Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произв...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28015 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859776249633701888 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит из четырех цилиндров.
|
| first_indexed | 2025-12-02T08:52:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
ЗАМКНУТОЙ “КРУГОВОЙ” СИСТЕМЫ
Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигура-
цией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироско-
пов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие
шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их
разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия
во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найден-
ного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит
из четырех цилиндров.
В работах [1–4] были найдены равновесные конфигурации систем n сим-
метричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Во
всех рассмотренных случаях предполагалось, что системы замкнуты, при
этом начальная точка O1 оси симметрии тела S1 и конечная точка On+1 оси
симметрии тела Sn совпадают. Кроме того, полагалось, что шарниры допус-
кают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их
разность мала. Такие системы используются в качестве конечноразностной
аппроксимации упругих стержневых систем и позволяют учесть их геомет-
рическую нелинейность.
В работе [5] для систем, связанных упругими цилиндрическими шарни-
рами (плоский случай), были найдены достаточные условия устойчивости их
положения равновесия в случае “круговой” конфигурации и конфигурации
“восьмерка”.
В настоящей работе рассмотрена система тел, связанных упругими сфе-
рическими шарнирами (пространственный случай), образующая “круговую”
конфигурацию. Полагалось, что система, как целое, вращается со скоростью
Ω вокруг неподвижной оси. Найдены условия существования и необходимые
условия устойчивости положения равновесия изучаемой системы во враща-
ющейся системе координат.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему n одинаковых гироскопов
Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами, расположенными
в точках Ok пересечения осей симметрии тел Sk и Sk−1, k = 1, n. Полагаем,
что на систему не действуют внешние силы и моменты, т.е. ее центр масс C
неподвижен. Для замкнутых систем концевые точки тел S1 и Sn совпадают
(O1 = On+1). Тогда, как и в [1], имеем
n∑
k=1
OkOk+1 = 0. (1)
173
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
Свяжем с каждым телом Sk систему координат CkXkYkZk (k = 1, n), где
Ck – центр масс тела Sk, а ось CkZk направлена вдоль его оси симметрии.
Кроме того, введем неподвижную систему координат CXY Z и осевую систе-
му координат CX ′Y ′Z ′, которая вращается вокруг неподвижной оси CY со
скоростью Ω. В случае, когда все оси симметрии тел OkOk+1 лежат в одной
плоскости CXZ, ось CY направлена перпендикулярно этой плоскости.
Определим положение связанной системы координат CkXkYkZk по отно-
шению к осевой углами Крылова ψk, θk, ϕk. Тогда, учитывая, что для одина-
ковых тел имеем OkOk+1 = const = h, из (1) получаем
f1 =
n∑
k=1
sinψk cos θk = 0, f2 =
n∑
k=1
sin θk = 0, f3 =
n∑
k=1
cosψk cos θk = 0. (2)
Кинетическая энергия системы имеет вид
T =
1
2
n∑
k=1
[
mṙ2
kc + A(p2
k + q2
k) + Br2
k
]
, (3)
где m – масса тела Sk, A,B – соответственно его экваториальный и осевой
моменты инерции, rkc− расстояние от центра масс тела Sk до неподвижной
точки C, а pk, qk, rk – компоненты вектора абсолютной угловой скорости ωk
тела Sk в связанной системе координат, которая может быть представлена
как ωk = Ω + ωr
k, где Ω = Ωey− угловая скорость осевой системы координат
(ey− орт оси CY ), а ωr
k – угловая скорость связанной системы координат
относительно осевой.
Компоненты абсолютной угловой скорости тела Sk, как функции углов
Крылова и скорости вращения Ω, выражаются следующим образом:
pk = (ψ̇k + Ω) cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk,
qk = (ψ̇k + Ω) cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, (4)
rk = ϕ̇k − (ψ̇k + Ω) sin θk.
Если положить, что центр масс тела Sk – центр оси симметрии тела, и учесть
неподвижность общего центра масс C, то, аналогично [1], получим
ṙkc =
h
2
{−(ωk × e3
k) +
1
n
k∑
i=1
(2i− 1)(ωi × e3
i )−
− 1
n
n∑
i=k+1
[2(n− i) + 1](ωi × e3
i )}, k = 1, n, (5)
где e3
k− орт оси симметрии тела Sk. В случае, когда нижний индекс второй
суммы равен n + 1, считаем ее равной нулю.
174
Необходимые условия устойчивости относительного равновесия
Подстановка (4), (5) в (3) дает
T =
1
2
n∑
j=1
{
A
′
[(ψ̇j + Ω)2 cos2 θj + θ̇2
j ] + B[ϕ̇j − (ψ̇j + Ω) sin θj ]2+
+mc2
(
j∑
i=1
bijAij +
n∑
i=j+1
cijAij
)}
. (6)
Здесь
A
′
= A + mc2;
Aij = θ̇iθ̇j cos θi cos θj + [θ̇iθ̇j sin θi sin θj + (ψ̇i + Ω)(ψ̇j+
+Ω) cos θi cos θj ] cos(ψj − ψi) + [θ̇i(ψ̇j + Ω) sin θi cos θj−
−θ̇j(ψ̇i + Ω) cos θi sin θj ] sin(ψj − ψi);
bij = 4(i− 1) +
1
n
[2j − 1− 2i(2i− 1)] +
1
n2
(2j − 1)(2i− 1)(i− j);
cij = 4j +
1
n
(4j2 + 2j + 2i− 8ij − 1) +
1
n2
(i− j)(2i− 1)(2j − 1).
Потенциальную энергию системы, как и в [1], считаем равной
Π =
1
2
n∑
k=1
{k1[(ψk − ψk−1)2 cos2 θk + (θk − θk−1)2]+
+k2[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]2}. (7)
Здесь k1, k2 – соответственно жесткости изгиба и кручения. Кроме того, для
замкнутых систем ( On+1 = O1) полагалось
ψ0 = ψn − 2π; θ0 = θn − 2π; ϕ0 = ϕn − 2π.
2. Уравнения движения системы. Как известно [6], уравнения дви-
жения системы в случае, когда ее обобщенные координаты удовлетворяют
дополнительным связям (2), могут быть записаны в виде
d
dt
∂T
∂q̇i
− ∂T
∂qi
+
∂Π
∂qi
+
m∑
k=1
λk
∂fk
∂qi
= 0, (8)
где λk – неопределенные множители Лагранжа, характеризующие реакции
дополнительных связей. В нашем случае m = 3, а обобщенными координата-
ми являются ψi, θi, ϕi (i = 1, n).
175
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
Подставляя в (8) выражения для кинетической и потенциальной энергии
(6), (7) и учитывая (2), получаем следующую систему уравнений:
(A
′
cos2 θk + B sin2 θk)ψ̈k −Bϕ̈k sin θk + (ψ̇k + Ω)θ̇k(B −A
′
) sin 2θk−
−Bϕ̇kθ̇k cos θk + µ cos θk{(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)Fkj + (2n− 2k+
+1)
k∑
j=1
(2j − 1)Fkj}+ k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1]−
−k2{sin θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]− sin θk+1[ϕk+1 − ϕk−
−(ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+ λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0;
A′[θ̈k + (ψ̇k + Ω)2 cos θk sin θk] + B cos θk(ψ̇k + Ω)(ϕ̇k− (9)
−(ψ̇k + Ω) sin θk) + µ{(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)Gkj+
+(2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j− 1)Gkj}− k1[sin 2θk(ψk −ψk−1)2/2 + θk+1− 2θk + θk−1]−
−k2 cos θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk](ψk − ψk−1)−
−λ1 sinψk sin θk + λ2 cos θk − λ3 cosψk sin θk = 0;
B[ϕ̈k − ψ̈k sin θk − (ψ̇k + Ω)θ̇k cos θk]− k2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1+
+(ψk − ψk−1) sin θk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1] = 0 (k = 1, n).
Здесь µ = mc2/n, ψn+1 = ψ1 + 2π, θn+1 = θ1 + 2π, ϕn+1 = ϕ1 + 2π;
Fkj = ψ̈j cos θj cos(ψk − ψj) + θ̈j sin θj sin(ψk − ψj)−
−2(ψ̇j + Ω)θ̇j sin θj cos(ψk − ψj) + [θ̇2
j + (ψ̇j + Ω)2] cos θj sin(ψk − ψj);
Gkj = θ̈j [cos θj cos θk + sin θj sin θk cos(ψk − ψj)]− ψ̈j cos θj sin θk sin(ψk − ψj)+
+θ̇2
j [cos θj sin θk cos(ψk−ψj)−sin θj cos θk]+2(ψ̇j +Ω)θ̇j sin θj sin θk sin(ψk−ψj)+
+(ψ̇j + Ω)2 cos θj sin θk cos(ψk − ψj).
3. Положение относительного равновесия системы. Рассмотрим
случай, когда оси симметрии системы образуют плоскую кривую, которая
176
Необходимые условия устойчивости относительного равновесия
равномерно вращается, как целое, со скоростью Ω вокруг оси, перпендику-
лярной этой плоскости. Во вращающейся системе координат этот режим опи-
сывает положение равновесия изучаемой системы. Нас интересуют условия,
при которых существует такое относительное равновесие. Полагая в (9) ско-
рости и ускорения обобщенных координат равными нулю, а
ψk = ψ0
k, θk = 0, ϕk = ϕ0
k (k = 1, n); λi = λ0
i (i = 1, 3),
получаем
µΩ2
{
(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1) sin(ψ0
k − ψ0
j ) + (2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j−
−1) sin(ψ0
k − ψ0
j )
}
− k1(ψ0
k+1 − 2ψ0
k + ψ0
k−1) + λ0
1 cosψ0
k − λ0
3 sinψ0
k = 0, (10)
k2(ϕ0
k − ϕ0
k−1)(ψ
0
k − ψ0
k−1) = λ0
2, (11)
ϕ0
k+1 − 2ϕ0
k + ϕ0
k−1 = 0. (12)
Кроме того, должны удовлетворяться и уравнения (2), из которых следует
n∑
k=1
sinψ0
k = 0,
n∑
k=1
cosψ0
k = 0. (13)
Из уравнения (12) получаем ϕ0
k − ϕ0
k−1 = const = a. Это равенство возможно
либо при a = 0 (тогда ϕ0
k = ϕ0
k−1 = const = b и, не ограничивая общно-
сти, можно считать b = 0), либо при a = 2π/n (тогда ϕ0
k = 2πk/n). Из (11)
находим λ0
2 = k2a(ψ0
k − ψ0
k−1), а из уравнений (10), (13) – значения множите-
лей Лагранжа λ0
1, λ
0
3 и углы ψ0
k (k = 1, n), определяющие форму замкнутой
конфигурации.
Очевидно, что если эта замкнутая фигура симметрична относительно оси
CY , а это возможно в случае, когда система содержит четное количество тел,
то как целое она представляет собой симметричное твердое тело с осью сим-
метрии CY , для которого существует режим равномерного вращения вокруг
оси CY .
В системе, которая изучалась в [1], ψ0
k равны
ψ0
k = 2πk/n + α1, k = 1, n, (14)
где α1 – произвольная постоянная.
Нетрудно видеть, что это решение удовлетворяет системе уравнений (13),
а подстановка его в (10) дает возможность определить λ0
1 = λ0
1(Ω), λ0
3 = λ0
3(Ω)
в виде
λ0
1 = −nµΩ2 ctg
π
n
, λ0
3 = −nµΩ2 ctg2 π
n
. (15)
177
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
Замечание. Отметим, что в случае Ω = 0 из уравнений (10) следует, что
λ0
1 = λ0
3 = 0, что соответствует результатам, полученным в [1] при изучении
положения равновесия круговой замкнутой системы.
Итак, установлено, что при условии четного числа тел в системе, ее урав-
нения движения имеют решение, описывающее относительное положение рав-
новесия системы, в котором все оси симметрии тел лежат в одной плоскости и
при этом углы ψ0
k определяются из (14). Найдем необходимые условия устой-
чивости найденного положения равновесия в случае, когда число тел в систе-
ме равно четырем.
4. Уравнения возмущенного движения. Пусть n = 4. Тогда уравне-
ния движения системы (9) допускают решение
ψ̇0
k = θ̇0
k = ϕ̇0
k = θ0
k = 0, ϕ0
k = ψ0
k =
πk
2
, k = 1, 4,
(16)
λ0
1 = λ0
3 = −4µΩ2, λ0
2 =
(π
2
)2
.
Полагая
ψ̇k = ψ̇1
k, θ̇k = θ̇1
k, ϕ̇k = ϕ̇1
k, θk = θ1
k, ψk = ψ0
k + ψ1
k,
ϕk = ϕ0
k + ϕ1
k, λ1 = λ0
1 + λ1
1, λ2 = λ0
2 + λ1
2, λ3 = λ0
3 + λ1
3,
запишем систему уравнений возмущенного движения. Имеем
A
′
ψ̈1
k + µ{(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)[C0
kjψ̈
1
j + 2ΩS0
kjψ̇
1
j + Ω2C0
kj(ψ
1
k − ψ1
j )]+
+(2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j − 1)[C0
kjψ̈
1
j + 2ΩS0
kjψ̇
1
j + Ω2C0
kj(ψ
1
k − ψ1
j )]}+
+k1(−ψ1
k−1 + 2ψ1
k − ψ1
k+1)− k2Γ(θ1
k − θ1
k+1)− λ0
1ψ
1
k sinψ0
k−
−λ0
3 cosψ0
kψ
1
k + λ1
1 cosψ0
k − λ1
3 sinψ0
k = 0;
(17)
A′(θ̈1
k + Ω2θ1
k) + BΩ(ϕ̇1
k − Ωθ1
k) + µ[(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)(θ̈1
j + Ω2C0
kjθ
1
k)+
+(2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j − 1)(θ̈1
j + Ω2C0
kjθ
1
k)]− k1(Γ2θ1
k + θ1
k+1 − 2θ1
k + θ1
k−1)−
−k2Γ(ψ1
k − ψ1
k−1 + ϕ1
k − ϕ1
k−1 − Γθ1
k)− λ0
1 sinψ0
kθ
1
k − λ0
3θ
1
k cosψ0
k + λ1
2 = 0;
B(ϕ̈1
k − Ωθ̇1
k)− k2[ϕ1
k+1 − 2ϕ1
k + ϕ1
k−1 + Γ(θ1
k − θ1
k+1)] = 0,
k = 1, 4.
178
Необходимые условия устойчивости относительного равновесия
Здесь Γ = π/2, C0
kj = cos(ψ0
k − ψ0
j ), S0
kj = sin(ψ0
k − ψ0
j ).
Уравнения (2), линеаризованные в окрестности решения (16), имеют вид
4∑
k=1
ψ1
k sinψ0
k = 0,
n∑
k=1
θ1
k = 0,
n∑
k=1
ψ1
k cosψ0
k = 0.
Подставляя в них значения ψ0
k из (16), находим, что переменные ψ1
k и
θ1
k, k = 1, 4, связаны соотношениями
ψ1
3 = ψ1
1, ψ1
4 = ψ1
2, θ1
4 = −θ1
1 − θ1
2 − θ1
3. (18)
Систему уравнений (17) с учетом (18) и исключением реакций связи λ1
1, λ
1
2, λ
1
3
приводим к следующему виду:
ÿ1 = 0; ẍs = 0, (19)
aÿ0 + 4k1y0 − 2k2Γz1 = 0,
(A′ + a)z̈1 + 2(D + 2k1)z1 + BΩẋ− 2k2Γ(2y0 + x) = 0,
Bẍ− 2BΩż1 + 4k2(x− Γz1) = 0,
az̈0 + Dz0 + BΩ
(
ẋ− ẋ0
2
− ẋ2
)
− k2Γx0 = 0, (20)
aθ̈ + Dθ + BΩ
(
ẋ + ẋ0
2
+ ẋ2
)
− k2Γ(x + 2x2) = 0,
Bẍ0 −BΩ(θ̇ + ż0) + 2k2(x0 − Γz0) = 0,
Bẍ2 +
BΩ
2
(2ż1 + ż0 − θ̇)− k2(x− 2x2) + k2Γ(2z1 − θ) = 0.
В (19) и (20) введены новые переменные
y1 = ψ1
1 + ψ1
2, xs = ϕ1
1 + ϕ1
2 + ϕ1
3 + ϕ1
4,
y0 = ψ1
1 − ψ1
2, z0 = θ1
1 − θ1
3, z1 = θ1
1 + θ1
3, θ = 2θ1
2 + z1,
xk = ϕ1
k − ϕ1
k−1 k = 1, 4 (ϕ1
0 = ϕ1
4),
x = x1 − x3, x0 = x1 − x3.
Кроме того, в (20) введены обозначения
a = A′ + 8µ, A′ = A + mc2, µ =
mc2
4
, D = Ω2(a−B)− k1(Γ2 − 2) + k2Γ2.
179
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
5. Необходимые условия устойчивости решения (16).Систему урав-
нений (20) можно представить в виде
AijẌi + BijẊi + CijXi, i, j = 1, 7. (21)
Здесь Xi = (y0, z1, z0, θ, x, x0, x2)T – вектор неизвестных. Тогда, разыскивая
решение системы (21) в виде Xi = Die
λt, получаем характеристическое урав-
нение
∆ = ∆3∆4 =
3∑
i=0
(aiλ
2i)
4∑
j=0
(bjλ
2j) = 0, (22)
где
∆3 = αε(α + 1)ν3 + 2{α2εω2 + 2ακ(α + 1) + ε[2 + α(4− γ)+
+ακ(γ + 2)]}ν2 + 8{α[ακ + ε(1− κ)]ω2 + κ(2 + 4α− αγ)+ (23)
+ε[2− γ + κ(γ + 2)− κ2(γ + 2)]}ν + 32κ[ω2(α− ε) + 2− γ − κ2(γ + 2)] = 0.
∆4 = α2ε2ν4 + 2αε{αεω2 + 2ακ + ε[−γ + κ(γ + 2)]}ν3+
+{ε2α2ω4 + 2ε[εαγ(κ − 1) + 4κα2]ω2 + 4α2κ2 + 4αεκ[−2γ + κ(γ + 2)]+
+ε2[γ − κ(γ + 2)]2}ν2 + 4κ{αε(α− ε)ω4 + [2α2κ+ (24)
+εαγ(κ − 2) + ε2γ]ω2 − 2αγκ + εγ[γ − κ(γ + 2)]}ν+
+4κ2[ω2(α− ε)− γ]2 = 0.
Здесь введены безразмерные параметры
ν =
A
k1
λ2, κ =
k2
k1
, ω2 =
AΩ2
k1
, ε =
B
A
, α =
a
A
(25)
и обозначение γ = Γ2 − 2 = (π/2)2 − 2 > 0. Таким образом, коэффициенты
характеристического уравнения (22) зависят от четырех безразмерных пара-
метров ω, ε, α,κ. Следует отметить, что представляет интерес случай, когда
A À B, так как система является моделью упругого стержня. Поэтому ε
можно считать малым параметром.
6. Частный случай. Рассмотрим частный случай, когда тела представ-
ляют собой одинаковые круговые цилиндры. Для цилиндров имеют место
соотношения
A =
1
12
m(3R2 + h2), B =
1
2
mR2, c =
h
2
,
где R – радиус цилиндра, h – его высота. Вводя малый параметр ε0 = R/h,
получаем
ε =
6ε2
0
1 + 3ε2
0
, α = 10− 9
2
ε. (26)
180
Необходимые условия устойчивости относительного равновесия
Итак, в изучаемом частном случае остается три безразмерных параметра:
ω, ε,κ, причем ε – малый параметр.
Необходимые условия устойчивости решения (16) будут выполнены в слу-
чае, когда характеристическое уравнение (22) не имеет положительных кор-
ней. Это условие эквивалентно тому, что уравнения (23), (24) должны иметь
действительные отрицательные корни. Учитывая сказанное, условия устой-
чивости могут быть представлены так:
ai > 0 (i = 1, 3), bj > 0 (j = 1, 4) (27)
– (коэффициенты уравнений (23), (24) положительны);
a3(4a2
3 − 18a3a2a1 + 27a4a
2
0) + a2
3(4a3b0 − a1) < 0 (28)
– (дискриминант уравнения (23) отрицателен [7]);
F1 > 0, 12F 2
1 − a2
4F2 > 0, F 3
2 − 27(F3 −M5F1) > 0 (29)
– (критерий Покровского [8] действительности корней уравнения четвертой
степени).
В (29) введены следующие обозначения:
F1 =
1
2
(
1
8
b2
3 −
1
3
b2b4
)
, F2 = b4a0 − 1
6
b2b3 +
1
12
b3
2,
F3 =
1
8
(
1
6
b1b2b3 − 1
2
b2
1b4 − 1
12
b3
2
)
.
Найдем области выполнения неравенств (27)–(29) при учете малости пара-
метра ε. Начнем с анализа неравенства (27). Из вида коэффициентов урав-
нений (23), (24) следует, что a3, a2, b4, b0 всегда больше нуля.
Замечание. Отметим, что параметр κ, входящий в (25), для прикладных
исследований не является произвольной величиной. Этот параметр не равен
нулю (жесткость кручения отлична от нуля) и ограничен (величины жестко-
стей изгиба и кручения имеют один порядок). В частности, в работах [9, 10],
в которых с помощью упругих стержневых систем описывают конфигурацию
молекулы ДНК, этот параметр определен на интервале (0.5; 2.5). В данной
статье области выполнения неравенств (27)–(29) определялись для тех же
значений κ.
При учете малости ε и κ ∈ (0.5; 2.5) из (23), (24) заключаем, что коэф-
фициенты a1, b3, b2 положительны. Осталось определить области, в которых
a0 > 0 и b1 > 0. Имеем из (23)
a0 = 32κ[ω2(α− ε) + 2− γ − κ2(γ + 2)] > 0.
Это неравенство выполняется при условии
ω2 > ω1 =
κ2(γ + 2) + γ − 2
α− ε
. (30)
181
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
Разлагая ω1 в ряд по ε и учитывая (26), получаем ω1 = ω10 + εω11, где
ω10 =
κ2(γ + 2) + γ − 2
10
, ω11 = ω11(κ). (31)
Область положительности коэффициента b1 такова
αε(α− ε)ω4 + [2α2κ+ εαγ(κ− 2)+ ε2γ]ω2− 2αγκ+ εγ[γ−κ(γ +2)] > 0. (32)
Неравенство (32) выполнено, если ω2 > ω2 = ω20 + εω21, где
ω20 =
γ
10
, ω21 = ω21(κ). (33)
Учитывая (31), (33), окончательно получаем, что неравенства (27) выполня-
ются при условии
ω2 > ω1 при κ2 >
2
2 + γ
; ω2 > ω2 при κ2 ≤ 2
2 + γ
(34)
(напомним, что γ = (π/2)2 − 2 > 0).
Дискриминант уравне-
Рис. 1.
ния (23) может быть пред-
ставлен так
F (ω2) =
4∑
i=1
d3i(ε,κ)ω2i.
Проведенный анализ по-
казал, что при малых ε этот
дискриминант всегда отри-
цателен.
График функции F (ω2)
при ε = 0.1 и различных
значениях 0.5 < κ < 1.5
приведен на рис. 1.
Здесь первая кривая по-
лучена для κ = 0.9, вторая – для κ = 1, а третья – для κ = 1.1.
Перейдем к изучению неравенств (29). Первое неравенство после подста-
новки в него bj , j = 1, 4, из (25) может быть представлено так
F1 = ε2ω4α2+2{α[−γ+κ(γ+6)]ε2−2α2κε}ω2+{ε[κ(γ+2)−γ]+ακ}2+8ακε > 0.
Дискриминант уравнения F1 = 0 равен
∆ = 2ε3α2κ{−ακ(γ + 4) + ε[κ(γ + 4)− γ]}.
182
Необходимые условия устойчивости относительного равновесия
Рис. 2.
Очевидно, что при малых ε имеем ∆ < 0 и, следовательно, F1 > 0.
Второе неравенство (29) удовлетворено, если
αω2 + [κ(γ + 2)− γ]ε + 2ακ > 0.
Это условие выполнено при κ ∈ (0.5; 2.5) и малых ε.
Последнее неравенство (29) имеет вид
f(ω2) =
7∑
i=1
d4i(ε,κ)ω2i > 0.
Установлено,что уравнение f(ω2) = 0 имеет только один положительный ко-
рень ω3 = ω30 + εω31(κ), причем ω30 = ω20 = γ/10.
График кривых f(ω2) при различных значениях κ и ε = 0.1 приведен на
рис. 2. На нем, как и на рис. 1, изображены три кривые, на которых соответ-
ственно κ равно 0.9; 1 и 1.1. При этом изображен общий вид кривой f(ω2) на
интервале (0; 5), на котором функция имеет точки экстремума, а также от-
дельно выделен интервал, на котором находится корень уравнения f(ω2) = 0,
равный ω3. При значениях ω > 5 функция f(ω2) монотонно возрастает.
Итак, неравенства (27)–(29), а, следовательно, и необходимые условия
устойчивости решения (16) выполнены на интервалах
ω2 > ω1 при κ2 >
2
2 + γ
и ω2 > max(ω2, ω3) при κ2 ≤ 2
2 + γ
и замкнутая система, состоящая из четырех тел, неустойчива в случае Ω = 0.
183
И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин
1. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39.
2. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер-
дых тел // Там же. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103.
3. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопере-
сечением // Там же. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151.
4. Bolgrabskay I.A., Shchepin N.N. Finite dimensional model of closed elastic systems // Proc.
of the 9th conf. of dynamical systems – theory and applications (December 17 – 20, 2007,
Lodz, Poland). – 2007. – 2. – P. 135–143.
5. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Устойчивость положения равновесия замкнутой систе-
мы тел конфигурации “восьмерка” // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. –
С. 151–160.
6. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с.
7. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. – Киев:
Наук. думка, 1977. – 160 с.
8. Покровский П.М. Об алгебраических уравнениях в связи с аналитическими функция-
ми Вейерштрасса // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. – 1983. –
6, вып. 1. – С. 26–42.
9. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // В кн.:
Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999. –
С. 308–338.
10. Hoffman K.A. Methods for determining stability in continuum elastic-rod models of DNA
// Phil. Trans. R. Lond. A. – 2004. – 362. – P. 1301–1315.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.07.09
184
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28015 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T08:52:57Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. 2011-10-25T21:09:48Z 2011-10-25T21:09:48Z 2009 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28015 531.38 Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит из четырех цилиндров. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы Article published earlier |
| spellingShingle | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| title | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| title_full | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| title_fullStr | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| title_full_unstemmed | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| title_short | Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| title_sort | необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28015 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia neobhodimyeusloviâustoičivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutoikrugovoisistemy AT savčenkoaâ neobhodimyeusloviâustoičivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutoikrugovoisistemy AT ŝepinnn neobhodimyeusloviâustoičivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutoikrugovoisistemy |