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4.
Для ее производной находим выражение
V̇ = 2(λ1x
2
1 + λ2x
2
2x
2
3).
Отдельно рассмотрим два случая:
1) λ1 < 0, λ2 < 0, ωabc 6= 0; 2)λ1 < 0, λ2 < 0, ωac 6= 0, b = 0.
Исследование начнем с изучения множества M , на котором V̇ (x) = 0.
В первом случае множествоM состоит из трех множеств:M = M1
⋃
M2
⋃⋃
M3, где
M1 = {x : ϕ11 = x1 = 0, ϕ12 = x2 = 0},M2 = {x : ϕ21 = x1 = 0, ϕ22 = x3 = 0},
M3 = M1
⋂
M2 = {x : ϕ31 = x1 = 0, ϕ32 = x2 = 0, ϕ33 = x3 = 0}.
При этом предполагается, что точки множества M1
⋂
M2 исключены из мно-
жеств M1,M2. Рассмотрим поведение производных функций ϕi(x) на мно-
жествах Mi. На множестве M1 имеем ϕ̇11 = bx2
3, ϕ̇12 = 0. Так как точки
множества M1, для которых x3 = 0, отнесены к множеству M3, то ϕ̇11 6= 0.
На множестве M2 – ϕ̇21 = ax2
2, ϕ̇22 = ωx4 и ϕ̇2
11 + ϕ̇2
22 > 0. На множестве M3
– ϕ̇31 = 0, ϕ̇32 = 0, ϕ̇33 = ωx4 и ϕ̇33 6= 0. На основании теоремы 4 существуют
числа m1,m2,m3, α1, α2, α3 такие, что функция
Vf = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 + α1(bx2
3)2m1bx2
3x1(x2
1 + x2
3)(x2
1 + x2
2 + x2
3)+
+α2(a2x4
2 + ω2x2
4)m2(ax2
2x1 + ωx4x3)(x2
1 + x2
2)(x2
1 + x2
2 + x2
3)+
+α3(ωx4)2m3ωx4x3(x2
1 + x2
2)(x2
1 + x2
3) (29)
будет определенно положительной, а ее производная в силу системы (28) –
определенно отрицательной. Таким образом, в первом случае нулевое реше-
ние системы (28) асимптотически устойчиво. Отметим, что при построении
функции (29) использованы упрощенные дополнительные функции.
Второй случай отличается от первого только тем, что на множестве M1
имеем ϕ̇11 = ϕ̇12 = 0 (также и все высшие производные равны нулю). На
основании теоремы 1 заключаем, что множество M1 инвариантно.
Функция Vf будет иметь вид (29), где надо положить b = 0, и останется
положительно определенной, а ее производная, в отличие от первого случая,
будет отрицательно постоянной и будет обращаться в нуль только на множе-
ствеM1, т.е. будет отрицательно (x1, x2)-постоянной. Таким образом, на осно-
вании теоремы 4 во втором случае нулевое решение системы (28) устойчиво
(по всем переменным) и асимптотически (x1, x2)-устойчиво. Максимальность
множества частичной асимптотической устойчивости демонстрируется тем,
22
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
что для x1 = 0, x2 = 0 система принимает вид ẋ3 = ωx4, ẋ4 = −ωx3. Движе-
ние по x3, x4 устойчиво в силу наличия интеграла Vf0 = x2
3 + x2
4. Движение
в малой окрестности нуля можно охарактеризовать как вращательное, стре-
мящееся при t→∞ к вращению по окружности x1 = 0, x2 = 0, x2
3 +x2
4 = c2.
Рассмотрим две линейные системы для иллюстрации применения теоре-
мы 7 и возможности ее использования в дальнейшем исследовании особых
точек. Для простоты системы выбраны таким образом, что поведение тра-
екторий в окрестности нуля очевидно, и выбор функций Ляпунова в форме,
удовлетворяющей теореме 7, не вызывает затруднений.
Пример 3. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (30)
Для функции V = x2
1 +x2
2 +x2
3 имеем V̇ = 4x2
1. Производная V̇ положительно
постоянна. Множество M = {x : V̇ = 0} представляет собой плоскость Ox2x3
и является инвариантным множеством. Функция V положительно определе-
на. Таким образом, условия теоремы 7 выполнены и нулевое решение системы
(30) неустойчиво. Для дальнейшего исследования поведения системы в плос-
кости Ox2x3 можно использовать начальную функцию V , приняв x1 = 0.
Тогда в инвариантном множестве M = {x : x1 = 0} система (30) принимает
вид
ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (31)
Для функции V = x2
2 + x2
3 получаем V̇ = 0, что означает устойчивость ну-
левого решения системы (31). Таким образом, использование функции V (x)
сначала для исходной системы (30), а затем для инвариантного множества,
позволило получить полную картину движения для системы (30). Траекто-
рии являются спиралями, расположенными на цилиндрах x2
2 +x2
3 = c2, вдоль
которых точки расходятся от окружностей x1 = 0, x2
2 + x2
3 = c2, удаляясь
вдоль оси Ox1 в бесконечность и вращаясь вокруг нее с угловой скоростью
ω.
Отметим, что возможность получения полной картины поведения реше-
ния системы (30) обеспечена выбором функции V (x). Для установления не-
устойчивости с использованием теоремы 7 можно применить функцию
V = x2
1. Однако, для дальнейшего анализа системы в инвариантном мно-
жестве эта функция непригодна.
Несколько более сложный и разнообразный характер носят траектории
следующей системы.
Пример 4. Рассмотрим систему
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = 3x2, ẋ3 = −4x3. (32)
Исследование системы (32) начнем с функции V = x2
1 + x2
2. Для ее произ-
водной имеем выражение V̇ = 4x2
1 + 6x2
2. Условия теоремы 7 выполнены, и
23
А.М. Ковалев
нулевое решение системы (32) неустойчиво. Для анализа поведения систе-
мы в инвариантном множестве M = {x : x1 = x2 = 0} рассматриваемая
функция ничего не дает. Однако функция V = x2
3 показывает, что нулевое
решение уравнения ẋ3 = −4x3 является асимптотически устойчивым по вто-
рой теореме Ляпунова. Эта же функция V = x2
3 с применением теоремы
Ризито позволяет установить асимптотическую устойчивость нулевого реше-
ния системы (32) по отношению к переменной x3 ввиду того, что множество
M = {x : V̇ = 0} является инвариантным и V̇ < 0 вне M .
Покажем, как этот же результат можно получить с помощью функций
Vi = x2
i , i = 1, 2. Для каждой из этих функций условия теоремы 7 выполне-
ны, и подтверждается полученный вывод о неустойчивости нулевого решения
системы (32). Дальнейший анализ для функций Vi проводится по одной и той
же схеме. Поэтому выполним его для функции V1 = x2
1. В инвариантном мно-
жестве M = {x : x1 = 0} система (32) принимает вид
ẋ2 = 3x2, ẋ3 = −4x3. (33)
Начальная функция V1 ничего не дает. Исследование можно продолжить с
помощью функции V2 = x2
2. С помощью теоремы 7 получаем неустойчивость
нулевого решения системы (33), а затем с помощью второй теоремы Ляпунова
устанавливаем асимптотическую устойчивость нулевого решения уравнения
ẋ3 = −4x3 с использованием функции V3 = x2
3. Эту же функцию можно
применить к системе (33) и с помощью теоремы Ризито установить асимп-
тотическую устойчивость нулевого решения системы (33) по отношению к
переменной x3. Затем неустойчивость нулевого решения уравнения ẋ2 = 3x2
устанавливаем с помощью функции V2, применив первую теорему Ляпунова
о неустойчивости.
10. Механические системы. В рассмотренных примерах 1–4 основ-
ное внимание уделено асимптотической устойчивости и неустойчивости дви-
жений. Устойчивые движения возникают, в основном, в качестве сопутству-
ющих, являясь либо предельными движениями, либо характеризуя относи-
тельные движения, в частности, и при общей неустойчивости системы в це-
лом. Устойчивые переменные выделены в вариантах 1–3, и они сопровожда-
ются важным дополнительным свойством – наличием интеграла движения,
который получается явным образом из вида преобразованной функции V (x)
(см. таблицу). Этот результат сформулируем в форме теоремы.
Теорема 8. Пусть знакоопределенная функция V (x) преобразована к виду
V (x1, x2) = V1(x(1))+V2(x1, x2), при этом V̇2(x1, x2) = 0, V1(x1) и V̇1(x1)– зна-
коопределенные функции. Тогда у системы (1) существует интеграл
V2(x1, x2) = const.
Выделяемые теоремой 8 переменные являются устойчивыми и асимптоти-
чески устойчивыми (варианты 1, 2: функции V1(x1), V̇1(x1) разных знаков),
либо устойчивыми и неустойчивыми (вариант 3: функции V1(x1), V̇1(x1) од-
ного знака). Из теоремы 8 вытекает следствие.
24
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
Следствие 1. Все переменные системы (1) являются устойчивыми тогда
и только тогда, когда существует знакоопределенный интеграл, который
является функцией Ляпунова для нулевого решения.
Именно для решения вопроса об устойчивости в случае, описанном в след-
ствии 1, Н.Г. Четаев предложил метод связки интегралов [20 – 22] для постро-
ения функции Ляпунова. Если же в случае устойчивого решения среди пере-
менных имеются асимптотически устойчивые, то функция Ляпунова имеет
более сложный вид. Тем не менее, она включает в себя интеграл в качестве
составной части. Таким образом, задачи исследования устойчивых решений
и интегрирования динамических систем являются, в определенном смысле,
обратными друг другу: зная функцию Ляпунова, можно указать интеграл и
наоборот. Это означает, что результаты из одной области можно использо-
вать при решении задач из другой области. Продемонстрируем это на двух
классических задачах динамики систем твердых тел.
Пример 5. Равновесие твердого тела с маховиком. Рассмотрим движение
относительно центра масс твердого тела с маховиком. Уравнения движения
можно записать в форме [23]
(Aω + λe)• = (Aω + λe)× ω, λ̇ = −αλ. (34)
Здесь ω – угловая скорость тела, λ – величина кинетического момента махо-
вика, e – единичный вектор направления кинетического момента маховика,
A – тензор инерции системы тело–маховик, α – коэффициент усиления.
Система (34) допускает положение равновесия ω = 0, λ = 0. Для исследо-
вания его на устойчивость в качестве функции Ляпунова примем функцию
V = (Aω + λe)2 + λ2. (35)
Для производной V̇ (x) имеем выражение V̇ = −2αλ2. Функция (35) имеет
вид: V = V1(λ)+V2(λ, ω), где V, V1(λ) = λ2, V2(0, ω) = (Aω)2 – положительно
определенные функции; V̇2(λ, ω) = 0; V̇1(λ) при α > 0 является отрицательно
определенной функцией; множество M = {(λ, ω) : λ = 0} – инвариантно.
На основании теоремы 4 заключаем, что для системы (34) переменные ωi
являются устойчивыми, а переменная λ – асимптотически устойчивая.
Применяя теорему 8 к функции (35), устанавливаем, что у системы (34)
существует интеграл V2(λ, ω) = (Aω + λe)2, при этом частный интеграл
V2(0, ω) = (Aω)2 – положительно определенный.
Таким образом, знание функции Ляпунова (35) позволило получить ин-
теграл системы (34). С другой стороны, знание этого интеграла не приводит
непосредственно к построению функции Ляпунова (например, методом Че-
таева), а требует дополнительных рассуждений.
Пример 6. Движение гироскопа Горячева–Чаплыгина. Движение гироско-
па Горячева–Чаплыгина описывается уравнениями [24]
25
А.М. Ковалев
4ṗ = 3qr, 4q̇ = −3pr − aγ3, ṙ = aγ2, (36)
γ̇1 = rγ2 − qγ3, γ̇2 = pγ3 − rγ1, γ̇3 = qγ1 − pγ2,
где p, q, r и γ1, γ2, γ3 – проекции на подвижные оси, соответственно, вектора
угловой скорости тела и единичного вектора вертикали, a – параметр, харак-
теризующий распределение масс тела.
Уравнения (36) имеют интегралы
J1 = 4(p2 + q2) + r2 − 2aγ1 = c1,
J2 = 4(pγ1 + qγ2) + rγ3 = c2,
J3 = γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1.
При c2 = 0 уравнения (36) допускают дополнительный интеграл [24]
J4 = r(p2 + q2) + apγ3 = c4. (37)
Положению равновесия тела соответствуют следующие значения перемен-
ных:
p0 = q0 = r0 = 0, γ10 = ±1, γ20 = γ30 = 0. (38)
Для рассмотрения устойчивости решения (38) системы (36) введем возмуще-
ния
p = x1, q = x2, r = x3, γ1 = γ10 + x4, γ2 = x5, γ3 = x6
и запишем уравнения и интегралы возмущенного движения
4ẋ1 = 3x2x3, 4ẋ2 = −3x1x3 − ax6, ẋ3 = ax5,
ẋ4 = x3x5 − x2x6, ẋ5 = −γ10x3 + x1x6 − x3x4,
ẋ6 = γ10x2 + x2x4 − x1x5.
(39)
Jp1 = −2ax4 + 4(x2
1 + x2
2) + x2
3,
Jp2 = 4γ10x1 + 4(x1x4 + x2x5) + x3x6,
Jp3 = 2γ10x4 + x2
4 + x2
5 + x2
6.
(40)
Постоянные интегралов (40) выбраны таким образом, чтобы в начале коор-
динат интегралы обращались в нуль.
Выберем в качестве функции Ляпунова интеграл
V =
γ10
a
[
4(x2
1 + x2
2) + x2
3
]
+ x2
4 + x2
5 + x2
6. (41)
На основании следствия 1 заключаем, что при aγ10 > 0 все переменные
системы (39) являются устойчивыми.
26
Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией
Поставим задачу получения из интеграла (41) новых интегралов. В каче-
стве первого варианта рассмотрим две функции V1s = x2
4 + x2
5 + x2
6,
V2s = 4(x2
1 + x2
2) + x2
3. Находим
V̇1s = 2γ10(x2x6 − x5x3) = −2γ10ẋ4, V̇2s = 2a(x5x3 − x2x6) = 2aẋ4.
Отсюда следует, что функции V1f = V1s + 2γ10x4, V2f = V2s − 2ax4 будут
интегралами системы (39). При этом V1f = Jp3, V2f = Jp1 и V =
γ10
a
Jp1 +Jp3.
Еще пару интегралов можно получить, взяв одним из них Jp2. Тогда вто-
рой интеграл получается из формулы (41) как J = V −Jp2. В силу построения
эти четыре интеграла зависимы. Независимыми являются три классических
интеграла (40).
Для получения четвертого независимого интеграла можно использовать
частный интеграл (37), который на инвариантном многообразии M = {x :
Jp2 = 0} является независимым от известных трех интегралов (40). Однако
эта задача, ввиду своей сложности, представляет предмет самостоятельного
исследования.
Заключение. Полученные в данной работе результаты: дополнительные
функции, Центральная теорема, новые теоремы об устойчивости и неустой-
чивости, позволяют говорить о создании метода дополнительных функций в
теории устойчивости. Этот метод открывает новые возможности в решении
задач устойчивости и привел к формулировке новых задач, решение кото-
рых позволяет давать более детальную (практически исчерпывающую) ха-
рактеристику решений дифференциальных уравнений относительно свойства
устойчивости. Подтверждением этого является выполненное в настоящей ра-
боте решение задачи устойчивости для нелинейных систем со знакопосто-
янной производной. Вместе с тем, исследование показало отсутствие подхо-
дов к выделению неустойчивых переменных, что ставит эту задачу, наряду
с задачей 2 данной статьи, в число первоочередных для решения. Решение
этих двух задач является необходимым для создания конструктивной теории
устойчивости.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Госте-
хиздат, 1950. – 472 с.; Ляпунов А.М. Собр. соч. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. –
Т. 2. – 476 с.
2. Красовский Н.Н. Критерии, основанные на функциях Ляпунова со знакопостоянны-
ми производными. Дополнение III к монографии Малкин И.Г. Теория устойчивости
движения. – М.: Наука, 1966. – С. 463–467.
3. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН
СССР. – 1952. – 86. № 3. – С. 453–456.
4. Risito C. Sulla stabilita asintotica parziale // Ann. Math. Pura Appl. – 1970. – 84. –
P. 279–292.
5. Красовский Н.Н. Об условиях обращения теорем А.М. Ляпунова о неустойчивости для
стационарных систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. – 1955. – 101,
№ 1. – С. 17–20.
6. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для
систем, удовлетворяющих теореме Барбашина—Красовского // Прикл. математика и
механика. – 2008. – 72, вып. 2. – С. 266–272.
27
А.М. Ковалев
7. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы
Барбашина–Красовского // Докл. НАН Украины. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
8. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих усло-
виям теоремы Барбашина–Красовского // Проблемы управления и информатики. –
2008. – №6. – С. 5–15.
9. Levi-Civita T., Amaldi U. Lezioni di Meccanica Razionale. – Bolonga: Zanichelli, 1952. –
2. – 671 p. = Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. – Москва:
Изд-во иностр. лит., 1951. – 2, ч. 2. – 555 с.
10. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне-
ний // Механика твердого тела, Киев: Наук. думка, 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
11. Ковалев А.М. Инвариантность и неустойчивость // Прикл. математика и механика. –
2009. – В печати.
12. Ковалев А.М. Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнитель-
ных функций // Докл. НАН Украины. – 2009, № 11. – С. 21–27.
13. Ковалев А.М. Интегрируемость и устойчивость // Прикл. математика и механика. –
2009. – В печати.
14. Ковалев А.М. Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использова-
нием метода дополнительных функций // Докл. НАН Украины. – 2009. – В печати.
15. Ковалев А.М. Инвариантность и асимптотическая устойчивость // Прикл. математика
и механика. – 2009. – В печати.
16. Ковалев А.М. Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости //
Докл. НАН Украины. – 2009. – № 7. – С. 17–23.
17. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению
к части переменных. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
18. Кириченко В.В., Ковалев А.М. Построение функций с положительнопостоянной вто-
рой производной для линейной системы дифференциальных уравнений // Тр. ИПММ
НАН Украины. – 2008. – 17. – С. 74–79.
19. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по от-
ношению к части переменных // Прикл. математика и механика. – 1971. – 35, вып. 1.
– С. 138–143.
20. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений снаряда // Там же. – 1946. –
10, вып. 1. – С. 135–138.
21. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в
случае Лагранжа // Там же. – 1954.– 18, вып. 1. – С. 457–458.
22. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990. – 176 с.
23. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta math. – 1899. – 22. – P. 201–
358.
24. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной
точке. (Сообщено 28 дек. 1899 г. В Моск. мат. об-ве). – Собр. соч. – М.; Л.: Гостехтео-
риздат, 1948. – Т. 1.– С. 118–124. (Изд. 1-е. – Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей
естествознания. – 1901. – 10, вып. 2. – С. 32–34).
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kovalev@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 12.10.09
28
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28000 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:47Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковалев, А.М. 2011-10-25T20:25:24Z 2011-10-25T20:25:24Z 2009 Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 3-28. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28000 531.36 Решена задача устойчивости для нелинейных систем дифференциальных уравнений с известной функцией со знакопостоянной производной. Решение основано на использовании метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной Article published earlier |
| spellingShingle | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной Ковалев, А.М. |
| title | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| title_full | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| title_fullStr | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| title_full_unstemmed | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| title_short | Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| title_sort | решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знакопостоянной производной |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28000 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevam rešeniezadačustoičivostidlânelineinyhsistemsizvestnoifunkcieisoznakopostoânnoiproizvodnoi |