Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28006 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28006 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. 2011-10-25T20:41:23Z 2011-10-25T20:41:23Z 2009 Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28006 531.38 Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| spellingShingle |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| title_short |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_full |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_fullStr |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_full_unstemmed |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_sort |
уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов лагранжа |
| author |
Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| author_facet |
Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвижных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28006 |
| citation_txt |
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lesiname uravneniâpodvižnyhinepodvižnyhaksoidovdlâklassadviženiipoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža AT gogolevanf uravneniâpodvižnyhinepodvižnyhaksoidovdlâklassadviženiipoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža |
| first_indexed |
2025-11-24T19:09:24Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:09:24Z |
| _version_ |
1850493834056695808 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
УРАВНЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ И НЕПОДВИЖНЫХ АКСОИДОВ
ДЛЯ КЛАССА ДВИЖЕНИЙ ПО ИНЕРЦИИ
СИСТЕМЫ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА
Для решения задачи, указанного в работе [1], получены уравнения подвижных и неподвиж-
ных аксоидов тел системы при условии, что одно из тел закреплено в центре масс.
В статье [1] дана постановка задачи о движении по инерции системы
двух гироскопов Лагранжа, сочлененных неголономным и идеальным сфе-
рическим шарнирами. Там же получено точное решение задачи при нулевом
значении постоянной интеграла, выражающего сохранение момента количе-
ства движения системы. Это решение при условии, что одно из тел системы
закреплено в центре масс, примет вид
Ω1(u) = − 2A
A+A0
κ(u), (1)
Ω2(u) = −(1 + bu2)n(u)
A0
√
1− u2
, (2)
Ω3(u) = − un(u)
1− u2
(1 + bu2
A0
+
1 + b
A
)
, (3)
n0(u) = bun(u), (4)
ω1(u) =
2A0
A+A0
κ(u), (5)
ω2(u) =
(1 + b)un(u)
A
√
1− u2
, (6)
ω3(u) = − n(u)
1− u2
[1 + bu2
A0
+
(1 + b)u2
A
]
, (7)
n(u) =
CJ√
1 + bu2
, (8)
где CJ – постоянная интегрирования, b =
(A− J)J0
(A+ J0)J
– безразмерный пара-
метр,
u = cos θ, (9)
N =
mm0ll0
m+m0
= 0. (10)
83
М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
В этом решении потенциальная энергия Π(u) упругого элемента являет-
ся произвольной дифференцируемой функцией угла θ. Переменная κ(u) и
потенциальная энергия Π(u) упругого элемента связаны соотношением [1]
κ2(u) =
A+A0
4AA0
{
2h−2Π(u)− C2J2
AA0(1− u2)
[
A0(1+b)u2+A(1+bu2)+
AA0
J
(1−u2)
]}
.
Углы собственных вращений тел S и S0 определим из уравнений [1]
ϕ̇ =
n(u)
J
− ω3(u), (11)
Φ̇ =
[n(u)
J
− ω3(u)
]
u. (12)
При построении аксоидов в [2 – 4] использовался вектор g, сохраняющий
направление в неподвижном пространстве. В исследуемом решении такой
вектор отсутствует. Чтобы образовать базис в неподвижном пространстве,
выделим класс движений, для которых траектория шарнира представляет
плоскую кривую. Для этого необходимо найти векторы бинормали и норма-
ли, которые вместе с вектором V∗ – скоростью шарнира O – образуют ортого-
нальный базис. Для плоских движений шарнира бинормаль перпендикулярна
к плоскости траектории шарнира и сохраняет направление в пространстве.
Запишем при этом вектор r∗, указывающий шарнир, его скорость V∗ и
ускорение W∗, используя формулы (5.22), (5.24), (5.27) − (5.29) монографии
[5], полагая в них a = 0 (обращение в нуль параметра a означает, что тело S
закреплено в центре масс).
r∗ = −a0e0
3, (13)
V∗ = a0(−Ω2e1 + Ω1e0
2), (14)
W∗ = a0
[
−(Ω̇2 + Ω3Ω1)e1 + (Ω̇1 − Ω3Ω1)e0
2 + (Ω2
1 + Ω2
2)e0
3
]
. (15)
Для сокращения записей наряду с явными зависимостями (1)–(3) будем ис-
пользовать уравнения движения, найденные в [1], записанные при ограниче-
нии (10),
Ω̇1 − Ω2Ω3 = −[Ω2n0 + Π′(θ)]/A0, (16)
Ω̇2 + Ω1Ω3 = Ω1n0/A0, (17)
из которых получим
Ω1Ω̇1 + Ω2Ω̇2 = −Ω1
A0
Π′(θ). (18)
Вместо Ω2 введем новую переменную
σ2 = Ω2
1 + Ω2
2 (19)
84
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов
и представим уравнение (18) в виде
σσ̇ = −Ω1
A0
Π′(θ) (20)
(точка обозначает дифференцирование по t, штрих – по θ).
При условии (10) переменные Ω1, ω1, как следует из (1), (7), связаны со-
отношением Aω1 +A0Ω1 = 0, из которого имеем
ω1 = −A0
A
Ω1, (21)
а так как [1] θ̇ = Ω1 − ω1, с учетом (21) получим
θ̇ =
(
1 +
A0
A
)
Ω1. (22)
Теперь уравнение (20) запишем так[
σ2 +
2A
A0(A+A0)
Π(θ)
].
= 0.
Выполнив интегрирование, находим
Π(θ) = h1 −
A+A0
2A
A0σ
2. (23)
Соотношение (23) является интегралом энергии системы.
Подставим (16), (17), (23) в (15) и получим
W∗ = a0
[
−Ω1
n0
A0
e1 +
(
−Ω2
n0
A0
+
σσ̇
Ω1
)
e0
2 + σ2e0
3
]
. (24)
Теперь находим бинормаль
B∗ = V∗ ×W∗, (25)
используя (14), (24),
B∗ = a2
0
[
e1Ω1σ
2 + e0
2Ω2σ
2 + e0
3
(
σ2 n0
A0
− σσ̇Ω2
Ω1
)]
. (26)
Как указано в [6], кривизна κ∗ и кручение κ0 траектории определяются
по формулам
κ∗ = B∗/V
3
∗ , κ0 = (z∗ · B∗)/B2
∗ , (27)
где z∗ = Ẇ∗.
85
М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
Вектор
z∗ = Ẇ∗ = ẇ1e1 + ẇ0
2e
0
2 + ẇ0
3e
0
3 + Ω×W∗, (28)
w1 = −a0Ω1n0/A0, w0
2 = a0(−Ω2n0/A0 + σσ̇/Ω1), w0
3 = a0σ
2. (29)
С учетом (29), (26), (28) вычислим скалярное произведение
z∗ · B∗ = a3
0
[
−σ4 ṅ0
A0
+ 2σσ̇σ2 n0
A0
− 3
(σσ̇
Ω1
)2Ω1Ω2 +
(σσ̇
Ω1
).Ω2σ
2 − σσ̇σ2Ω3
]
. (30)
Траектория шарнира будет плоской, если кручение (27) обращается в
нуль, а это означает, что правая часть в (30) обращается в нуль:
−σ4 ṅ0
A0
+ 2σσ̇σ2 n0
A0
− 3
(σσ̇
Ω1
)2Ω1Ω2 +
(σσ̇
Ω1
).Ω2σ
2 − σσ̇σ2Ω3 = 0. (31)
Введем безразмерный параметр
k∗ = A/(A+A0)
и представим (22) в виде
θ̇ =
Ω1
k∗
, (32)
тогда
σσ̇
Ω1
=
σσ′
k∗
, (33)
а из уравнения (17) с учетом (32) находим
Ω3 =
n0
A0
− Ω′2
k∗
. (34)
Подставив (33), (34) в (31), получим уравнение второго порядка для опреде-
ления пока произвольной функции σ(u)
A0Ω2(σσ′)′ +A0Ω′2(σσ′)− σσ′n0k∗ − σ2n′0k∗ + 2n0k∗σσ
′ − 3A0Ω2(σ′)2 = 0,
которое представим в виде
(A0Ω2σσ
′ − σ2n0k∗)′ =
3σ′
σ
(A0Ω2σσ
′ − σ2n0k∗).
Порядок уравнения можно понизить
A0Ω2σσ
′ − σ2n0k∗ = C2σ
3, (35)
где C2 – постоянная интегрирования.
86
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов
Общее решение уравнения Бернулли (35) будет содержать интеграл
C2
∫
(1 + bu2)
k∗−1
2 du, который согласно теореме Чебышева в элементарных
функциях не выражается, поэтому для гиростата считаем
C2 = 0. (36)
При этом уравнение (35) принимает вид
A0Ω2σσ
′ − σ2n0k∗ = 0. (37)
Подставив в него (2), (4), (8), получим интеграл
σ2(u) = K2(1 + bu2)k∗ , (38)
где K2 – вторая постоянная интегрирования.
Теперь из (38) с учетом (19), (2), (8), находим
Ω1(u) = R(u)
(1 + bu2)k∗/2
√
1− u2
, (39)
где
R2(u) = K2(1− u2)− J2C2
A2
0
(1 + bu2)1−k∗ . (40)
Заметим, что при условии (35) кривизна постоянна и равна
k∗ =
1
a0
√
1 +
C2
2
A2
0
. (41)
Поясним механический смысл соотношения (41). Траектория шарнира –
это сферическая кривая r2∗ = a2
0, которая при равном нулю кручении являет-
ся окружностью, и для нее кривизна постоянна. При ограничении (36), как
следует из (41), радиус кривизны равен a0. Таким образом, при σ2, определя-
емой из (38), шарнир совершает круговое движение по окружности радиуса
a0.
Так как траектория шарнира – плоская кривая, то с ее помощью мож-
но ввести неподвижный базис. Положение точки O на окружности радиуса
a0 будем характеризовать углом ψ между радиус-вектором r∗ и положитель-
ным направлением первой оси. Ортонормированный неподвижный базис с
центром в точке C∗ (центр масс системы) обозначим E1E2E3, тогда
r∗ = x1E1 + x2E2, (42)
r∗ = a0(E1 cosψ + E2 sinψ). (43)
87
М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
Теперь скорость шарнира V∗ получим, дифференцируя (42) и (43),
V∗ = ṙ∗ = ẋ1E1 + ẋ2E2, (44)
V∗ = a0ψ̇(−E1 sinψ + E2 cosψ). (45)
Для определения ψ̇ используем (45), (14) и обозначение (19). Тогда ψ̇2 =
= V∗ ·V∗ = σ2 или
ψ̇ = σ(u). (46)
Переходя от дифференцирования по времени к дифференцированию по
переменной (9), учитывая (32), (19), (38), (40), находим
ψ − ψ0 = −Kk∗
u∫
u0
du
R(u)
.
Стоящий справа интеграл относится к “неберущимся”.
Ускорение шарнира W∗ находим, дифференцируя (44), (45) с учетом (46)
W∗ = ẍ1E1 + ẍ2E2,
W∗ = a0
[
−(σ̇ sinψ + σ2 cosψ)E1 + (σ̇ cosψ − σ2 sinψ)E2
]
. (47)
Подставив (45)–(47) в (25), определяем вектор B∗ в неподвижном базисе
B∗ = a2
0σ
3E3. (48)
Установим связь между полуподвижным базисом e1e0
2e
0
3 и неподвижным
E1E2E3, воспользовавшись соотношением (14) и (45), (13) и (43), (26) и (48),
а также (37):
−E1 sinψ + E2 cosψ = −e1 sinβ + e0
2 cosβ,
−E1 cosψ − E2 sinψ = e0
3,
E3 = e1 cosβ + e0
2 sinβ.
Из этих соотношений получаем
E1 = e1 sinβ sinψ − e0
2 cosβ sinψ − e0
3 cosψ,
E2 = −e1 sinβ cosψ + e0
2 cosβ cosψ − e0
3 sinψ,
E3 = e1 cosβ + e0
2 sinβ
и
e1 = E1 sinβ sinψ − E2 sinβ cosψ + E3 cosβ, (49)
e0
2 = −E1 cosβ sinψ + E2 cosβ cosψ + E3 sinβ, (50)
e0
3 = −E1 cosψ − E2 sinψ, (51)
88
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов
где
cosβ = Ω1/σ, sinβ = Ω2/σ.
Так как
Ω∗ = Ω1e1 + Ω2e0
2 +
n0
J0
e0
3, (52)
с учетом (49)–(51) запишем представление этого вектора в неподвижном ба-
зисе
Ω∗ = p1E1 + p2E2 + p3E3, (53)
где
p1 = −n0
J0
cosψ, p2 = −n0
J0
sinψ, p3 = σ.
Неподвижный аксоид тела S0 [5, (10.96)] имеет вид
ζ0 = µ
Ω∗
Ω∗
+
Ω∗ ×V∗
Ω2
∗
+ r∗ = ζ0
1E1 + ζ0
2E2 + ζ0
3E3.
Подставив сюда (53), (45), (46), (43), получим компоненты
ζ0
1 (µ, u) = −F0(µ, u)
n0(u)
J0
cosψ,
ζ0
2 (µ, u) = −F0(µ, u)
n0(u)
J0
sinψ,
ζ0
3 (µ, u) = F0(µ, u)σ(u),
(54)
где
F0(µ, u) =
µ
Ω∗(u)
− a0
Ω2
∗(u)
n0(u)
J0
, Ω2
∗(u) = σ2(u) +
n2
0(u)
J0
0
. (55)
Подвижный аксоид тела S0 имеет вид [5, (10.90)]
ξ0 = µ
Ω∗
Ω∗
+
Ω∗ ×V∗
Ω2
∗
. (56)
Вначале запишем его представление в полуподвижном базисе e1e0
2e
0
3
ξ0 = ξ01e1 + ξ02e0
2 + ξ03e0
3.
Подставив в (56) соотношения (52), (14), получим компоненты
ξ01(µ, u) = F0(µ, u)Ω1(u),
ξ02(µ, u) = F0(µ, u)Ω2(u),
ξ03(µ, u) = a0 + F0(µ, u)
n0(u)
J0
,
89
М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
где F0(µ, u) определена в (55).
Зная компоненты аксоидов в полуподвижном базисе, сможем определить
его компоненты в неизменно связанном с телом S0 базисе e0∗
1 e0∗
2 e0∗
3 , используя
формулы перехода [2]
e1 = e0∗
1 cos Φ− e0∗
2 sin Φ,
e0
2 = e0∗
1 sin Φ + e0∗
2 cos Φ,
ξ0 = ξ0∗1 e0∗
1 + ξ0∗2 e0∗
2 + ξ03e0
3,
ξ0∗1 = ξ01 cos Φ + ξ02 sin Φ,
ξ0∗2 = −ξ01 sin Φ + ξ02 cos Φ,
ξ0∗3 = ξ03 ,
(57)
где угол Φ определим квадратурой из (12) с учетом (9), (10), (22), (39):
Φ− Φ0 = −Ck∗
AA0
u∫
u0
{A(A0 + J) + [A0(J +A) + (A+A0)bJ ]u2}u du
R(u)(1− u2)(1 + bu2)
k∗+1
2
.
Скорость скольжения подвижного аксоида (57) по неподвижному
v = (Ω∗ ·V∗)/Ω∗, как следует из (52), (14), обращается в нуль.
Таким образом, при движении тела S подвижный аксоид (57) катится по
неподвижному аксоиду (54) без скольжения.
Неподвижный аксоид тела S имеет вид
ζ = µ
ω∗
ω∗
+
ω∗ ×V∗
ω2
∗
+ r∗ (58)
и в неподвижном пространстве имеет представление
ζ = ζ1E1 + ζ2E2 + ζ3E3.
Так как векторы r∗ и V∗ соотношениями (43), (45) уже представлены в
неподвижном базисе, то необходимо лишь получить выражение для ω∗ в этом
же базисе.
Для этого вначале воспользуемся формулами [2]
e2 = e0
2 cos θ − e0
3 sin θ, e3 = e0
2 sin θ + e0
3 cos θ,
и следующими из них
e0
2 = e2 cos θ + e3 sin θ, e0
3 = −e2 sin θ + e3 cos θ. (59)
Запишем вектор
ω∗ = ω1e1 + ω2e2 +
n
J
e3 (60)
90
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов
в базисе e1e0
2e
0
3
ω∗ = ω1e1 +
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)
e0
2 +
(
−ω2 sin θ +
n
J
cos θ
)
e0
3.
С учетом соотношения
n0
J0
= −ω2 sin θ +
n
J
cos θ из [1] имеем
ω∗ = ω1e1 +
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)
e0
2 +
n0
J0
e0
3. (61)
Подставив соотношения (21), (39), (6), (8), (4), (49)–(51) в (61), представим
вектор ω∗ в неподвижном базисе:
ω∗ = q1E1 + q2E2 + q3E3, (62)
где
q1(u) = − 1√
1 + bu2
[(A− J)C
AK
R(u) sinψ +
JCbu
J0
cosψ
]
,
q2(u) =
1√
1 + bu2
[(A− J)C
AK
R(u) cosψ − JCbu
J0
sinψ
]
, (63)
q3(u) = −(1 + bu2)−k∗/2
K
[ A
A0
K2(1 + bu2)k∗ +
(A− J)JC2
AA0
]
.
Внесем (62), (43), (45) в (58) и получим компоненты
ζ1(u) = µ
q1(u)
ω∗(u)
+ a0
[
1− σ(u)q3(u)
ω2
∗(u)
]
cosψ,
ζ2(u) = µ
q2(u)
ω∗(u)
+ a0
[
1− σ(u)q3(u)
ω2
∗(u)
]
sinψ, (64)
ζ3(u) = µ
q3(u)
ω∗(u)
+
a0σ(u)
ω2
∗(u)
[q1(u) cosψ + q2(u) sinψ].
С учетом (5), (6), (8), (21), (19) определяем
ω2
∗(u) =
A2
0
A2
σ2(u) +
J2C2
A2
[
b+
(A2
J2
− 1− b
) 1
bu2 + 1
]
. (65)
Отметим, что q1(u) cosψ + q2(u) sinψ, как следует из (63), имеет вид
q1(u) cosψ + q2(u) sinψ = − JCbu
J0
√
1 + bu2
= −n0(u)
J0
.
Теперь запишем (64) в виде
ζ1(µ, u) = µ
q1(u)
ω∗(u)
+ a0
[
1− σ(u)q3(u)
ω2
∗(u)
]
cosψ,
91
М.Е.Лесина, Н.Ф. Гоголева
ζ2(µ, u) = µ
q2(u)
ω∗(u)
+ a0
[
1− σ(u)q3(u)
ω2
∗(u)
]
sinψ,
ζ3(µ, u) = µ
q3(u)
ω∗(u)
− a0
σ(u)JCbu
J0ω2
∗(u)
√
1 + bu2
,
где σ(u), qi(u), ω∗(u), n0(u) определены в (38), (63), (65), (4), (8).
Подвижный аксоид тела S имеет вид
ξ = µ
ω∗
ω∗
+
ω∗ ×V∗
ω2
∗
. (66)
Запишем его вначале в полуподвижном базисе e1e2e3
ξ = ξ1e1 + ξ2e2 + ξ3e3.
Так как вектор V∗ имеет разложение (14), необходимо иметь также его
разложение в базисе e1e2e3, которое выполним, используя формулы (59),
V∗ = a0[−Ω2e1 + e2Ω1 cos θ + e3Ω1 sin θ]. (67)
Внесем (60), (67) в (66), получим компоненты
ξ1 = µ
ω1
ω∗
+
a0
ω2
∗
n0
J0
Ω1,
ξ2 = µ
ω2
ω∗
− a0
ω2
∗
(
Ω1ω1 sin θ + Ω2
n
J
)
,
ξ3 = µ
n
Jω∗
+
a0
ω2
∗
(Ω1ω1 cos θ + Ω2ω2).
Подставив сюда (2), (4), (6), (8), (21), (39), находим
ξ1(µ, u) =
[
a0JCb
J0ω2
∗(u)
√
1 + bu2
− A0µ
Aω∗(u)
]
R(u)(1 + bu2)k∗/2
√
1− u2
,
ξ2(µ, u) =
1√
1− u2
{
µJC(1 + b)u
Aω∗(u)
√
1 + bu2
+ (68)
+
a0
ω2
∗(u)
A0
A
[
K2(1 + bu2)k∗(1− u2) +
J2C2
A2
0
(A
J
− 1− bu2
)]}
,
ξ3(µ, u) =
Cµ
ω∗(u)
√
1 + bu2
− a0A0u
Aω2
∗(u)
[
K2(1 + bu2)k∗ +
J2C2b
A2
0
]
.
Запишем разложение вектора ξ в неизменно связанном с телом базисе e∗1e
∗
2e3
ξ = ξ∗1e∗1 + ξ∗2e∗2 + ξ3e3.
92
Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов
Так как
e∗1 = e1 cosϕ+ e2 sinϕ, e∗2 = −e1 sinϕ+ e2 cosϕ,
то
ξ∗1 = ξ1 cosϕ+ ξ2 sinϕ, ξ∗2 = −ξ1 sinϕ+ ξ2 cosϕ, (69)
а угол ϕ определим квадратурой из (11) с учетом (7), (8), (22), (39)
ϕ− ϕ0 = −Ck∗
AA0
u∫
u0
{A(A0 + J) + [A0(J −A) + (A+A0)Jb]u2}du
(1− u2)(1 + bu2)
k∗+1
2 R(u)
.
Вычисляем ω∗ ·V∗, воспользовавшись (60), (67):
ω∗ ·V∗ = a0
[
−ω1Ω2 + Ω1
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)]
.
С учетом (39), (21), (2), (6), (8) имеем
ω∗ ·V∗ = a0
(
1− J
A
)CR(u)(1 + bu2)
k∗−1
2
и, следовательно, скорость скольжения
ω∗ ·V∗
ω∗
=
a0
ω∗(u)
A− J
A
CR(u)(1 + bu2)
k∗−1
2 (70)
отлична от нуля.
Следовательно, движение подвижного аксоида (69), (68) по неподвиж-
ному аксоиду (64) сопровождается скольжением вдоль общей образующей
аксоидов со скоростью (70).
1. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, со-
единенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. –
С. 15–21.
2. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнение аксоидов задачи о движении двух гироско-
пов Лагранжа, соединенных упругим и неголономным шарниром // Сб. научн.-метод.
работ. – Вып. 4. – Донецк: ДонНТУ, 2006. – С. 63–80.
3. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Аксоиды для нового точного решения в задаче о движении
по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром. / Там
же. – Вып. 5. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – С. 96–125.
4. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Уравнение аксоидов задачи о движении двух гироскопов
Лагранжа, соединенных неголономным шарниром при нулевом значении момента ко-
личества движения системы. / Там же. – Вып. 5. – Донецк: ДонНТУ, 2007. – С. 70–96.
5. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики систем со-
члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – 238 с.
6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.
– 428 с.
Национальный техн. ун-т, Донецк, Украина Получено 19.12.07
93
|