О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии
Рассмотрена задача о движении несимметричного твердого тела относительно центра масс в сопротивляющейся среде. Предполагается, что начальные возмущения могут быть произвольными (сколь угодно большими). Дается качественное описание фазовых траекторий, приводятся их некоторые геометрические характерис...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28013 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии / В.Е. Пузырев , А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 157-166. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28013 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пузырев, В.Е. Суйков, А.С. 2011-10-25T21:03:16Z 2011-10-25T21:03:16Z 2009 О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии / В.Е. Пузырев , А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 157-166. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28013 531.36 Рассмотрена задача о движении несимметричного твердого тела относительно центра масс в сопротивляющейся среде. Предполагается, что начальные возмущения могут быть произвольными (сколь угодно большими). Дается качественное описание фазовых траекторий, приводятся их некоторые геометрические характеристики и количественные оценки. Для сравнительного анализа используются результаты численного моделирования. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| spellingShingle |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии Пузырев, В.Е. Суйков, А.С. |
| title_short |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| title_full |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| title_fullStr |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| title_full_unstemmed |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| title_sort |
о движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии |
| author |
Пузырев, В.Е. Суйков, А.С. |
| author_facet |
Пузырев, В.Е. Суйков, А.С. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассмотрена задача о движении несимметричного твердого тела относительно центра масс в сопротивляющейся среде. Предполагается, что начальные возмущения могут быть произвольными (сколь угодно большими). Дается качественное описание фазовых траекторий, приводятся их некоторые геометрические характеристики и количественные оценки. Для сравнительного анализа используются результаты численного моделирования.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28013 |
| citation_txt |
О движении твердого тела вокруг центра масс при частичной диссипации энергии / В.Е. Пузырев , А.С. Суйков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 157-166. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT puzyrevve odviženiitverdogotelavokrugcentramasspričastičnoidissipaciiénergii AT suikovas odviženiitverdogotelavokrugcentramasspričastičnoidissipaciiénergii |
| first_indexed |
2025-11-25T23:23:51Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:23:51Z |
| _version_ |
1850579714765225984 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.36
c©2009. В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС
ПРИ ЧАСТИЧНОЙ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ
Рассмотрена задача о движении несимметричного твердого тела относительно центра масс
в сопротивляющейся среде. Предполагается, что начальные возмущения могут быть произ-
вольными (сколь угодно большими). Дается качественное описание фазовых траекторий,
приводятся их некоторые геометрические характеристики и количественные оценки. Для
сравнительного анализа используются результаты численного моделирования.
Задача о вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной точ-
ки под действием диссипативного и возмущающих моментов являлась в по-
следние десятилетия объектом изучения многих авторов. Это объясняется
не только естественным научным интересом и стремлением исследователя
“дойти до сути”, но и широким применением данной модели в ряде задач
современной техники, в частности, в задачах стабилизации и ориентации ис-
кусственных небесных тел. Из работ последних лет отметим в этой связи
[1 – 5]. При решении подобных задач, наряду с получением условий устойчи-
вости заданного режима движения, которые зачастую находятся на основе
анализа линеаризованной системы, оказывается важной оценка области при-
тяжения или устойчивости, другими словами, предельные величины возму-
щений, которые не выведут объект из строя. Для этого, в свою очередь, важно
понимать, как может (и как не может) вести себя изучаемая механическая
система под действием больших (не локальных) мгновенных возмущений, и
иметь оценку поведения системы на промежуточном этапе – когда возмущен-
ная система “совершает переход” на устойчивый либо неустойчивый режимы
движения. Поэтому является важной качественная характеристика решений
уравнений движения сразу после получения системой мгновенных возмуще-
ний, а также нахождение количественных оценок, связывающих параметры
системы и величины возмущений с длительностью переходного временно́го
интервала.
1. Постановка задачи. Общая характеристика движения. Рассмат-
ривается система уравнений
ω̇1 = − k
A
ω1 +
B − C
A
ω2ω3, ω̇2 = − k
B
ω2 +
C −A
B
ω1ω3, ω̇3 =
A−B
C
ω1ω2, (1)
описывающая вращательное движение твердого тела вокруг центра масс с
учетом действия линейного демпфирующего момента по первым двум про-
екциям вектора угловой скорости. Здесь A,B и C – главные центральные
157
В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
моменты инерции тела, ω1, ω2, ω3 – проекции мгновенной угловой скорости
тела ω на оси ортогональной декартовой системы координат, связанной с
этим телом, k > 0 – коэффициент сопротивления. В настоящей работе пред-
полагаем выполненным неравенство
(A− C)(B − C) > 0, (2)
другими словами, моменты инерции различны и третья ось эллипсоида инер-
ции не является средней. Тогда
Утверждение 1. Единственными стационарными движениями тела яв-
ляются его равномерные вращения вокруг третьей главной оси.
В самом деле, принимая во внимание то, что правые части уравнений (1)
сохраняют нулевые значения во все время движения, из третьего уравнения
заключаем, что либо ω1(t) = ω0
1 = 0, либо ω2(t) = ω0
2 = 0. Если ω0
1 = 0,
то правая часть второго уравнения обратится в нуль только, если ω2 = 0.
Аналогично, если ω0
2 = 0, то равенство нулю правой части первого уравнения
возможно лишь при условии ω1 = 0. Таким образом, ω1 = ω2 = 0, ω3 = ω0
3.
Замечание 1. Как нетрудно видеть, уравнения (1) допускают решения
ω1 = ω0
1e−kt/A, ω2 = ω3 = 0 и ω2 = ω0
2e−kt/B, ω1 = ω3 = 0, которым соот-
ветствуют неравномерные (монотонно затухающие) вращения вокруг первой
или второй осей.
Далее в тексте, если не оговорено противное, под фазовыми траектори-
ями (или решениями системы (1)), будем понимать нетривиальный случай,
а потому будем исключать равномерные вращения и решения, указанные в
замечании 1.
Утверждение 2. Фазовые траектории системы (1) не могут пересекать
координатных осей фазового пространства или касаться их, хотя могут
лежать на них (см. замечание 1).
Док а з а т е л ь с т в о. Покажем, что утверждение 2 справедливо по отно-
шению к оси абсцисс. Предположим противное, т.е. пусть l − фазовая тра-
ектория, которая соотвествует решению задачи Коши для системы (1) с на-
чальными значениями ω0
1, ω
0
2, ω
0
3, причем (ω0
1)
2 + (ω0
2)
2 6= 0. Пусть также су-
ществует такой момент времени t1 > 0 , что ω1(t1) = ω1, ω2(t1) = ω3(t1) = 0,
другими словами, траектория l проходит через точку M1(ω1, 0, 0) фазового
пространства и пересекает или касается оси абсцисс. Однако это противоре-
чит единственности решения задачи Коши для системы (1), поскольку через
точку M1 проходит траектория, соответствующая частному решению
ω1(t) = ω1e−k(t−t1)/A, ω2(t) = 0, ω3(t) = 0.
Следовательно, сделанное предположение неверно, и траектории l не суще-
ствует. Аналогично доказывается справедливость утверждения в отношении
двух других осей. ¤
158
О движении твердого тела вокруг центра масс
Следствие. Касательная к фазовой траектории в произвольной точке не
может принадлежать координатной плоскости. Иначе: если в некоторый
момент времени t2 компонента фазового вектора ωj (j = 1, 3) обращает-
ся в нуль, то происходит перемена знака, т.е. ωj(t2 − 0)ωj(t2 + 0) < 0.
В самом деле, если, например, ω1(t2) = 0, то, согласно утверждению 2,
ω2(t2) 6= 0, ω3(t2) 6= 0, тогда из первого уравнения системы (1) следует,
что ω̇1(t2) 6= 0, и функция времени ω1(t), меняет в точке t2 свой знак на
противоположный.
Утверждение 3. Вектор скорости фазового вектора (мгновенная ось уско-
рений тела) не может быть коллинеарен координатным осям.
Предположим, что существует такой момент времени t3, что вектор ω̇(t3)
коллинеарен орту e1(e2). Но тогда из второго (первого) уравнения системы
(1) имеем
ω2(t3) =
C −A
k
ω1(t3)ω3(t3) (ω1(t3) =
B − C
k
ω2(t3)ω3(t3)),
а из третьего − ω1(t3) ω2(t3) = 0. Следовательно, по крайней мере, две ком-
поненты фазового вектора обращаются в нуль, а это противоречит утвержде-
нию 2.
2. Асимптотика решений. Некоторые оценки. Приведем одно нера-
венство, которое будет использоваться ниже.
Пусть x1, x2 − независимые переменные, a1, a2, b1, b2 − произволь-
ные положительные числа. Тогда для любой пары неотрицательных значений
x1, x2 выполняется двойное неравенство
min(
b1
a1
,
b2
a2
)(a1x1 + a2x2) ≤ b1x1 + b2x2 ≤ max(
b1
a1
,
b2
a2
)(a1x1 + a2x2). (3)
В самом деле,
aj min(
b1
a1
,
b2
a2
) ≤ aj
bj
aj
= bj ≤ aj max(
b1
a1
,
b2
a2
), j = 1, 2,
что и обеспечивает выполнение неравенства (3).
Запишем кинетическую энергию и кинетический момент:
T =
1
2
(Aω2
1 + Bω2
2 + Cω2
3), G = (Aω1, Bω2, Cω3) (4)
и рассмотрим положительно определенную вспомогательную функцию
V (ω1, ω2) =
2C T −G2
A(C −A)
= ω2
1 +
B(C −B)
A(C −A)
ω2
2. (5)
Ее полная производная по времени в силу уравнений (1)
V̇ (ω1, ω2) = −2k
A
(ω2
1 +
C −B
C −A
ω2
2)
отрицательно определена и удовлетворяет для любых ω1, ω2 неравенствам
159
В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
−2kV max(
1
A
,
1
B
) ≤ V̇1 ≤ −2kV min(
1
A
,
1
B
),
откуда получаем
−2k1 ≤ V̇ (t)
V (t)
≤ −2k2, k1 = k max(
1
A
,
1
B
), k2 = k min(
1
A
,
1
B
).
Последовательно интегрируя различные части данного двойного неравенства
на интервале [0, t] и потенцируя их, имеем
2C T (0)−G2(0)
A(C −A)
e−2k1t ≤ ω2
1(t) +
B(C −B)
A(C −A)
ω2
2(t) ≤
2C T (0)−G2(0)
A(C −A)
e−2k2t.
(6)
Из приведенных рассуждений непосредственно вытекает
Утверждение 4. Решение системы (1) глобально асимптотически устой-
чиво по отношению к переменным ω1, ω2, при этом амплитуда колебаний
убывает по экспоненциальному закону согласно формуле (6).
Установим, в каких пределах изменяются во время движения кинетиче-
ская энергия тела и величина γ = G2. Учитывая, что их полные производные
по времени в силу системы (1) равны: Ṫ = −k (ω2
1+ω2
2), γ̇ = −2k (Aω2
1+Bω2
2),
получаем неравенства
−k3 V1(t) ≤ Ṫ (t) ≤ −k4 V1(t), −2k5 V1(t) ≤ ˙γ(t) ≤ −2k6 V1(t),
где
k3 = k max(1,
A(A− C)
B(B − C)
), k4 = k min(1,
A(A− C)
B(B − C)
),
k5 = k max(1,
A− C
B − C
), k6 = k min(1,
A− C
B − C
).
Интегрируя данные неравенства на интервале [0, t], с учетом (6) имеем
k4
2k1
V (0) (1− e−2k1t) ≤ T (0)− T (t) ≤ k3
2k2
V (0) (1− e−2k2t), (7)
k6
k1
V (0) (1− e−2k1t) ≤ γ(0)− γ(t) ≤ k5
k2
V (0) (1− e−2k2t). (8)
Заметим, что из выражений для производных функций T (t), γ(t) следует,
что эти функции являются монотонно убывающими, кроме того, они ограни-
чены снизу (неотрицательны), следовательно, имеют конечные пределы при
t −→ ∞. Обозначим эти пределы через T? и γ? соответственно. Тогда из
неравенств (7), (8), переходя к пределу при t −→∞, выводим
160
О движении твердого тела вокруг центра масс
T (0)− k3
2k2
V (0) ≤ T? ≤ T (0)− k4
2k1
V (0), (9)
γ(0)− k5
k2
V (0) ≤ γ? ≤ γ(0)− k6
k1
V (0). (10)
Подставим в неравенство (7) выражение кинетической энергии из (4) и
разрешим это неравенство относительно ω2
3(t). Тогда
2T (0)− k3
k2
V (0) (1− e−2k2t)−Aω2
1(t)−Bω2
2(t) ≤ Cω2
3(t) ≤
≤ 2T (0)− k4
k1
V (0) (1− e−2k1t)−Aω2
1(t)−Bω2
2(t).
Поскольку в силу (3)
A min(1,
C −A
C −B
)V (t) ≤ Aω2
1(t) + Bω2
2(t) ≤ A max(1,
C −A
C −B
)V (t),
или с учетом неравенств (6)
Amin(1,
C −A
C −B
)V (0)e−2k1t ≤ Aω2
1(t) + Bω2
2(t) ≤ A max(1,
C −A
C −B
)V (0)e−2k2t,
то после упрощений приходим к условию
2T (0)− k3
k2
V (0) + V (0)(
k3
k2
−A max(1,
C −A
C −B
)e−2k2t ≤ Cω2
3(t) ≤
≤ 2T (0)− k4
k1
V (0) + V (0)(
k4
k1
−A min(1,
C −A
C −B
)e−2k1t. (11)
Аналогичную оценку можно получить, исходя из неравенства (8).
Так как при t −→ ∞ величина кинетической энергии стремится к пре-
дельному значению T?, а переменные ω1, ω2 − к нулю, то переменная ω3
также стремится к некоторому предельному, вообще говоря, ненулевому зна-
чению ω?. Это значение можно оценить, используя формулы (11):
1
C2
max(CT (0)− k3
2k2
CV (0), γ(0)− k5
2k2
V (0)) ≤ ω2
? ≤
≤ 1
C2
min(CT (0)− k4
2k2
CV (0), γ(0)− k6
2k2
V (0)). (12)
3. Другие формы записи уравнений движения. Продифференциру-
ем по времени обе части третьего уравнения системы (1) и подставим вместо
ω̇1, ω̇2 правые части первых двух уравнений:
ω̈3 =
A−B
C
[−k(A + B)
AB
ω1ω2 + ω3(
C −A
B
ω2
1 +
B − C
A
ω2
2)].
Учитывая, что из (4) следует
161
В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
ω2
1 =
−2BT + γ + C(B − C)ω2
3
A(A−B)
, ω2
2 =
2AT − γ − C(A− C)ω2
3
B(A−B)
,
получаем
ω̈3 +
k(A + B)
AB
ω̇3 − 1
ABC
[2(2AB − C(A + B))T+
+(2C −A−B)γ]ω3 + 2
(C −A)(B − C)
AB
ω3
3 = 0. (13)
Уравнение (13) можно рассматривать как однородное уравнение типа Дуф-
финга с зависящей от времени линейной составляющей восстанавливающей
силы. Хотя явная зависимость коэффициента при ω3 от времени неизвестна,
тем не менее, учитывая, что он является медленно изменяющейся функцией
времени, с учетом неравенств (7), (8) можно использовать предельные урав-
нения для оценки поведения ω3(t,ω0). Отметим также, что в случае k = 0
(т.е. в случае Эйлера) уравнение (13) совпадает с уравнением (2.5) из моно-
графии [6].
Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам
ω1 = ρ cos
ψ
2
, ω2 =
C −A
Bλ
ρ sin
ψ
2
, ω3 =
z
2
, λ = [(C −A)(C −B)/AB]1/2,
получим
ρ̇ = −kαρ [(A+B)/(B−A)+cosψ]/2, ψ̇ = kα sinψ+λz, ż = −βρ2 sinψ. (14)
Здесь α = (B − A)/AB, β = (A − B)(A − C)/BCλ. Выразив cosψ из
первого, а переменную z из второго уравнений (14) и подставив в третье,
имеем
ψ̈ + (
ρ̇
ρ
+ k
A + B
AB
)ψ̇ + βλρ2 sinψ = 0. (15)
Поскольку, согласно (5), имеет место равенство ρ2 = V (t), уравнение (15)
можно рассматривать как уравнение колебаний маятника с вязким трением,
зависящим от времени, и частотой колебания, монотонно убывающей до нуля.
При k = 0 уравнение (15) – уравнение колебаний обычного математического
маятника.
Приведем еще одну форму записи уравнений движения в рассматривае-
мой задаче. Выполним следующее преобразование координат:
ω1 =
r√
A
sin θ cosϕ, ω2 =
r√
B
sin θ sinϕ, ω3 =
r√
C
cos θ.
Уравнения (1) в новых переменных принимают вид
ṙ = − k
AB
r sin2 θ (A sin2 ϕ + B cos2 ϕ),
162
О движении твердого тела вокруг центра масс
θ̇ = − sin θ [
k
AB
cos θ(A sin2 ϕ + B cos2 ϕ) +
A−B√
ABC
r sinϕ cosϕ], (16)
ϕ̇ =
k
AB
(B −A) sin ϕ cosϕ +
1√
ABC
r cos θ (C −A cos2 ϕ−B sin2 ϕ).
В отличие от уравнений (1), которые содержат только “быстрые” переменные,
уравнения (16) содержат одну “медленную” переменную – r =
√
2T – и более
удобны, например, в случае применения метода усреднения.
4. Качественное поведение траекторий системы (1). Область
устойчивости решений. На рис. 1, а представлены результаты численного
интегрирования системы (1) для A = 3, B = 4, C = 5, k = 0.05, ω0 = (3, 0, 1),
которые дают представление об общем виде траекторий.
Рис. 1. Траектория системы.
Рассмотрим в качестве невозмущенного движения вращение тела вокруг
третьей оси и перейдем к безразмерным переменным – компонентам векто-
ра угловой скорости, отнесенным к скорости вращения тела ω0, и быстрому
времени τ = ω0t. За параметром k сохраним старое обозначение, но, по-
скольку теперь он также уменьшен в ω0 раз, то будем считать его малым.
Тогда вид фазовых траекторий существенно зависит от величины начальных
возмущений. Если последние достаточно малы, то траектории представляют
собой почти плоские спирали, сходящиеся к точке ω1 = 0, ω2 = 0, ω3 = ω?
(рис. 1, б ). Для количественных оценок при этом достаточно использовать
значения декремента затухания и частоты колебаний, получаемые из урав-
нений первого приближения системы (1)
ω̃′1 = −k̃ω̃1 +
B − C
A
ω̃2, ω̃′2 = −A
B
k̃ω̃2 +
C −A
B
ω̃1, ω̃′j =
ωj
ω0
, j = 1, 2; k̃ =
k
Aω0
.
Если же начальные возмущения одной из первых двух переменных ω1, ω2
превосходят некоторое “пороговое” значение (оно несколько больше единицы
и зависит от соотношения между ω1(0) и ω2(0)), то в течение первого
163
В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
этапа движения изображающая точка находится на удалении от третьей оси.
Компоненты вектора угловой скорости, как функции времени, описывают
колебательное движение со слабо меняющейся частотой и медленно убыва-
ющей амплитудой. Величины последних в значительной степени зависят от
начальных возмущений и не могут быть сколько-нибудь удовлетворительно
определены только на основе анализа линеаризованной системы. Частоты
колебаний двух переменных примерно равны – причем каких именно пере-
менных, зависит от соотношения между моментами инерции и величин на-
чальных возмущений. Частота колебаний третьей переменной вдвое больше.
Связь между отношениями моментов инерции A/C, B/C, величинами на-
чальных возмущений и частотами колебаний – нелинейная и не очевидная.
Например, при A = 13, B = 12, C = 5, ω3(0) = 1 изменение начальных
значений с ω1(0) = 0.8, ω2(0) = 1.8, на ω1(0) = 1.8, ω2(0) = 0.8, при-
водит к уменьшению частоты колебания по всем трем переменным ω1, ω2, ω3
в два с половиной раза (рис. 2).
Рис. 2. Зависимость компонент вектора угловой скорости от времени.
Когда амплитуды колебаний первых двух переменных снижаются ниже
“порога”, происходит переход на второй этап движения. На рис. 1 первому
этапу соответствует движение изображающей точки по стенке “чаши” к ее
нижней части (рис. 1 а), а второму – переход на своеобразный боковой “кла-
пан” и “закручивание” в предельную точку.
Пусть ω0 = (ω10, ω20, ω30) — начальная точка траектории ω(t; ω0) и
limt→∞ω(t) = (0, 0, ω?). Возникает вопрос, как соотносятся ω30 и ω?. В общем
случае они не равны, более того, в некоторых случаях они могут значитель-
но отличаться. На рис. 3 показаны результаты численного интегрирования
системы (1) для трех различных начальных значений ω(0). Все три траекто-
рии имеют начальные значения с третьей координатой, близкой к ω3(0); при
164
О движении твердого тела вокруг центра масс
этом предельное значение ω? для траектории 3 близко к предельному значе-
нию для траектории 1, в то время как предельное значение для траектории 2
имеет противоположный знак.
Рис. 3. Поведение близких траекторий.
Будем называть для заданного положительного числа ε областью устой-
чивости множество начальных значений
R(ω?, ε) = {ω(0) = (ω10, ω20, ω30) : |ω3(0)− ω?| < ε}.
Численные эксперименты позволяют предположить что все точки, доста-
точно близкие к (0, 0, ω?), попадают в область R(ω?, ε), однако вне малой
окрестности (0, 0, ω?) поведение системы не столь предсказуемо. На рис. 4, а
показан график предельного значения ω? при ω3(0) = 1 и трех различных
значениях ρ0 . При ρ0 = 3 и ρ0 = 5 изменения предельного значения ω? но-
сят плавный характер, однако при ρ0 = 6 на графике рис. 4, а наблюдаются
качественные изменения, соответствующие траекториям типа 2 на рис. 3.
y
p/4 3p/4
Рис. 4. Зависимость предельного значения ω? от начальных условий.
165
В.Е. Пузырев, А.С. Суйков
Для таких траекторий характерно наличие неравенства sign(ω?) 6=
6= sign(ω3(0)). Значения ψ, при которых происходит качественное изменение
характера траекторий, меняются при изменении ρ. Рис. 4, б иллюстрирует
характер этих изменений; на графике изображена плоскость ω3 = ω3(0) > 0,
штриховкой отмечены точки, для которых ω? < 0.
На рис. 5 изображены полодии вектора угловой скорости ω(t). На рис. 5, а
представлены две полодии, соответствующие решению системы (1) при k =
= 0 :
Рис. 5. Полодии на эллипсоиде инерции.
боковая соответствует начальным значениям возмущений, нижняя – началь-
ным значениям, близким к невозмущенным. Полодия на рис. 5, б соответ-
ствует решению системы (1) с такими же возмущенными начальными значе-
ниями, крестиком отмечено положение конца вектора ω(t) начальный мо-
мент времени. Можно видеть, что фазовая траектория совершает переход с
начального предельного положения через второе, близкое к равномерному
вращению и далее, к предельной точке – вершине эллипсоида.
1. Ковалев А.М., Исса Салем Абдалла. Стабилизация равномерных вращений твердого
тела вокруг главной оси. – Прикл. механика. – 1992. – 28, N 9. – С. 73–79.
2. Zuyev A.L. On partial stabilization of nonlinear autonomous systems: sufficient conditions
and examples // Proc. of the European Control Conference ECC’01. — Porto, 2001. —
P. 1918–1922.
3. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция быстрого вращения динами-
чески симметричного спутника под действием сил гравитационного момента в сопро-
тивляющейся среде // Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 58–63.
4. Асланов В.С., Тимбай И.А. Движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа.
– Самара: Изд-во СГАУ, 2001. – 58 с.
5. Burkov I.V. Asymptotic stabilization of desired rotation in multidimensional Hamiltonian
systems by Chetaev method // Proc. 4th Internat. Workshop on Multidimensonal Systems.
– Wuppertal, 2005. – P. 229–234.
6. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1983.
– 344 с.
7. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.:
Мир, 1980. – 300 c.
8. Hassan K. Khalil. Nonlinear systems – Prentice Hall Int., 1996. – 734 c.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
axs@ukr.net
Получено 21.08.09
166
|