Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода
Представлен подход построения бифуркационного множества модели двухосного экипажа с немонотонными зависимостями сил увода; приведена серия фазовых портретов, иллюстрирующих структурные изменения в системе при прохождении критических значений управляющих параметров. Представлено пiдхiд побудови бiфур...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28050 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 131-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859561034803576832 |
|---|---|
| author | Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| author_facet | Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| citation_txt | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 131-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Представлен подход построения бифуркационного множества модели двухосного экипажа с немонотонными зависимостями сил увода; приведена серия фазовых портретов, иллюстрирующих структурные изменения в системе при прохождении критических значений управляющих параметров.
Представлено пiдхiд побудови бiфуркацiйної множини моделi двохосьового екiпажу з немонотонними залежностями сил вiдведення; наведено серiю фазових портретiв, що iлюструють структурнi змiни в системi при проходженнi критичних значень керуючих параметрiв.
The approach to constructing the bifurcation set of steady states for a two-axes vehicle model with non-linear nonmonotone dependences of lateral forces is presented; the series of phase portraits, illustrating structural changes in a system at passing of critical values of managing parameters are given.
|
| first_indexed | 2025-11-26T16:00:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. Н.А.Вельмагина, В.Г. Вербицкий
БИФУРКАЦИОННОЕ МНОЖЕСТВО МОДЕЛИ ДВУХОСНОГО
ЭКИПАЖА С НЕЛИНЕЙНОЙ НЕМОНОТОННОЙ
ЗАВИСИМОСТЬЮ СИЛ УВОДА
Представлен подход построения бифуркационного множества модели двухосного экипажа
с немонотонными зависимостями сил увода; приведена серия фазовых портретов, иллю-
стрирующих структурные изменения в системе при прохождении критических значений
управляющих параметров.
Ключевые слова: модель экипажа, стационарные состояния, устойчивость, бифуркаци-
онное множество.
Введение. Математическую модель экипажа можно представить в ви-
де динамической системы
ẋ = f(x, θ, v),
ее стационарные состояния определяются решением системы нелинейных
уравнений
fi(x, θ, v) = 0, x ∈ Rn (i = 1, ..., n). (1)
Система имеет два управляющих параметра: скорость продольного дви-
жения v; угол поворота передних управляемых колес θ. В работах [1, 2] рас-
сматривается вопрос об эволюции стационарных состояний при изменении
управляющих параметров. Бифуркационным значениям параметров (v∗, θ∗)
соответствуют кратные решения x∗ системы (1). Якобиан системы обраща-
ется в нуль во всех точках критического множества x∗:
L = ‖∂fi/∂xj‖x∗ = 0, x∗ ∈ Mkp.
Система (1) вместе с последним уравнением задает критическое множество
на многообразии стационарных состояний. В точках критического множества
происходит исчезновение устойчивого стационарного состояния (этим точкам
соответствуют либо точки складки – двухкратные решения системы (1), либо
сборки – трехкратные решения системы (1) [3]).
Представляет интерес анализ устойчивости нелинейной модели экипажа
во всей плоскости управляющих параметров. Он может быть проведен на ос-
нове информации о структуре бифуркационного множества, разбивающего
плоскость параметров на области с различным количеством стационарных
режимов. Однако процедура построения бифуркационного множества в слу-
чае зависимости сил бокового увода с явно выраженным максимумом потре-
бует некоторого развития. Это связано с существованием нескольких ветвей
бифуркационного множества.
131
Н.А.Вельмагина, В.Г.Вербицкий
Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из корпуса с
жестко закрепленной задней колесной осью и переднего колесного модуля,
его поворот относительно корпуса жестко фиксируется (задается параметром
θ). Система находится под воздействием боковых реакций опорной поверхно-
сти – упругие колеса могут катиться под некоторым углом (углом увода) к
плоскости симметрии колеса (за счет упругой деформации в пятне контак-
та), при этом возникают поперечные силы со стороны опорной поверхности,
препятствующие боковому проскальзыванию колеса (силы увода). Рассмат-
риваемая система не учитывает пяточных моментов, так как их величины
на порядок меньше моментов, порождаемых боковыми силами относительно
центра масс экипажа.
Пусть m – масса экипажа; J – центральный момент инерции системы
относительно вертикальной оси; a, b – расстояние от центра масс экипажа до
середины передней и задней колесных осей соответственно.
Уравнения плоскопараллельного движения велосипедной двухосной схе-
мы экипажа (вертикальная продольная плоскость, проходящая через середи-
ны колесных осей, является плоскостью симметрии) с постоянной продольной
составляющей скорости центра масс имеют вид
m(u̇+ ωv) = Y1 cos θ + Y2;
Jω̇ = aY1 cos θ − Y2b;
δ1 = θ − arctg
u+ aω
v
, δ2 = arctg
−u+ bω
v
,
(2)
где u – поперечная составляющая скорости центра масс экипажа; ω – угловая
скорость экипажа, относительно вертикальной оси; δ1, δ2 – приведенные углы
увода, на передней и задней осях соответственно; Y1 и Y2 – приведенные
боковые силы увода, как функции углов увода, на передней и задней осях
соответственно.
Основная часть. Силы увода определяются эмпирически и могут быть
представлены различными аналитическими зависимостями. Нахождение ста-
ционарных режимов движения (особых точек) сводится к решению системы
−v
g
ω +
cos(θ)Y1(δ1)b
l
+
Y2(δ2)a
l
= 0, cos(θ)Y1(δ1)− Y2(δ2) , (3)
где Yi(δi) = Yi(δi)/Ni – безразмерные боковые реакции опорной плоскости на
ось (Ni – вертикальная нагрузка на ось).
В работе рассматриваются зависимости вида:
Yi =
γiδi
√
1 +
(|δi| − βi)
2
(βi)2
, (4)
132
Бифуркационное множество модели двухосного экипажа
которые учитывают немонотонность сил увода (в отличие от монотонных
зависимостей при достаточно большом значении угла увода функция имеет
ниспадающие участки).
Параметры γi и βi подбираем из соображений сохранения геометрических
характеристик монотонных зависимостей Yi =
qiδi
√
1 +
(qiδi)
2
(ϕi)2
, что обеспечит
согласованность максимальных значений безразмерных сил увода (рис. 1):
γi =
√
2qi, qi = tgαi, βi <
ϕ
2qi
.
Рис. 1
Далее проанализируем влияние новой “геометрии” зависимости сил увода
на бифуркационное множество. Система (3) сводится к одному определяю-
щему уравнению
Y (δ2 − δ1) =
v2
gl
(θ + δ2 − δ1), (5)
в котором левая часть является нелинейной функцией, называемой в даль-
нейшем “неподвижной кривой”, в правой части представлена прямая (“по-
движная прямая”). Точкам пересечения “неподвижной кривой” и прямой со-
ответствуют стационарные режимы системы (1). При непрерывном измене-
нии параметров v и θ определяющее уравнение (5) задает отображение плос-
кости параметров v и θ в равновесную поверхность. Бифуркационному мно-
жеству (критическому множеству) отвечают значения параметров v, θ, для
которых “подвижная прямая” касается “неподвижной кривой”. Тогда точкам
перегиба исходной кривой Y = Y (δ2 − δ1) соответствуют точки возврата би-
фуркационного множества. Трехкратному решению на равновесной поверх-
133
Н.А.Вельмагина, В.Г.Вербицкий
ности будет соответствовать особенность сборки, а двухкратному решению –
складка.
В случае монотонной зависимости сил увода от угла увода, имеющей ха-
рактер кривой насыщения, “неподвижная” кривая может иметь три точки
перегиба, а соответствующее бифуркационное множество – три точки возвра-
та. Немонотонные зависимости сил увода порождают дополнительные точки
перегиба “неподвижной” кривой Y = Y (δ2 − δ1), что приводит к усложнению
бифуркационного множества.
Зависимость Y = Y (δ2 − δ1) определяется из соответствия Y1(δ1) =
= Y (δ2) = Y . Критические значения параметров удовлетворяют условиям
v2
gl
=
dY
d(δ2 − δ1)
;
Y
θ + δ2 − δ1
=
dY
d(δ2 − δ1)
, (6)
тогда
θ = Y Y ′ − (δ2 − δ1).
Таким образом, система (6) позволяет найти бифуркационное множество
в параметрическом виде
θ = θ(δ2 − δ1), v = v(δ2 − δ1).
Иногда в качестве параметра целесообразно взять не (δ2 − δ1), а Y . В
этом случае исходными зависимостями являются Y1 = f1(δ1) и Y2 = f2(δ2),
разрешив их относительно δi, находим δ1 = F1(Y1), δ2 = F2(Y2). Определя-
ющее уравнение (5) в этом случае будет иметь вид
gl
v2
Y − θ = G(Y ), где
G(Y ) = F2(Y ) − F1(Y ). Из условий касания “неподвижной” кривой и “по-
движной” прямой
gl
v2
=
dG
dY
;
θ +G(Y )
Y
=
dG
dY
получим параметрические уравнения бифуркационного множества: θ = θ(Y ),
v = v(Y )
θ = Y G′(Y )−G(Y ); v =
√
gl
G′(Y )
. (7)
Далее перейдем к процедуре формирования функции G(Y ) = δ2 − δ1 в
случае немонотонных зависимостей Yi(δi). Для выбранных ранее численных
значений параметров β, γ определим функции Fi(Y ). Для этого, разрешая
соотношения (4) относительно δi, получим по две однозначные ветви, “сши-
ваемые” в точках поворота (рис. 2):
f11 =
0.12(−|Y |+
√
0.6272879344 − Y 2)Y
−Y 2 + 0.3136439672
,
f21 =
0.15(−|Y |+
√
0.5744942192 − Y 2)Y
−Y 2 + 0.2872471096
,
134
Бифуркационное множество модели двухосного экипажа
Рис. 2 Рис. 3
f12 =
0.12(Y +
√
0.6272879344 − Y 2)Y
Y 2 − 0.3136439672
,
f22 =
0.15(Y +
√
0.5744942192 − Y 2)Y
Y 2 − 0.2872471096
.
В свою очередь, функция G(Y ) = δ2 − δ1 определяется как разность соответ-
ствующих однозначных ветвей fij, образуя три ветви (рис. 3).
Часть основной ветви до точки поворота получена из условия G(Y ) =
= g1 = f21−f11, вторая часть этой ветви определяется соотношением G(Y ) =
= g2 = f22 − f11 . Дополнительная ветвь “неподвижной кривой” появляет-
ся за счет ниспадающих участков зависимостей сил увода G(Y ) = g3 =
= f22 − f12; G(Y ) = g4 = f21 − f12.
Для каждой из ветвей функции G(Y ) в соответствии с (7) получена
двойственная кривая, представляющая часть бифуркационного множества
(рис. 3). При пересечении критического множества параметров в точках об-
щего положения количество стационарных режимов изменяется на две еди-
ницы.
На рисунке 4 указано количество стационарных режимов в различных
областях плоскости управляемых параметров. На рис. 4, a изображен общий
вид бифуркационного множества для модели экипажа с нелинейной немоно-
тонной зависимостью сил увода от угла увода, а на рис. 4, б – фрагменты
множества.
Анализ уравнений возмущенного движения колесного экипа-
жа. Исследование устойчивости стационарных состояний сводится к ана-
лизу уравнения в вариациях:
ω̈ + pω̇ + qω = 0, p = −[div(P,Q)]
∣
∣
(ω∗u∗)
, q = [D(P,Q)/D(ω, u)]
∣
∣
(ω∗u∗)
.
Знак дивергенции векторного поля, заданного системой (2), однозначно опре-
135
Н.А.Вельмагина, В.Г.Вербицкий
а б
Рис. 4
деляется в случае совпадения знаков
dY1
dδ1
и
dY2
dδ2
:
div(P,Q) = −1
v
[(a2
I
+
1
m
)dY1
dδ1
+
(b2
I
+
1
m
)dY2
dδ2
]
.
В особых точках, соответствующих выпуклым участкам зависимостей сил
увода Y1(δ1), Y2(δ2), дивергенция векторного поля отрицательна, а для точек,
соответствующих ниспадающим участкам – положительна. Так, для ветви g3
(см. рис. 3) дивергенция векторного поля заведомо положительна, так как обе
производные
dY1
dδ1
и
dY2
dδ2
имеют отрицательный знак; для ветви g1 – отрица-
тельна.
Из общей теории динамических систем [4] следует, что устойчивость
какой-либо особой точки (с индексом Пуанкаре j = +1) не может измениться
(предполагается, что дивергенция векторного поля отрицательна) до встречи
с другой особой точкой с отрицательным индексом j = −1. В этом случае ре-
ализуется двукратный стационарный режим, что соответствует бифуркации
складки.
На рисунке 5, а проиллюстрирован подход к анализу устойчивости ста-
ционарных режимов (при θ = 0 и вариации параметра продольной скорости
v) на основе понятия индекса Пуанкаре.
Прямолинейный режим устойчив при v < v+ (j = 1) и неустойчив при
v > v+(j = −1). При v = v+ (рис. 5, а) в начало координат приходят две
особые точки, образуя трехкратную особую точку; при v > v+ в начале ко-
ординат имеется седловая особая точка (как следует из линейного анализа),
следовательно, индекс Пуанкаре “подвижных” особых точек – j = −1. Ана-
лиз устойчивости круговых стационарных режимов движения представлен
на рисунке 5, б. Сохраняя скорость постоянной v = const, будем варьировать
136
Бифуркационное множество модели двухосного экипажа
лишь параметр θ. При θ = θ1 на основной ветви g1, а при θ = θ2 на дополни-
тельной ветви g3 имеются двукратные особые точки. “Верхняя” определяет
границу расположения устойчивых круговых режимов на ветви f1 при изме-
нении параметра θ(0 ≤ θ ≤ θ1); “нижняя” отвечает рождению пары особых
точек с противоположными по знаку индексами Пуанкаре при θ = θ2. При
θ > θ2 этим особым точкам соответствуют неустойчивые круговые стационар-
ные режимы – одна седловая, вторая неустойчивая в силу положительности
дивергенции на ветви (неустойчивый узел или фокус). Меняя оба управляю-
щих параметра одновременно, можно получить случай, когда максимальное
число особых точек равно пяти (рис. 5, в).
а б в
Рис. 5
Проведенный качественный анализ может быть конкретизирован с по-
мощью построения фазовых портретов системы, соответствующих характер-
ным значениям управляющих параметров. Это позволяет подтвердить число
стационарных режимов и свойства их устойчивости в различных областях
плоскости управляемых параметров (рис. 6).
Построение фазового портрета выполнено для следующего набора чис-
ленных значений параметров:
ϕ1 = 0.8, ϕ2 = 0.8 – коэффициенты сцепления на осях;
a = 2.3 м, b = 2.7 м – расстояния от центра масс до точек крепления
передней и задней осей соответственно;
l = a+ b = 5 м;
k1 = 23000 Н/рад, k2 = 15000 Н/рад – коэффициенты бокового увода;
m = 1317 кг – масса экипажа;
N1 =
mgb
a+ b
= 696.564 H, N2 =
mga
a+ b
= 5937.036 H – реакции опорной
поверхности для передней и задней осей;
q1 =
k1
N1
= 3.300, q2 =
k2
N2
= 2.526 – безразмерные коэффициенты сопро-
тивления уводу;
v+ =
√
glq1q2
q1 − q2
= 22.98 м/с – критическая скорость прямолинейного дви-
жения без учета пяточных моментов.
137
Н.А.Вельмагина, В.Г.Вербицкий
Фазовые портреты, иллюстрирующие динамическое поведение модели в
различных областях бифуркационного множества, изображены на рис. 6. Фа-
зовый портрет на рис. 6, a соответствует случаю трех круговых стационар-
ных режимов, один из которых устойчивый (v = 20м/с < v+, θ = 0.02рад <
< θ1). Случай появления особых точек на дополнительной ветви g3g4(θ = θ3)
(см. рис. 4) соответствует фазовому портрету на рис. 6, б (v = 30 м/с,
θ = 0.06 рад).
а
б
Рис. 6
В этом случае все стационарные состояния (два седла и фокус) неустойчи-
вые, седло–фокус во втором квадранте – отвечают “ниспадающим” участкам
зависимостей сил увода как функций углов увода. Характер фазового порт-
рета для случая реализации пяти стационарных режимов легко представить,
объединив рисунок 6, a и фрагмент седло–фокус из рисунка 6, б.
Выводы. Известный способ определения стационарных режимов дви-
жения колесного экипажа [6], дополненный алгоритмом построения бифур-
кационного множества и методом индекса Пуанкаре, дал возможность про-
138
Бифуркационное множество модели двухосного экипажа
вести предварительный анализ количества стационарных режимов и опреде-
лить границы устойчивости в плоскости управляемых параметров в случае
немонотонных зависимостей сил увода. Ниспадающие участки сил увода при-
водят к появлению дополнительных ветвей бифуркационного множества, что
связано с качественными изменениями фазового портрета модели.
1. Вербицкий В.Г. Бифуркационные множества и катастрофы в многообразиях стацио-
нарных состояний пневмоколесных машин // Прикл. механика. – 1995. – 31, №3. –
С. 89–95.
2. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных матема-
тических моделей: Пер. с чешск. – М.: Мир, 1991. – 368 с.
3. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1990. – С. 128.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959. –
916 с.
5. Певзнер Я.М. Теория устойчивости автомобиля. – М.: Машгиз, 1947. – 156 с.
6. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения
механических систем. – Киев: Наук. думка, 1984. – 286 с.
N.A.Velmagina, V.G.Verbitskii
The bifurcation set for a two-axes vehicle model with the non-monotone de-
pendence of slipping forces
The approach to constructing the bifurcation set of steady states for a two-axes vehicle model
with non-linear nonmonotone dependences of lateral forces is presented; the series of phase
portraits, illustrating structural changes in a system at passing of critical values of managing
parameters are given.
Keywords: vehicle model, steady states, stability, bifurcation set.
Н.А.Вельмагiна, В.Г. Вербицький
Бiфуркацiйна множина моделi двохосьового екiпажу з нелiнiйною немо-
нотонною залежнiстю сил вiдведення
Представлено пiдхiд побудови бiфуркацiйної множини моделi двохосьового екiпажу з немо-
нотонними залежностями сил вiдведення; наведено серiю фазових портретiв, що iлюстру-
ють структурнi змiни в системi при проходженнi критичних значень керуючих параметрiв.
Ключовi слова: модель екiпажу, стацiонарнi положення, стiйкiсть, бiфуркацiйна мно-
жина.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
oxsi@bigmir.net
Получено 15.02.10
139
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28050 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T16:00:28Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. 2011-10-26T19:52:05Z 2011-10-26T19:52:05Z 2010 Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 131-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28050 531.38 Представлен подход построения бифуркационного множества модели двухосного экипажа с немонотонными зависимостями сил увода; приведена серия фазовых портретов, иллюстрирующих структурные изменения в системе при прохождении критических значений управляющих параметров. Представлено пiдхiд побудови бiфуркацiйної множини моделi двохосьового екiпажу з немонотонними залежностями сил вiдведення; наведено серiю фазових портретiв, що iлюструють структурнi змiни в системi при проходженнi критичних значень керуючих параметрiв. The approach to constructing the bifurcation set of steady states for a two-axes vehicle model with non-linear nonmonotone dependences of lateral forces is presented; the series of phase portraits, illustrating structural changes in a system at passing of critical values of managing parameters are given. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода Бiфуркацiйна множина моделi двохосьового екiпажу з нелiнiйною немонотонною залежнiстю сил вiдведення The bifurcation set for a two-axes vehicle model with the non-monotone dependence of slipping forces Article published earlier |
| spellingShingle | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| title | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| title_alt | Бiфуркацiйна множина моделi двохосьового екiпажу з нелiнiйною немонотонною залежнiстю сил вiдведення The bifurcation set for a two-axes vehicle model with the non-monotone dependence of slipping forces |
| title_full | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| title_fullStr | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| title_full_unstemmed | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| title_short | Бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| title_sort | бифуркационное множество модели двухосного экипажа с нелинейной немонотонной зависимостью сил увода |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28050 |
| work_keys_str_mv | AT velʹmaginana bifurkacionnoemnožestvomodelidvuhosnogoékipažasnelineinoinemonotonnoizavisimostʹûsiluvoda AT verbickiivg bifurkacionnoemnožestvomodelidvuhosnogoékipažasnelineinoinemonotonnoizavisimostʹûsiluvoda AT velʹmaginana bifurkaciinamnožinamodelidvohosʹovogoekipažuzneliniinoûnemonotonnoûzaležnistûsilvidvedennâ AT verbickiivg bifurkaciinamnožinamodelidvohosʹovogoekipažuzneliniinoûnemonotonnoûzaležnistûsilvidvedennâ AT velʹmaginana thebifurcationsetforatwoaxesvehiclemodelwiththenonmonotonedependenceofslippingforces AT verbickiivg thebifurcationsetforatwoaxesvehiclemodelwiththenonmonotonedependenceofslippingforces |