Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите
Исследуются условия, обеспечивающие гиростату на кеплеровой круговой орбите (за счет подходящего выбора гиростатического момента) относительные равновесия, при которых произвольный орт a, заданный в связанной с его корпусом системе координат, совпадает с произвольным ортом b1, определенным в о...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28008 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 105-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860123042136457216 |
|---|---|
| author | Чайкин, C.B. |
| author_facet | Чайкин, C.B. |
| citation_txt | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 105-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследуются условия, обеспечивающие гиростату на кеплеровой круговой орбите (за счет подходящего выбора гиростатического момента) относительные равновесия, при которых произвольный орт a, заданный в связанной с его корпусом системе координат, совпадает с произвольным ортом b1, определенным в орбитальной системе координат.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.36
c©2009. C.B. Чайкин
ОБ ОДНООСНЫХ РАВНОВЕСНЫХ ОРИЕНТАЦИЯХ
ГИРОСТАТА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
Исследуются условия, обеспечивающие гиростату на кеплеровой круговой орбите (за счет
подходящего выбора гиростатического момента) относительные равновесия, при которых
произвольный орт a, заданный в связанной с его корпусом системе координат, совпадает
с произвольным ортом b, определенным в орбитальной системе координат.
1. Постановка задачи. Рассматривается в ограниченной постановке [1]
движение гиростата по кеплеровой круговой орбите вокруг притягивающего
центра. Гиростат есть твердое тело с расположенным в нем уравновешенным
вращающимся маховиком.
Изучим следующий вопрос. Может ли гиростат при подходящем выбо-
ре гиростатического момента системы иметь относительное равновесие, при
котором произвольный орт a(a1, a2, a3), заданный в связанной с корпусом си-
стеме координат направляющими косинусами ai 6= 0, совпадает с произволь-
ным ортом b(aα, aβ, aγ), определенным в орбитальной системе координат его
не равными нулю компонентами aα, aβ, aγ . Такие относительные равновесия
называются одноосными равновесными ориентациями.
Относительное равновесие системы — состояние покоя корпуса гиростата
в орбитальной системе координат. Правая система ортов {α, β, γ} орбиталь-
ной системы координат выбрана так, что вектор орбитальной угловой скоро-
сти ω = ωβ, ω = |ω|; орт α направлен по касательной к орбите в центре
масс системы в сторону движения последнего.
Ранее были изучены условия, обеспечивающие одноосные равновесные
ориентации гиростата, при расположении орта b в плоскости, содержащей
орты {β, γ } или {α, β} [2]; или когда a и b произвольны, но эллипсоид
инерции гиростата имеет ось симметрии [3].
Уравнения, определяющие одноосные равновесные ориентации гиростата
на круговой орбите, запишем следующим образом [3]:
αJβ = −kα, γJβ = −kγ/4,
(1)
αJγ = 0, αγ = 0, α2 = 1, γ2 = 1, aα = aα, aγ = aγ .
Здесь J — центральный тензор инерции гиростата, k — вектор гиростатиче-
ского момента, деленный на ω. Первые шесть уравнений — известные уравне-
ния (см., например, [4]), определяющие относительные равновесия гиростата
на круговой орбите. Последние два уравнения выделяют из всего множества
относительных равновесий интересующие нас одноосные равновесные ориен-
тации гиростата.
105
C.B. Чайкин
При изучении относительных равновесий гиростата на кеплеровой круго-
вой орбите известны так называемые прямая и обратная постановки задачи.
В прямой постановке разыскиваются относительные равновесия при задан-
ных J и k. В обратной постановке определяется гиростатический момент
системы, обеспечивающий наличие у нее нужного относительного равнове-
сия.
В рамках обратной постановки задачи будем считать, что если при некото-
рых условиях на параметры Ji, ai, aα, aγ имеются решения αi, γi последних
шести уравнений (1), то за счет выбора гиростатического момента системы в
соответствии с уравнениями
β = γ ×α; αJβ = −kα, γJβ = −kγ/4 (2)
у системы будут иметься интересующие нас одноосные равновесные ориента-
ции.
2. Условия, обеспечивающие одноосные равновесные ориентации
гиростата. Анализ уравнений (1), определяющих одноосные равновесные
ориентации, будем выполнять в правой прямоугольной системе координат,
оси которой направлены по главным центральным осям тензора инерции ги-
ростата. Полагаем, что нумерация осей выбрана так, что компоненты тензора
инерции удовлетворяют неравенствам J1 < J2 < J3, а также верны неравен-
ства a1 > 0, a2 > 0.
Разрешим шесть последних уравнений системы (1) относительно веще-
ственных αi, γi. Под уравнением (неравенством) будем также понимать мно-
жество вещественных αi, γi, обращающих его в тождество (удовлетворя-
ющих ему); фигурная скобка означает пересечение соответствующих мно-
жеств, прямоугольная скобка — их объединение
{αJγ =0, α2 = 1, γ2 = 1, αγ=0, aα= aα, aγ= aγ} .
Используя для удобства также переменные α03 ≡ 1/α3, α13 ≡ α1/α3,
α23 ≡ α2/α3, γ01 ≡ 1/γ1, γ21 ≡ γ2/γ1, γ31 ≡ γ3/γ1, с помощью которых
αi, γi определяются очевидным образом, и обозначения J32 = (J3 − J2)/(J3−
−J1), J21 = (J2 − J1)/(J3 − J1), aij = ai/aj , где, вообще говоря,
i, j ∈ {1, 2, 3, α, γ}, получим эквивалентную систему уравнений
{
α3 = 0, α1 = 0, α2 = ±1; ±a2 = aα,
γ2 = 0, γ3 = aγ3 − a13γ1,
(
1 + a2
13
)
γ2
1 − 2aγ3a13γ1 + a2
γ3 − 1 = 0,{
α3 = 0, α2 = 0, α1 = ±1; ±a1 = aα,
γ1 = 0, γ3 = aγ3 − a23γ2,
(
1 + a2
23
)
γ2
2 − 2aγ3a23γ2 + a2
γ3 − 1 = 0,{
α3 = 0, α2 = aα2 − a12α1,
(
1 + a2
12
)
α2
1 − 2aα2a12α1 + a2
α2 − 1 = 0,
γ1 = 0, γ2 = 0, γ3 = ±1; ±a3 = aγ ,
(3)
{
γ1 = 0, γ3 = 0, γ2 = ±1; ±a2 = aγ , α3 6= 0, α2 = 0,
α03 = a1αα13 + a3α,
(
1− a2
1α
)
α2
13 − 2a1αa3αα13 + 1− a2
3α = 0,
106
Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите
α3 6= 0, α03 = a3α + a2αα23 − a1αJ32α23γ21, α13 = −J32α23γ21,
γ1 6= 0, γ01 = a1γ + a2γγ21 − a3γJ21α23γ21, γ31 = −J21α23γ21,
f1 (γ21;α23) ≡ γ2
21 + (J21α23γ21)
2 + 1− (a1γ + a2γγ21 − a3γJ21α23γ21)
2 = 0,
f2 (γ21;α23) ≡ (J32α23γ21)
2 + α2
23 + 1− (a3α + a2αa23 − a1αJ32α23γ21)
2 = 0.
Непосредственно из вида полученных уравнений системы (3) заключаем, что
справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. При выполнении одного из условий ±ai = aα (±ai = aγ)
всегда имеется определяемая векторами наведения a и b одноосная равновес-
ная ориентация гиростата, при которой вдоль касательной (вдоль местной
вертикали) к орбите в центре масс гиростата в ту или другую сторону на-
правлена его i-ая главная центральная ось.
Действительно, например, из квадратного уравнения первой группы урав-
нений, объединенных фигурной скобкой, следует, что его дискриминант все-
гда неотрицательный
d1 = a2
γa
2
1 − (a2
3 + a2
1)(a
2
γ − a2
3) = a2
3(a
2
1 + a2
3 − a2
γ) = a2
3(1− a2
2 − a2
γ) ≥ 0
при a2
1 + a2
2 + a2
3 = 1, a2
α + a2
β + a2
γ = 1 и a2
2 = a2
α. Неотрицательны и со-
ответствующие дискриминанты квадратных уравнений 2-й, 3-й и 4-й групп
уравнений. Справедливость утверждения для случая ±a3 = aα (±a1 = aγ)
следует из эквивалентных уравнений, полученных при использовании пере-
менных 1/α1, α2/α1, α3/α1, 1/γ3, γ1/γ3, γ2/γ3.
Утверждение 2. При выполнении одного из условий ±ai = aα, (±)1aj =
= aγ) (i, j ∈ {1, 2, 3}, i 6= j) всегда имеется одна одноосная равновесная ори-
ентация гиростата (определяемая векторами наведения a и b), при кото-
рой вдоль касательной к орбите в центре масс гиростата (в ту или другую
сторону зависит от знака ±) направлена i-я, а вдоль местной вертикали
(в ту или другую сторону зависит от знака (±)1) j-я главная центральная
ось гиростата.
Решения первых четырех групп уравнений из (3) очевидны, и поэтому да-
лее займемся решением уравнений пятой группы, а точнее двух ее последних
уравнений. Причем считаем, что зависимостей между ai и aα, aγ вида, как в
(3), нет. Каждое из этих уравнений запишем в виде полинома относительно
α23 с коэффициентами, зависящими от параметров задачи и γ21
f1 ≡
(
1− a2
3γ
)
(J21γ21)
2 α2
23 + 2a3γJ21γ21 (a1γ + a2γγ21)α23 + 1+
+γ2
21 − (a1γ + a2γγ21)
2 = 0,
f2 ≡
(
1 + (J32γ21)
2 − (a2α − a1αJ32γ21)
2
)
α2
23 − 2a3α (a2α − a1αJ32γ21)α23+
+1− a2
3α = 0.
107
C.B. Чайкин
Решение данной системы полиномиальных уравнений можно осуществить
с использованием результанта – специальным образом составленного опреде-
лителя из коэффициентов полиномов f1 и f2 (считаем их полиномами от α23)
[5].
“Результант этих многочленов тогда и только тогда равен нулю, если эти
многочлены обладают общим корнем или же если их старшие коэффициенты
оба равны нулю” [5, с. 339].
Заметим, что равенство нулю старшего коэффициента полинома f1 воз-
можно лишь при γ21 = 0 (полагаем, что ±a3 6= aγ ⇔ a2
3γ 6= 1, Ji 6= Jj).
Однако при этом старший коэффициент f2 не обращается в нуль, так как
±a2 6= aα ⇔ a2
2α 6= 1. В нашем случае результант R(f1, f2) полиномов f1 и f2
есть полином восьмой степени относительно γ21 с коэффициентами, завися-
щими от Ji, ai, aα, aγ . Вид его коэффициентов в работе не приводится.
Укажем условия на параметры задачи и γ21, обеспечивающие наличие ве-
щественных корней квадратного относительно α23 уравнения f1 = 0. Для это-
го потребуем, чтобы его дискриминант был неотрицательным (ниже
c ≡ a2
3 + a2
2 − a2
γ)
d = (J21γ21)
2 [cγ2
21 + 2a1a2γ21 + a2
3 + a2
1 − a2
γ
]
/a2
γ ≥ 0
⇔
a2
γ ≤ a2
3 (a2
γ 6= a2
3),
a2
3 < a2
γ < a2
2 + a2
3, γ21 ≤ (γ21)1 ≡
(
−a1a2 −
√
(a2
γ − a2
3)(1− a2
γ)
)
/c,
γ21 ≥ (γ21)2 ≡
(
−a1a2 +
√
(a2
γ − a2
3)(1− a2
γ)
)
/c,
a2
γ = a2
2 + a2
3, γ21 ≥
(
a2
2 − a2
1
)
/2a1a2,
a2
γ > a2
2 + a2
3, (γ21)1 ≤ γ21 ≤ (γ21)2 .
(4)
Заметим, что в каждом конкретном случае из-за вполне определенного со-
отношения между a2
γ и a2
3, a
2
2 +a2
3, неотрицательность d эквивалентна какой-
либо одной группе неравенств в (4). Сами же величины, ограничивающие
области допустимых значений γ21 (за исключением случая a2
γ ≤ a2
3), зависят
в (4) лишь от компонентов векторов наведения a(a1, a2, a3) и b (aα, aβ, aγ), но
не от массово-геометрических характеристик гиростата.
Количество действительных корней результанта R(f1, f2) полиномов f1
и f2 — корней упомянутого выше полинома восьмой степени относительно
γ21, заключенных между двумя определенными действительными числами,
можно определить с использованием теоремы Штурма [5], корни полинома
зависят также от массово-геометрических характеристик гиростата.
Приведенные выше рассуждения убеждают в справедливости следующего
утверждения.
Утверждение 3. Для того, чтобы имелась хотя бы одна одноосная рав-
новесная ориентация гиростата, определяемая векторами наведения a и
b, необходимо и достаточно, чтобы в области, ограничивающей значения
108
Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите
γ21 из (4) и определяемой соответствующими соотношениями между a2
γ и
a2
3, a2
2 + a2
3, имелся хотя бы один действительный корень уравнения
R(f1, f2) = 0.
Заключение. В работе предложен метод решения общей задачи об одно-
осных равновесных ориентациях гиростата на кеплеровой круговой орбите.
Метод предполагает использование пакетов программ аналитических вычис-
лений на ЭВМ и численные расчеты.
Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (No 06-1000013-9019)
и РФФИ (09–01–00274).
1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.:
Наука, 1965. – 416 с.
2. Степанов С.Я. Аналитическое и численное исследование устойчивости стационарных
движений. – Дис. ... докт. физ.-мат. наук. – М.: Изд-во МГУ, 2001. – 219 с.
3. Чайкин C.B. Об одной задаче одноосной равновесной ориентации гиростата на круговой
орбите // Тр. IX Междунар. Четаевской конф. “Аналитическая механика, устойчивость
и управление”, посвященной 105-летию Н.Г. Четаева. – Иркутск, 2007. – 5. – С. 57–59.
4. Сарычев В.А., Гутник С.А. К вопросу о положениях относительного равновесия спут-
ника-гиростата // Космич. исслед. – 1984. – 22, № 3. – С. 323–326.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск
schaik@yandex.ru
Получено 25.12.08
109
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28008 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:42Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чайкин, C.B. 2011-10-25T20:46:43Z 2011-10-25T20:46:43Z 2009 Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 105-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28008 531.36 Исследуются условия, обеспечивающие гиростату на кеплеровой круговой орбите (за счет подходящего выбора гиростатического момента) относительные равновесия, при которых произвольный орт a, заданный в связанной с его корпусом системе координат, совпадает с произвольным ортом b1, определенным в орбитальной системе координат. Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (No06-1000013-9019) и РФФИ (09–01–00274). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите Article published earlier |
| spellingShingle | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите Чайкин, C.B. |
| title | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| title_full | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| title_fullStr | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| title_full_unstemmed | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| title_short | Об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| title_sort | об одноосных равновесных ориентациях гиростата на круговой орбите |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28008 |
| work_keys_str_mv | AT čaikincb obodnoosnyhravnovesnyhorientaciâhgirostatanakrugovoiorbite |