Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара

Преобразуя дифференциальное уравнение падения шара переменных размеров, при различных законах уменьшения радиуса во времени, удалось свести его к уравнению типа Бесселя и найти замкнутые аналитические решения....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Механика твердого тела
Дата:	2009
Автори:	Ольшанский, В.П., Аврамов, К.В., Ольшанский, С.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28018
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара / В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 207-214. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28018
record_format	dspace
spelling	Ольшанский, В.П. Аврамов, К.В. Ольшанский, С.В. 2011-10-25T21:18:28Z 2011-10-25T21:18:28Z 2009 Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара / В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 207-214. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28018 531 Преобразуя дифференциальное уравнение падения шара переменных размеров, при различных законах уменьшения радиуса во времени, удалось свести его к уравнению типа Бесселя и найти замкнутые аналитические решения. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
spellingShingle	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара Ольшанский, В.П. Аврамов, К.В. Ольшанский, С.В.
title_short	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
title_full	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
title_fullStr	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
title_full_unstemmed	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
title_sort	замкнутые решения уравнения мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара
author	Ольшанский, В.П. Аврамов, К.В. Ольшанский, С.В.
author_facet	Ольшанский, В.П. Аврамов, К.В. Ольшанский, С.В.
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Механика твердого тела
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	Преобразуя дифференциальное уравнение падения шара переменных размеров, при различных законах уменьшения радиуса во времени, удалось свести его к уравнению типа Бесселя и найти замкнутые аналитические решения.
issn	0321-1975
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28018
citation_txt	Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара / В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 207-214. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT olʹšanskiivp zamknutyerešeniâuravneniâmeŝerskogoprirazličnyhzakonahumenʹšeniâradiusaletâŝegošara AT avramovkv zamknutyerešeniâuravneniâmeŝerskogoprirazličnyhzakonahumenʹšeniâradiusaletâŝegošara AT olʹšanskiisv zamknutyerešeniâuravneniâmeŝerskogoprirazličnyhzakonahumenʹšeniâradiusaletâŝegošara
first_indexed	2025-11-24T21:03:04Z
last_indexed	2025-11-24T21:03:04Z
_version_	1850496974291206144
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531 c©2009. В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский ЗАМКНУТЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МЕЩЕРСКОГО ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ УМЕНЬШЕНИЯ РАДИУСА ЛЕТЯЩЕГО ШАРА Преобразуя дифференциальное уравнение падения шара переменных размеров, при раз- личных законах уменьшения радиуса во времени, удалось свести его к уравнению типа Бесселя и найти замкнутые аналитические решения. Введение. Движение шара переменной массы и размеров рассматрива- ют при изучении полета горящих частиц топлив, мелкодисперсных химиче- ски активных отходов (выбросов) производств, падающих, сгорающих метео- ритов и пр. Поэтому исследование особенностей баллистики тел, у которых меняются размеры во времени, относится к актуальным научно-техническим задачам. Математическое моделирование полета шаровидных капель с уче- том их испарения в высокотемпературной газовой среде проводилось в ра- ботах [1, 2] без учета реактивной силы. Имеются работы [3, 4], где исполь- зовались уравнения движения сферической капли с учетом реактивной си- лы при линейном уменьшении радиуса частицы во времени. Однако в них не построено точных аналитических решений этих уравнений. В этой обла- сти механики приходится решать нелинейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые относятся к классу Риккати [5]. Только в отдельных случаях найдены их точные аналитические решения. Ниже, в дополнение к этим случаям, при довольно общих предположениях, касающихся силы сопротивления и реактивной силы, найдены аналитические решения уравнений вертикального движения тела выражаемые с помощью цилиндрических функций. 1. Линейный закон уменьшения радиуса тела. 1.1. Решение уравнения движения с использованием гипотезы К.Э.Циолковского. При постановке задачи баллистики используем гипо- тезу К.Э.Циолковского [6], согласно которой относительная скорость отделе- ния частиц от шара является постоянной величиной. Кроме того предполага- ем, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения шара и квадрату скорости его падения. Как и в работе [1], убывание радиуса тела подчиняем линейному закону: r = r(t) = r0 − γt. (1) 207 В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский Здесь r0 = r(0) – начальное значение радиуса в момент истечения (старта) частицы; γ > 0 – коэффициент, характеризующий скорость уменьшения радиуса. В рамках указанных предположений скорость падения шара υ = υ(t), как функция времени, является решением нелинейного дифференциального уравнения dυ dt − 3γ r υr + α r υ2 = g (2) при начальном условии υ(0) = υ0, (3) где υr ≡ const – относительная скорость отделения частиц от шара; α – коэф- фициент аэродинамического сопротивления воздуха; g – ускорение свободно- го падения; υ0 – начальное значение скорости. В дальнейшем направления скоростей υr и υ(t) считаем противополож- ными, т.е. рассматриваем случай, когда реактивная сила ускоряет движение. Учитывая (1), перейдем от переменной t к переменной r. В результате перехода дифференциальное уравнение движения (2) принимает вид dυ dr + 3 r υr − α0 r υ2 = −g0. (4) Здесь α0 = α γ ; g0 = g γ . Чтобы построить аналитическое решение уравнения (4) при начальном условии υ(r0) = υ0, (5) выразим υ(r) через вспомогательную функцию w(r) по формуле [1] υ = − r α0 dw dr w . (6) Подставив (6) в (4), приходим к линейному уравнению типа Бесселя d2w dr2 + 1 r dw dr − α0 r ( g0 + 3υr r ) w = 0. (7) Его общим решением является w(τ) = c1Iν(τ) + c2Kν(τ). (8) Здесь ν = 2 √ 3α0υr; τ = 2 √ α0g0r; c1, c2 – произвольные постоянные; Iν(τ),Kν(τ) – модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индекса ν. 208 Замкнутые решения уравнения Мещерского Подставив (8) в (6), получаем выражение скорости падения шара с точ- ностью до постоянной c = c2c −1 1 υ(τ) = 1 2α0 ( τ [cKν+1(τ)− Iν+1(τ)] cKν(τ) + Iν(τ) − ν ) . (9) Решение (9) удовлетворяет начальному условию (5), когда c = υ1Iν(τ0) + Iν+1(τ0) Kν+1(τ0)− υ1Kν(τ0) , (10) где υ1 = 1 τ0 (2α0υ0 + ν); τ0 = 2 √ α0g0r0. 1.2. Решение уравнения движения с использованием зависимо- сти υr = υ(t) для расчета реактивной силы. Эта постановка задачи от- личается от предыдущей постановки тем, что вместо гипотезы К.Э.Циолков- ского принимаем зависимость υr = υ(t), т.е. абсолютную скорость движения частиц, отделившихся от шара, считаем равной нулю. Так поступали в ра- ботах [2, 4]. С учетом указанного допущения дифференциальное уравнение вертикального падения шара относится к типу уравнения Леви–Чивита и имеет вид dυ dr + 3 r υ − α0 r υ2 = −g0. (11) Подстановкой (6) его преобразуем в линейное уравнение второго порядка d2w dr2 + 4 r dw dr − α0g0 r w = 0, решение которого с точностью до произвольных постоянных c1 и c2 представ- ляется суммой w(τ) = τ−3[c1I3(τ) + c2K3(τ)]. Применив операцию дифференцирования к выше указанному решению, в соответствии с (6), получаем υ(τ) = τ 2α0 K4(τ)− cI4(τ) K3(τ) + cI3(τ) . (12) Начальное условие (5) выполняется, когда c = c1c −1 2 = τ0K4(τ0)− 2α0υ0K3(τ0) τ0I4(τ0) + 2α0υ0I3(τ0) . (13) Таким образом, выражения (9), (10), (12), (13) позволяют находить ско- рость движения частицы при линейном уменьшения ее радиуса во времени. 209 В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский 2. Показательный закон уменьшения радиуса тела. 2.1. Решение уравнения движения с использованием гипотезы К.Э.Циолковского. При постановке задачи, в отличие от рассмотренной в п. 1.1, убывание радиуса подчиняем показательному закону: r(t) = r0 exp(−λt), (14) в котором r0 = r(0), λ > 0 – коэффициент, характеризующий скорость умень- шения r. Заметим, что движение шара, масса которого изменялась по показатель- ному закону, рассматривалось в работах [6, 7] и др. В отличие от указанных публикаций, будем учитывать изменение не только массы, но и размеров дви- жущегося тела. Согласно принятым допущениям, определение скорости падения шара, как функции времени υ = υ(t), сводится к решению нелинейного дифферен- циального уравнения dυ dt + 3 r dr dt \| υr \| + α r υ2 = g (15) при начальном условии (3). Далее перейдем от t к новой переменной ξ по формулам ξ = exp(λt); dξ dt = λξ; dυ dt = λξ dυ dξ ; r = r0 ξ . Вместо выражений (15) и (3) получаем соответственно dυ dξ + βυ2 = g1 ξ ; (16) υ(1) = υ0. (17) Здесь β = α λr0 , g1 = g λ + 3 \| υr \| . Чтобы избавиться от υ2 в уравнении (16), выразим скорость через вспо- могательную функцию w = w(ξ) и ее производную по формуле υ = 1 β dw dξ w−1. (18) Подставив (18) в (16), приходим к линейному уравнению типа Бесселя d2w dξ2 − βg1 ξ w = 0 210 Замкнутые решения уравнения Мещерского с общим решением w(η) = η(c1I1(η) + c2K1(η)), (19) в котором η = 2 √ βg1ξ; c1, c2 – произвольные постоянные; I1(η),K1(η) – со- ответственно модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индекса единица. Продифференцировав решение (19) в соответствии с (18), получаем вы- ражение скорости падения шара υ(η) = 2g1 η cI0(η)−K0(η) cI1(η) +K1(η) . (20) В нем c = c1c −1 2 – произвольная постоянная; I0(η),K0(η) – соответственно модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда нулевого ин- декса. Аналитическое решение (20) удовлетворяет начальному условию (17), ко- гда c = 2g1K0(η0) + υ0η0K1(η0) 2g1I0(η0)− υ0η0I1(η0) , η0 = 2 √ βg1. (21) Таким образом, расчет скорости падения шара можно проводить с помо- щью таблиц цилиндрических функций [8, 9]. 2.2. Решение уравнения движения, когда реактивная сила про- порциональна скорости полета. В отличие от пункта 1.2 здесь измене- ние радиуса шара описываем выражением (14). При такой постановке задачи дифференциальное уравнение падения шара имеет вид dυ dξ − 3 ξ υ + βυ2 = g λξ . Подставив в него выражение (18), приходим к линейному уравнению вто- рого порядка d2w dξ2 − 3 ξ dw dξ − βg λξ w = 0. (22) Общее решение уравнения (22) с точностью до постоянных c1 и c2 выражается через цилиндрические функции w = η4[c1I4(η) + c2K4(η)]. (23) Здесь η = 2 √ βg λ ξ; I4(η), K4(η) – модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индекса четыре. Продифференцировав решение (23) в соответствии с (18), приходим к формуле скорости падения шара 211 В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский υ(η) = 2g λη AI3(η)−K3(η) AI4(η) +K4(η) , (24) в которой A = c1c −1 2 – произвольная постоянная; I3(η),K3(η) – модифициро- ванная функция Бесселя и функция Макдональда индекса три. Константу A определяем с помощью начального условия (16). Она при- нимает значение A = 2gK3(η0) + λη0υ0K4(η0) 2gI3(η0)− λη0υ0I4(η0) , (25) где η0 = 2 √ βg λ . Используя рекуррентные соотношения и таблицы цилиндрических функ- ций [8, 9] по формулам (24) и (25) несложно рассчитать зависимость υ(t). 3. Движение шара с убывающим радиусом по закону В. Срезнев- ского. Этот закон удовлетворительно описывает испарение капель, диффу- зионное сгорание твердых частиц и пр. Поэтому его используют при решении многих инженерных задач. Согласно Срезневскому, площадь поверхности шара пропорциональна вре- мени его полета, т.е. имеет место соотношение [10] r(t) = r0 √ 1− εt, в котором r0 = r(0); ε > 0 – параметр, определяющий скорость уменьшения радиуса частицы. Полное исчезновение частицы происходит за время t = ε−1. Поэтому про- цесс движения рассматриваем на конечном промежутке времени t ∈ [0; ε−1], приняв, как и ранее, квадратичный закон аэродинамического сопротивления. Скорость падения шара является решением дифференциального уравне- ния dυ dt − 3 2 µε (r0 r )2 υ + 3k 4ρr υ2 = g, (26) где 0 ≤ µ ≤ 1 – коэффициент реактивности, учитывающий, что отделение не всей массы от шара происходит в сторону, противоположную направлению движения. Перейдем от переменной t к переменной ξ = √ 1− εt. Поскольку r = r0ξ; dυ dt = dυ dξ dξ dt = − ε 2ξ dυ dξ , то (26) принимает вид dυ dξ + 3µ ξ υ − α2υ 2 = −qξ, (27) 212 Замкнутые решения уравнения Мещерского где α2 = 3k 2ρr0ε ; q = 2g ε . Уравнение (27) решаем при начальном условии (17). С помощью пред- ставления υ(ξ) = υ1(ξ) + 3µ 2α2ξ (28) из (27) получаем dυ1 dξ − α2υ 2 1 = −qξ + 3µ 2α2ξ2 ( 1− 3µ 2 ) . (29) Выразим неизвестную функцию υ1(ξ) через вспомогательную функцию w(ξ) по формуле υ1(ξ) = − 1 α2 w−1dw dξ . (30) Подставив (30) в (29), приходим к линейному уравнению второго порядка d2w dξ2 − [ qα2ξ − 3µ 2 ( 1− 3µ 2 ) 1 ξ2 ] w = 0. (31) Решение уравнения (31) имеет вид w(ξ) = η1/3 [c1Iν(η) + c2Kν(η)] . (32) Здесь η = βξ3/2; β = 2 3 √ \| q \| α2; ν = 1 3 \| 3µ − 1 \|; c1, c2 – произвольные постоянные; Iν(η), Kν(η) – модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индекса ν, который зависит от коэффициента реактивности µ. Продифференцировав решение (32) в соответствии с (30), при учете (28) получаем формулу скорости падения шара υ(η) = 3β2/3η1/3 2α2 [ Kν+1(η)− cIν+1(η) Kν(η) + cIν(η) − 3(ν − µ) + 1 3η ] . (33) В ней c = c1c −1 2 – произвольная постоянная; индекс цилиндрических функций в числителе на единицу больше, чем в знаменателе. Используя (33) и (17), находим значение постоянной c c = Kν+1(β)− υ∗Kν(β) Iν+1(β) + υ∗Iν(β) . (34) Здесь υ∗ = 2α2υ0 3β + 3(ν − µ) + 1 3β . 213 В.П. Ольшанский, К.В. Аврамов, С.В. Ольшанский Без учета реактивной силы µ = 0, ν = 1/3. Цилиндрические функции такого индекса можно выразить через функции Эйри, протабулированные в работе [11]. Именно с помощью функций Эйри представлены решения задач баллистики в работах [1, 12], когда радиус частицы уменьшался по закону Срезневского. Выводы. Нелинейное уравнение Мещерского, которое описывает движе- ние сферического тела переменного радиуса, имеет аналитическое решение в цилиндрических функциях как для линейного, так и для показательного за- конов испарения, а также закона В.Срезневского. Все решения, независимо от закона испарения, выражаются в модифицированных функциях Бесселя. 1. Кучеренко С.I., Ольшанський В.П., Ольшанський С.В., Тiщенко Л.М. Балiстика кра- пель, якi випаровуються при польотi. – Харкiв: ХНТУСГ, 2007. – 304 с. 2. Новоселов В.С. Аналитическая механика систем с переменными массами. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1969. – 240 с. 3. Севриков В.В., Карпенко В.А., Севриков И.В. Автоматические быстродействующие системы пожарной защиты. – Севастополь: Сев ГТУ, 1996. – 260 с. 4. Абрамов Ю.А., Росоха В.Е., Шаповалова Е.А. Моделирование процессов в пожарных стволах. – Харьков: Фолио, 2001. – 195 с. 5. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 276 с. 6. Циолковский К.Э. Собрание сочинений. – М.: Изд-во AH CCCP, 1954. – Т. II. – 453 с. 7. Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2, [3-е изд.]. – М.: Просвеще- ние, 1966. – 398 с. 8. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, гра- фиками и математическими таблицами). – М.: Наука, 1979. – 832 с. 9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1977. – 344 с. 10. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. – М.: Из-во АН СССР, 1958. – 92 с. 11. Смирнов А.Д. Таблицы функций Эйри и специальных вырожденных гипергеометриче- ских функций для асимптотических решений дифференциальных уравнений второго порядка. – М.: Изд-во АН СССР, 1955. – 260 с. 12. Ol’shanskii V.P., Ol’shanskii S.V. Lower estimate of the flight range of a fire–extinguishing liquid drop // J. of Engineering Physics and Thermophysics. – 2007. – 80, № 4. – P. 697–701. Национальный техн. ун-т “Харьковский политехнический институт” stasolsh@mail.ru Получено 23.03.09 214

Замкнутые решения уравнения Мещерского при различных законах уменьшения радиуса летящего шара

Репозитарії

Схожі ресурси