Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром
Рассмотрен случай, когда траектория точки O является пространственной сферической кривой. На траектории этой точки опорная система координат определена естественным базисом. Получены уравнения годографов тел в опорном базисе. Розглянуто випадок, коли траєкторiя точки O є просторовою сферичною кривою...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28048 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 110-120. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860007606112747520 |
|---|---|
| author | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| author_facet | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| citation_txt | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 110-120. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрен случай, когда траектория точки O является пространственной сферической кривой. На траектории этой точки опорная система координат определена естественным базисом. Получены уравнения годографов тел в опорном базисе.
Розглянуто випадок, коли траєкторiя точки O є просторовою сферичною кривою. На траєкторiї цiєї точки опорну систему координат визначено природним базисом. Отримано рiвняння годографiв тiл в опорному базисi.
The case when the hinge trajectory is a spatial spherical curve is considered in this paper. The reference system of coordinates is defined by the natural basis on the hinge trajectory. The equations of axoids are obtained with respect to the reference frame.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:39:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
УРАВНЕНИЯ ГОДОГРАФОВ ТЕЛ В ОПОРНОМ БАЗИСЕ
ДЛЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ
ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА,
СОЕДИНЕННЫХ НЕГОЛОНОМНЫМ ШАРНИРОМ
Рассмотрен случай, когда траектория точки O является пространственной сферической
кривой. На траектории этой точки опорная система координат определена естественным
базисом. Получены уравнения годографов тел в опорном базисе.
Ключевые слова: система гироскопов Лагранжа, годограф, неголономный шарнир, опор-
ный базис.
В работе [1] дана постановка задачи о движении по инерции системы двух
гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром [2], получено
точное решение задачи при нулевом значении постоянной интеграла, выра-
жающего сохранение момента количества движения системы. В статье [3]
продолжено изучение данного случая при дополнительном ограничении —
одно из тел закреплено в центре масс. Выделен класс движений, для кото-
рых траектория точки O — плоская кривая. С помощью этой кривой введен
неподвижный базис и получены уравнения подвижных и неподвижных аксо-
идов для каждого из тел.
Исходные соотношения. В работе [3] указано решение задачи при ну-
левом значении момента количества движения системы и дополнительном
ограничении — одно из тел системы закреплено в центре масс.
Рассмотрим случай, когда тела S и S0 соединены неголономным шарни-
ром, а входящий в уравнения движения момент упругих сил отсутствует
Π′(θ) = 0. (1)
Запишем решение работы [1] при этом условии
n(u) =
CJ√
1 + bu2
, (2)
ω2(u) =
(1 + b)un(u)
A
√
1− u2
, (3)
ω3(u) = − n(u)
1− u2
[1 + bu2
A0
+
(1 + b)u2
A
]
, (4)
n0(u) = bun(u), (5)
Ω2(u) = −(1 + bu2)n(u)
A0
√
1− u2
, (6)
110
Уравнения годографов тел в опорном базисе
Ω3(u) = − un(u)
1− u2
[1 + bu2
A0
+
1 + b
A
]
, (7)
ω1(u) = −A0
A
Ω1(u), (8)
θ̇ = Ω1(u)− ω1(u), (9)
где
u = cos θ, (10)
b =
(A− J)J0
(A+ J0)J
6= 0 (A 6= J). (11)
Так как уравнения движения [1] этой задачи допускают интеграл энергии
A(ω2
1
+ω2
2
)+A0(Ω
2
1
+Ω2
2
)−2N(Ω1ω1 cos θ+Ω2ω2)+
n2
J
+
n2
0
J0
= 2h, то, подставив
в него (1)—(3), (5), (6), (8), (10), можем найти Ω1(u), а следовательно, и ω1(u).
Так как одно из тел закреплено в центре масс, величина
N = mm0ll0/(m+m0) = 0. (12)
При условиях (1), (12) удобнее использовать уравнения движения (8), (9)
работы [1] тела S0:
Ω̇1 − Ω2Ω3 = −Ω2n0
A0
, Ω̇2 +Ω1Ω3 =
Ω1n0
A0
. (13)
Из (13) получаем
Ω1Ω̇1 +Ω2Ω̇2 = 0. (14)
Следовательно, переменные Ω1,Ω2 связаны соотношением
Ω2
1 +Ω2
2 = σ2
0 = const, (15)
откуда с учетом (6), (2) устанавливаем, что
Ω1(u) =
√
σ2
0
− C2J2(1 + bu2)
A2
0
(1− u2)
. (16)
Подставив (8) в (9), представим его в виде
dθ
dt
=
Ω1
k∗
, (17)
где введен безразмерный параметр k∗ = A/(A + A0). Внесем (16) в (17), по-
лучим
dθ
dt
=
1
k∗
√
σ2
0
− C2J2(1 + bu2)
A2
0
(1− u2)
.
111
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Умножим обе части этого равенства на (− sin θ), учтем обозначение (10),
представим
du
dt
= − σ0
k∗a∗
√
a2
∗
− 1− (a2
∗
+ b)u2, (18)
где вместо постоянной интегрирования C введен безразмерный параметр
a∗ = A0σ0/(JC).
Ввиду произвольности C, а, следовательно, и a∗, будем рассматривать те
значения C, для которых
a2
∗
> 1. (19)
Отметим, что из (11) следует
1 + b =
A(J + J0)
J(A+ J0)
> 0, (20)
тогда с учетом (19)
a2
∗
+ b = a2
∗
+ b > 0. (21)
Зависимость времени t от переменной u находим из (18)
t− t0 =
1
v
arccos
u
u1
, (22)
где введены обозначения v =
σ0
√
a2
∗
+ b
k∗a∗
, u21 =
a2
∗
− 1
a2
∗
+ b
. Как следует из
(19)—(21), 0 < u2
1
< 1. Из (22) определим
u(t∗) = u1 cos vt∗, t∗ = t− t0. (23)
С помощью (23) основные переменные (2)—(7) можно представить посред-
ством функций времени t∗. Например,
n0(t∗) =
A0σ0bu1 cos vt∗
a∗
√
1 + bu2
1
cos2 vt∗
. (24)
Таким образом, указаны зависимости компонент угловых скоростей тел
S и S0 в полуподвижных базисах.
В случае нулевого значения момента количества движения системы тел
при решении задачи отсутствует имеющий физический смысл вектор, фикси-
рованный в неподвижном пространстве и задаваемый своими компонентами
в осях, связанных с телом. Это затрудняет построение аксоидов, указанных
в [3, 4].
Но в современной технике важны задачи, в которых движение тел необхо-
димо отслеживать по отношению к базису, определяемому самой траекторией
– естественному базису, который в каждой точке траектории определяют ее
касательная, главная нормаль и бинормаль. Для построения такого базиса в
112
Уравнения годографов тел в опорном базисе
рассматриваемой задаче имеется вектор, касающийся траектории точки O и
заданный своими компонентами в соответствующем движению системы бази-
се. В таком базисе точка O неподвижна, аксоиды – конические поверхности,
для построения полных решений достаточно иметь их направляющие линии
– соответствующие годографы угловых скоростей тел в неизменно связанных
с телами базисах и в опорном базисе.
В осях, связанных с телом, определен вектор абсолютной скорости точ-
ки O тела, это дает возможность строить уравнения годографов, используя
алгоритм, предложенный в [6].
В соответствии с [6] назначим опорным естественный базис, формирую-
щийся на траектории точки O. Первую ось базиса направим по вектору V∗.
Запишем указывающий точку O радиус-вектор r∗, его скорость V∗ [7, (5.22),
(5.24), (5.23)]
r∗ = −ae3 − a0e
0
3, V∗ = −a(ω2e1 − ω1e2)− a0(Ω2e1 − Ω1e
0
2),
a =
ml
m+m0
, a0 =
m0l0
m+m0
.
Предположим, что тело S закреплено в центре масс (l = 0), тогда
a = 0 (25)
(случай, когда l0 = 0 (a0 = 0), рассматривается аналогично).
Запишем векторы r∗,V∗,W∗ = V̇∗ при ограничении (25):
r∗ = −a0e
0
3, (26)
V∗ = −a0(Ω2e1 − Ω1e
0
2), (27)
W∗ = a0
(
−Ω1
n0
A0
e1 − Ω2
n0
A0
e02 + σ2
0e
0
3). (28)
Введем векторы нормали N∗ и бинормали B∗
B∗ = V∗ × W∗, (29)
N∗ = B∗ × V∗. (30)
Естественный опорный базис э1э2э3 вводят так [6, 8]:
э1 =
V∗
V∗
, э2 =
B∗ × V∗
|B∗ × V∗|
, э3 =
B∗
B∗
. (31)
Подставив (27), (28) в (29) с учетом (14) вычислим вектор бинормали
B∗ = a20σ
2
0
(
Ω1e1 +Ω2e
0
2 +
n0
A0
e03
)
. (32)
113
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Теперь можно записать вектор нормали, внеся (27), (32) в (30):
N∗ = B∗ × V∗ = a30σ
2
0
(
−e1Ω1n0/A0 − e02Ω2n0/A0 + e03σ
2
0
)
. (33)
Из (27), (32), (33) с учетом (15) следуют выражения для модулей векторов:
V∗ = a0σ0, (34)
B2
∗
= a40σ
4
0(σ
2
0 + n2
0/A
2
0), N2
∗
= a60σ
6
0(σ
2
0 + n2
0/A
2
0). (35)
Отметим, что
N∗ = |B∗ × V∗| = B∗V∗. (36)
Внесем (27), (32)—(36) в (31) и установим связь между естественным ба-
зисом (31) и полуподвижным базисом e1e
0
2
e0
3
:
э1 =
(
−Ω2e1 +Ω1e
0
2
)
/σ0,
э2 =
(
−e1Ω1n0/A0 − e02Ω2n0/A0 + e03σ
2
0
)/(
σ0
√
σ2
0
+ n2
0
/A2
0
)
, (37)
э3 =
(
e1Ω1 + e02Ω2 + e03n0/A0
)/
√
σ2
0
+ n2
0
/A2
0
.
Вместо Ω1 введем переменную β следующим образом
Ω1 = σ0 cos β, (38)
тогда, как следует из (15),
Ω2 = σ0 sin β. (39)
Вместо n0 вводим переменную χ
n0 = A0σ0 tg χ. (40)
Компоненты Eij матрицы вложения ‖E‖, определяемой соотношением
эi = Eije
0
j (или, что то же, e0j = Eijэi), устанавливаются из (37), которые
с учетом обозначений (38)–(40) принимают вид:
э1 = −e1 sin β + e02 cos β,
э2 = −e1 cos β sinχ− e02 sin β sinχ+ e03 cosχ, (41)
э3 = e1 cos β cosχ+ e02 sin β cosχ+ e03 sinχ,
откуда находим также
e1 = −э1 sin β − э2 cos β sinχ+ э3 cos β cosχ,
e02 = э1 cosβ − э2 sin β sinχ+ э3 sin β cosχ, e03 = э2 cosχ+ э3 sinχ. (42)
114
Уравнения годографов тел в опорном базисе
Из (41) следует, что β – это угол между векторами э1, e
0
2
, а χ – это угол
между э2, e
0
3
.
Кривизну κ0 и кручение κ∗ траектории шарнира можно определить по
формулам [6]
κ0 =
B∗
V 3
∗
, (43)
κ∗ =
Ẇ∗ ·B∗
B2
∗
. (44)
Вычислим производную по времени от ускорения точки O:
Ẇ∗ = ẇ1e1 + ẇ0
2e
0
2 + ẇ0
3e
0
3 +Ω× W∗,
где Ω = Ω1e1 + Ω2e
0
2
+ Ω3e
0
3
— угловая скорость базиса e1e
0
2
e0
3
. Из (28)
следуют соотношения
w1 = −a0Ω1n0/A0, w0
2 = −a0Ω2n0/A0, w0
3 = a0σ
2
0 . (45)
Продифференцировав соотношения (45) с учетом (14), (15) (27), (28), (32),
представим Ẇ∗ · B∗ в виде
Ẇ∗ · B∗ = −a30σ
4
0ṅ0/A0. (46)
Подставив (34), (35), (46) в (43), (44), находим кривизну и кручение
κ0 =
1
a0
(
1 +
n2
0
A2
0
σ2
0
)1/2
, κ∗ = − ṅ0
A0a0σ2
0
[1 + n2
0
/(A2
0
σ2
0
)]
,
которые с учетом (40) имеют вид
κ0 =
1
a0 cosχ
, (47)
κ∗ = − χ̇
a0σ0
. (48)
Абсолютную угловую скорость опорного базиса [8, с. 98]
Ω0 = (κ∗э1 + κ0э3)V∗ = p0i e
0
i
с учетом (47), (48) можно записать так:
Ω0 = −э1χ̇+ э3σ0/ cosχ. (49)
Компоненты p0i получим после подстановки (41) в (49):
p01 = σ0 cos β + χ̇ sin β, p02 = σ0 sin β − χ̇ cos β, p03 = σ0 tg χ. (50)
115
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Годограф тела S0 в опорном базисе. Вначале запишем угловую
скорость тела S0 Ω∗ = e1Ω1+e0
2
Ω2+e0
3
n0/J0, с учетом замен (38)–(40) имеем
Ω∗ = σ0
(
e1 cosβ + e02 sin β + e03
A0
J0
tgχ
)
. (51)
По отношению к опорному базису тело S0 имеет угловую скорость
Ω
0∗ = Ω∗ −Ω0 = q1e1 + q02e
0
2 + q03e
0
3 = Ω0∗
1 э1 +Ω0∗
2 э2 +Ω0∗
3 э3. (52)
Подставив сюда (51), (50), (42), получим компоненты вектора Ω
0∗ в обоих
базисах:
q1 = −χ̇ sin β, q02 = χ̇ cos β, q03 =
(A0
J0
− 1
)
σ0 tgχ,
Ω0∗
1 = χ̇, Ω0∗
2 =
(A0
J0
− 1
)
σ0 sinχ, Ω0∗
3 =
(A0
J0
− 1
)
σ0
sin2 χ
cosχ
. (53)
Таким образом, указаны годографы относительной угловой скорости Ω
0∗
тела S0 в опорном базисе (53) и в полуподвижном базисе e1e
0
2
e0
3
.
Подвижный годограф тела S0. Между неизменно связанным с те-
лом S0 базисом e0∗
1
e0∗
2
e0∗
3
и полуподвижным базисом e1e
0
2
e0
3
существует связь
[9]
e0∗1 = e1 cos Φ + e02 sinΦ, e0∗2 = −e1 sinΦ + e02 cos Φ. (54)
Внесем (42) в (54) и представим векторы e0∗i в опорном базисе
e0∗1 = э1 sin(Φ− β)− э2 cos(Φ− β) sinχ+ э3 cos(Φ− β) cos χ,
e0∗2 = э1 cos(Φ− β) + э2 sin(Φ− β) sinχ− э3 sin(Φ− β) cos χ,
e0∗3 = e03 = э2 cosχ+ э3 sinχ.
Обратное преобразование имеет вид
э1 = e0∗1 sin(Φ− β) + e0∗2 cos(Φ− β),
э2 = −e0∗1 cos(Φ − β) sinχ+ e0∗2 sin(Φ− β) sinχ+ e0∗3 cosχ,
э3 = e0∗1 cos(Φ− β) cos χ− e0∗2 sin(Φ− β) cosχ+ e0∗3 sinχ.
Подставив эти соотношения в (52), учтем (53), получим компоненты подвиж-
ного годографа Ω
0∗ = q∗
1
e0∗
1
+ q∗
2
e0∗
2
+ q∗
3
e0∗
3
в виде
q0∗1 = χ̇ sin(Φ− β), q0∗2 = χ̇ cos(Φ− β), q0∗3 = (
A0
J0
− 1)σ0 tg χ. (55)
116
Уравнения годографов тел в опорном базисе
При вычислении угла (Φ − β) заметим, что из (39) следует β =
= arcsin(Ω2/σ0). Дифференцируя по t это выражение и учитывая (12), на-
ходим β̇ = n0/A0 −Ω3. Угол Φ определяется из уравнения [9] Φ̇ = n0/J0 −Ω3
и поэтому
Φ̇− β̇ =
( 1
J0
− 1
A0
)
n0.
Теперь, воспользовавшись (24), (18), проинтегрируем это уравнение:
Φ− β =
(A0 − J0)bσ0
J0a∗
∫
u1 cos vt∗dt∗
√
1 + bu2
1
cos2 vt∗
.
При вычислении интеграла с учетом (11) возможны два варианта:
Φ− β =
(A0 − J0)bσ0
J0a∗v
√
b
arcsin
√
b u1 sin vt∗
√
1 + bu2
1
, если b > 0, (A > J),
Φ− β =
(A0 − J0)bσ0
J0a∗v
√
−b
ln
(
u1 sin vt∗ +
√
u2
1
sin2 vt∗ − (1 + bu2
1
)/b
)
,
если b < 0 (A < J).
Из (40) с учетом (24) получаем
tg χ(t∗) =
bu1 cos vt∗
a0
√
1 + bu2
1
cos2 vt∗
.
При движении тела S0 подвижный годограф (55) катится по годографу
(53) в опорном базисе.
Годограф тела S в опорном базисе. Так как опорный базис уже
введен и есть формула перехода от базиса e1e
0
2
e0
3
к опорному (42), можно
получить представление вектора ω∗ = ω1e1 + ω2e2 +
n
J
e3 в опорном базисе.
Для этого, воспользовавшись соотношениями [9]
e2 = e02 cos θ − e03 sin θ, e3 = e02 sin θ + e03 cos θ,
представим ω∗ в базисе e1e
0
2
e0
3
:
ω∗ = ω1e1 + e02
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)
+ e03
(
−ω2 sin θ +
n
J
cos θ
)
. (56)
Подставив (8), (3), (2) в (56), находим
ω∗ = −A0
A
Ω1e1 + e02
(
−A0
A
Ω2 +
A− J
AJ
n sin θ
)
+ e03
n0
J0
.
117
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Внесем сюда (38), (39), (40) и определим
ω∗ = −e1
A0
A
σ0 cos β+e02
(
−A0
A
sin β+
A− J
AJ
A0
b
tg θ tgχ
)
σ0+e03
A0
J0
σ0 tgχ. (57)
Используя формулы перехода (41), запишем вектор (57) в опорном базисе
ω∗ = σ0
{
−э1
(A+ J0)A0b
AJ0 a2∗
ctg β + э2
[A0
A
+
A0
J0
+
(A+ J0)A0b
AJ0 a2∗
]
sinχ+
+э3
[
−A0
A
+
A0
J0
tg χ− (A+ J0)A0b
AJ0 a2∗
]
cosχ
}
. (58)
По отношению к опорному базису тело S имеет угловую скорость ω0∗ =
= ω∗ − Ω0, которую с учетом (58), (49) также запишем в опорном базисе
ω0∗ = p∗
1
э1 + p∗
2
э2 + p∗
3
э3, где
p∗1 = э1χ̇−Bσ0 ctg β, p∗2 =
(
B +
A0
A
+
A0
J0
)
σ0 sinχ,
p∗3 =
[(A0
J0
− 1
) 1
cosχ
−
(
B +
A0
A
+
A0
J0
)
cosχ
]
σ0; (59)
здесь введен безразмерный параметр B =
(A+ J0)A0b
AJ0a2∗
.
Используя соотношения (50), (57), представим угловую скорость тела S
относительно опорного базиса в виде
ω∗ −Ω0 = e1[−χ̇ sinβ − (
A0
A
+ 1)σ0 cos β]+
+e02[χ̇ cos β−(
A0
A
+1)σ0 sin β+
A0(A+ J0)
AJ0
σ0 tg θ tgχ]+e03(
A0
J0
−1)σ0 tgχ. (60)
Чтобы представить этот вектор в неизменно связанном с телом S базисе
e∗
1
e∗
2
e∗
3
, воспользуемся формулами переходов (9)
e01 = e1, e02 = e2 cos θ + e3 sin θ, e03 = −e2 sin θ + e3 cos θ;
e1 = e∗1 cosϕ− e∗2 sinϕ, e2 = e∗1 sinϕ+ e∗2 cosϕ, e∗3 = e3,
получим связь между базисами e1e
0
2
e0
3
и e∗
1
e∗
2
e∗
3
:
e1 = e∗1 cosϕ− e∗2 sinϕ,
e02 = e∗1 cos θ sinϕ+ e∗2 cos θ cosϕ+ e∗3 sin θ,
e03 = −e∗1 sin θ sinϕ− e∗2 sin θ cosϕ+ e∗3 cos θ.
118
Уравнения годографов тел в опорном базисе
Подставив эти соотношения в (60), получим разложение в базисе e∗
1
e∗
2
e∗
3
по-
движного годографа тела S:
ω∗ −Ω0 = ω∗
10e
∗
1 + ω∗
20e
∗
2 + ω∗
30e
∗
3,
где
ω∗
10 − [χ̇ sin β + (
A0
A
+ 1)σ0 cos β)] cosϕ+
+[χ̇ cos β cos θ + (
A0
A
+ 1)σ0(− sin β cos θ + sin θ tgχ)] sinϕ,
ω∗
20[χ̇ sinβ + (
A0
A
+ 1)σ0 cos β)] sinϕ+ (61)
+[χ̇ cos β cos θ + (
A0
A
+ 1)σ0(− sin β cos θ + sin θ tgχ)] cosϕ,
ω∗
30 = χ̇ cos β sin θ − (
A0
A
+ 1)σ0(sin β sin θ + cos θ tg χ)] +
A0(A+ J0)σ0 tgχ
AJ0 cos θ
.
Угол ϕ(u) вычислим из уравнения [9] ϕ̇ = n/J −ω3. Подставив в него (2),
(4), (10), (11), получим
ϕ(u) = ϕ0 −
σ0
a∗vu1
u
∫
u0
[(A0
J0
− 1
)
b+
1 + b
k∗(1− u2)
] du
√
(1 + bu2) (1 − u2/u2
1
)
.
Стоящий справа интеграл можно выразить посредством эллиптических
функций.
При движении тела S его подвижный годограф (61) катится по годографу
(59) в опорном базисе (41), который имеет угловую скорость (49).
Таким образом, впервые в задаче о движении двух гироскопов Лагран-
жа, сочлененных неголономным шарниром, введен опорный базис, получены
уравнения годографов в опорном базисе для каждого из тел системы. Это
позволяет представить движение тел качением без скольжения неизменно
связанных с телами годографов по соответствующим годографам в опорном
базисе.
1. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, со-
единенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. –
С. 15–21.
2. Харламов А.П., Харламов М.П. Неголономный шарнир // Там же. – 1995. – Вып. 27.
– С. 1–7.
3. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для од-
ного класса движений по инерции системы двух гироскопов Лагранжа // Там же. –
2009. – Вып. 39. – С. 83–93.
4. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную
точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, №3. – С. 502–507.
5. Харламов М.П. О построении аксоидов пространственного движения твердого тела //
Механика твердого тела. – 1980. — Вып. 12. – С. 3–8.
119
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
6. Харламов М.П., Харламов П.В. Построение полного решения задачи об относительном
движении твердого тела // Докл. АН УССР. Сер.А. – 1983. – №12. – С. 36–38.
7. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики систем со-
члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. — 238 с.
8. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз., 1961. – 824 с.
9. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнения аксоидов в задаче о движении двух гиро-
скопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Сб. научн.-метод. работ.
– Вып. 4. – Донецк: ДонНТУ, 2006. – С. 63–80.
M.E. Lesina, N.F. Gogoleva
Equations of hodographs in the reference basis for the problem of inertial
motion of two Lagrange gyros jointed by a nonholonomic hinge
The case when the hinge trajectory is a spatial spherical curve is considered in this paper. The
reference system of coordinates is defined by the natural basis on the hinge trajectory. The
equations of axoids are obtained with respect to the reference frame.
Keywords: system of Lagrange gyros, hodograph, nonholonomic hinge, reference basis.
М.Ю.Лесiна, Н.Ф. Гоголєва
Рiвняння годографiв тiл в опорному базисi для задачi про рух за iнерцiєю
двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром
Розглянуто випадок, коли траєкторiя точки O є просторовою сферичною кривою. На тра-
єкторiї цiєї точки опорну систему координат визначено природним базисом. Отримано рiв-
няння годографiв тiл в опорному базисi.
Ключовi слова: система гiроскопiв Лагранжа, годограф, неголономний шарнiр, опорний
базис.
Национальный техн. ун-т, Донецк
applmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.06.10
120
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28048 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:39:56Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. 2011-10-26T19:44:13Z 2011-10-26T19:44:13Z 2010 Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 110-120. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28048 531.38 Рассмотрен случай, когда траектория точки O является пространственной сферической кривой. На траектории этой точки опорная система координат определена естественным базисом. Получены уравнения годографов тел в опорном базисе. Розглянуто випадок, коли траєкторiя точки O є просторовою сферичною кривою. На траєкторiї цiєї точки опорну систему координат визначено природним базисом. Отримано рiвняння годографiв тiл в опорному базисi. The case when the hinge trajectory is a spatial spherical curve is considered in this paper. The reference system of coordinates is defined by the natural basis on the hinge trajectory. The equations of axoids are obtained with respect to the reference frame. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром Рiвняння годографiв тiл в опорному базисi для задачi про рух за iнерцiєю двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром Equations of hodographs in the reference basis for the problem of inertial motion of two Lagrange gyros jointed by a nonholonomic hinge Article published earlier |
| spellingShingle | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| title | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| title_alt | Рiвняння годографiв тiл в опорному базисi для задачi про рух за iнерцiєю двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром Equations of hodographs in the reference basis for the problem of inertial motion of two Lagrange gyros jointed by a nonholonomic hinge |
| title_full | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| title_fullStr | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| title_full_unstemmed | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| title_short | Уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| title_sort | уравнения годографов тел в опорном базисе для задачи о движении по инерции двух гироскопов лагранжа, соединенных неголономным шарниром |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28048 |
| work_keys_str_mv | AT lesiname uravneniâgodografovtelvopornombazisedlâzadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranžasoedinennyhnegolonomnymšarnirom AT gogolevanf uravneniâgodografovtelvopornombazisedlâzadačiodviženiipoinerciidvuhgiroskopovlagranžasoedinennyhnegolonomnymšarnirom AT lesiname rivnânnâgodografivtilvopornomubazisidlâzadačiproruhzainerciêûdvohgiroskopivlagranžazêdnanihnegolonomnimšarnirom AT gogolevanf rivnânnâgodografivtilvopornomubazisidlâzadačiproruhzainerciêûdvohgiroskopivlagranžazêdnanihnegolonomnimšarnirom AT lesiname equationsofhodographsinthereferencebasisfortheproblemofinertialmotionoftwolagrangegyrosjointedbyanonholonomichinge AT gogolevanf equationsofhodographsinthereferencebasisfortheproblemofinertialmotionoftwolagrangegyrosjointedbyanonholonomichinge |