Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний
Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний механической системы, содержащей маятниковый гаситель колебаний. Выделены связанная и локализованная формы колебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэтому эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброг...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28053 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний / А.А. Клименко, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 162-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859806382087208960 |
|---|---|
| author | Клименко, А.А. Михлин, Ю.В. |
| author_facet | Клименко, А.А. Михлин, Ю.В. |
| citation_txt | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний / А.А. Клименко, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 162-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний механической системы, содержащей маятниковый гаситель колебаний. Выделены связанная и локализованная формы колебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэтому эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброгашения. Изучена устойчивость форм колебаний.
Розглянуто нелiнiйнi нормальнi форми коливань механiчної системи, що мiстить маятниковий гаситель коливань. Видiлено зв’язану та локалiзовану форми коливань. В останньому випадку основна енергiя коливань зосереджена в маятнику, тому ця форма коливань найбiльш сприятлива для вiброгасiння. Вивчено стiйкiсть форм коливань.
The nonlinear normal vibration modes of a mechanical system having the pendulum vibration absorber, are considered. The coupled and localized vibration modes are selected. In the last case the main vibration energy is concentrated in the pendulum, so this vibration mode is the most appropriate for the vibration absorption. The modes stability is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:16:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.36
c©2010. А.А. Клименко, Ю.В.Михлин
НЕЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ С МАЯТНИКОВЫМ ГАСИТЕЛЕМ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний механической системы, содержа-
щей маятниковый гаситель колебаний. Выделены связанная и локализованная формы ко-
лебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэто-
му эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброгашения. Изучена устойчивость
форм колебаний.
Ключевые слова: маятниковый гаситель колебаний, нелинейные нормальные формы ко-
лебаний.
Введение. Маятниковые системы, изучение динамики которых продол-
жается и в настоящее время, представляют большой интерес для нелинейной
теории колебаний [1–3]. Известны также многочисленные применения подоб-
ных систем в технике, в частности, в задачах виброгашения [4–6], а также при
описании физических процессов [7, 8]. Несмотря на то, что движения маятни-
ковых систем детально изучались как в прошлом [9], так и в последнее время
[10, 11], аналитические результаты получены только лишь для колебаний с
относительно небольшими амплитудами. В настоящей работе рассмотрена
динамика маятниковой системы, которая имеет отношение к гашению коле-
баний механических систем. Новые методы теории возмущений в сочетании
с вычислительными процедурами используются для построения и анализа
устойчивости нелинейных нормальных форм [12–14] как для малых, так и
для больших амплитуд колебаний.
k
x
l
m1
m2
θ
Рис. 1. Модель механической системы.
1. Построение нелиней-
ных нормальных форм колеба-
ний. Рассматриваются свободные ко-
лебания системы с двумя степенями
свободы, модель которой представле-
на на рис. 1. В представленной модели
механическая система, колебания кото-
рой необходимо загасить, представля-
ет собой точечную массу m1 на линей-
ной пружине с жесткостью k. К ли-
нейному осциллятору присоединен ма-
ятниковый гаситель колебаний с мас-
сой m2 и длиной l. Колебания системы
описываются двумя обобщенными ко-
ординатами x (смещение массы m1) и
θ (угол отклонения маятника с массой
162
Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем
m2). Уравнения движения системы имеют следующий вид:
{
(m1 +m2) ẍ+m2lθ̈ cos θ −m2lθ̇
2 sin θ + kx = 0,
ẍ cos θ + lθ̈ + g sin θ = 0.
(1)
Функции cos θ и sin θ раскладываются в ряд Маклорена, причем отбра-
сываются слагаемые, содержащие θ в степени, выше третьей. Сделаем пред-
положение о малости массы маятника по отношению к массе основной линей-
ной подсистемы, вводя преобразование m2 → εm2, где ε – малый параметр.
Это предположение вводится из соображений инженерной практики. Теперь
уравнения движения принимают вид
(m1 + εm2) ẍ+ εm2lθ̈
(
1−
θ2
2
)
− εm2lθ̇
2
(
θ −
θ3
6
)
+ kx = 0,
ẍ
(
1−
θ2
2
)
+ lθ̈ + g
(
θ −
θ3
6
)
= 0.
(2)
В системе (2) можно выделить две формы колебаний:
а) форма связанных колебаний x = x(t), θ = θ(t), когда амплитуды дви-
жений по двум обобщенным координатам сравнимы;
б ) локализованная форма колебаний (имеются незначительные смещения
массы m1 наряду с большими колебаниями гасителя m2).
Построение форм колебаний методом многих масштабов. Для постро-
ения первой формы колебаний используются ряды по малому параметру:
x = x0 + εx1 + ε2x2 + ..., θ = θ0 + εθ1 + ε2θ2 + ..., а также метод многих
масштабов, в соответствии с которым решение зависит от различных времен-
ных масштабов: x(t, ε) = x(T0, T1, T2, ...; ε); θ(t, ε) = θ(T0, T1, T2, ...; ε), где
T0 = t, T1 = εt, T2 = ε2t, ... [15]. Уравнения, определяющие движение си-
стемы по первой нелинейной форме колебаний, записываются таким образом
m1
∂2x0
∂T 2
0
+ kx0 + ε
(
m1
(
∂2x1
∂T 2
0
+ 2
∂2x0
∂T0∂T1
)
+m2
∂2x0
∂T 2
0
+ kx1
)
+
+εm2l
(
∂2θ0
∂T 2
0
(
1−
1
2
θ20
)
−
(
∂θ0
∂T0
)2(
θ0 −
1
6
θ30
)
)
+ ... = 0,
∂2x0
∂T 2
0
(
1−
1
2
θ20
)
+ l
∂2θ0
∂T 2
0
+ g
(
θ0 −
θ3
0
6
)
+ εl
(
∂2θ1
∂T 2
0
+ 2
∂2θ0
∂T0∂T1
)
+
+ε
((
1−
1
2
θ20
)(
gθ1 +
(
∂2x1
∂T 2
0
+ 2
∂2x0
∂T0∂T1
))
− θ0θ1
∂2x0
∂T 2
0
)
+ ... = 0.
(3)
Уравнения нулевого и первого приближений, которые здесь не приводят-
ся, получаются путем приравнивания нулю соответствующих коэффициентов
при ε0 и ε1.
163
А.А.Клименко, Ю.В. Михлин
На рис. 2 сравниваются решения, полученные методом многих масшта-
бов и путем численного интегрирования с использованием процедуры Рунге–
Кутта. На рис. 2, а показано изменение во времени переменной x, а на
рис. 2, б – переменной θ. Расчет проводился при следующих значениях па-
раметров системы: m1 = 1, m2 = 0.1, l = 1, k = 5, ε = 0.1 с начальными
условиями x(0) = 0.1, ẋ(0) = 0, θ(0) = −1.3, θ̇(0) = 0. Сравнение демон-
стрирует хорошую точность аналитического расчета.
x
t
0.6
0.2
−0.2
−0.6
a
t
θ
1
0
−1
б
Рис. 2. Первая форма колебаний.
Построение траектории формы связанных колебаний. Далее использует-
ся построение форм колебаний с использованием траекторий в конфигура-
ционном пространстве [12–14]. Этот метод позволяет получать решения без
ограничений на амплитуды колебаний. Траекторию связанной формы коле-
баний ищем в виде однозначной функции θ = θ(x). В таком случае исполь-
зуются соотношения θ̇ = θ′ẋ, θ̈ = θ′′ẋ2+θ′ẍ, где штрихом обозначено диффе-
ренцирование по новой независимой переменной x. Кинетическую энергию
запишем в таком виде:
K =
1
2
m1ẋ
2+
1
2
m2εẋ
2
[
1 + 2lθ′
(
1−
θ2
2
)
+ l2θ′2
]
= ẋ2 (K0 + εK1) = ẋ2K̃, (4)
где K̃ = K0 + εK1, K0 =
1
2
m1, K1 =
1
2
m2
[
1 + 2lθ′
(
1−
θ2
2
)
+ l2θ′2
]
.
Потенциальная энергия запишется следующим образом:
V =
1
2
kx2 +
1
2
εm2glθ
2 = V0 + εV1; V0 =
1
2
kx2, V1 =
1
2
m2glθ
2. (5)
Из интеграла энергии и уравнения (4) можно получить
ẋ2 =
K
K0 + εK1
=
h− V
K̃
. (6)
164
Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем
Из первого уравнения системы (2) с учетом (6) находим
ẍ =
−kx
m1 + εm2 + εm2lθ′(1−
θ2
2
)
+
εm2l(h− V )
[
θ′2(θ − θ3
6
)− θ′′(1− θ2
2
)
]
K̃
[
m1 + εm2 + εm2lθ′(1−
θ2
2
)
] . (7)
После подстановки выражений (6) и (7) во второе уравнение системы (2) по-
лучаем уравнение для определения траектории первой нелинейной нормаль-
ной формы колебаний θ = θ(x) в конфигурационном пространстве:
(h− V )εm2l
[
θ′2
(
θ −
θ3
6
)
− θ′′
(
1−
θ2
2
)](
lθ′ + 1−
θ2
2
)
+
+ (h− V ) lθ′′
[
m1 + εm2 + εm2lθ
′
(
1−
θ2
2
)]
+ (8)
+ K̃
{
−kx
(
lθ′ + 1−
θ2
2
)
+ g
(
θ −
θ3
6
)[
m1 + εm2 + εm2lθ
′
(
1−
θ2
2
)]}
= 0.
Уравнение (8) имеет особую точку на максимальной изоэнергетической по-
верхности h − V = 0, где все скорости обращаются в нуль. Аналитическое
продолжение траектории на эту поверхность возможно, если реализуется гра-
ничное условие [12–14]
K̃
[
−kx
(
lθ′ + 1−
θ2
2
)
+ g
(
θ −
θ3
6
)[
m1 + εm2 + εm2lθ
′
(
1−
θ2
2
)]]
= 0, (9)
которое должно выполняться при амплитудных значениях x = x0 с ẋ = 0.
Решение уравнения (8), следуя [12–14], ищем в виде ряда по степеням
малого параметра: θ = θ(x) = θ0 + εθ1 + ..., где θ0 и θ1 в свою очередь
представляются рядами по степеням x: θ0 = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ...;
θ1 = b0+ b1x+ b2x
2+ b3x
3+ ... . Эта методика решения разработана в работах
[12–14].
Подставляя эти ряды в уравнения (8) и (9) и выделяя вначале слагае-
мые порядка ε0 и ε1, а затем группируя слагаемые, стоящие при x0 и x1,
получаем уравнения для определения коэффициентов рядов.
В нулевом приближении по малому параметру имеем:
ε0: x0: 2hla2 +
1
2
m1g
(
a0 −
1
6
a30
)
= 0; (10)
x : 6hla3 +
1
2
[
m1ga1
(
1−
a2
0
2
)
− k
(
la1 + 1−
a2
0
2
)]
= 0 (11)
и так далее, а граничные условия имеют вид (при амплитудных значени-
ях x = x0):
m1g
(
x (a1 + a2x)
(
1−
1
2
a20
)
−
1
6
a30 + a0 −
1
2
a0a
2
1x
2
)
+
+kx
(
1
2
a20 + a0a1x− 1− la1 − 2xla2
)
= 0.
(12)
165
А.А.Клименко, Ю.В. Михлин
Полная энергия системы также раскладывается по малому параметру:
h = h0 + εh1. Полная энергия решения нулевого приближения по малому па-
раметру (при ε = 0) имеет вид h0 = V0 =
1
2
kx20. Вычисления в равенстве (12)
проводятся при амплитудных значениях x = x0, при этом ẋ = 0. Задавая
значения параметров системы m1, l, k и амплитуду колебаний (или энергию
системы) и разрешая систему уравнений (10)–(12), находим коэффициенты
ряда
θ0 = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + . . . .
0.1
0.1
0.05
0.05
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
x
θ
Рис. 3. Траектория первой нормальной
формы колебаний.
Аналогичным образом определяем ре-
шение первого приближения θ1 в виде
ряда по степеням x, разрешая уравне-
ния, полученные из равенств (8) и (9)
группированием членов порядка ε.
Траектория в конфигурационном
пространстве первой нормальной фор-
мы связанных колебаний в двух при-
ближениях по малому параметру пред-
ставлена на рис. 3. Аналитическое ре-
шение, полученное при тех же пара-
метрах и начальных условиях, что и
ранее, и проверочный числовой расчет
почти полностью совпадают. Траекто-
рия этой формы колебаний близка к
прямой линии, что используется далее
при исследовании устойчивости.
Траектория локализованной формы колебаний. Траекторию второй, лока-
лизованной, формы колебаний определим в виде функции x = x(θ).
В этом случае будем использовать следующие соотношения: ẋ = x′θ̇ и
ẍ = x′′θ̇2 + x′θ̈, где штрихом обозначено дифференцирование по θ. Тогда
кинетическая и потенциальная энергии представимы в виде
K = ε(K1 + εK2)θ̇
2 = K̃θ̇2, (13)
где K̃ = ε(K1 + εK2), K1 =
1
2
m2l
2θ̇2, K2 =
[
1
2
m1x
′2 +m2lx
′
(
1−
θ2
2
)]
θ̇2;
V =
1
2
ε
(
m2glθ
2 + εkx2
)
= ε
(
V1 + εV2
)
; V1 =
1
2
m2glθ
2, V2 =
1
2
kx2. (14)
Как и в случае первой формы колебаний, из интеграла энергии получаем
выражение для θ̇2, после чего из второго уравнения системы (2) получаем
выражение для θ̈. Теперь уравнение для определения траектории второй
нелинейной нормальной формы колебаний x = x(θ) в конфигурационном
166
Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем
пространстве приобретает вид
(h− V )
[
(m1 + εm2)(2x
′σ + l)x′′ + εm2l
(
x′′σ2 − (x′σ + l)
(
θ −
θ3
6
))]
+
+ K̃
[
kx
(
x′σ + l
)
+ g
(
θ −
θ3
6
)
(
x′ (m1 + εm2) + εm2lσ
)
]
= 0,
(15)
где σ = (1− θ2/2). Граничные условия, гарантирующие аналитическое про-
должение траектории на максимальную изоэнергетическую поверхность, за-
писываются так
K̃
[
kx
(
x′σ + l
)
+ g
(
θ −
θ3
6
)
(
x′ (m1 + εm2) + εm2lσ
)
]
= 0. (16)
Условия выполняются при амплитудных значениях θ = θ0, при этом θ̇ = 0.
0.50.25−0.25−0.5
0.002
0.001
−0.002
x
θ
Рис. 4. Траектория второй нормальной
формы колебаний.
Решение уравнения (15) ищем в ви-
де ряда по степеням малого параметра
x = x(θ) = εx1 + ε2x2 + ... , где x1 и
x2, в свою очередь, раскладываются в
ряды по степеням θ:
x1 = a0 + a1θ + a2θ
2 + a3θ
3 + ... ; (17)
x2 = b0 + b1θ + b2θ
2 + b3θ
3 + ... . (18)
Аналогично методике для построения
первой формы колебаний, описанной
выше, определяем коэффициенты ря-
дов (17) и (18). На рис. 4 представле-
на близкая к прямолинейной траекто-
рия второй, локализованной нормаль-
ной формы колебаний в конфигурационном пространстве системы.
2. Анализ устойчивости форм колебаний. Устойчивость связан-
ной формы колебаний. Анализ устойчивости форм колебаний вначале прово-
дится в упрощенной форме, с использованием приведения уравнения в вари-
ациях к виду уравнения Матье.
Поскольку траектория первой нормальной формы связанных колебаний
близка к прямой, то, повернув систему координат, устойчивость этой формы
будем определять вариациями в ортогональном к данной траектории направ-
лении (см. на рис. 5). Используя поворот системы координат 0xθ на угол α,
167
А.А.Клименко, Ю.В. Михлин
получаем вместо уравнений (2) систему уравнений в новых переменных x̃, θ̃:
(m1 + εm2)(¨̃x cosα−
¨̃θ sinα) + k(x̃ cosα− θ̃ sinα)−
−εm2l( ˙̃x sinα+
˙̃
θ cosα)2[ x̃ sinα+ θ̃ cosα−
1
6
(x̃ sinα+ θ̃ cosα)3]+
+εm2l(¨̃x sinα+ ¨̃θ cosα)[1 −
1
2
(x̃ sinα+ θ̃ cosα)2] = 0,
(¨̃x cosα−
¨̃
θ sinα)[1 −
1
2
(x̃ sinα+ θ̃ cosα)2] + l(¨̃x sinα+
¨̃
θ cosα)+
+g[ x̃ sinα+ θ̃ cosα−
1
6
(x̃ sinα+ θ̃ cosα)3] = 0.
(19)
0.050.025-0.025-0.05
x
x̃θ
θ̃
0.02
−0.02
Рис. 5. Преобразование системы
координат.
Линеаризованное уравнение в вариациях,
определяющее устойчивость первой формы
колебаний, имеет вид
(1−
1
2
x2 sin2 α)(−v̈ sinα+ vg cosα)+
+ cosα(v̈l − vxẍ sinα cosα) = 0,
(20)
где x и v – вариации переменных x̃
и θ̃ соответственно. С учетом равенства
k1 = tgα, где k1 – угловой коэффициент
прямолинейной аппроксимации формы ко-
лебаний, и гармонической аппроксимации
решения вида x = A cos ωt, уравнение (20)
после некоторых алгебраических преобра-
зований примет вид известного уравнения
Матье:
v̈ + v (a− 2b cos 2ωt) = 0, (21)
где a =
A2k1(ω
2 +
1
2
k1g)
(
3A2k3
1
− 8 (l − k1)
(
1 + k2
1
)
)
16 (l − k1)
2
(
1 + k2
1
)2
+
+
4g
(
1 + k2
1
)
(
4 (l − k1)
(
1 + k2
1
)
−A2k3
1
)
16 (l − k1)
2
(
1 + k2
1
)2
,
b =
4gA2k3
1
(
1 + k2
1
)
−A2k1(ω
2 +
1
2
k1g)
(
3A2k3
1
− 4 (l − k1)
(
1 + k2
1
)
)
16
(
1 + k2
1
)2
(l − k1)
2
.
Границы областей устойчивости и неустойчивости уравнения Матье хорошо
известны.
168
Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем
0.75
0.50
0.25
2.2 2.3
A
ω
0
0.2
0.4
-0.4
-0.2
0 0.2 0.4-0.2-0.4 x
θ
Рис. 6. Границы области устойчивости
/ неустойчивости.
Рис. 7. Траектории ответвляющихся
движений.
Другой, более точный, метод исследования устойчивости первой формы
колебаний предполагает использование уравнения Хилла. Для этого запишем
уравнение в вариациях таким образом:
v̈ [l− k1 +
A2k3
1
4(1 + k2
1
)
(1 + cos 2ωt)] =−v [g +
A2k1
2(1 + k2
1
)
(ω2 −
1
2
gk1) (1 + cos 2ωt)].
Решения, соответствующие границам устойчивости, имеют период T и 2T,
где T– период коэффициентов уравнения в вариациях. Эти решения будем
искать в виде
v = a1 cosωt+ a2 cos 2ωt+ a3 cos 3ωt+ a4 cos 4ωt+ a5 cos 5ωt+ ... , (22)
v = a1 cos
ω
2
t+ a2 cosωt+ a3 cos
3ω
2
t+ a4 cos 2ωt+ a5 cos
5ω
2
t+ ... . (23)
Подставляя разложения (22) и (23) поочередно в уравнение в вариациях и
группируя члены при различных гармониках, получаем системы однородных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений. При-
равнивая определители этих систем нулю, получим уравнения для определе-
ния тех значений параметров системы, которые определяют границы обла-
стей устойчивости и неустойчивости связанной формы колебаний.
На рис. 6 представлены границы областей устойчивости и неустойчиво-
сти, полученные с использованием уравнений Матье (светлая линия) и Хилла
(темная линия). Можно заметить, что уравнение в вариациях в форме урав-
нения Матье пригодно только для довольно малых амплитуд колебаний.
Во внутренней области наблюдаются неустойчивые движения. Потеря
устойчивости первой формы влечет за собой переход к другим формам ко-
лебаний. При ветвлении появляется пара новых форм колебаний, которые
также являются нелокальными. Траектории их в области неустойчивости
169
А.А.Клименко, Ю.В. Михлин
первой формы колебаний – траектории ответвляющихся движений – изоб-
ражены на рис. 7. Расчет проводился для следующих значений параметров
системы: l = 1, m1= 1, m2= 0.1, ε = 0.1, k = 5, x(0) = 0.5.
Устойчивость локализованной формы колебаний. Устойчивость второй
формы колебаний исследовалась с использованием уравнения Хилла. Для
этого использовалось следующее уравнение в вариациях:
ü
(
m1 + εm2
(
1− lk1
(
1−
θ2
2
1
1 + k2
1
)))
+ u̇εm2lθθ̇
k1
1 + k2
1
(
2−
θ2
3
1
1 + k2
1
)
+
+u
(
k + εm2l
k1
1 + k2
1
(
θθ̈ + θ̇2
(
1−
θ2
2
1
1 + k2
1
)))
= 0,
где u и θ – вариации переменных x̃ и θ̃ соответственно.
Решения, соответствующие границам устойчивости, будем искать в виде
u = a1 cosωt+ a2 cos 2ωt+ a3 cos 3ωt+ a4 cos 4ωt+ a5 cos 5ωt+ ... ,
u = a1 cos
ω
2
t+ a2 cosωt+ a3 cos
3ω
2
t+ a4 cos 2ωt+ a5 cos
5ω
2
t+ ... .
A
ω
0.6
0.4
0.2
0.49010 0.49012 0.49014
Рис. 8. Границы областей
устойчивости/неустойчивости
локализованной формы колебаний.
Границы областей устойчивости и
неустойчивости второй формы колеба-
ний представлены на рис. 8. Заметим,
что область неустойчивости этой фор-
мы колебаний, благоприятной для вибро-
гашения основной линейной подсистемы,
чрезвычайно узкая.
Выводы. В работе проведено ана-
литическое исследование нелинейных
нормальных форм колебаний системы,
содержащей маятниковый виброгаситель,
с использованием асимптотических ме-
тодов, теории нелинейных нормальных
форм колебаний и численных процедур.
Построены границы областей устойчи-
вости нормальных форм колебаний в
плоскости параметров системы. Показа-
но, что локализованная форма колебаний, наиболее благоприятная для виб-
рогашения, устойчива в широкой области параметров системы и амплитуд
колебаний.
1. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехтеориздат,
1956. – 492 с.
2. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. – М: Мир, 1969. – 400 с.
3. Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear oscillations. – New York: Wiley, 1979. – 704 p.
4. Вибрации в технике /под ред. К.В.Фролова. – М.: Машиностроение, 1995. – Т. 5. –
496 с.
170
Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем
5. Cuvalci O., Ertas A. Pendulum as vibration absorber for flexible structures: experiments
and theory. Trans. of the ASME // J. of Vibrations and Acoustics. – 1996. – 118. –
P. 558–566.
6. Lee C.-T., Shaw S. W. Nonlinear dynamic response of paired centrifugal pendulum
vibration absorbers // J. of Sound and Vibration. – 1997. – 203. – P. 731-743.
7. Витт А.А., Горелик Г.С. Колебания упругого маятника как пример двух парамет-
рически связанных линейных систем // Журн. техн. физики. – 1933. – 3, № 2–3. –
C. 294–307.
8. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах. – М.: Советское радио, 1977. –
368 с.
9. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1977.
– 255 с.
10. Wang F., Bajaj A., Kamiya K. Nonlinear normal modes and their bifurcations for an
inertially coupled nonlinear conservative system // Nonlinear Dynamics. – 2005. – 42 (3).
– P. 233–265.
11. Warminski J., Kecik K. Regular and chaotic motions of an autoparametric real pendulum
system with the use of a MR damper. – In: Modeling, simulation and control of nonlinear
engineering dynamical systems / Ed. J. Awrejcewicz. – Springer, 2009. – P. 267
12. Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н. Метод нормальных колебаний для су-
щественно нелинейных систем. – М.: Наука, 1989. – 216 с.
13. Mikhlin Yu. Normal vibrations of a general class of conservative oscillators// Nonlinear
Dynamics. – 1996. – 11. – P. 1–16.
14. Vakakis A.F., Manevitch L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipchuk V.N, Zevin A.A. Normal modes
and localization in nonlinear systems. – New York: Wiley Interscience, 1996. – 552 p.
15. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 456 с.
A.A. Klimenko, Yu.V. Mikhlin
Nonlinear normal vibration of a mechanical system having the pendulun
vibration absorber
The nonlinear normal vibration modes of a mechanical system having the pendulum vibration
absorber, are considered. The coupled and localized vibration modes are selected. In the last
case the main vibration energy is concentrated in the pendulum, so this vibration mode is the
most appropriate for the vibration absorption. The modes stability is investigated.
Keywords: pendulum vibration absorber, nonlinear normal vibration modes.
Г.О. Клименко, Ю.В. Мiхлiн
Нелiнiйнi форми коливань механiчної системи з маятниковим гасителем
коливань
Розглянуто нелiнiйнi нормальнi форми коливань механiчної системи, що мiстить маятнико-
вий гаситель коливань. Видiлено зв’язану та локалiзовану форми коливань. В останньому
випадку основна енергiя коливань зосереджена в маятнику, тому ця форма коливань най-
бiльш сприятлива для вiброгасiння. Вивчено стiйкiсть форм коливань.
Ключовi слова: маятниковий гаситель коливань, нелiнiйнi нормальнi форми коливань.
Национальный техн. ун-т
“Харьковский политехнический ин-т”
muv@kpi.kharkov.ua
Получено 10.08.10
171
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28053 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:16:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клименко, А.А. Михлин, Ю.В. 2011-10-26T20:09:44Z 2011-10-26T20:09:44Z 2010 Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний / А.А. Клименко, Ю.В. Михлин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 162-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28053 531.36 Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний механической системы, содержащей маятниковый гаситель колебаний. Выделены связанная и локализованная формы колебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэтому эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброгашения. Изучена устойчивость форм колебаний. Розглянуто нелiнiйнi нормальнi форми коливань механiчної системи, що мiстить маятниковий гаситель коливань. Видiлено зв’язану та локалiзовану форми коливань. В останньому випадку основна енергiя коливань зосереджена в маятнику, тому ця форма коливань найбiльш сприятлива для вiброгасiння. Вивчено стiйкiсть форм коливань. The nonlinear normal vibration modes of a mechanical system having the pendulum vibration absorber, are considered. The coupled and localized vibration modes are selected. In the last case the main vibration energy is concentrated in the pendulum, so this vibration mode is the most appropriate for the vibration absorption. The modes stability is investigated. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний Нелiнiйнi форми коливань механiчної системи з маятниковим гасителем коливань Nonlinear normal vibration of a mechanical system having the pendulun vibration absorber Article published earlier |
| spellingShingle | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний Клименко, А.А. Михлин, Ю.В. |
| title | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| title_alt | Нелiнiйнi форми коливань механiчної системи з маятниковим гасителем коливань Nonlinear normal vibration of a mechanical system having the pendulun vibration absorber |
| title_full | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| title_fullStr | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| title_full_unstemmed | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| title_short | Нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| title_sort | нелинейные формы колебаний механической системы с маятниковым гасителем колебаний |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28053 |
| work_keys_str_mv | AT klimenkoaa nelineinyeformykolebaniimehaničeskoisistemysmaâtnikovymgasitelemkolebanii AT mihlinûv nelineinyeformykolebaniimehaničeskoisistemysmaâtnikovymgasitelemkolebanii AT klimenkoaa neliniiniformikolivanʹmehaničnoísistemizmaâtnikovimgasitelemkolivanʹ AT mihlinûv neliniiniformikolivanʹmehaničnoísistemizmaâtnikovimgasitelemkolivanʹ AT klimenkoaa nonlinearnormalvibrationofamechanicalsystemhavingthependulunvibrationabsorber AT mihlinûv nonlinearnormalvibrationofamechanicalsystemhavingthependulunvibrationabsorber |