Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом
Получены необходимые и достаточные условия существования маятниковых вращений тела-носителя в задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки. Предполагается, что направление переменного во времени вектора гиростатического момента постоянно в подвижном базисе. Исследовано множество...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28002 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / О.С. Волкова, И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860072197155979264 |
|---|---|
| author | Волкова, О.С. Гашененко, И.Н. |
| author_facet | Волкова, О.С. Гашененко, И.Н. |
| citation_txt | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / О.С. Волкова, И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Получены необходимые и достаточные условия существования маятниковых вращений тела-носителя в задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки. Предполагается, что направление переменного во времени вектора гиростатического момента постоянно в подвижном базисе. Исследовано множество перманентных осей, занимающих при движении неизменное положение и в теле и в пространстве. Показано, что вращения тела могут происходить вокруг вертикальной, горизонтальных и наклонных осей. Найдены точные решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:11:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. О.С. Волкова, И.Н. Гашененко
МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА
С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Получены необходимые и достаточные условия существования маятниковых вращений
тела-носителя в задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки. Пред-
полагается, что направление переменного во времени вектора гиростатического момента
постоянно в подвижном базисе. Исследовано множество перманентных осей, занимающих
при движении неизменное положение и в теле и в пространстве. Показано, что вращения
тела могут происходить вокруг вертикальной, горизонтальных и наклонных осей. Найдены
точные решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом.
1. Постановка задачи. Механическую систему, состоящую из тела-носи-
теля и закрепленных на нем роторов, имеющих возможность совершать вра-
щения вокруг осей, жестко связанных с телом, будем называть гиростатом.
При этом предполагается, что роторы симметричны относительно осей вра-
щения, так что распределение масс всей системы не изменяется со временем.
Более общие определения гиростата приведены в работах [1, 2]. Обозначим
через λ гиростатический момент, характеризующий циклические движения
роторов. На основании теоремы об изменении момента количества движения,
суммарный кинетический моментK+λ гиростата удовлетворяет уравнению
K̇ + λ̇+ ω × (K + λ) = M , (1)
обобщающему известные уравнения Эйлера движения твердого тела. Здесь
ω – угловая скорость гиростата в подвижном базисе, M – результирующий
момент внешних сил относительно неподвижной точки. Следуя В. Вольтер-
ра [3], мы можем заметить, что если определено вращательное движение тела-
носителя и известен результирующий момент M внешних сил, действующих
на систему, то дифференциальные уравнения (1) позволяют определить ком-
поненты гиростатического момента λ.
Для гиростата, вращающегося вокруг неподвижной точки в поле силы
тяжести, уравнение (1) приводит к системе
Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)× ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (2)
где J = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции гиростата в главных осях, ν – орт
вертикали, e – вектор, направленный из неподвижной точки к центру масс
системы, λ = λ(t) – гиростатический момент. Уравнения (2) допускают
первые интегралы
(Jω + λ,ν) = g, |ν|2 = 1. (3)
Движения, при которых вектор угловой скорости ω сохраняет постоянное
направление, являются наиболее простыми и важными для приложений. Для
42
Маятниковые вращения гиростата
твердого тела с неподвижной точкой допустимые перманентные оси враще-
ний исследованы О. Штауде [4] и Б.К. Млодзеевским [5]. В задаче о движении
гиростата по инерции анализ равномерных вращений провел В. Вольтерра [3].
П.В. Харламов [6] нашел множество осей равномерных вращений тяжелого
гиростата с постоянным гиростатическим моментом. Э.И. Дружинин [7] изу-
чил перманентные вращения гиростата с закрепленным центром тяжести и
показал, что при K+λ 6= 0 перманентные вращения гиростата с переменным
λ(t) возможны только вокруг главных осей инерции.
Рассмотрим тяжелый гиростат с гиростатическим моментом λ, направ-
ленным вдоль постоянного в теле вектора: λ = λ(t)α, |α| = 1. Достаточно
полное описание равномерных вращений такого гиростата приведено в [8].
Теперь исследуем маятниковые вращения тяжелого гиростата вокруг непо-
движной точки. Положим ω = ω(t)β, где β – орт оси вращения, ω(t) 6= const.
При заданных условиях система дифференциальных уравнений
ω̇ Jβ = ω2(Jβ × β) + λω (α× β) + e× ν − λ̇α, ν̇ = ω (ν × β) (4)
позволяет определить зависимость ω, λ и ν от времени. Функции времени
ω(t), λ(t) далее будем полагать непрерывно дифференцируемыми, ограничен-
ными для всех t ∈ R вместе со своей производной.
Цель работы – определение необходимых и достаточных условий суще-
ствования маятниковых вращений гиростата вокруг неподвижной точки; по-
лучение в явном виде точных решений уравнений (4), описывающих эти вра-
щения; нахождение множества перманентных осей, занимающих при движе-
нии неизменное положение и в теле и в пространстве.
2. Необходимые условия существования маятниковых вращений.
Преобразуем систему уравнений (4). Для этого умножим обе части первого
уравнения (4) скалярно на α× (α× β), α× Jβ и (α× β)× Jβ:
2Aω̇ = Bω2 + 2(ν, ξ), (5)
Aλω = ω2 (Jβ × β,α× Jβ) + (ν,η), (6)
Aλ̇ = ω2 (Jβ ×α,β)(Jβ,β) + (ν,χ), (7)
где обозначены величины
A = (Jβ ×α,α× β), B = 2(Jβ × β,α)(α,β),
ξ = (α× (α× β))× e, η = (α× Jβ)× e, χ = ((α× β)× Jβ)× e.
На интервале знакопостоянства функции ω(t) произведем замену времени
t→ τ : τ̇ = ω. Тогда зависимость ν(τ) найдем интегрированием уравнения
ν ′ = ν × β, (8)
где штрих обозначает дифференцирование по τ .
43
О.С. Волкова, И.Н. Гашененко
Из (5) получим линейное дифференциальное уравнение относительно ω2(τ)
A(ω2)′ = Bω2 + 2(ν(τ), ξ). (9)
Исключением λ из уравнений (6), (7) найдем конечное уравнение, связыва-
ющее переменные ω, τ. Например, подставим в тождество
λ̇ω2 = (λω)′ω2 − 1
2
λω(ω2)′
выражения λ̇, (λω), (ω2)′, определяемые уравнениями (6), (7), (9). В резуль-
тате получим
Cω4 + (ν,σ)ω2 + (ν, ξ)(ν,η) = 0, (10)
где
C = (Jβ × β,α)
[
A2 + (α,β)2|Jβ ×α|2
]
,
σ = 2B−1Cξ +
1
2
Bη −A(β × η) +A2(α,β)−1ζ, ζ = β × e.
Необходимые условия существования маятниковых решений системы (4) най-
дем из условий совместности уравнений (8) – (10).
Рассмотрим невырожденный случай AB 6= 0. Тогда ω2
0 exp
B
A
(τ − τ0) –
общее решение соответствующего однородного уравнения, а общее решение
уравнения (9) может быть записано в виде
ω2(τ) = ω2
0 exp
B
A
(τ − τ0)− 2A
A2 +B2
(ν(τ),β×ξ+A−1Bξ+AB−1(β, ξ)β). (11)
Если ω0 6= 0, то подстановка выражения (11) в (10) приводит к тождеству
только при условии C = 0, что противоречит предположению AB 6= 0. Сле-
довательно, ω0 = 0. Рассмотрим случай, когда (9) допускает частное решение
ω2
∗(τ) = − 2A
A2 +B2
(ν(τ),β × ξ +A−1Bξ +AB−1(β, ξ)β). (12)
Без ограничения общности положим ∆2 := β2
2 + β2
3 6= 0. Решение уравнения
(8) запишем в виде ν = Uγ, где γ = (sinµ sin τ, sinµ cos τ, cosµ)T , cosµ =
= (ν,β) ≡ const. Ортогональная матрица U : R3 → R3 имеет вид
U =
∆ 0 β1
−β1β2
∆
β3
∆
β2
−β1β3
∆
−β2
∆
β3
=
(β × i)× β
| (β × i)× β |
β × i
|β × i |
β
T
, i = (1, 0, 0)T . (13)
Тогда |ν|2 = 1 и для произвольного вектора u получим (ν, u) = (γ, UTu).
44
Маятниковые вращения гиростата
Подстановка зависимостей ω2(τ),ν(τ) должна обращать в тождество урав-
нение (10). В результате такой подстановки левая часть (10) будет периодиче-
ской функцией f(τ) = a2 sin 2τ+b2 cos 2τ+a1 sin τ+b1 cos τ+a0. Приравнивая
нулю коэффициенты a2, b2, a0 при sin 2τ , cos 2τ , 1, найдем условия
(η, ζ) = 0, A(β × ξ, ζ) +B(ξ, ζ) = 0. (14)
Непосредственной подстановкой в (14) соответствующих выражений величин
η, ζ, A,B через векторы Jβ, β, α, e получим, что в случае AB 6= 0 условия
(14) не выполняются.
Рассмотрим случай A = 0, B 6= 0. Так как уравнения (5) – (7) в этом случае
являются зависимыми, умножим обе части первого уравнения (4) скалярно
на β, α× β, α× (α× β) :
(α,β)
[
(Jβ,α)ω̇ + λ̇
]
= (ν, ζ), (15)
ω|α× β|2 [(Jβ,α)ω + λ] = ω̇(Jβ,α× β)− (ν, (α× β)× e), (16)
Bω2 + 2(ν, ξ) = 0. (17)
После исключения ω, λ из системы (15) – (17) получим уравнение
u1(ν, ξ)2 + u2(ν,β × ξ)2 + u3(ν, ξ)(ν,β × ξ)+
+ u4(ν,β × ξ)(ν,β) + u5(ν, ξ)(ν,β) = 0,
(18)
где u1 = 8(α, e)u0−2, u2 = 1+2(α, e)u0, u3 = 6(α×β, e)u0,
u4 = 2(α, e)(α,β)[(α, e)u0 − 1], u5 = (α,β)(α× β, e)u1,
u0 = (α,β)(β, e)/[(α, e)2 + (α× β, e)2].
Подстановка ν(τ) должна обращать в тождество уравнение (18). В резуль-
тате несложных вычислений можно показать, что в случае A = 0, B 6= 0
условие (18) не выполняется.
Пусть (α,β) = 0, (Jβ×β,α) 6= 0, B = 0, A 6= 0. При таких ограничениях
получим ξ = −ζ, а уравнения (12), (10) примут вид
ω2 +
2
A
(ν,β × ξ) = const,
(Jβ × β,α)A2ω4 +A (ν, σ̃)ω2 + (ν, ξ)(ν,η) = 0,
(19)
где σ̃ = χ+ (Jβ,α) ξ− (β × η). Условия совместности системы уравнений
(8), (19) не выполняются. Таким образом, маятниковые вращения гиростата
с переменным моментом могут существовать лишь в случае (Jβ×β, α) = 0.
Пусть (Jβ × β,α) = 0, B = 0, A 6= 0. При этом из уравнений (5) – (7)
следует равенство
A (ν, (α× β)× e) + |α× β|2(ν,η) = 0.
45
О.С. Волкова, И.Н. Гашененко
Зависимость ω2(τ) найдем из уравнения (9). Подстановкой в (4) выясним,
что выражение ω2(τ) не содержит линейных слагаемых по переменной τ. Это
возможно лишь при условии (α×β, e) cosµ = 0. Дальнейший анализ системы
(4) показал, что в случае (α × β, e) = 0, cosµ 6= 0 маятниковые вращения
отсутствуют. Однако, если выполнено условие cosµ := (ν,β) = 0, то при
дополнительном ограничении (β, e) = 0 маятниковые вращения гиростата
возможны. Явные решения уравнений (4) будут выписаны далее (см. п. 3,
вариант 4).
Условию A = B = 0 соответствуют случаи
α ‖ β ‖ Jβ, α ‖ β ∦ Jβ, α ‖ Jβ ∦ β, (20)
в каждом из которых система уравнений (4) исследована отдельно.
Результат сформулируем в виде леммы.
Лемма. Необходимое условие существования маятниковых движений тя-
желого гиростата вокруг оси, направленной вдоль β, имеет вид
(Jβ × β, α)2 + |Jβ ×α|2(β, e)2 = 0. (21)
3. Описание возможных вращений. Приведем описание четырех клас-
сов маятниковых вращений, которые были получены в результате исследова-
ния условий разрешимости системы (4) при ограничении (Jβ × β, α) = 0.
1) Вращения вокруг вертикальной главной оси, несущей центр масс. В
этом случае гиростатический момент λ также направлен вдоль оси враще-
ния. Параметры гиростата и начальные условия движения подчинены усло-
виям α ‖ Jβ ‖ β ‖ ν ‖ e. Вектор K + λ суммарного кинетического момента
гиростата является постоянным и в подвижном, и в неподвижном базисе:
ω(t)Jβ + λ(t)α ≡ ±g e. (22)
2) Вращения вокруг горизонтальной главной оси. Ось, несущая центр
масс, ортогональна оси вращения, а гиростатический момент направлен вдоль
нее. В векторной форме условия имеют вид ν ⊥ β, e ⊥ β, α ‖ β ‖ Jβ.
Вектор угловой скорости вращения тела фиксирован в горизонтальной плос-
кости, в то время как ω(t) – произвольная функция времени. Функция λ(t)
с точностью до константы определяется из уравнения
λ̇ = (e× ν,α)− ω̇ (Jβ,α), (23)
где ν(τ) = U γ(τ), γ = (sin τ, cos τ, 0)T , τ̇ = ω(t). Суммарный кинетический
момент K+λ ≡ ω Jβ+λα направлен вдоль оси вращения β, его абсолютная
величина меняется с течением времени. При этом константа площадей g = 0.
3) Вращения вокруг наклонной оси. Маятниковые вращения возможны во-
круг неглавной наклонной оси, составляющей с вертикалью меньший угол,
чем с осью, содержащей центр масс, т.е. (ν,β)2> (e,β)2. Кроме того, долж-
ны выполняться условия Jβ ‖ α ⊥ e и (α× e, β) = 0. Очевидно, что тогда
46
Маятниковые вращения гиростата
справедливы неравенства (e,β) 6= 0 и e×β 6= 0. Для данного вида вращений
зависимость ω(t) определена с точностью до постоянного множителя, завися-
щего от начальных условий: ω = g−1(ν,α)2/(e,β). По найденным ν(t) и ω(t)
абсолютная величина гиростатического момента λ определяется однозначно:
λ = −(Jβ,α)ω +
g
(ν,α)
, (ν,α) 6= 0, (24)
что и влечет за собой ограничение на угол наклона оси вращения. В отличие
от двух предыдущих случаев, вектор K + λ ≡ ωJβ + λα направлен не по
оси вращения, а вдоль вектора α ‖ Jβ ∦ β. Постоянная площадей g 6= 0.
Пусть κ := cos τ, где τ̇ = ω(t). Тогда κ(t) удовлетворяет уравнению
κ̇ = c (κ + a)2
√
1− κ2, κ + a 6= 0, (25)
где |a| = |ctg〈ν̂,β〉ctg〈α̂,β〉| = |ctg〈ν̂,β〉 tg〈ê,β〉| > 1 при (ν,β)2> (e,β)2, а
c – постоянная, значение которой здесь приводить не будем. Запись 〈α̂,β〉
обозначает угол между векторами α и β.
Уравнение (25) интегрируется в элементарных функциях:
|a| > 1 : c(t− t0) =
1
(a2 − 1)3/2
(√
1− κ2
√
a2 − 1
(κ + a)
+ a arcsin
aκ + 1
κ + a
)
. (26)
В случае |a| ≤ 1 решение уравнения (25) также несложно выписать в явном
виде. Тогда ω(t) → 0, λ(t) → ∞ при t → ∞, что противоречит исходному
предположению об ограниченности решения системы (4).
Формула (26) не позволяет выписать явную зависимость κ(t), поскольку
представляет собой трансцендентное уравнение. Тем не менее ясно, что она
определяет непрерывно дифференцируемую, периодическую с периодом
T =
2πa
(a2 − 1)3/2c
функцию времени κ(t). Следовательно, функции ω(t), ν(t)
и λ(t) также будут периодическими.
4) Вращения вокруг горизонтальной неглавной оси. Векторы Jβ, β и α
компланарны, но среди них нет коллинеарных; центр масс лежит на оси,
ортогональной оси вращения. Если при этом выполнено условие
α1α2α3(J1 − J2)(J2 − J3)(J3 − J1) 6= 0, (27)
то допустимые оси маятниковых вращений принадлежат пересечению конуса
(Jβ×β, α) = 0 с плоскостью e ⊥ β, проходящей через начало координат. В
зависимости от распределения масс и направления гиростатического момен-
та, в пересечении могут лежать одна, две либо ни одной образующей конуса.
Этому соответствуют случаи D = 0, D > 0 и D < 0, где
D = [(J2−J3)e1α1+(J3−J1)e2α2+(J2−J1)e3α3]2+4e1e2α1α2(J2−J3)(J1−J3).
47
О.С. Волкова, И.Н. Гашененко
Отметим, что все случаи реализуемы. Например, пусть J1 = 3, J2 = 4,
J3 = 5, тогда получим
D = 0 : e = (e1, 0, e3)T , α = (e3, 0, e1)T , β = (e3, 0,−e1)T ;
D > 0 : e = (e1, 0, e3)T , α = (−e1, 0, e3)T , β = (e3, 0,−e1)T ;
D < 0 : α ‖ (e2e3,−e1e3, e1e2)T , β ‖ (e2e3,−2e1e3, e1e2)T , e1e2e3 6= 0.
Если условие (27) не выполняется и, кроме того,
α2
1(J2 − J3)2 + α2
2(J3 − J1)2 + α2
3(J1 − J2)2 6= 0,
то уравнение (Jβ × β, α) = 0 определяет пару пересекающихся плоскостей.
Допустимой осью маятниковых вращений может быть любая ось, проходящая
через начало координат, если вектор e ортогонален одной из пересекающихся
плоскостей.
Так же, как и для вращений вокруг горизонтальной главной оси, вектор
ωJβ+λα здесь направлен вдоль β, хотя β ∦ Jβ и β ∦ α.Константа площадей
g = 0. В отличие от предыдущего случая, величина λ линейно выражается
через ω :
λ = −(Jβ × β, α× β)ω/|α× β|2. (28)
Если маятниковое вращение вокруг заданной оси возможно, то система
(4) допускает инвариантное соотношение (аналог интеграла энергии)
Aω2 + 2(ν, e) = 2h, (29)
где константа h определена начальными условиями движения. Выразим ω
из (29). На каждом интервале монотонности функция τ(t) удовлетворяет
уравнению
τ̇ = ω(τ) = ±
√
2
A
( h− (ν(τ), e)), (30)
неотрицательность выражения под радикалом ограничивает множество допу-
стимых значений h.Пусть κ := cos 〈̂ν, e〉 = (ν, e). Tогда κ(t) удовлетворяет
уравнению
κ̇ = c
√
ε 2(h− κ)(1− κ2), c = |A|−1/2 6= 0, ε = ±1, (31)
которое интегрируется в эллиптических функциях. Качественно различные
решения уравнения (31) могут быть записаны в виде
|h| < 1 : κ(t) = ε sn2(c (t− t0); k)− ε dn2(c (t− t0); k),
ω(t) = c
√
2(1 + εh) cn(c (t− t0); k), k =
√
1 + εh
2
;
|h| > 1 : κ(t) = ε 2 sn2(
c (t− t0)
k
; k)− ε,
ω(t) = c
√
2(1 + εh) dn(
c (t− t0)
k
; k), k =
√
2
1 + εh
;
|h| = 1 : κ(t) = ε 2 th2c(t− t0)− ε; ω(t) = 2c ch−1c(t− t0).
(32)
48
Маятниковые вращения гиростата
Таким образом, при h2 6= 1 решения системы (4) – периодические функ-
ции времени. В последнем, асимптотическом, случае гиростат стремится к
положению равновесия (ω(t) → 0, λ(t) → 0), при этом вектор центра масс в
пределе занимает вертикальное положение, т.е. ν(t)→ ±e при t→ ±∞.
Выводы. Если векторы Jβ, β, α и e не удовлетворяют ни одному из
условий 1) – 4), то вращение с угловой скоростью ω = ω(t)β вокруг оси, на-
правленной вдоль β, невозможно. Достаточные условия (условия на распре-
деление масс, угол наклона оси вращения, начальные значения переменных)
для каждого семейства вращений выписаны отдельно. Указаны явные зави-
симости ω, λ и ν от времени. Таким образом, доказана следующая теорема
о необходимых и достаточных условиях существования маятниковых враще-
ний тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки:
Теорема. Маятниковые движения тяжелого гиростата с переменным
гиростатическим моментом λ = λ(t)α существуют тогда и только то-
гда, когда параметры, характеризующие распределение масс системы и на-
чальные условия движения, подчинены следующим ограничениям:
• ν × β = α× β = e× β = Jβ × β = 0;
• (ν,β) = (e,β) = 0, α× β = Jβ × β = 0;
• (α, e) = (α× β, e) = 0, Jβ ×α = 0, (ν,β)2 > (e,β)2 > 0;
• (ν,β) = (e,β) = (Jβ × β,α) = 0, (Jβ × β,α× β) 6= 0, D ≥ 0.
1. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики: В 2-х т. – М.: Изд–во
иностр. лит. – Т. 2, Ч. 2. – 1951. – 555 с.
2. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
3. Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta Math. – 1899. – 22. – Р. 201–
358.
4. Staude O. Über permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um
einen festen Punkt // J. reine und angew. Math. – 1894. – 113, H. 4. – S. 318–334.
5. Млодзеевский Б.К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела около
неподвижной точки // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. – 1894. –
7, вып. 1. – С. 46–48.
6. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку //
Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, вып. 2. – С. 373–375.
7. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата // Там же. – 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.
8. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего
маховик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
applmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 22.09.09
49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28002 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:11:03Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волкова, О.С. Гашененко, И.Н. 2011-10-25T20:30:49Z 2011-10-25T20:30:49Z 2009 Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / О.С. Волкова, И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 42-49. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28002 531.38 Получены необходимые и достаточные условия существования маятниковых вращений тела-носителя в задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки. Предполагается, что направление переменного во времени вектора гиростатического момента постоянно в подвижном базисе. Исследовано множество перманентных осей, занимающих при движении неизменное положение и в теле и в пространстве. Показано, что вращения тела могут происходить вокруг вертикальной, горизонтальных и наклонных осей. Найдены точные решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом Article published earlier |
| spellingShingle | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом Волкова, О.С. Гашененко, И.Н. |
| title | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_fullStr | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full_unstemmed | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_short | Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_sort | маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28002 |
| work_keys_str_mv | AT volkovaos maâtnikovyevraŝeniâtâželogogirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom AT gašenenkoin maâtnikovyevraŝeniâtâželogogirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom |