Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента
Рассматривается движение космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации, когда удвоенная частота собственных колебаний близка к утроенной частоте орбитального движения. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффицие...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28051 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 140-151. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859967017642098688 |
|---|---|
| author | Маслова, А.И. Пироженко, А.В. |
| author_facet | Маслова, А.И. Пироженко, А.В. |
| citation_txt | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 140-151. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассматривается движение космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации, когда удвоенная частота собственных колебаний близка к утроенной частоте орбитального движения. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориентации КА. На основе метода усреднения построена методика исследования решений уравнений типа Хилла и определены основные закономерности движения КА в рассматриваемом случае.
Розглядається рух космiчного апарату (КА) в режимi гравiтацiйної стабiлiзацiї, коли подвоєна частота власних коливань близька до потроєної частоти орбiтального руху. Дослiдження проводяться з урахуванням змiн щiльностi атмосфери при орбiтальному русi КА та залежностi коефiцiєнта аеродинамiчного моменту вiд орiєнтацiї КА. На основi методу усереднення побудовано методику дослiдження розв’язкiв рiвнянь типу Хiлла i визначено основнi закономiрностi руху КА в розглянутому випадку.
The motion of a spacecraft in a mode of gravitational stabilization when the double frequency of own oscillations is close to triple frequency of orbital motion is considered. Researches are carried in view of atmosphere density changes at spacecraft orbital motion and relation of the aerodynamic moment coefficient to orientation of spacecraft. On the basis of a method of averaging the technique of research of Hilla’s type equations solutions is constructed and main laws of spacecraft motion in a considered case are determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:21:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 629.78, 534.01
c©2010. А.И. Маслова, А.В. Пироженко
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В КОЛЕБАНИЯХ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПЕРЕМЕННОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Рассматривается движение космического аппарата (КА) в режиме гравитационной ста-
билизации, когда удвоенная частота собственных колебаний близка к утроенной частоте
орбитального движения. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмо-
сферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического
момента от ориентации КА. На основе метода усреднения построена методика исследова-
ния решений уравнений типа Хилла и определены основные закономерности движения КА
в рассматриваемом случае.
Ключевые слова: движение космического аппарата, параметрический резонанс, уравне-
ния Хилла, метод усреднения.
Введение. Рассматривается движение относительно центра масс клас-
са космических аппаратов (КА) с гравитационной системой стабилизации
(ГСС). ГСС представляет собой прикрепленную к КА штангу с гравитацион-
ным грузом на конце. Исследуется движение КА в режиме гравитационной
стабилизации, т.е. в таком режиме, при котором продольная ось КА движет-
ся в окрестности местной вертикали и амплитуды колебаний невелики. Рас-
сматривается движение КА в плоскости почти круговых (e ≤ 0.002) орбит на
высотах 550 – 750 км.
Движение КА происходит под воздействием гравитационного и аэродина-
мического моментов. Модель аэродинамического момента учитывает измене-
ния плотности атмосферы при движении КА по орбите [1], а также непостоян-
ство коэффициента аэродинамического момента при изменении ориентации
КА по отношению к набегающему потоку [2]. Моделирование плотности ат-
мосферы проводится с учетом суточного эффекта вздутия атмосферы на сол-
нечной стороне Земли и с учетом изменений высоты орбиты, обусловленных
нецентральностью гравитационного поля Земли и эллиптичностью орбиты.
Как показано в [1], рассматриваемые изменения ρ̃(t) плотности атмосферы ρ
хорошо описываются рядом Фурье с удержанием первых трех гармоник:
ρ(t) = b0[1 + ρ̃(t)] = b0[1 +
3∑
n=1
bn cos(nω0t+ fn)], (1)
где b0 – средняя на орбите плотность атмосферы; bn, fn – коэффициенты,
характеризующие распределение плотности при движении КА по орбите;
ω0 – средняя угловая скорость орбитального движения.
140
Параметрический резонанс в колебаниях КА
Уравнение движения КА относительно центра масс в плоскости эллипти-
ческой орбиты имеет вид [3]
B(ϕ̈+ ω̇) = −3
µЗ
R3
(A− C) sinϕ cosϕ+Ma,
где ϕ – угол между местной вертикалью и наибольшей осью эллипсоида инер-
ции (продольной осью) КА; A, B, C – главные центральные моменты инер-
ции КА; ω – угловая скорость орбитального движения;µЗ – гравитацион-
ная постоянная Земли; R – расстояние от центра Земли до центра масс КА;
Ma – момент аэродинамических сил; точки означают дифференцирование по
времени t.
Рассмотрение движения КА в плоскости орбиты традиционно для анализа
закономерностей движения КА [3 – 5] и правомерно, так как, во-первых, такое
движение возможно, а во-вторых, во многих случаях [3, 6] малые колебания
в плоскости орбиты (угол тангажа) не зависят от поперечных колебаний КА
(угол крена).
В [2] было показано, что при движении КА с ГСС в режиме гравитаци-
онной стабилизации аэродинамический момент можно представить в виде
Ma = a0(1− σa cosα)
ρV 2
2
,
где коэффициенты a0 и σa характеризуют взаимодействие рассматриваемого
КА с набегающим потоком; α – угол между вектором скорости набегающего
потока и продольной осью КА; V – модуль скорости набегающего потока.
Движение КА в режиме гравитационной стабилизации можно рассматри-
вать [7, 8] как малые колебания ϕ̃(t) относительно некоторого положения ϕ0
продольной оси КА (назовем его средним положением), т.е.
ϕ = ϕ0 + ϕ̃(t).
Среднее положение ϕ0 определяется равенством гравитационного и аэро-
динамического моментов при постоянной, равной средней, плотности атмо-
сферы и пренебрежении изменением скорости набегающего потока в силу
эллиптичности орбиты. Из уравнения движения можно получить [7, 8], что
среднее положение КА определяется выражением
sinϕ0 cosϕ0 = S(1 + σa sinϕ0),
где S – безразмерный параметр.
В [7, 8] построены уравнения малых колебаний КА относительно ϕ0 и
на их основе исследованы закономерности движения в нерезонансных слу-
чаях. При построении уравнений движения КА с ГСС в [7, 8] введены ин-
тегральные параметры, характеризующие инерционные и аэродинамические
свойства КА. Определены диапазоны изменений этих параметров, а также
требования к области их изменения, для которой движение КА происходит в
режиме гравитационной стабилизации.
141
А.И.Маслова, А.В. Пироженко
1. Постановка задачи. Малые колебания КА как на круговой, так и
на слабоэллиптической орбите описываются уравнениями типа Хилла с пери-
одическими коэффициентами и периодической правой частью. Для круговой
орбиты уравнение малых колебаний имеет вид [7]
ϕ̃′′ + (k2 − δρ̃(τ))ϕ̃ = qρ̃(τ), (2)
где ϕ̃ – угол отклонения продольной оси КА от ее среднего положения; штрих
означает дифференцирование по безразмерному времени τ = ω0t; k – при-
веденная частота свободных колебаний КА; δ – малый коэффициент, нали-
чие которого обусловлено непостоянством коэффициента аэродинамического
момента; q – коэффициент, характеризующий амплитуду аэродинамического
момента.
На слабоэллиптической орбите малые колебания КА описываются урав-
нением [8]
z′′ + (k2 − δρ̃(ν) + χ cos ν)z = qρ̃(ν) + 2e sin ν, (3)
где z = ϕ̃(1 + e cos ν); e – эксцентриситет орбиты; ν – истинная аномалия;
штрих означает дифференцирование по ν; k, δ, q – имеют тот же смысл, что
и на круговой орбите; χ – малая величина, зависящая от e.
Уравнения (2), (3) можно отнести к более общему виду уравнений
ÿ + (k2 + εP (t))y = F (t), (4)
где y – искомая величина; k – постоянный коэффициент; ε ≪ 1 – малый пара-
метр; t – независимая переменная; P (t), F (t) – функции, которые могут быть
представлены в виде линейной комбинации синусов и косинусов с частотами
aPi, i =1, 2, . . ., l, и aF i, i =1, 2, . . ., m, соответственно.
Выделение малого параметра в (4) подразумевает, что другие параметры
системы и начальные условия y0, ẏ0 являются величинами порядка единицы,
т.е. k, y0, ẏ0, APi, AF i ∼1, где APi, AF i – амплитуды функций P (t) и F (t) при
соответствующих частотах.
В [7] была разработана методика исследования уравнений вида (4) в нере-
зонансных случаях и построены [7, 8] приближенные аналитические решения
уравнений (2), (3) соответственно. Показано, что приведенная частота соб-
ственных колебаний не может принимать целых значений (1.17≤ k ≤1.76),
в то время как частоты aPi и aF i являются целыми числами. Было также
показано, что резонансные движения КА в рассматриваемом случае могут
возникать только при близости удвоенной частоты собственных колебаний к
утроенной частоте орбитального движения, т.е. когда 2k ≈ 3.
В данной статье рассматривается движение КА при параметрическом ре-
зонансе 2k ≈ 3. Целью исследований является определение основных законо-
мерностей движения КА при таком резонансе.
142
Параметрический резонанс в колебаниях КА
Анализ общеизвестных методик исследований уравнений Хилла типа (4)
[9–11] показал, что они не вполне подходят для рассматриваемой задачи. Де-
ло в том, что в большинстве своем эти методики направлены на определение
границ областей устойчивости уравнения и на построение высокоточных его
решений. При этом предлагаемые процедуры достаточно громоздки и носят
характер формальных математических преобразований, далеких от механи-
ческого содержания. В рассматриваемом же случае уравнения (2), (3) лишь
приблизительно описывают динамику КА. И дело не только в линеаризации
исходных уравнений. Сама модель динамики носит приближенный характер.
Например, модель (1) плотности атмосферы не учитывает эволюцию орбиты
КА, а также сезонные и другие долгопериодические изменения плотности, не
говоря уже о случайных ее вариациях [1]. Принятую модель динамики можно
считать достаточно точной на промежутке времени 2 – 3-х суток, т.е. не более
50 витков КА по орбите. В такой постановке задачи громоздкие построения
точных границ устойчивости и точных решений уравнения (4) просто не име-
ют смысла.
Отметим, что уравнения (4) отличаются от большинства рассматривае-
мых аналогичных уравнений отсутствием малого параметра в правой части
уравнений. Это относится, в частности, к уравнениям эксцентриситетных ко-
лебаний спутника в плоскости орбиты [3, 4]. Отметим также, что в отличие
от исследований эксцентриситетных колебаний [3, 4] целью проводимых ис-
следований является не определение амплитудно-частотных характеристик
установившихся режимов, а изучение закономерностей изменения малых ко-
лебаний при резонансе. Эти особенности уравнений и постановки цели иссле-
дований и определяют особенности предлагаемой методики.
2. Методика исследования движения в окрестности параметри-
ческого резонанса. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (4) с началь-
ными условиями y0, ẏ0, когда удвоенная собственная частота близка к частоте
изменения параметра, т.е. 2k ≈ aP , где aP – одна из частот aPi. Без потери
общности будем считать, что свободные члены P (t), F (t) равны нулю.
Понижение порядка правой части уравнения осуществляется заменой
переменных, основанной на выделении в решении вынужденных колебаний
системы при ε = 0. Для исследования решений уравнения (4) введем новую
переменную y1 y1 = y − ỹ0,
где ỹ0 – частное решение уравнения ¨̃y+ k2ỹ = F (t), описывающее вынужден-
ные колебания, т.е.
ỹ0 =
m∑
i=1
AF i
k2 − (aF i)2
sin(aF it+ βF i),
где βF i – сдвиг фазы, соответствующий частоте aF i, при представлении F (t)
143
А.И.Маслова, А.В. Пироженко
в ряд по синусам. Так как система не находится в окрестности линейного
резонанса, то амплитуда каждого слагаемого имеет порядок единицы.
Уравнение для y1 запишется в виде
ÿ1 + (k2 + εP (t))y1 = −εP (t)ỹ0 = εF1(t); (5)
F1(t) можно представить в виде суммы свободного члена и линейной комби-
нации элементарных тригонометрических функций с частотами |aPi ± aF i|.
Заменой переменных ỹ1 = y1 − y01, где y01 = εF10/k
2, а F10 – свободный
член F1, приведем уравнение (5) к виду уравнения (4), но с правой частью,
пропорциональной ε
¨̃y1 + (k2 + εP (t))ỹ1 = ε(F1 − P (t)y01) = εF̃1(t). (6)
К частотам F1 в F̃1 прибавятся частоты aPi. Изменятся также и начальные
условия
ỹ1(0) = y0 − y01 −
m∑
i=1
AF i sin(βF i)
k2 − (aF i)2
, ˙̃y1(0) = ẏ0 −
m∑
i=1
aF iAF i cos(βF i)
k2 − (aF i)2
.
Таким образом, проведенная замена переменных позволила явно ввести
в правую часть уравнений (4) малый параметр, что дает возможность при-
менить асимптотические методы для исследования движений. Отметим, что
процедура понижения порядка правой части уравнения (построения частного
решения (4)) может быть продолжена.
Построение системы сравнения выполняется в соответствии с известной
методикой метода усреднения [10, 11]. Введем в уравнении (6) новые пере-
менные B и w – амплитуду и фазу колебаний ỹ1
ỹ1 = B cosw, ˙̃y1 = −Bk sinw.
Нетрудно получить, что уравнения для B и w имеют вид
Ḃ =
εB
2k
P (t) sin 2w −
ε
k
F̃1(t) sinw,
ẇ = k +
ε
k
P (t) cos2w −
ε
kB
F̃1(t) cosw,
(7)
т.е. приводятся к виду, стандартному для применения метода усреднения.
Так как фаза колебаний w меняется с частотой k, то для исследования
движения в окрестности параметрического резонанса 2k ≈ aP удобно ввести
новую переменную α = w −
1
2
aP t. Тогда система (7) принимает вид
Ḃ =
εB
2k
P (t) sin(2α + aP t)−
ε
k
F̃1(t) sin(α+
1
2
aP t),
α̇ = k −
1
2
aP +
ε
k
P (t) cos2(α+
1
2
aP t)−
ε
kB
F̃1(t) cos(α+
1
2
aP t).
(8)
144
Параметрический резонанс в колебаниях КА
Поскольку 2k ≈ aP , то можно считать, что k−
1
2
aP – малая величина. Тогда
B и α являются медленными переменными, а быстрой переменной – время t.
Применим процедуру усреднения по времени к системе (8). Нетрудно ви-
деть, что при aF i 6=
1
2
aP слагаемые, отражающие неоднородность уравнения
движения (6) (содержащие F̃1(t)), обнулятся.
Представим P (t) в виде
P (t) = AP cos(aP t+ γP ) + P (t), (9)
где AP , γP – амплитуда и сдвиг фазы гармоники с частотой aP при разло-
жении функции P (t) в ряд по косинусам; P (t) – часть разложения функции
P (t) в ряд по косинусам, не содержащая частоту aP .
Учитывая (9), осредненную систему уравнений можно записать в виде
˙̃
B =
AP εB̃
4k
sin(α), (10)
α̇ = 2k − aP +
AP ε
2k
cos(α), (11)
где α = 2α̃−γP – усредненный сдвиг фазы между удвоенной фазой собствен-
ных колебаний и фазой изменения параметра.
Система уравнений (10), (11) является системой сравнения для уравнения
(6): решение системы уравнений (10), (11) с точностью порядка ε описывает
решение уравнения (6) на интервале времени порядка 1/ε.
Учитывая все замены переменных, получаем, что в рассматриваемом слу-
чае параметрического резонанса решение уравнения (4) в первом приближе-
нии является суммой вынужденных колебаний неоднородного уравнения с
постоянными коэффициентами, получаемого из (4) при ε = 0, малой кон-
станты y01 и решения следующего уравнения Матье
¨̃y1 + (k2 +AP ε cos(aP t+ γP ))ỹ1 = 0. (12)
Следовательно, в рассматриваемом случае влияние неоднородности уравне-
ния (4) на резонансные колебания в первом приближении сказывается только
в изменении начальной амплитуды.
Анализ движения в окрестности параметрического резонанса направлен
на определение основных закономерностей и отличается от известных иссле-
дований (см., напр., [10, 11]).
Отметим, что уравнение (11) для α интегрируется и сводится к табличным
интегралам. Эти интегралы, вообще говоря, позволяют определить законо-
мерности изменений решений системы (10), (11), но их громоздкие выраже-
ния существенно затрудняют анализ.
Будем предполагать, что начальное значение α0 сдвига фаз α может при-
нимать произвольные значения на отрезке [0, 2π], AP>0. Тогда для любых
145
А.И.Маслова, А.В. Пироженко
соотношений частот, при α0 ∈ (π, 2π), на начальном интервале времени будет
наблюдаться уменьшение амплитуды колебаний – случай
”
противофазного“
изменения параметра. В силу медленности изменения α это уменьшение ам-
плитуды может быть достаточно продолжительным.
1) При соотношении частот таком, что |2k − aP | > |
AP ε
2k
|, функция α –
монотонна во времени. Переходя в этом случае в уравнении (10) к диффе-
ренцированию по α, нетрудно получить, что B̃ изменяется по закону
B̃ = B̃0
√
|µ+ 2cos(α0)|√
|µ+ 2cos(α)|
, µ =
2k − aP
AP ε/4k
, (13)
где B̃0, α0 – начальные значения амплитуды и сдвига фаз соответственно;
µ – постоянный коэффициент (|µ| > 2).
Выражение (13) описывает режим движения долгопериодического изме-
нения амплитуды собственных колебаний в зависимости от изменения сдвига
фаз α. При определенных параметрах и начальных значениях сдвига фаз
α0, когда величина |µ| близка к 2, рост амплитуды может быть настолько
значителен, что нарушается возможность использования уравнений малых
колебаний. В этом режиме движения, устойчивом с математической точки
зрения, существует область параметров, в которой возможным является дви-
жение со столь большой амплитудой, что теряется физическая и техническая
устойчивость системы.
На рис. 1 представлены результаты расчетов решения уравнения Матье
(12) при следующих значениях параметров и начальных условий: AP = 3.75,
k = 1.5616, ε = 0.1, γP = 0, y(0) = 1, ẏ(0) = 0. Сплошной линией изоб-
ражено численное решение уравнения (12), жирной линией с кружочками
– изменение усредненной амплитуды колебаний B̃. Рис. 1 наглядно демон-
стрирует свойства решения усредненной системы: высокую точность на на-
чальном ∼ 1/ε промежутке времени, и отражение основной закономерности
изменения решения неусредненной системы. Как видно из рисунка, амплиту-
да колебаний может возрастать более чем в 10 раз. В этом случае говорить
о физической устойчивости малых колебаний некорректно.
2) При соотношении частот таком, что |2k − aP | < |
AP ε
2k
|, из уравнения
(11) получим, что существует два положения равновесия αc, определяемые
условием 2k − aP +
AP ε
2k
cos(αc) = 0. Из уравнения (11) и его квадратуры
следует, что положение равновесия устойчиво, если sin(αc) > 0, и неустойчи-
во, если sin(αc) < 0. Это становится очевидным, если рассмотреть уравнения
малых изменений α
δα̇ = 2k − aP +
AP ε
2k
cos(αc)−
AP ε
2k
δα sin(αc), α = αc + δα.
146
Параметрический резонанс в колебаниях КА
0 60 120 180 240 300 360
t
15
10
5
0
-5
-10
y
Рис. 1. Решение уравнения Матье (12) в случае близости
системы к параметрическому резонансу.
Таким образом, в этом режиме движения сдвиг фаз α стремится к свое-
му устойчивому положению равновесия αc. При α = αc = const амплитуда
колебаний растет по экспоненциальному закону
B̃ = B̃0e
AP ε
4k
sin(αc)(t−t0),
где B̃0 – значение амплитуды в начальный момент времени t0.
На рис. 2 представлены, аналогично рис. 1, результаты расчетов решения
уравнения (12) при следующих значениях параметров и начальных условий:
AP = 2.3, k = 1.5373, ε = 0.1, γP = 3π/4, y(0) = 10, ẏ(0) = 0. Как ви-
дим, отмеченные свойства решения усредненной системы не меняются и при
экспоненциальном росте амплитуды. Из рис. 2 также видно, что на началь-
ном этапе может происходить существенное и достаточно продолжительное
уменьшение амплитуды колебаний.
0 60 120 180 240 300
t
100
50
0
-50
-100
y
Рис. 2. Решение уравнения Матье (12) при параметрическом
резонансе.
147
А.И.Маслова, А.В. Пироженко
Граница области неустойчивости движения определяется равенством
|2k − aP | = |
AP ε
2k
|. Отсюда
1
4
−
1
2
AP ε
a2
P
−
1
4
(
AP ε
a2
P
)2
+ ... ≤
k2
a2
P
≤
1
4
+
1
2
AP ε
a2
P
−
1
4
(
AP ε
a2
P
)2
+ ... . (14)
В теории колебаний найдены решения и области устойчивости уравнения
Матье (см., напр., [12]). Первая область неустойчивости этого уравнения в
обозначениях выражения (14) имеет вид
1
4
−
1
2
AP ε
a2
P
−
1
8
(
AP ε
a2
P
)2
+ ... ≤
k2
a2
P
≤
1
4
+
1
2
AP ε
a2
P
−
1
8
(
AP ε
a2
P
)2
+ ... . (15)
Соотношения (14) и (15) в первом приближении по ε совпадают.
Рассмотрим случай, когда |2k−aP | > |
AP ε
2k
|. Вообще говоря, тогда |µ| > 2
и амплитуда B̃ никогда не становится бесконечно большой. Однако при
|µ| ≈ 2 рост амплитуды может быть существенным. Рассматривая макси-
мально возможную амплитуду B̃ в зависимости от α0, получим, что ампли-
туда колебаний B̃ может увеличиваться относительно начального значения
B̃0 более чем в N раз при выполнении условия
|µ|+ 2
|µ| − 2
> N2, или при
1
4
− χ− χ2 + ... ≤
k2
a2
P
≤
1
4
+ χ− χ2 + ..., где χ =
N2 + 1
N2 − 1
AP ε
2a2
P
. (16)
На рис. 3 изображены об-
1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
k
Çîíà íåóñòîé÷èâîñòè
äâèæåíèÿ
Çîíà ðîñòà
àìïëèòóäû
ìåíåå, ÷åì â
ðàçàN=3
Çîíà óñòîé÷èâîñòè, íî
áîëüøîãî ðîñòà àìïëèòóäû
Рис. 3. Области устойчивости движения.
ласти устойчивости уравнения
Матье при AP = 2.3. Грани-
цы областей неустойчивости 1
и 2 рассчитаны по формулам
(14) и (15) соответственно. Как
видим, они практически совпа-
дают. Границей 3, рассчитан-
ной по (16), выделена область
изменения частоты, в которой
возможно увеличение началь-
ной амплитуды более чем в 3
раза.
3. Численные оценки. Численные исследования решений уравнения
(4) и их сравнение с приближенным решением, построенным согласно из-
ложенной методике, дали следующие результаты. На начальном интервале
148
Параметрический резонанс в колебаниях КА
времени наблюдается хорошее совпадение приближенного и точного реше-
ний. Приближенное решение верно отражает закономерность изменения ре-
шения исходного уравнения. Вместе с тем, с течением времени отличия меж-
ду приближенным и точным решениями растут. Причем рост этих отличий
несколько выше, чем для уравнения Матье.
Отметим, что параметрический резонанс в уравнении Хилла имеет место
и при других соотношениях частот k/aP ≈ m/2, где m = 1, 2, . . . [13]. Чем
больше m, тем слабее его проявление, а в первом приближении по ε проявля-
ется только основной резонанс m = 1. Так как в уравнениях (2), (3) параметр
содержит гармонику aP = 1, то в движении системы имеет место и резонанс
k/aP ≈ 3/2. Однако, его проявление в рассматриваемом случае незначитель-
но. Численные исследования уравнения (4) показали также, что при сочета-
нии двух гармоник с частотами aP1 = 1 и aP2 = 2 (AP3 = 0) имеет место
усиление параметрического резонанса. По-видимому, в этом случае возника-
ет своего рода комбинационный параметрический резонанс [9] 2k ≈ aP1+aP2
(при комбинации возмущающих, а не собственных частот).
Анализ движения КА с ГСС в случае, когда 2k ≈ 3, дал следующие ре-
зультаты. Область неустойчивости малых колебаний очень узка: интервал
неустойчивости лежит в границах ошибки определения частоты собственных
колебаний КА, связанных, например, с неточностью задания моментов инер-
ции КА. Изменения амплитуды колебаний при параметрическом резонансе
не превосходят единиц процентов от амплитуды вынужденных колебаний на
рассматриваемом промежутке времени (порядка 50 витков по орбите).
Так, при движении КА j
1
2
0 10 20 30 40 50
14
10
6
2
-2
-6
-10
-14
Рис. 4. Колебания КА при параметрическом
резонансе.
с ГСС по круговым орби-
там произведение AP ε опре-
деляется следующим обра-
зом: AP ε = 3Isσab3 cosϕ0,
где I = (A − C)/B. Ра-
нее было показано [7], что
для рассматриваемых дви-
жений КА с ГСС 0.5 ≤ I <
< 1, s ≤ 0.1, σa ≤ 0.5,
b3 ≤ 0.02, ϕ0 ≤ 6◦. То-
гда для рассматриваемых
круговых орбит максималь-
ное значение произведения
AP ε, которое определяет изменение амплитуды колебаний и ширину области
неустойчивости движения при параметрическом резонансе, очень мало AP ε ≈
≈ 0, 003. Области неустойчивости движения будут очень узкими. Экспоненци-
альный рост амплитуды колебаний на круговых орбитах будет наблюдаться
в случаях, когда приведенная частота собственных колебаний изменяется в
диапазоне 1.4995 ≤ k ≤ 1.5005, т.е. отличается от резонансной частоты на
149
А.И.Маслова, А.В. Пироженко
десятитысячные величины. Диапазон изменения частоты, при котором ам-
плитуда будет увеличиваться более, чем в 3 раза, также довольно узкий и
слабо отличается от резонансной частоты: 1.4994 ≤ k ≤ 1.5006.
На рис. 4 представлены результаты расчетов движения КА практически
с максимально возможным эффектом параметрического резонанса. Изобра-
жено изменение угла ϕ̃ в градусах в зависимости от времени τ , выраженного
в количестве витков КА по орбите. Расчеты приводятся для КА с I = 0.8078,
σa = 0.5, s = 0.1, ϕ0 ≤ 6◦, тогда k = 1.5 при движении по круговой полярной
орбите на высоте 625 км; плоскость орбиты проходит через максимальное зна-
чение плотности в ее суточном распределении, b3 = 0.018; начальные условия
нулевые.
Результаты численных расчетов уравнения (2) (пунктир 1) и результаты
расчетов согласно предложенной методике (линия 2) на интервале времени
τ , соответствующем 50 виткам по орбите, практически совпадают. На рис. 4
представлен случай движения КА при параметрическом резонансе, когда ам-
плитуда сначала убывает. Как видим, убывание амплитуды продолжается на
протяжении всех 50 витков, при этом амплитуда ϕ̃ уменьшилась приблизи-
тельно на 0.4◦.
Выводы. Исследовано движение КА при параметрическом резонансе,
обусловленном переменностью аэродинамического момента, когда удвоенная
частота собственных колебаний близка к утроенной частоте орбитального
движения. Показано, что малые колебания КА относительно центра масс
на слабоэллиптических орбитах описываются уравнением типа Хилла. Раз-
работана методика исследований уравнений типа Хилла, позволяющая опре-
делять основные закономерности решений. Показано, что область неустой-
чивости малых колебаний очень узка: интервал неустойчивости лежит в гра-
ницах ошибки определения частоты собственных колебаний КА, связанных,
например, с неточностью задания моментов инерции КА. Изменения ампли-
туды колебаний КА при параметрическом резонансе не превосходят единиц
процентов от амплитуды вынужденных колебаний на рассматриваемом про-
межутке времени порядка 50 витков по орбите.
1. Маслова А.И., Пироженко А.В. Изменения плотности атмосферы при движении кос-
мических аппаратов на низких околоземных орбитах // Космiчна наука i технологiя.
– 2009. – 15, №1. – С. 13–18.
2. Маслова А.И., Пироженко А.В. Аппроксимация момента аэродинамических сил, дей-
ствующих на космический аппарат с гравитационной системой стабилизации // Техн.
механика. – 2008. – №1. – С. 9–20.
3. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М. :
Наука, 1965. – 416 с.
4. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле.
– М.: Изд-во Москов. ун-та, 1975. – 308 с.
5. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и тех-
ники: исследование космического пространства. – М.: ВИНИТИ, 1978. – 223 с.
150
Параметрический резонанс в колебаниях КА
6. Сарычев В.А. Влияние сопротивления атмосферы на систему гравитационной ста-
билизации искусственных спутников Земли // Космич. исслед. – 1964. – 2, №1. –
С. 23 – 32.
7. Маслова А.И., Пироженко А.В. Влияние переменности аэродинамического момента
на динамику гравитационно-стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты //
Техн. механика. – 2009. – №3. – С. 87–97.
8. Маслова А.И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гра-
витационно стабилизированного КА в плоскости слабоэллиптической орбиты // Там
же. – 2009. – №4. – С. 68–76.
9. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных систе-
мах. – М. : Наука, 1987. – 328 с.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелиней-
ных колебаний. – М. : Наука, 1974. – 504 с.
11. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев. : Наукова
думка, 1971. – 440 с.
12. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1991. – 256 с.
13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984. –
272 с.
A.I. Maslova, A.V. Pirozhenko
Parametric resonance in oscillations of the spacecraft at effect of the variable
aerodynamic moment
The motion of a spacecraft in a mode of gravitational stabilization when the double frequency
of own oscillations is close to triple frequency of orbital motion is considered. Researches are
carried in view of atmosphere density changes at spacecraft orbital motion and relation of
the aerodynamic moment coefficient to orientation of spacecraft. On the basis of a method of
averaging the technique of research of Hilla’s type equations solutions is constructed and main
laws of spacecraft motion in a considered case are determined.
Keywords: spacecraft motion, parametric resonance, Hilla’s equations, method of averaging.
Г.I.Маслова, О.В.Пироженко
Параметричний резонанс в коливаннях космiчного апарату при впливi
змiнного аеродинамiчного моменту
Розглядається рух космiчного апарату (КА) в режимi гравiтацiйної стабiлiзацiї, коли по-
двоєна частота власних коливань близька до потроєної частоти орбiтального руху. Дослi-
дження проводяться з урахуванням змiн щiльностi атмосфери при орбiтальному русi КА
та залежностi коефiцiєнта аеродинамiчного моменту вiд орiєнтацiї КА. На основi методу
усереднення побудовано методику дослiдження розв’язкiв рiвнянь типу Хiлла i визначено
основнi закономiрностi руху КА в розглянутому випадку.
Ключовi слова: рух космiчного апарату, параметричний резонанс, рiвняння Хiлла, метод
усереднення.
Ин-т техн. механики НАН Украины и НКА Украины,
Днепропетровск
maslova_anjyta@mail.ru
Получено 15.03.10
151
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28051 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:21:27Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Маслова, А.И. Пироженко, А.В. 2011-10-26T19:56:41Z 2011-10-26T19:56:41Z 2010 Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 140-151. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28051 629.78, 534.01 Рассматривается движение космического аппарата (КА) в режиме гравитационной стабилизации, когда удвоенная частота собственных колебаний близка к утроенной частоте орбитального движения. Исследования проводятся с учетом изменений плотности атмосферы при орбитальном движении КА и зависимости коэффициента аэродинамического момента от ориентации КА. На основе метода усреднения построена методика исследования решений уравнений типа Хилла и определены основные закономерности движения КА в рассматриваемом случае. Розглядається рух космiчного апарату (КА) в режимi гравiтацiйної стабiлiзацiї, коли подвоєна частота власних коливань близька до потроєної частоти орбiтального руху. Дослiдження проводяться з урахуванням змiн щiльностi атмосфери при орбiтальному русi КА та залежностi коефiцiєнта аеродинамiчного моменту вiд орiєнтацiї КА. На основi методу усереднення побудовано методику дослiдження розв’язкiв рiвнянь типу Хiлла i визначено основнi закономiрностi руху КА в розглянутому випадку. The motion of a spacecraft in a mode of gravitational stabilization when the double frequency of own oscillations is close to triple frequency of orbital motion is considered. Researches are carried in view of atmosphere density changes at spacecraft orbital motion and relation of the aerodynamic moment coefficient to orientation of spacecraft. On the basis of a method of averaging the technique of research of Hilla’s type equations solutions is constructed and main laws of spacecraft motion in a considered case are determined. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента Параметричний резонанс в коливаннях космiчного апарату при впливi змiнного аеродинамiчного моменту Parametric resonance in oscillations of the spacecraft at effect of the variable aerodynamic moment Article published earlier |
| spellingShingle | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента Маслова, А.И. Пироженко, А.В. |
| title | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| title_alt | Параметричний резонанс в коливаннях космiчного апарату при впливi змiнного аеродинамiчного моменту Parametric resonance in oscillations of the spacecraft at effect of the variable aerodynamic moment |
| title_full | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| title_fullStr | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| title_full_unstemmed | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| title_short | Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| title_sort | параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии переменного аэродинамического момента |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28051 |
| work_keys_str_mv | AT maslovaai parametričeskiirezonansvkolebaniâhkosmičeskogoapparataprivozdeistviiperemennogoaérodinamičeskogomomenta AT piroženkoav parametričeskiirezonansvkolebaniâhkosmičeskogoapparataprivozdeistviiperemennogoaérodinamičeskogomomenta AT maslovaai parametričniirezonansvkolivannâhkosmičnogoaparatuprivplivizminnogoaerodinamičnogomomentu AT piroženkoav parametričniirezonansvkolivannâhkosmičnogoaparatuprivplivizminnogoaerodinamičnogomomentu AT maslovaai parametricresonanceinoscillationsofthespacecraftateffectofthevariableaerodynamicmoment AT piroženkoav parametricresonanceinoscillationsofthespacecraftateffectofthevariableaerodynamicmoment |