Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки
Исследованы возмущенные маятниковые движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Введены канонические переменные, упрощающие анализ гомоклинческих и гетероклинических траекторий. Изучены характерные свойства возмущенных движений тела в неподвижном пространстве. Дано качественное описани...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28042 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 34-49. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588585684992000 |
|---|---|
| author | Гашененко, И.Н. |
| author_facet | Гашененко, И.Н. |
| citation_txt | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 34-49. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследованы возмущенные маятниковые движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Введены канонические переменные, упрощающие анализ гомоклинческих и гетероклинических траекторий. Изучены характерные свойства возмущенных движений тела в неподвижном пространстве. Дано качественное описание асимптотически маятниковых движений в окрестности расщепленных сепаратрис.
Дослiджено збуренi маятниковi рухи важкого твердого тiла навколо нерухомої точки. Введено канонiчнi змiннi, що спрощують аналiз гомоклiнiчних i гетероклiнiчних траєкторiй. Вивчено характернi властивостi збурених рухiв тiла в нерухомому просторi. Дано якiсний опис асимптотично маятникових рухiв в околi розщеплених сепаратрис.
This paper is devoted to a detailed investigation of the perturbed pendulum-like motions of a heavy rigid body about a fixed point. Canonical variables that allow one to simplify the analysis of homoclinic and heteroclinic orbits are introduced. Characteristic properties of perturbed pendulum-like motions of the body in inertial space are studied. A qualitative description of asymptotics of pendulum-like motions in a neighbourhood of split separatrices is given.
|
| first_indexed | 2025-11-27T12:01:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. И.Н. Гашененко
ВОЗМУЩЕННЫЕ МАЯТНИКОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Исследованы возмущенные маятниковые движения тяжелого твердого тела вокруг непо-
движной точки. Введены канонические переменные, упрощающие анализ гомоклинческих
и гетероклинических траекторий. Изучены характерные свойства возмущенных движе-
ний тела в неподвижном пространстве. Дано качественное описание асимптотически маят-
никовых движений в окрестности расщепленных сепаратрис.
Ключевые слова: твердое тело, расщепление сепаратрис, интеграл Мельникова, гетеро-
клинический цикл, возмущенное движение Пуансо.
Введение. Дифференциальные уравнения движения, отнесенные к глав-
ным осям инерции твердого тела в его неподвижной точке, имеют вид
dM
dt
= M× ω + µ(γ × r),
dγ
dt
= γ × ω, (1)
где ω – угловая скорость, M = Aω – кинетический момент вращающегося
тела, A = diag(A1, A2, A3) – тензор инерции, γ – орт вертикали, направлен-
ный вверх, r – орт радиус-вектора центра тяжести тела, µ – произведение
веса тела на расстояние центра тяжести от неподвижной точки.
Будем изучать движение тела, распределение масс которого удовлетворя-
ет условиям
A1 > A3 > A2, r1 ≥ 0, r2 ≥ 0, r3 = 0, µ ≪ 1. (2)
Если выполнены условия (2) и начальными значениями переменных выбраны
ω1 = ω2 = γ3 = 0, то тело вращается вокруг неподвижной горизонтальной
оси как физический маятник:
M1 = M2 = γ3 = 0, M3 = ±
√
2A3(h0 + µ) dnτ,
γ1 = r1[2 sn2τ − 1]∓ 2 r2 snτ cnτ, γ2 = r2[2 sn2τ − 1]± 2 r1 snτ cnτ,
τ = (t− t0)
√
(h0 + µ)/(2A3), k =
√
2µ/(h0 + µ),
(3)
где определяемая начальными условиями константа энергии h0 > µ.
Для изучения движений твердого тела в окрестности интегрируемого слу-
чая Эйлера успешно применяются канонические переменные Андуайе–Де-
при [1–3]. Будем использовать обозначения: G – модуль вектора кинетическо-
го момента M, L – проекция вектора M на подвижную ось Oz, H – проекция
вектора M на направленную вверх вертикаль; сопряженные с G,L,H пере-
менные g, l, h являются углами, изменяющимися по модулю 2π. Зависимость
34
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
фазовых переменных от переменных Андуайе–Депри выражается формула-
ми
M1 =
√
G2 − L2 sin l, M2 =
√
G2 − L2 cos l, M3 = L, (4)
γ1 = (sin q cos p+ sin p cos q cos g) sin l + cos q sin g cos l,
γ2 = (sin q cos p+ sin p cos q cos g) cos l − cos q sin g sin l,
γ3 = sin q sin p− cos p cos q cos g,
(5)
где sin p = L/G, sin q = H/G. Формулы обратного преобразования таковы:
G = |M|, g = arcsin
(
(M2γ1 −M1γ2)√
M2
1 +M2
2
|M|
|M× γ|
)
,
L = M3, l = arctg(M1/M2), H = M · γ.
(6)
Введем новые параметры α0, β0, γ0, характеризующие распределение масс:
α0 = 2 arctg
(√
A1(A3 −A2)√
A2(A1 −A3)
)
, β0 = 2 arctg
(
r2
r1
)
∈ [0, π],
γ0 = 2 arctg
(√
A3 −A2√
A1 −A3
)
, где π > α0 > γ0 > 0.
(7)
Тогда из (7) находим соотношения
A1 = A3
sin2
α0
2
sin2
γ0
2
, A2 = A3
cos2
α0
2
cos2
γ0
2
, r1 = cos
β0
2
, r2 = sin
β0
2
.
Если α0 = β0, то распределение масс твердого тела удовлетворяет усло-
виям Гесса (центр масс принадлежит нормали, проведенной из неподвиж-
ной точки к плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида). Если
γ0 = β0, то распределение масс тела удовлетворяет условиям Гриоли (центр
масс принадлежит нормали, проведенной из неподвижной точки к плоско-
сти кругового сечения эллипсоида инерции). Кроме того, из неравенства тре-
угольника A2+A3 > A1 находим дополнительное ограничение на параметры:
cos
α0
2
> cos2
γ0
2
.
С учетом (4), (5) гамильтониан механической системы примет вид
H∗ =
1
2
[
(G2 − L2)(A−1
1 sin2 l +A−1
2 cos2 l) +A−1
3 L2
]
+
+µ [sin q cos p sin (l + β0/2) + cos q sin p sin (l + β0/2) cos g+
+ cos q cos (l + β0/2) sin g] .
(8)
35
И.Н. Гашененко
Мы изменили порядок следования главных осей инерции в подвижном бази-
се Oxyz, потому введенные здесь канонические переменные G,L,H, g, l, h
отличаются от стандартных переменных, использованных в работах [1–5].
На траекториях вращений тела вокруг средней оси инерции канонические
переменные (6) вырождаются. Далее будет показано, что такие переменные
упрощают исследование возмущенных маятниковых движений.
При условиях (2) вращения (3), как известно, неустойчивы. В связи с этим
изучение характерных свойств возмущенных движений тела в неподвижном
пространстве представляет особый интерес и определяет основную цель дан-
ной работы.
1. Новые канонические переменные. С помощью производящей
функции
S2 = (2l + β0)J1 + (g − l − β0/2)J2 + hJ3
найдем соотношения
L =
∂S2
∂l
≡ 2J1 − J2, G =
∂S2
∂g
≡ J2, H =
∂S2
∂h
≡ J3,
θ1 =
∂S2
∂J1
≡ 2l + β0, θ2 =
∂S2
∂J2
≡ g − l − β0/2, θ3 =
∂S2
∂J3
≡ h,
(9)
которые задают каноническое преобразование к переменным (Ji, θi), i = 1, 3.
Тогда из (9) следуют выражения
l =
θ1 − β0
2
, g =
1
2
θ1 + θ2, h = θ3, J1 =
G+ L
2
, J2 = G, J3 = H.
Введем безразмерные переменные J ′
i = Ji
√
(A1 −A2)/(A1A2), i = 1, 3, и вре-
мя t′ = t
√
(A1 −A2)/(A1A2). Для сокращения записи штрихи у безразмер-
ных переменных опустим.
В новых переменных гамильтониан (8) преобразуем к виду
H̃ =J1(J2 − J1) [cos (θ1 − β0)− cosα0] +
1
2
κJ2
2+
+µ [J1 sin (θ1 + θ2) + (J2 − J1) sin θ2]
√
J2
2 − J2
3
J2
2
+
+2µ
J3
√
J1(J2 − J1)
J2
2
sin
θ1
2
,
(10)
где
κ =
A1A2
A3(A1 −A2)
≡ sin2 α0
2 (cos γ0 − cosα0)
> 0.
На уровне J3 = 0 гамильтониан (10) примет вид
H =
κ
2
J2
2 + J1(J2 − J1) [cos (θ1 − β0)− cosα0] +
+
µ
J2
[J1 sin (θ1 + θ2) + (J2 − J1) sin θ2] ,
(11)
36
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
Далее будем считать, что угол θ2 изменяется по модулю 2π, а изменение
переменных J1,2 ограничено неравенствами J2 > 0, J2 ≥ J1 ≥ 0.
На уровне J3 = 0 дифференциальными уравнениями движения твердого
тела в новых координатах являются уравнения Гамильтона
θ̇i =
∂H
∂Ji
, J̇i = −∂H
∂θi
, i = 1, 2,
запишем их в явном виде:
θ̇1 = (J2 − 2J1) [cos (θ1 − β0)− cosα0] +
µ
J2
[sin (θ1 + θ2)− sin θ2] ,
J̇1 = J1(J2 − J1) sin (θ1 − β0)− µ
J1
J2
cos (θ1 + θ2),
θ̇2 = κJ2 + J1 [cos (θ1 − β0)− cosα0]− µ
J1
J2
2
[sin (θ1 + θ2)− sin θ2] ,
J̇2 = − µ
J2
[J1 cos (θ1 + θ2) + (J2 − J1) cos θ2] .
(12)
Если известно решение системы (12), то циклическую координату θ3 най-
дем квадратурой из уравнения
θ̇3 = 2µ
√
J1(J2 − J1)
J2
2
sin
θ1
2
. (13)
2. Частные решения гамильтоновой системы (12). Для малых
значений параметра µ модуль кинетического момента |M| = J2(t) будет
оставаться в малой окрестности своего начального значения J0
2 = J2(t0).
Рассмотрим точные решения системы уравнений (12), которые соответству-
ют уровням энергии, близким к h0 = κJ2
2 (t0)/2 > µ.
а)Решения невозмущенной системы. При µ = 0 имеем невозмущенную
систему дифференциальных уравнений
θ̇1 = (J2 − 2J1) [cos (θ1 − β0)− cosα0] ,
θ̇2 = κJ2 + J1 [cos (θ1 − β0)− cosα0] ,
J̇1 = J1(J2 − J1) sin (θ1 − β0), J̇2 = 0.
(14)
Эта система интегрируема – она описывает движение твердого тела в инте-
грируемом случае Эйлера. Общее решение системы (14) может быть выпи-
сано через тэта–функции в комбинации с элементарными функциями време-
ни. Используемые далее невозмущенные сепаратрисы соответствуют двояко-
асимптотическим решениям системы (14):
1) θ1 = β0 − α0, J1 = J0
2/
(
eu(t−t0)+v + 1
)
,
θ2 = κJ0
2 (t− t0) + θ02, J2 = J0
2 ;
(15)
37
И.Н. Гашененко
2) θ1 = α0 + β0, J1 = J0
2/
(
e−u(t−t0)+v + 1
)
,
θ2 = κJ0
2 (t− t0) + θ02, J2 = J0
2 ;
(16)
3) θ1 = β0 − α0 + 2π, J1 = J0
2 /
(
eu(t−t0)+v + 1
)
,
θ2 = κJ0
2 (t− t0) + θ02, J2 = J0
2 ;
(17)
4) θ1 = α0 + β0 + 2π, J1 = J0
2/
(
e−u(t−t0)+v + 1
)
,
θ2 = κJ0
2 (t− t0) + θ02, J2 = J0
2 ,
(18)
где θ0i , J
0
i – начальные значения переменных при t = t0, постоянные пара-
метры обозначены через
u = J0
2 sinα0 > 0, v = ln
(J0
2 − J0
1 )
J0
1
∈ (−∞,∞).
В предельных случаях из соотношений (15)–(18) следуют равенства:
1) θ1 = β0 − α0, J1 = 0; 1∗) θ1 = β0 − α0, J1 = J2;
2) θ1 = β0 + α0, J1 = 0; 2∗) θ1 = β0 + α0, J1 = J2;
3) θ1 = β0 − α0 + 2π, J1 = 0; 3∗) θ1 = β0 − α0 + 2π, J1 = J2;
4) θ1 = β0 + α0 + 2π, J1 = 0; 4∗) θ1 = β0 + α0 + 2π, J1 = J2.
На рис. 1 для значений A1 = 2, A2 = 1, A3 = 1.5 изображены фазовые
траектории невозмущенной системы уравнений (14) на сфере |M|2 = const и
на плоскости R
2(θ1, J1/J2). Сепаратриса, состоящая из двух пересекающихся
окружностей на рис. 1, a, преобразуется в вертикальные отрезки на рис. 1, б.
J
q1
2J1/
а б
Рис. 1. Фазовые траектории случая Эйлера:
а) на сфере |M|2 = const, б) на плоскости R
2(θ1, J1/J2).
38
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
б)Физический маятник. Маятниковые вращения твердого тела выража-
ются в эллиптических функциях времени:
1) J1 = 0, J2 =
√
2 (h0 + µ)/κ dnτ, sin θ2 = 2sn2τ − 1,
2) J1 = J2, J2 =
√
2 (h0 + µ)/κ dnτ, sin (θ1 + θ2) = 2sn2τ − 1,
(19)
где τ = (t− t0)
√
(h0 + µ)κ/2, k =
√
2µ/(h0 + µ).
Из соотношений (4),(9) следует, что значение угла θ1 не определено для
J1 = 0 и J1 = J2. Это вырождение не существенно, так как положение и
скорость маятника, соответствующего приведенным равенствам, однозначно
определяются меньшим числом фазовых переменных.
Если J1 = o(µ), то с помощью интеграла (11) исключим J2 из первого
и третьего уравнений (12). Далее заменой переменных y = ctg(θ1/2), τ = θ2
получим дифференциальное уравнение Риккати
y′ + a0y
2 + a1(τ)y + a2(τ) = 0, (20)
a0 =
1
2κ
(cos β0 − cosα0), a1(τ) =
1
κ
sin β0 +
µ cos τ
2 (h− µ sin τ)
,
a2(τ) = − 1
2κ
(cosα0 + cos β0)−
µ sin τ
2 (h− µ sin τ)
.
Если J2 − J1 = o(µ), то аналогичное (20) уравнение Риккати получим в ре-
зультате замены y = ctg(θ1/2), τ = θ1 + θ2. Найденная зависимость y(τ)
позволяет изучить θ1(θ2) в сколь угодно малой окрестности маятниковых
движений. Аналитическое исследование уравнений в вариациях, выписан-
ных для маятниковых движений тела, и анализ простейших случаев их
интегрируемости представлены в работе [6].
Малые возмущения точных решений, рассмотренных в случаях а),б), при-
водят к появлению семейств асимптотических решений на уровнях энергии,
близких к h0 = κJ2
2 (t0)/2 > µ. Приведем формулы, в первом приближении
описывающие асимптотические решения уравнений (12).
в)Решения, близкие к маятниковым. Получим приближенные формулы
для малых значений µ. Обозначим θ∗2(t) = κJ0
2 (t− t0) + θ02. Периодическими
решениями системы (12) являются
T̃1 : θ1 = β0 + εα0 + µ(d11 sin θ
∗
2 + d12 cos θ
∗
2), J1 = o (µ),
θ2 = θ∗2 +
µ
κ(J0
2 )
2
cos θ∗2, J2 = J0
2 − µ
κJ0
2
sin θ∗2;
T̃2 : θ1 = β0 + εα0 + µ(d21 sin θ
∗
2 + d22 cos θ
∗
2),
J1 = J2 = J0
2 − µ
κJ0
2
sin (β0 + εα0 + θ∗2),
θ2 = θ∗2 − µ(d21 sin θ
∗
2 + d22 cos θ
∗
2) +
µ
κ(J0
2 )
2
cos θ∗2,
(21)
39
И.Н. Гашененко
где ε = ±1 и коэффициенты dij имеют вид
d11 =
κ sin (β0 + εα0) + ε sinα0[cos (β0 + εα0)− 1]
(J0
2 )
2(κ2 + sin2 α0)
,
d12 =
κ[1− cos (β0 + εα0)] + ε sinα0 sin (β0 + εα0)
(J0
2 )
2(κ2 + sin2 α0)
,
d21 =
κ sin (β0 + εα0)− ε sinα0[cos (β0 + εα0)− 1]
(J0
2 )
2(κ2 + sin2 α0)
,
d22 =
κ[1− cos (β0 + εα0)]− ε sinα0 sin (β0 + εα0)
(J0
2 )
2(κ2 + sin2 α0)
.
Решения системы (12), соответствующие асимптотически маятниковым
движениям, неограниченно приближаются к предельным циклам T̃1, T̃2, при
этом переменная θ1 колеблется в интервале [β0+εα0−△1, β0+εα0+△1], где
△1 = µ
√
d211 + d212 ≡ µ
√
d221 + d222.
В результате вычислений находим
△1 =
µ sinα0 sin 1
2 |β0 + εα0|√
sin2 α0 + 16 sin2 1
2(α0 + γ0) sin
2 1
2(α0 − γ0) h0
=
=
µ
∣∣∣r1A1
√
A2(A3 −A2) + εr2A2
√
A1(A1 −A3)
∣∣∣
√
A3(A1 −A2)(4A1A3 + 4A2A3 − 3A1A2 − 4A2
3) h0
.
(22)
Те же расссуждения можно применить и к предельным циклам, полученным
из (21) заменой β0 + εα0 на β0 + εα0 + 2π.
г)Возмущенные сепаратрисы. В качестве примера рассмотрим один из
возможных случаев. Для этого положим в окрестности сепаратрисы (16)
θ1 = α0 + β0 + δθ1, J1 = J∗
1 (t) + δJ1, θ2 = θ∗2(t) + δθ2, J2 = J0
2 + δJ2.
где функции J∗
1 (t), θ
∗
2(t) определены формулами (16). Линеаризованные
уравнения возмущенного движения имеют вид
δθ̇1 = (2J∗
1 − J0
2 ) sinα0 δθ1 +
µ
J0
2
[sin (α0 + β0 + θ∗2)− sin θ∗2] ,
δJ̇1 = (J0
2 − 2J∗
1 ) sinα0 δJ1 + J∗
1 (J
0
2 − J∗
1 ) cosα0 δθ1+
+ J∗
1 sinα0 δJ2 − µ
J∗
1
J0
2
cos (α0 + β0 + θ∗2),
δθ̇2 = κ δJ2 − J∗
1 sinα0 δθ1 + µ
J∗
1
(J0
2 )
2
[sin θ∗2 − sin (α0 + β0 + θ∗2)] ,
δJ̇2 = −µ cos θ∗2 + µ
J∗
1
J0
2
[cos θ∗2 − cos (α0 + β0 + θ∗2)] .
(23)
40
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
Уравнения (23) допускают первый интеграл, зависящий от δθ1, δJ2 :
J = J∗
1 (J
∗
1 −J0
2 ) sinα0 δθ1+κJ0
2 δJ2+µ sin θ∗2+µ
J∗
1
J0
2
[sin (α0 + β0 + θ∗2)− sin θ∗2] .
Интегрирование дифференциальных уравнений (23) сводится к квадратурам.
В частности, из первого уравнения находим малое смещение величины θ1,
вычисляемой вдоль возмущенной сепаратрисы, от исходного (невозмущен-
ного) значения θ01 = α0 + β0:
δθ1(t) =
J0
1 (J
0
2 − J0
1 )
J∗
1 (J
0
2 − J∗
1 )
δθ1(t0) +
2µ sin 1
2(α0 + β0)
J0
2J
∗
1 (J
0
2 − J∗
1 )
×
×
∫ t
t0
J∗
1 (J
0
2 − J∗
1 ) cos (θ
∗
2 +
1
2
(α0 + β0)) dt =
=
(eu(t−t0) + ev)2
eu(t−t0)(ev + 1)2
δθ1(t0) + 2µ sin
1
2
(α0 + β0)
(eu(t−t0) + ev)2
J0
2 e
u(t−t0)
×
×
∫ t−t0
0
euτ
(euτ + ev)2
cos (κJ0
2 τ +
1
2
(α0 + β0) + θ02) dτ.
(24)
3. Интеграл Мельникова. В соответствии с обозначениями [2, 3] за-
пишем функцию Гамильтона (11) в виде суммы H = H0 + µH1. Пересечения
родственных ветвей расщепленной сепаратрисы системы (12) исследуем с по-
мощью интеграла Мельникова [7]
IM (θ̃) =
∫
∞
−∞
{
H0,
H1
κJ0
2
}
(J∗
1 , θ
0
1, J
0
2 , θ
∗
2 + θ̃)d t,
{
H0,
H1
κJ0
2
}
(J∗
1 , θ
0
1, J
0
2 , θ
∗
2 + θ̃) =
1
κJ0
2
[
∂H0
∂θ1
∂H1
∂J1
− ∂H0
∂J1
∂H1
∂θ1
]∣∣∣∣
J∗
1
,θ0
1
,J0
2
,θ∗
2
+θ̃
,
вычисленного вдоль невозмущенной орбиты (16), соединяющей устойчивый и
неустойчивый предельные циклы. Функции J∗
1 (t), θ
0
1 , J
0
2 , θ
∗
2(t) соответствуют
двоякоасимптотическому решению (16). В результате преобразований найдем
IM (θ̃) = σ0
∫
∞
−∞
euτ−v
(euτ−v + 1)2
cos (κJ0
2 τ +
1
2
(α0 + β0) + θ̃)dτ,
где σ0 = 2κ−1 sinα0 sin
1
2 (α0 + β0) – ненулевой постоянный множитель. Инте-
грал IM (θ̃) является расходящимся несобственным интегралом, потому нас
будет интересовать только оценка его главного значения (без учета быстро
осциллирующей части). Линейной подстановкой τ = (2πx+ v)/u, с учетом
обозначений
ν =
πκ
sinα0
> 0, δ =
1
2
(α0 + β0) +
κ v
sinα0
,
41
И.Н. Гашененко
главное значение IM (θ̃) приводится к несобственному интегралу Лежандра,
который просто вычисляется:
ÎM (θ̃) =
σ0
u
cos (δ + θ̃)
[
1− 4ν
∫
∞
0
sin (2νx)
e2πx + 1
dx
]
=
=
σ0ν
u
cos (δ + θ̃)
sh ν
=
2π
J0
2
sin 1
2(α0 + β0)
sinα0
cos (δ + θ̃)
sh ν
.
(25)
Таким образом, при любых значениях параметров, удовлетворяющих услови-
ям (2), интеграл ÎM (θ̃), рассматриваемый как функция действительного ар-
гумента θ̃, имеет простые нули только в точках θ̃ = ±kπ/2 − δ, k = 1, 3, ... .
Эти значения определяют два гетероклинических решения гамильтоновой си-
стемы (12), асимптотически стремящиеся (при t → ±∞) к двум различным
периодическим решениям T̃1, T̃2. Трансверсальное пересечение возмущенных
сепаратрис означает, что для твердого тела, удовлетворяющего условиям (2),
хаотические движения всегда существуют (по крайней мере, вблизи сепара-
трис), если только параметр µ 6= 0 достаточно мал по сравнению с константой
энергии h0. Следуя предложенной А. Пуанкаре методике, можно доказать,
Рис. 2. Гетероклинический цикл
на плоскости R
2(θ1, J1/J2).
что для произвольных фиксированных
значений параметров, удовлетворяющих
(2), и начальных условий, удовлетворя-
ющих J3 = 0, h0 ≫ µ > 0, уравне-
ния Гамильтона (12) допускают счетное
число гетероклинических решений. Эти
решения соответствуют двоякоасимптоти-
ческим маятниковым движениям твер-
дого тела. На рис. 2 схематически по-
казан гетероклинический цикл системы
(12), он составлен из гиперболических пе-
риодических решений и гетероклиниче-
ских решений, принадлежащих пересече-
нию возмущенных сепаратрис.
Несобственный интеграл ÎM (θ̃) является частным случаем интеграла,
вычисленного С.Л. Зиглиным в работе [3]. Для проверки этого утвержде-
ния можно воспользоваться упрощенными формулами, полученными в [8,
стр. 367]. Проведенные здесь вычисления подтверждают известный резуль-
тат В.В. Козлова [2, с. 104] о расщеплении сепаратрис несимметричного тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки в слабом поле тяготения.
4. Асимптотически маятниковые движения. Динамическая систе-
ма (1) при ограничениях (2) имеет два гиперболических периодических реше-
ния T1 и T2, которые представлены двумя замкнутыми непересекающимися
кривыми в пространстве R
6(M,γ). Через каждую из этих кривых проходят
две асимптотические поверхности S±
1 , S
±
2 . При µ = 0 эти поверхности попар-
но сливаются, т. е. S+
1 = S−
2 , S
+
2 = S−
1 . Решение Гесса принадлежит сдвоенной
42
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
сепаратрисе S+
1 = S−
2 , которая, как известно из [2, § 4.6], не расщепляется
под действием возмущения (при µ 6= 0). Для описания асимптотических
движений твердого тела в случае h0 > µ важны следующие свойства:
• не существует инвариантных торов, которые могли бы изолировать одну
из сепаратрис S−
1 , S
−
2 , S
+
1 , S
+
2 ;
• при заданных параметрах динамической системы (1) на любом уровне
энергии h0 > µ существует счетное число гетероклинических решений
из S−
1 ∩S+
2 (S−
2 ∩S+
1 ), предельными циклами которых являются T1, T2;
• любые две траектории на сепаратрисе S−
1 (S+
2 ) разделены гетероклини-
ческой орбитой, соседние траектории экспоненциально расходятся с те-
чением времени;
• различные типы гомоклинических и гетероклинических траекторий ха-
рактеризуются конечной двоичной последовательностью z(θ̃), кодиру-
ющей маршрут движения вдоль невозмущенных сепаратрис (15)–(18).
а б в г д е ж
Рис. 3. Асимптотические поверхности S−
1 , S+
2 .
Проекции фазовых траекторий возмущенной системы (12) на R
2(θ1, J1/J2)
показаны на рис. 3. Вычисления производились для следующих значений па-
раметров: µ = 0.01, β0 = γ0, θ01 = α0 + β0, J0
2 = 2/
√
A3κ, θ02 ∈ (0, 2π); зна-
чения α0, γ0 см. в табл. 1. В нижней части рис. 3 изображены поверхности
S−
1 , образованные решениями системы (12), которые при t → −∞ асимп-
тотически приближаются к периодическому решению T̃1. В верхней части
43
И.Н. Гашененко
рис. 3 показаны поверхности S+
2 , образованные решениями системы (12), ко-
торые при t → +∞ асимптотически стремятся к периодическому решению
T̃2. Множество S0 = (S−
1 ∩ S+
2 ) ∪ (S−
2 ∩ S+
1 ) состоит из гетероклинических
решений системы (12). Гомоклинические решения системы (12) принадлежат
множеству S0 = (S−
1 ∩ S+
1 ) ∪ (S−
2 ∩ S+
2 ).
Таблица 1. Значения α0, γ0 для рис. 3.
а б в г д е ж
α0 2.91891 2.23654 1.23096 1.61146 1.97724 0.79020 0.56207
γ0 2.46192 1.95519 0.92730 1.34948 1.77215 0.57351 0.40272
Рис. 4. Последовательность z(θ̃k) для траекторий на S−
1 .
Рис. 4 содержит информацию о допустимых маршрутах движения семей-
ства траекторий на S−
1 вдоль невозмущенных сепаратрис (15)–(18). Точками
θ̃k = k/10, где k = 0, 62, зададим разбиение интервала [0, 2π), в котором из-
меняется аргумент θ̃ функции Мельникова (25). Рассмотрим множество ре-
шений системы (12), отвечающих начальным условиям θ01 = α0 + β0, J0
1 ≈ 0,
θ02 = θ̃k, J0
2 = const из малой окрестности периодического решения T̃1. Вбли-
зи решения T̃2, в соответствии с (24), траектория покидает окрестность се-
паратрисы (16) и далее движется вдоль периметра левого либо правого пря-
моугольника на рис. 2. Пусть zi(θ̃k) = 0, если траектория смещается влево
от входящей сепаратрисы, и zi(θ̃k) = 1, если траектория смещается вправо
от входящей сепаратрисы на рис. 2. Индекс i нумерует последовательность
гиперболических периодических решений, вблизи которых проходит иссле-
дуемое решение системы (12). Вертикальные столбцы на рис. 4 составлены
из первых членов последовательностей z(θ̃k), где белые и черные клетки со-
ответствует нулям и единицам zi(θ̃k), i ∈ Z. Вычисления проводились для
i = 1, 15 и следующих значений параметров: A1 = 2, A2 = 1.0, A3 = 1.5,
r = (
√
2/2,
√
2/2, 0), µ = 0.001, h0 = 1.3342. Нижняя строка рис. 4 соответ-
ствует i = 1, верхняя – i = 15. Белые и черные клетки в нижней строке рис. 4
отвечают различным знакам функции Мельникова (25). Правый рис. 4 уточ-
няет часть левого рисунка: точками θ̃k = 3π/40 + k/100, где k = 0, 31, задано
разбиение интервала [3π/40, 7π/40]. Многократное увеличение шага разбие-
44
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
ния не влияет на качественные свойства исследуемых траекторий.
5. Движение тела в неподвижном базисе. Изучим качественные
свойства движения тела в неподвижном базисе. При нулевой постоянной ин-
теграла площадей (J3 = 0) вектор кинетического момента M во все время
движения находится в горизонтальной плоскости Oηζ. Направление вектора
M в плоскости Oηζ и его модуль |M| характеризуют переменные θ3, J2, сле-
довательно, временна́я динамика кинетического момента описывается функ-
циями θ3(t), J2(t). Известно, что маятниковые вращения, соответствующие
решениям (19), имеют дополнительное ограничение θ3 = const, т.е. сохраня-
ется направление M в неподвижном базисе и изменяется лишь модуль |M|.
Для возмущенных сепаратрис, описываемых линеаризованными уравнения-
ми вида (23), находим приращение угла θ3 при неограниченном возрастании
времени:
1) θ01 = α0 − β0, △(1)θ3 ≈
2µπ
(J0
2 )
2
sin 1
2(β0 − α0)
sinα0
≈ µπκ
h0
sin 1
2(β0 − α0)
sinα0
,
2) θ01 = α0 + β0, △(2)θ3 ≈
2µπ
(J0
2 )
2
sin 1
2(β0 + α0)
sinα0
≈ µπκ
h0
sin 1
2(β0 + α0)
sinα0
,
3) θ01 = α0 − β0 + 2π, △(3)θ3 = −△(1)θ3,
4) θ01 = α0 + β0 + 2π, △(4)θ3 = −△(2)θ3.
(26)
В частности, для случая Гесса (α0 = β0) в работе [9] получено выражение
△(2)θ3 ≈
2µπ
(J0
2 )
2
≈ µπA1A2
A3(A1 −A2)h0
.
Заметим, что эта величина может быть достаточно большой, если эллипсоид
инерции мало отличается от сферы.
Для случая Гриоли (γ0 = β0) из (26) с учетом (7) получим
△(1)θ3 ≈ − µπ
4h0
sinα0
sin 1
2(α0 + γ0)
∈
(
µπ
h0
(1−
√
2)√
2
, 0
)
,
△(2)θ3 ≈
µπ
4h0
sinα0
sin 1
2(α0 − γ0)
∈ (0,∞) .
В пространстве параметров твердого тела выделим подмножества с раз-
личным поведением угла θ3 – угла прецессии вектора кинетического момента
вокруг вертикали – в окрестности возмущенных сепаратрис:
i) π = β0 > α0 > 0, △(2)θ3 = △(1)θ3 > 0 > △(3)θ3 = △(4)θ3;
ii) π > β0 > α0 > 0, △(2)θ3 > △(1)θ3 > 0 > △(3)θ3 > △(4)θ3;
iii) π > β0 = α0 > 0, △(2)θ3 > △(1)θ3 = 0 = △(3)θ3 > △(4)θ3;
iv) π > α0 > β0 > 0, △(2)θ3 > △(3)θ3 > 0 > △(1)θ3 > △(4)θ3;
v) π > α0 > β0 = 0, △(2)θ3 = △(3)θ3 > 0 > △(1)θ3 = △(4)θ3.
(27)
45
И.Н. Гашененко
Таким образом, при малых значениях µ траектории возмущенного движения
могут многократно проходить в окрестности сепаратрис (15)–(18), при этом
всякий раз угол θ3 получает приращение △(i)θ3 в соответствии с приведен-
ными формулами (26). На остальных участках движения (вблизи предельных
значений J1 = 0, J2 − J1 = 0) имеем △θ3 = o (µ).
Отличительной особенностью гомоклинических и гетероклинических ре-
шений является существование конечных пределов
lim
t→−∞
θ3(t) = θ−3 , lim
t→+∞
θ3(t) = θ+3 .
В общем случае траектории двоякоасимптотических решений являются ге-
тероклиническими в неподвижном базисе, но можно подобрать параметры
динамической системы так, чтобы разность (θ+3 − θ−3 ) 6= 0 была произволь-
ной величиной, например, соизмеримой или кратной 2π.
В качестве геометрической интерпретации движения твердого тела рас-
смотрим кинематическое представление движения по Пуансо с помощью эл-
липсоида инерции. В случае µ = 0 построим для неподвижной точки O
эллипсоид инерции тела, уравнение которого имеет вид
A1x
2 +A2y
2 +A3z
2 = 1. (28)
Обозначим через ρ величину радиус-вектора этого эллипсоида, направленно-
го по мгновенной оси вращения, и проведем через конец указанного радиус-
вектора касательную плоскость Π. Тогда эллипсоид инерции (28) во все время
движения катится без скольжения по одной из своих касательных плоскостей,
эта плоскость Π перпендикулярна вектору кинетического момента M и оста-
ется неподвижной в пространстве. Угловая скорость ω движущегося тела
направлена вдоль радиус-вектора точки касания, а по величине пропорци-
ональна ρ. При движении точка касания описывает на эллипсоиде инерции
кривую, называемую полодией; соответствующую ей кривую на неподвиж-
ной в пространстве плоскости Л. Пуансо назвал герполодией. Геометрические
свойства полодий и герполодий существенно зависят от величин моментов
инерции и начальных условий движения.
Полодия является замкнутой кривой, описанной вокруг большой или ма-
лой оси эллипсоида инерции. Граничная кривая, разделяющая два семейства
полодий, состоит из двух пересекающихся эллипсов, проходящих через сред-
нюю ось эллипсоида инерции, и соответствует случаю |M|2 = 2A3h0. Эта
кривая называется разделяющей полодией или сепаратрисой. Герполодия, от-
вечающая полодии-сепаратрисе, является симметричной спиралью на непо-
движной в пространстве плоскости Π, бесконечное число раз обвивающей
точку Q – точку пересечения вектора кинетического момента M с плоско-
стью Π. Общая длина этой спирали конечна и равна длине соответствующей
дуги полодии.
Для µ 6= 0 составим уравнения возмущенной герполодии Пуансо. Для
этого найдем компоненты вектора угловой скорости ω = ωξi1 + ωηi2 + ωζi3 в
неподвижном ортонормированном базисе (i1, i2, i3).
46
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
–0.2
–0.1
0
0.1
–0.1
0.1
–0.1 0.1 0.2
а) α(t) для θ02 = 1.02 б) (ωζ(t), ωξ(t)) для θ02 = 1.02
–0.2
–0.1
0
0.1
–0.1
0.1
–0.1 0.1
в) α(t) для θ02 = 1.83 г) (ωζ(t), ωξ(t)) для θ02 = 1.83
Рис. 5. Возмущенные герполодии в окрестности маятниковых
движений.
Полагая ωη = ωρ cosα, ωζ = ωρ sinα, запишем кинематические уравнения
П.В. Харламова [10], определяющие неподвижный годограф угловой скоро-
сти:
ωξ ≡ ω · γ, ω2
ρ ≡ |ω|2 − (ω · γ)2, ω2
ρ
dα
dt
= (γ × ω) · dω
dt
. (29)
Для маятниковых вращений (3) положим ωξ = ωζ = 0. При малом воз-
мущении маятниковых вращений конец вектора угловой скорости в непо-
движном пространстве описывает кривую (ωξ(t), ωη(t), ωζ(t)), ее проекция на
плоскость R
2(ωζ , ωξ) – спираль, обвивающая начало координат. Вблизи се-
паратрис (15)–(18) угол α(t) получает ненулевое приращение, определяемое
формулами (26). Действительно, в рассматриваемом случае J3 = 0 углы θ3, α
связаны соотношением
θ3(t) = α(t) − arctg
(
M · (ω × γ)
M · ω
)
. (30)
На рис. 5 для двух значений θ02 показаны графики функции α(t) и кри-
вые (ωζ(t), ωξ(t)). Эти вычисления были проведены для следующих зна-
чений параметров: A = (2, 1.5, 1.8), r = (0, 1, 0), µ = 0.01, h0 = 1.1111.
В этом случае выполнены условия (27),i): △(1)θ3 = △(2)θ3 = −△(3)θ3 =
= −△(4)θ3 ≈ 0.057715. Движение вдоль сепаратрис (15)–(18), как следует
из результатов численного интегрирования системы (12), может быть описа-
но упорядоченной последовательностью вершин гетероклинического цикла
47
И.Н. Гашененко
на рис. 2:
θ02 = 1.02 : {2 − 2∗ − 1∗ − 1− 4− 4∗ − 3∗ − 3− 4− 4∗ − 1∗ − 1};
θ02 = 1.83 : {2 − 2∗ − 3∗ − 3− 4− 4∗ − 1∗ − 1− 2− 2∗ − 1∗ − 1}.
Изменение угла α(t) зависит от маршрута движения вдоль невозмущенных
сепаратрис (см. рис. 5,а,в). На рис. 5,б,г показаны кривые (ωζ(t), ωξ(t)), со-
ответствующие различным маршрутам движения от вершины 2 к вершине
4∗ гетероклинического цикла.
1. Deprit A. Free rotation of a rigid body studied in the phase plane// Amer. J. Phys. –
1967. – 35, № 5. – P. 424–428.
2. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. – М.: Изд–во
МГУ, 1980. – 232 с.
3. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование инте-
грала в динамике твердого тела// Тр. Моск. мат. о-ва. – 1980. – 41. – С. 287–303.
4. Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.–M. Chaotic motions and transition to stochasticity
in the classical problem of the heavy rigid body with a fixed point// Nuovo Cimento. –
1981. – 61 B, № 1. – P. 1–20.
5. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, инте-
грируемость, хаос – М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2005. – 576 с.
6. Докшевич А.И. Об уравнениях в вариациях, соответствующих вращению тяжелого
твердого тела, имеющего неподвижную точку, вокруг горизонтальной оси// Матем.
физика. – 1968. – Вып. 5. – С. 68–73.
7. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущени-
ях// Тр. Моск. мат. о-ва. – 1963. – 12. – С. 3–52.
8. Довбыш С.А. Пересечение асимптотических поверхностей возмущенной задачи Эйле-
ра–Пуансо// Прикл. матем. и механика. – 1987. – 51, № 3. – С. 363–370.
9. Ковалев А.М., Гашененко И.Н., Кириченко В.В. О хаотических движениях и расщеп-
лении сепаратрис возмущенного движения Гесса// Механика твердого тела. – 2005.
– Вып. 35. – С. 19–30.
10. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд–во Новосибир.
ун-та, 1965. – 221 с.
I.N.Gashenenko
Perturbed pendulum-like motions of a rigid body about a fixed point
This paper is devoted to a detailed investigation of the perturbed pendulum-like motions of a
heavy rigid body about a fixed point. Canonical variables that allow one to simplify the analysis
of homoclinic and heteroclinic orbits are introduced. Characteristic properties of perturbed
pendulum-like motions of the body in inertial space are studied. A qualitative description of
asymptotics of pendulum-like motions in a neighbourhood of split separatrices is given.
Keywords: rigid body, separatrix splitting, Melnikov’s integral, heteroclinic cycle, perturbed
Poinsot motion.
48
Возмущенные маятниковые движения твердого тела
I.М.Гашененко
Збуренi маятниковi рухи твердого тiла навколо нерухомої точки
Дослiджено збуренi маятниковi рухи важкого твердого тiла навколо нерухомої точки. Вве-
дено канонiчнi змiннi, що спрощують аналiз гомоклiнiчних i гетероклiнiчних траєкторiй.
Вивчено характернi властивостi збурених рухiв тiла в нерухомому просторi. Дано якiсний
опис асимптотично маятникових рухiв в околi розщеплених сепаратрис.
Ключовi слова: тверде тiло, розщеплення сепаратрис, iнтеграл Мельникова, гетероклi-
нiчний цикл, збурений рух Пуансо.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 12.07.10
49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28042 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T12:01:15Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гашененко, И.Н. 2011-10-26T19:23:33Z 2011-10-26T19:23:33Z 2010 Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 34-49. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28042 531.38 Исследованы возмущенные маятниковые движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Введены канонические переменные, упрощающие анализ гомоклинческих и гетероклинических траекторий. Изучены характерные свойства возмущенных движений тела в неподвижном пространстве. Дано качественное описание асимптотически маятниковых движений в окрестности расщепленных сепаратрис. Дослiджено збуренi маятниковi рухи важкого твердого тiла навколо нерухомої точки. Введено канонiчнi змiннi, що спрощують аналiз гомоклiнiчних i гетероклiнiчних траєкторiй. Вивчено характернi властивостi збурених рухiв тiла в нерухомому просторi. Дано якiсний опис асимптотично маятникових рухiв в околi розщеплених сепаратрис. This paper is devoted to a detailed investigation of the perturbed pendulum-like motions of a heavy rigid body about a fixed point. Canonical variables that allow one to simplify the analysis of homoclinic and heteroclinic orbits are introduced. Characteristic properties of perturbed pendulum-like motions of the body in inertial space are studied. A qualitative description of asymptotics of pendulum-like motions in a neighbourhood of split separatrices is given. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки Збуренi маятниковi рухи твердого тiла навколо нерухомої точки Perturbed pendulum-like motions of a rigid body about a fixed point Article published earlier |
| spellingShingle | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки Гашененко, И.Н. |
| title | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_alt | Збуренi маятниковi рухи твердого тiла навколо нерухомої точки Perturbed pendulum-like motions of a rigid body about a fixed point |
| title_full | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_fullStr | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_full_unstemmed | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_short | Возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_sort | возмущенные маятниковые движения твердого тела вокруг неподвижной точки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28042 |
| work_keys_str_mv | AT gašenenkoin vozmuŝennyemaâtnikovyedviženiâtverdogotelavokrugnepodvižnoitočki AT gašenenkoin zburenimaâtnikoviruhitverdogotilanavkoloneruhomoítočki AT gašenenkoin perturbedpendulumlikemotionsofarigidbodyaboutafixedpoint |