Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа
Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от углов нутации и прецессии. Рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа при случайных вертикальных колебаниях точки опоры. Получе...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28004 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа / Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28004 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. 2011-10-25T20:36:08Z 2011-10-25T20:36:08Z 2009 Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа / Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28004 531.383:531.4 Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от углов нутации и прецессии. Рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа при случайных вертикальных колебаниях точки опоры. Получены и исследуются решения усредненных систем уравнений движения в первом и втором приближениях. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа |
| spellingShingle |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. |
| title_short |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа |
| title_full |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа |
| title_fullStr |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа |
| title_full_unstemmed |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа |
| title_sort |
возмущенные вращательные движения волчка лагранжа |
| author |
Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. |
| author_facet |
Козаченко, Т.А. Лещенко, Д.Д. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от углов нутации и прецессии. Рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа при случайных вертикальных колебаниях точки опоры. Получены и исследуются решения усредненных систем уравнений движения в первом и втором приближениях.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28004 |
| citation_txt |
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа / Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kozačenkota vozmuŝennyevraŝatelʹnyedviženiâvolčkalagranža AT leŝenkodd vozmuŝennyevraŝatelʹnyedviženiâvolčkalagranža |
| first_indexed |
2025-11-27T08:01:04Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:01:04Z |
| _version_ |
1850807223522951168 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.383:531.4
c©2009. Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко
ВОЗМУЩЕННЫЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА
Исследуются возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной
прецессии в случае Лагранжа, под действием восстанавливающего момента, зависящего от
углов нутации и прецессии. Рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа при слу-
чайных вертикальных колебаниях точки опоры. Получены и исследуются решения усред-
ненных систем уравнений движения в первом и втором приближениях.
1. Рассмотрим возмущенные движения динамически симметричного твер-
дого тела вокруг неподвижной точки под действием восстанавливающего мо-
мента, зависящего от углов нутации и прецессии. Уравнения движения имеют
вид:
Aṗ+ (C −A)qr = k sin θ cosϕ+M1,
Aq̇ + (A− C) pr = −k sin θ sinϕ+M2, Cṙ = M3,
ψ̇ = (p sinϕ+ q cosϕ) cosec θ, θ̇ = p cosϕ− q sinϕ,
ϕ̇ = r− (p sinϕ+ q cosϕ) ctg θ.
(1)
Здесь p, q, r – проекции вектора угловой скорости тела на главные оси
инерции тела, проходящие через точку O; величины Mi = Mi(p, q, r, ψ, θ, ϕ)
(i = 1, 2, 3) – проекции вектора возмущающего момента на те же оси; ψ, ϕ, θ
– углы Эйлера; A, C – экваториальный и осевой моменты инерции тела от-
носительно точки O; A 6= C.
Предполагается, что на тело действует восстанавливающий момент k(θ, ψ),
зависящий от углов нутации и прецессии, и
(p2 + q2)1/2 � r, Cr2 � k, |Mi| � k, i = 1, 2, 3. (2)
Неравенства (2) означают, что направление угловой скорости тела близко к
оси динамической симметрии; угловая скорость достаточно велика; возму-
щающие моменты малы по сравнению с восстанавливающим моментом. В
работе [1] рассматривалась аналогичная задача в предположении, что угло-
вая скорость осевого вращения достаточно велика и две проекции вектора
возмущающего момента на главные оси инерции тела малы по сравнению с
восстанавливающим моментом, а третья – одного с ним порядка.
Неравенства (2) позволяют ввести малый параметр ε� 1 и положить
p = εP, q = εQ, k(θ, ψ) = εK(θ, ψ),
Mi = ε2M∗i (P,Q, r, ψ, θ, ϕ) i = 1, 2, 3.
(3)
62
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа
Новые переменные P , Q, а также переменные r, ψ, θ, ϕ, функции K, M∗i
(i = 1, 2, 3) и моменты инерции A, C предполагаются ограниченными вели-
чинами порядка единицы при ε→ 0.
Ставится задача исследования асимптотического поведения системы (1)
при малом ε, если выполнены условия (2), (3), которое будет проводиться
методом усреднения [2, 3] на интервале времени порядка ε−1. Упрощающие
предположения (2) дают возможность получить в общем случае довольно
простую схему усреднения и исследовать ряд примеров.
Рассмотрим систему нулевого приближения (предварительно разделив обе
части первых двух уравнений (1) на ε после замены переменных (3)) и поло-
жим ε = 0. Тогда решение полученной системы имеет вид
r = r0, ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 + r0t ,
P = a cos γ0 + b sin γ0 +K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 sin (r0t+ ϕ0),
Q = a sin γ0 − b cos γ0 +K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 cos (r0t+ ϕ0),
a = P0 −K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 sinϕ0,
b = −Q0 +K(θ0, ψ0)C−1r−1
0 sin θ0 cosϕ0,
γ0 = n0t, n0 = (C −A)A−1r0, r0 6= 0, |n0/r0| ≤ 1.
(4)
Здесь r0, ψ0, θ0, ϕ0, P0, Q0 – постоянные, равные начальным значениям
переменных при t = 0, а переменная γ = γ0 имеет смысл фазы прецессион-
ных колебаний. Пользуясь соотношениями (3), (4), перейдем в системе (1) от
переменных p, q, r, ψ, θ, ϕ к новым переменным a, b, δ, ψ, θ, α, γ, где
α = γ + ϕ, r = r0 + εδ.
После преобразований получим систему семи уравнений
ȧ = εA−1(M0
1 cos γ +M0
2 sin γ)− εK(θ, ψ)C−1r−1
0 cos θ(b−
−K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ cosα)− εC−1r−1
0 sin θ sinα(a cosα+ b sinα)
∂K(θ, ψ)
∂θ
−
− εC−1r−1
0 sinα(a sinα− b cosα+K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ)
∂K(θ, ψ)
∂ψ
+
+ ε2K(θ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ(b− 2K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ cosα)+
+ ε2C−1r−2
0 δ sin θ sinα(a cosα+ b sinα)
∂K(θ, ψ)
∂θ
+
+ ε2C−1r−2
0 δ sinα(a sinα− b cosα+ 2K(θ, ψ)C−1r−1
0 δ sin θ)
∂K(θ, ψ)
∂ψ
+
+ ε2K(θ, ψ)C−2r−2
0 M0
3 sin θ sinα;
63
Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко
ḃ = εA−1(M0
1 sin γ −M0
2 cos γ) + εK(θ, ψ)C−1r−1
0 cos θ(a+
+K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ sinα) + εC−1r−1
0 sin θ cosα(a cosα+ b sinα)
∂K(θ, ψ)
∂θ
+
+ εC−1r−1
0 cosα
∂K(θ, ψ)
∂ψ
(a sinα− b cosα+K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ)−
− ε2K(θ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ(a+ 2K(θ, ψ)C−1r−1
0 sin θ sinα)−
− ε2C−1r−2
0 δ sin θ cosα(a cosα+ b sinα)
∂K(θ, ψ)
∂θ
− (5)
− ε2C−1r−2
0 δ cosα(a sinα− b cosα+ 2K(θ, ψ)C−1r−1
0 δ sin θ)
∂K(θ, ψ)
∂ψ
−
− ε2K(θ, ψ)C−2r−2
0 M0
3 sin θ cosα;
δ̇ = εC−1M0
3 , θ̇ = ε (a cosα+ b sinα),
ψ̇ = ε cosec θ (a sinα− b cosα) + εK(θ, ψ)C−1r−1
0 − ε2K(θ, ψ)C−1r−2
0 δ,
α̇ = CA−1r0 + εCA−1δ − ε ctg θ (a sinα− b cosα)−
−εK(θ, ψ)C−1r−1
0 cos θ + ε2K(θ, ψ)C−1r−2
0 δ cos θ,
γ̇ = (C −A)A−1r0 + ε(C −A)A−1δ,
M0
i (a, b, δ, ψ, θ, α, γ) = M∗i (P,Q, r, ψ, θ, ϕ), i = 1, 2, 3.
Система (5) содержит медленные переменные a, b, r, ψ, θ и быстрые
– фазы α и γ с постоянными частотами. В работах [4 – 7] рассматривались
случаи, когда восстанавливающий момент или постоянен k = const, или за-
висит от: 1) угла нутации k = k (θ); 2) медленного времени и угла нута-
ции k = k (τ, θ) (τ = εt); 3) медленного времени и угла прецессии k(τ, ψ).
В данной работе зависимость восстанавливающего момента от углов нутации
и прецессии приводит к появлению в уравнениях (5) слагаемых, содержащих
частные производные
∂K (θ, ψ)
∂θ
и
∂K (θ, ψ)
∂ψ
.
Исследуем возмущенное движение твердого тела относительно неподвиж-
ной точки под действием возмущающего момента Mi (i = 1, 2, 3), постоян-
ного в связанных осях:
Mi = ε2M∗i = ε2M0
i = const, (6)
и восстанавливающего момента
k(θ, ψ) = k(θ) sinψ = εK(θ) sinψ. (7)
Для решения поставленной задачи применим методику усреднения раз-
работанную Д.Д. Лещенко и А.С. Шамаевым [4].
64
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа
Решение усредненной системы уравнений (5) первого приближения с уче-
том (6), (7) для медленных переменных примет вид
a(1)(τ) = exp(−1
2
F2(τ))(a0 cosG− b0 sinG),
b(1)(τ) = exp(−1
2
F2(τ))(a0 sinG+ b0 cosG),
θ(1) = θ0, δ(1)(τ) = C−1M0
3 τ, tg
ψ(1)(τ)
2
= tg
ψ0
2
exp(F1τ),
F1 = K(θ)C−1r−1
0 , F2 = F1
τ∫
0
cosψ(1)(τ ′)dτ ′,
G(τ) = C−1r−1
0 (K(θ) cos θ +
1
2
sin θ
∂K(θ)
∂θ
)
τ∫
0
sinψ(1)(τ ′)dτ ′,
cosψ(1)(τ) =
1− tg
ψ0
2
exp(F1τ)
1 + tg2 ψ0
2
exp(2F1τ)
, sinψ(1)(τ) =
2 tg
ψ0
2
exp(F1τ)
1 + tg2 ψ0
2
exp(2F1τ)
.
(8)
В первом приближении угол нутации постоянен. Угол прецессии – 2π-пери-
одическая переменная, для которой выполняется соотношение tg
ψ
2
≥ tg
ψ0
2
.
Переменные a(1), b(1) являются произведением экспоненциального и осцил-
лирующего сомножителей, зависящих от начальных значений угла прецессии
и нутации.
Определим эволюцию углов прецессии и нутации по схеме, предложенной
в [4],
ψ∨ε (t) = 2 arctg[tg
ψ0
2
exp(εF1t)] + ε exp (F2(εt))
εt∫
0
g(τ) exp (−F2(τ))dτ−
− εAC−1r−1
0 cosec θ0[a(1) cosα+ b(1) sinα],
θ∨ε (t) = θ0 +
1
2
εAC−3r−3
0 K2(θ0) sin θ0
εt∫
0
sin 2ψ(1)(τ)dτ+ (9)
+ εAC−1r−1
0 [a(1) sinα− b(1) cosα],
α(t) = ϕ0 + CA−1r0t+
1
2
ε2A−1M0
3 t
2 − εC−1r0K(θ0) cos θ0
t∫
0
sinψ(1)(εt′)dt′,
65
Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко
g(τ) =
1
2
K2(θ0)AC−4r−4
0 sin θ0
∂K(θ)
∂θ
∣∣∣∣
θ=θ0
τ∫
0
sin 2ψ(1)(τ ′)dτ ′+
+K2(θ0)AC−3r−3
0 cos θ0 sin2 ψ(1)(τ)−K(θ0)C−2r−2
0 M0
3 τ sinψ(1)(τ).
Зависимость восстанавливающего момента K(θ, ψ) от углов нутации и
прецессии привела к появлению в формулах (9) слагаемых, содержащих ин-
теграл
τ∫
0
sin 2ψ(1)(τ ′)dτ ′. Полученные выражения для углов прецессии и ну-
тации уточняют известные ранее результаты из приближенной теории гиро-
скопов [8].
2. Рассмотрим быстрое движение волчка Лагранжа при случайных верти-
кальных колебаниях точки опоры [9]. Уравнения движения имеют вид ана-
логичный (1). Предполагается, что на тело действует восстанавливающий
момент k = k(τ), зависящий от медленного времени и являющийся диффе-
ренцируемой функцией на промежутке τ ∈ (0, 1].
Проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела
имеют вид
M1 = ε2a(τ)ml sin θ cosϕ, M2 = −ε2a(τ)ml sin θ sinϕ,
M3 = ε2M0
3 , M0
3 = const,
(10)
где m – масса тела, l – расстояние от точки опоры до центра тяжести, a(τ) –
ускорение точки опоры. Предполагается, что a(τ) включает периодическую
и случайную составляющие:
a(τ) = g(ξ(τ) + ρ cosωτ). (11)
Здесь ξ(τ) – нормальный непрерывный справа случайный процесс с нулевым
средним, g – ускорение силы тяжести, ρ и ω – амплитуда и частота колебаний.
Ставится задача исследования асимптотического поведения системы (1),
(10), (11) при малом ε, если выполнены условия (2). В работе [9] рассмат-
ривался случай различных порядков малости проекций вектора возмущаю-
щих моментов. Для решения задачи воспользуемся методом усреднения [2, 3]
на интервале времени порядка ε−1. Схема построения приближенных реше-
ний данной системы подробно описана в [4]. Решение усредненной системы
уравнений первого приближения для медленных переменных a, b, δ, ψ, θ и
быстрых переменных α, γ в этой задаче примет вид
a(1)(τ) = a0 cosG(τ)− b0 sinG(τ), b(1)(τ) = a0 sinG(τ) + b0 cosG(τ),
δ(1)(τ) = C−1M0
3 τ, ψ(1) = ψ0 + −1r−1
0
τ∫
0
K(τ ′)dτ ′, θ(1) = θ0,
66
Возмущенные вращательные движения волчка Лагранжа
α = ϕ0 + CA−1r0t− εC−1r−1
0 cos θ0
t∫
0
K(εt′)dt′ +
1
2
ε2A−1M0
3 t
2, (12)
γ = (C −A)A−1r0t+
1
2
ε2(C −A)A−1C−1M0
3 t
2, G(τ) = C−1r−1
0 cos θ0
τ∫
0
K(τ ′)dτ ′,
a0 = P0 −K0(τ)C−1r−1
0 sin θ0 sinϕ0, b0 = −Q0 +K0(τ)C−1r−1
0 sin θ0 cosϕ0.
Здесь ψ0, θ0, ϕ0, r0, P0, Q0 – начальные значения соответствующих пере-
менных. Определим эволюцию углов прецессии и нутации во втором прибли-
жении:
ψ∨ε (t) = ψ0 + S1 + S2 + S3 + S4,
θ∨ε (t) = θ0 + εAK(εt)C−2r−2
0 sin θ0 + εAC−1r−1
0
√
a2
0 + b20 sin(α− ζ1),
S1 = C−1r−1
0
εt∫
0
K(τ)dτ, S3 = εAC−3r−3
0 cos θ0
εt∫
0
K2(τ)dτ,
S2 = εC−1r−1
0 gml
ρ
ω
sin(εωt) +
εt∫
0
ξ(τ)dτ
− εC−2r−2
0 M0
3
εt∫
0
K(τ)τdτ,
S4 = −εAC−1r−1
0 cosec θ0
√
a2
0 + b20 sin(α+ ζ2),
cos ζ2 = sin ζ1 =
b(1)√
a2
0 + b20
.
(13)
В выражении (13) для угла нутации θ∨ε (t) ограниченное осциллирующее
слагаемое содержит ненулевые начальные данные a0, b0. Для угла прецессии
ψ∨ε (t) дополнительные слагаемые S1, S2, S3, S4 уточняют для нашей зада-
чи формулу угловой скорости прецессии ωp = K0C
−1r−1
0 , имеющую место в
приближенной теории гироскопов.
Заметим, что формулы для углов нутации и прецессии не содержат пара-
метров возмущающих моментов, если ограничиться первым приближением
(12). В этом случае влияние возмущений на регулярную прецессию тела не
учитывается и, таким образом, построение второго приближения является
существенным.
1. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Возмущенные вращательные движения
твердого тела под действием восстанавливающего момента, зависящего от углов пре-
цессии и нутации // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 97–102.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. – М.: Наука, 1974. – 503 с.
3. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных
систем. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 507 с.
67
Т.А. Козаченко, Д.Д. Лещенко
4. Лещенко Д. Д., Шамаев А. С. Возмущенные вращательные движения твердого тела,
близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твер-
дого тела. – 1987. – № 6. – C. 8–17.
5. Кушпиль Т.А., Лещенко Д.Д., Тимошенко И.А. Некоторые задачи эволюции вращений
твердого тела под действием возмущающих моментов // Механика твердого тела. –
2000. – Вып. 30. – С. 119–125.
6. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Возмущенные вращения твердого те-
ла под действием нестационарного восстанавливающего момента // Там же. – 2002. –
Вып. 32. – С. 77–84.
7. Зинкевич Я.С., Козаченко Т.А. Эволюция вращений твердого тела под действием неста-
ционарного восстанавливающего момента // Там же. – 2008. – Вып. 38. – C. 111–115.
8. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. – М.: Наука, 1969. – Ч. 2. –
332 с.
9. Ковалева А.С. Многочастотные системы при стационарном случайном возмущении. –
Ч.1. Нерезонансные колебания // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1994. – C. 44–52.
Гос. академия строительства и архитектуры, Одесса
kushpil.ru@rambler.ru, leshchenko_d@ukr.net
Получено 12.10.09
68
|