О выборе параметров динамического поглотителя колебаний
Рассмотрен вопрос о выборе параметров динамического поглотителя колебаний (ДПК), обеспечивающих его наибольшую эффективность. Рассмотрен простейший, “классический” [1], вариант ДПК - одностепенный гидравлический гаситель. Предложена схема определения его параметров: частоты колебаний, коэффициента д...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28014 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 167-172. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859824218780205056 |
|---|---|
| author | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| author_facet | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| citation_txt | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 167-172. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрен вопрос о выборе параметров динамического поглотителя колебаний (ДПК), обеспечивающих его наибольшую эффективность. Рассмотрен простейший, “классический” [1], вариант ДПК - одностепенный гидравлический гаситель. Предложена схема определения его параметров: частоты колебаний, коэффициента демпфирования и отношения массы гасителя к массе основного тела. Полученные результаты сопоставлены с известными и проиллюстрированы численными расчетами.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:27:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 534.015.1, 534.83
c©2009. А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРОВ
ДИНАМИЧЕСКОГО ПОГЛОТИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрен вопрос о выборе параметров динамического поглотителя колебаний (ДПК),
обеспечивающих его наибольшую эффективность. Рассмотрен простейший, “классический”
[1], вариант ДПК – одностепенный гидравлический гаситель. Предложена схема определе-
ния его параметров: частоты колебаний, коэффициента демпфирования и отношения мас-
сы гасителя к массе основного тела. Полученные результаты сопоставлены с известными
и проиллюстрированы численными расчетами.
1. Постановка задачи.
Рис. 1. Схема устройства динамического гасителя
колебаний.
Исходные соотношения.
Рассмотрим механическую си-
стему, изображенную на рис.
1 и моделирующую принципи-
альную схему работы ДПК1.
Основным назначением данно-
го устройства является нейтра-
лизация нежелательных коле-
баний системы с одной степе-
нью свободы, возбуждаемых
периодической по времени
(гармонической) возмущаю-
щей силой. Амплитуда этих
колебаний, как известно из ли-
тературы, неограниченно воз-
растает, если частота ω близ-
ка к собственной частоте (natural frequency) системы. Соответствующие урав-
нения движения имеют вид
m1ẍ1 + c(ẋ1 − ẋ2) + (k1 + k2)x1 − k2x2 = F cosωt,
(1)
m2ẍ2 − c(ẋ1 − ẋ2)− k2(x1 − x2) = 0.
Здесь m1,m2 − массы, а k1, k2 − жесткости пружин основного тела и гаси-
теля соответственно; c − коэффициент сопротивления; F − максимальное
значение возмущающей силы.
Для системы, изображенной на рис. 1, величина амплитуды вынужден-
ных колебаний (им соответствует частное решение неоднородной системы (1))
определяется согласно формуле
1В литературе используются различные названия данного устройства; наиболее упо-
требительное в англоязычных источниках – dymamic vibration absorber [1 – 6], в русско-
язычной литературе – поглотитель (динамический) или гаситель колебаний [7].
167
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
f = (
x1
∆
)2 =
hγ + (γ − d)2
hγ(γ + bγ − 1)2 + [bdγ + (γ − 1)(γ − d)]2
, (2)
где
∆ =
F
k1
, b =
m2
m1
, d = (
ω2
ω1
)2, h =
m1 c2
m2
2 k1
, γ = (
ω
ω1
)2.
Здесь величина ∆ представляет собой статический прогиб первой пружины,
а ω1 =
√
k1/m1, ω2 =
√
k2/m2 – круговые частоты колебаний соответственно
основного тела и гасителя.
Рис. 2. Амплитудно-частотные кривые при b = 0, 05; d = 0, 9.
В предположении, что параметр b задан, схема определения оптималь-
ных значений для d, h была предложена Я. П. Ден Хартогом [1, 2]. Несмотря
на то, что с тех пор прошло более трех четвертей века, а примененный под-
ход использовал весьма простой математический аппарат, этот результат Ден
Хартога практически без изменений излагается во многих современных из-
даниях по теории колебаний [3 – 7]. Ден Хартог фиксировал значения b, d и
для различных значений h строил амплитудно-частотные кривые так, как
это сделано на рис. 2, согласно формуле (2). Далее он использовал близость
абсцисс инвариантных точек P и Q (invariant points – их координаты не за-
висят от выбора h) и “пиков” кривых, которые соответствуют максимальным
значениям амплитуды вынужденных колебаний. Если переписать выражение
(2) в виде
f =
Ah + B
Ch + D
,
то координаты точек P, Q можно легко определить из пропорции A : B =
= C : D. После этого параметр d подбирался из условия равенства ор-
динат “пиков”, а h − из условия “почти горизонтальности” касательных к
168
О выборе параметров динамического поглотителя колебаний
амплитудно-частотной кривой в инвариантных точках. Таким образом полу-
чились значения
dopt =
1
(1 + b)2
, hopt =
3b
2 (1 + b)3
. (3)
Подход Ден Хартога имел несомненные плюсы: простоту, что существенно
для специалистов-прикладников, и высокую точность, как показали числен-
ные эксперименты. Вместе с тем, можно отметить и два недостатка этого
подхода. Первый – это отсутствие аналитической оценки разности между
предлагаемым приближением и истинным значением (которое, строго гово-
ря, не может быть определено точно). Второй – это использование существо-
вания инвариантных точек, что является скорее исключением, чем прави-
лом. В частности, в случае, когда основное тело также имеет депфирование,
инвариантных точек нет, и для нахождения оптимальных параметров ДПК
приходится прибегать к численной оптимизации [6, p. 14 – 15]. Поэтому яв-
ляется актуальной разработка общего аналитического подхода к решению
подобных задач.
2. Аналитическая схема приближенного нахождения оптималь-
ных параметров ДПК. Величины, характеризующие параметры ДПК: его
массу, собственную частоту колебаний (без учета демпфирования) и коэф-
фициент сопротивления, являются положительными и ограниченными, т.е.
существуют такие положительные числа δ1, δ2, δ3, b?, d?, h?, что
δ1 ≤ b ≤ b?, δ2 ≤ d ≤ d?, δ3 ≤ h ≤ h?. (4)
В формулу (2) входит также величина γ, которая, в отличие от осталь-
ных неизвестных, может принимать произвольные значения из промежутка
(0, γ?), в том числе и “неудобные” – дающие максимально возможное ( при
заданных b, d, h) значение амплитуды колебаний основного тела. Таким об-
разом, задачу можно сформулировать следующим образом: пусть параметры
ДПК заданы, тогда следует: а) найти f̂− наибольшее по γ значение функции
f ; б ) найти наименьшее значение f̂ в замкнутой области (4).
Вычислим частную производную ∂f/∂γ и приравняем ее нулю. С точно-
стью до отрицательного множителя она равна
Φ(γ) = 2γ5 + γ4[(4 + 2βh + β2)h− 2(1 + 4δ + βδ)] + γ3[h2(1 + β)2−
−4h(1 + δ(1 + b)(2 + b)) + 4δ(2 + δ(3 + 2δ))] + γ2[−2h2(1 + β)+
(5)
+2hδ(4 + 3β + δ(1 + β)2 − 2δ2(6 + b + δ(1 + β)(4 + β))]+
+γ[−4hδ2(1 + β) + 2δ3(1 + β)(δ(1 + β)− 2(2 + b)]− 2δ4(1 + β) = 0.
Данный многочлен пятой степени имеет по меньшей мере один положи-
тельный корень, а поскольку Φ(0) < 0, Φ(∞) > 0, то функция f(γ) в точке
169
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
максимума (их может быть одна или две) принимает свое наибольшее значе-
ние. С математической точки зрения получается “обычная” задача на нахож-
дение условного экстремума функции четырех переменных f(b, d, h, γ) при
наличии соотношения (5). Трудность заключается в том, что получающаяся
при этом система четырех нелинейных алгебраических уравнений слишком
громоздка. Поэтому лучше применить приближенный способ решения зада-
чи. Поскольку для широкого класса систем масса гасителя много меньше
массы основного тела, то можно считать параметр b малым и воспользовать-
ся методом теории возмущений [8]. При этом, на наш взгляд, проще искать
решение по следующей схеме: 1) записываем d, h как ряды (многочлены)
по степеням b с неопределенными коэффициентами и подставляем в (5);
2) ищем формальное решение для γ = γ(b); 3) подставляем найденные вы-
ражения в f и, ограничиваясь несколькими первыми слагаемыми, находим
приближенные значения для d и h. Опуская выкладки, имеем:
d = 1 + d1b + d2b
2 + . . . , h = b (h0 + h1b + . . . ),
(6)
γ = 1 + γ1
√
b + γ2b + γ3(
√
b)3 + γ4b
2 + . . . .
Из равенства (5) получаем для γ последовательность уравнений для нахож-
дения коэффициентов γj , j = 1, 4
b5/2 : γ1(γ4
1 + 2h0γ
2
1 + h2
0 − 2h0 − 1) = 0, (7)
b3 : 2(5γ4
1 + 6h0γ
2
1 + h2
0 − 2h0 − 1)γ2 − 2(4d1 − 2h0 + 1)γ4
1+
+2[d1(1− 4h0) + 2h2
0 − 5h0 − 1]γ2
1 + 2d1(1 + h0) + 2h2
0 + h0 = 0. (8)
Еще два уравнения не приводим – соответствующие выражения более гро-
моздкие, хотя с помощью системы аналитических вычислений (был исполь-
зован пакет Maple) считаются довольно быстро.
Поскольку h0 > 0, то уравнение (7) имеет три вещественных корня
γ11 =
√
r − h0, γ12 = −
√
r − h0, γ13 = 0, r =
√
2h0 + 1. (9)
Значению γ13 соответствует минимум, поэтому эту цепочку коэффициентов
дальше опускаем. Формальное разложение функции f в степенной ряд по b
дает следующее выражение
f =
1
b
(f0 + f1b
1/2 + f2b + f3b
3/2 + . . . ),
где
f0 =
h0 + γ2
1
γ4
1 + γ2
1(h0 − 2) + 1
,
f1 =
−γ1[2γ2(γ4
1 + 2h0γ
2
1 + h2
0 − 2h0 − 1)− 2γ4
1 + 2γ2
1(h0 + 3) + 2h2
0 − 3h0 − 4]
γ4
1 + γ2
1(h0 − 2) + 1
,
170
О выборе параметров динамического поглотителя колебаний
выражения для f2, f3 не приводим из-за громоздкости.
Учитывая (9), получаем f0 = 2/[(3 − r)(r − 1)]. Очевидно, что минимум
данного выражения соответствует вершине параболы y = −x2 + 4x− 3, т.е.
r =
√
2h0 + 1 = 2, значит, h0 = 3/2, f0 = 2. Тогда γ2
1 = 1/2, и из (8)
находим γ2 = −7/8, f1 = −4γ1(d1 + 2). Но, поскольку γ1 может принимать
два равных по абсолютной величине и противоположных по знаку значения,
то оптимальным будет условие f1 = 0, т.е. d1 = −2. Подставив найденные
значения в выражения для f2, f3 , далее находим
f2 =
17
16
, f3 =
γ1
128
(512d2 + 64h1 − 1253).
Как и в случае с f1, полагаем f3 = 0, тогда
h1 =
1253
64
− 8d2, f4 = 24.6666d2 − 78.5822 , (10)
и далее f5 = 0, f6 = (383/2+32 d2) d3−194.011 d2
2 +1574.391 d2−2997.121 .
Сравнивая найденные значения коэф-
Рис. 3. Величина функции
f в окрестности d = dopt.
фициентов разложения для d, h с теми,
которые получаются из формул (3)
dopt = 1− 2b + 3b2 − 2b3 + . . . ,
(11)
hopt =
3
2
b− 9
2
b2 + 9b3 − . . . ,
можно видеть, что коэффициенты при пер-
вых степенях b совпадают. Для нахожде-
ния последующих коэффициентов имеется
некоторый произвол, как можно видеть из
(10), однако он невелик. Казалось бы, сле-
дует выбрать d2 отрицательным, тогда
уменьшится значение для f4, а значит и
для f. Но надо учитывать, что при этом
ухудшится сходимость ряда (значение для
f6 будет иметь порядок 1/b).
Отметим, что, как подтверждают чис-
ленные расчеты, формулы (3) дают доволь-
но высокую точность. Так, на рис. 3 при-
ведена зависимость величины f− квадра-
та амплитуды колебаний основного тела в
окрестности оптимальной собственной ча-
стоты ДПК d = dopt + δ. Здесь принято b = 0.1, h = hopt. Верхний предел
для оси аппликат выбирался автоматически, поэтому можно видеть, что с
уменьшением значений δ этот предел уменьшается c ≈ 25 до ≈ 21.1. Поэто-
му для уточнения найденного первого приближения поступим следующим
171
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
образом: положим d2 = 3 + δ2, d3 = −2 + δ3, и найдем некоторый баланс,
обеспечивающий минимальность величины f4 при условии невозрастания
модулей последующих коэффициентов ряда для f − мы ограничились f6.
Рис. 4. Влияние поправок к dopt и hopt на величину амплитуды.
Результаты расчетов зависят от степени малости b, для b = 0.1 получилось
значение δ2 ≈ −0.02 . Тогда d2 = 2.98 , а из (10) получается h1 ≈ −4.3 .
На рис. 4 приведены фрагменты графиков зависимости f(γ) в окрестностях
точек максимума: сплошной кривой соответствуют значения
d = 1− 2b + 2.98 b2, h = b(1.5− 4.3 b), (12)
а пунктирной − dopt, hopt. Можно видеть, что формулы (3) и (12) дают,
соответственно, значения для f̂ , равные ≈ 21.07 и ≈ 21.062 . Последнее даже
немного меньше чем f0/b + f2 = 20 + 17/16 = 21.0625, поскольку ряд для
f(b) получается знакопеременным.
1. Ormondroyd J., Den Hartog J.P. The theory of the dynamic vibration absorber // Trans.
ASME. – 1928. – 50, № 1. – P. 9 – 22.
2. J.P. Den Hartog Mechanical vibrations. – York: Maple Press Co., 1947 (1934, 1940). –
486 p.
3. Sesak J.R., Gronet M.J., Marinos G.M. Passive Stabilization for Large Space Systems. –
NASA Contractor Report. CR – 4067. – April, 1987. – 138 p.
4. Celly S.G. Fundamentals of mechanical vibrations. – Mc Graw – Hill series in mechanical
engineering, 2000. – 632 p.
5. Rao S.S. Mechanical vibrations. – Purdue University, Addison – Wesley Publishing Co.,
2000. – 737 p.
6. Encyclopedia of vibrations / Ed.-in-Chief Brown S. – San Diego etc.: Academic Press, 2002.
– 1685 p.
7. Тимошенко С.П., Янг Д.Ч., Уивер У. Колебания в инженерном деле. – М.: Машино-
строение, 1985. – 472 с.
8. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
axs@ukr.net
Получено 26.08.09
172
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28014 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:27:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. 2011-10-25T21:06:01Z 2011-10-25T21:06:01Z 2009 О выборе параметров динамического поглотителя колебаний / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 167-172. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28014 534.015.1, 534.83 Рассмотрен вопрос о выборе параметров динамического поглотителя колебаний (ДПК), обеспечивающих его наибольшую эффективность. Рассмотрен простейший, “классический” [1], вариант ДПК - одностепенный гидравлический гаситель. Предложена схема определения его параметров: частоты колебаний, коэффициента демпфирования и отношения массы гасителя к массе основного тела. Полученные результаты сопоставлены с известными и проиллюстрированы численными расчетами. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О выборе параметров динамического поглотителя колебаний Article published earlier |
| spellingShingle | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| title | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| title_full | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| title_fullStr | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| title_full_unstemmed | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| title_short | О выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| title_sort | о выборе параметров динамического поглотителя колебаний |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28014 |
| work_keys_str_mv | AT pozdnâkovičae ovyboreparametrovdinamičeskogopoglotitelâkolebanii AT puzyrevve ovyboreparametrovdinamičeskogopoglotitelâkolebanii |