Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании

3D integral model of eddy currents and electromagnetic forces in the liquid phase of continuously cast billets with electromagnetic stirring is offered. Take into account the characteristics of the magnetic field of electromagnetic stirrer (EMS): currents low frequency 3...6 Hz in the EMS winding...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Дата:2010
Автори: Евдокимов, В.Ф, Кучаев, А.А., Петрушенко, Е.И., Кучаев, В.А.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2010
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28287
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2010. — Вип. 57. — С. 31-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859630727444824064
author Евдокимов, В.Ф,
Кучаев, А.А.
Петрушенко, Е.И.
Кучаев, В.А.
author_facet Евдокимов, В.Ф,
Кучаев, А.А.
Петрушенко, Е.И.
Кучаев, В.А.
citation_txt Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2010. — Вип. 57. — С. 31-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
description 3D integral model of eddy currents and electromagnetic forces in the liquid phase of continuously cast billets with electromagnetic stirring is offered. Take into account the characteristics of the magnetic field of electromagnetic stirrer (EMS): currents low frequency 3...6 Hz in the EMS windings and electromagnetic forces field many times more magnetic fields of eddy currents. As a result we can neglect the magnetic field of eddy currents and assume that at each point of a massive conductor the magnetic field is equal to the magnetic field of EMS. In this case the initial system of integral equations is substantially simplified and its solution reduces to the solution of two subsystems: a vector integral equation for the density of the magnetization current on the surface of the EMS magnetic core and system of integral equations for the density of electric charges on the surfaces of massive conductors; in the resulting distribution of the density of electric charges is determined the electric scalar potential in the molten steel; from distribution of vector magnetic potential, the vector magnetic induction and the electric scalar potential in the liquid phase of billet is calculated the distribution of vectors of eddy currents density and electromagnetic forces.
first_indexed 2025-12-07T13:10:34Z
format Article
fulltext 31 © �.�. ����� ��, �.�. � ����, �.�. ���� �����, �.�. � ���� 3. �������� ������������� � �� ������� �� ����� �������� ������� �� �� � �� � ��! ��" # �� ���� �������� � ���� � �������� �� ����� �� �� ���$�# ������� ����������, $������������ �"� ������� � �� ��� �����������"� ���������� ! �� ��������� �������# ������ �������# �����. 1. �.�.������ , �.�. � ���, �.�.����� �������, �.�.��� ��, �.�.� � ����, �.�.������� , �.�.���! . �������� ����������� �� ������# ���������� // %���"�� �� &����� ' ��$ !. (8. 2000". -c.44-48. 2. �"������# �� �.�., �"������# �� �.�. ���������-���"�� ��� �� ����� ��! ��"���������� ��" ����$ �� ����� ��. )���������! �� *�'�� �$*��* ��#����"*+. 5�*�� � �� ��� # ���$�. I��� � � ������ ���������! � ����"�� $i 6�6 7���+� . � �. 30, � +�, 2005�.-�.30-32. $ #%���"� 20.10.2010�. 7:� 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 �.�. ����� ��, �.�. � ����, �.�. ���� �����, �.�. � ���� ������� ��� � �� �������� � �������� ���� �������� � � � � ���� � ���� ��������� �� � ��� � ��� ��� � ���� ������� � ������������� 3D integral model of eddy currents and electromagnetic forces in the liquid phase of continuously cast billets with electromagnetic stirring is offered. Take into account the characteristics of the magnetic field of electromagnetic stirrer (EMS): currents low frequency 3...6 Hz in the EMS windings and electromagnetic forces field many times more magnetic fields of eddy currents. As a result we can neglect the magnetic field of eddy currents and assume that at each point of a massive conductor the magnetic field is equal to the magnetic field of EMS. In this case the initial system of integral equations is substantially simplified and its solution reduces to the solution of two subsystems: a vector integral equation for the density of the magnetization current on the surface of the EMS magnetic core and system of integral equations for the density of electric charges on the surfaces of massive conductors; in the resulting distribution of the density of electric charges is determined the electric scalar potential in the molten steel; from distribution of vector magnetic potential, the vector magnetic induction and the electric scalar potential in the liquid phase of billet is calculated the distribution of vectors of eddy currents density and electromagnetic forces. Key words: integral model, eddy currents, electromagnetic stirrer, steel, billet � �����!C�� ��� ! ����� ��� � ������ � ����#�� ��� ������ ! ����"� � ���� ! ������ �$ � � C���� �C�"� &��������#� �����"� 32 ���� ����� ! ��! &������ �"� ���"� ���� �� ��� ! F ���� ���� �� �� ��# ����������"� � ��! ��"������ ()6G5). J�� � �������# &�� ����� &��"� ���� ����� ! !��!���! %)�. �� �$ � ������ ! %)� �����" ��� ������ �� �#�����"� �� "����!, "�� ' ��$ ������ �����!�� F ���! '��� �������� ��"����� . �������� &������ �"� ���� ���� �� ��� � ��!���� � ����� ������ ������ ��� ������ &���� ���$ ���� ������� , �� ��F�� �$�� �� �� ��������� ���� ������ ����� ! &''��� ������ � ��� � &������ �"� ���"� ���� �� ��� !. �� ��� � ��������� ��� &� # � ��� �� ��� � &''��� ����� ���� �� ��� ! !��!���! ��� �����! � �����! �������� � ������ F ���"� ������, ������! ���F�� ��#�� ���! � � ������� 0,3…1 /c. �� ��� ������ � ������ ������� ������ 0,3 /c &''��� ������ ���� �� ��� ! ��������!, ��� �� ������!�� � �� �� ���� ��� ��� �� � �� ���. �� ��� ������ ������� ������� 1 /c &''��� ������ ���� �� ��� ! ��������!, ��� ��� ��!��!���! ��� ������ ����� '����� �� ����� ��$ , ��� $�������! � ���$ ! ��� � �����! ���#�� &������&���" [1]. J$�� �� &''��� ������ � ��� ���� �� ��� ! �� �������� &���� ������ ����� ! ������!�� ��� �� ������ ���� ����� �. L���! � ��� ������ � ������������ 6����-N����� ��#�� ����������� � ���! ��������� � F ���� '��� ��"����� . J�����, ������� ������ ����#�� � ��� �� �� ����������� � %:7 � F ���� '��� �� ��� "��� $ F ���� '���. L����� ���! %:7 ���������!�� ����� ���F� � &������� �� ���� � ����� , �.�. ������ �� ���� ���������� %)� ��� ���# ������� ���, ��#��!C #�! �� �� �"�, ������, ��� &������ �"� ���� ���! � � # !��!���! � C�������� ���# ���� [2, 3]. ��&�� � ����!# ����� ! F ���� '��� ����������� ��"� �� ���, �� �����# � � ����� ��, ����������� �� ����� ����������� � %:7, ��� �� ��� � � ���� ������ ��"�������! [4-7]. � ��!� � &� � ����� ������ ���"�� ��! ���� ����� ! %)� ���F�� ���� ����F��� ���# ����� � ��� � ������ � )��������. N��F����� �������# ����� � ����� ������� ����#�� ���� ��������� ����� ���� ���� � � �# �� ���� ���# %�) ���"�� � �� "�� �������, ��� F���� ����� ��� � &�� ��������� ������������ ! &� # � ��� , �� ������# �� ����� ��� �����# � ��� �# ���������� ������ � �� � �� �� ��������� � �������� �� ���$ ' �� ����������� ! ����� � %)�. J�� � ��� # ������������ � !��!���! ������ � ������# ����� � &�� �������� N�7 ����� ���� �����$ ���. 6� ������� � ��� �����# N�7 !��!���! �������� ����� ��� ���!: �������� O6 �� �����#���� �"� ���������� �������� �O � ��� ���# ������� ��#. �������� ��P� � �� ����, �����#���� �"� ����������, ��P� � ��� ���# ������� ��� ��� ���, ��� ���� ��, ������ ����� � ����� ������������, �� ����#�� � N�7 � C�������� ���C��� ����� . ��� � ��"�, �� &�� ������ ���C���!���! �� ��� ���� : ������ ����� ��� ���! � �� ����� ! ��� �����# N�7, ������ ���! � ����� ����� ������������ � �� 33 ���"� ����� ! �� ����� �� ���!. O� �� ����, ������ ����� ! N�7 �������! ���������� ���F���. � ��!� � &� ���������� !��!���! ���C�� � N�7 � �� ���� ���$ ' � �"� ���"� ���! %)�, ������! ����� � � �� , ��� �"� ���� ����, ��������� ���� �� ������ � ������!C # &�� ����# )6G5 � C�������� ������ �"� ���"� ���! �O. � ����� &��"� ��������� ! "���� � ������! � �� � �� �"� ���� F C�� � �� ():N) � ���! ������� ����� (1-6 Q$), � ���C # %)�. � ��� ������ � ���� ����� ! �#����� N�7 ��������������� �������! ��� ���� ��� �: ��7 ��! �������� ��!�����"� O6 �� �����#���� �"� ��������� %)� N�7 ��! �%5. �� ��� ����� ����������� � �)�, �)� N%� ��#�� ��! ����������� � �������� �������� �O %:7 � F ���� '��� ��"����� . ������! "#�$�%&�'()��)&(& *�%���+�,')�- .#- �� �. 6� � �. 1 �������� � ��� � &������ �"� ���"� ���� �� ��� !, ��� �C����� � �� ����� ������, ���� ���� ���"� �#��F��� ! (5�J) � ���� ������� ! ����������� ! (5J5) )6G5. L �. 1. N ��� � &������ �"� ���"� ���� �� ��� ! ��! )6G5: 1 – F ���! �����, 2 – ������� '�� � �C�"��! �� ���, 3 – �� ����� �����, 4 – ������F ���C � ��� � , 5 – %)� � �� ����� ������, 6 – %)� � 5�J, 7 – %)� � 5J5. �%�0��%)'- �)��(%'#1)'- �&.�#1 �'()��)&(& *&#- ���. 6� � �. 2 ������� ��C � � � !����������"� ���#'����"� %)�. L �. 2. R����������� ���#'����� %)�: 1 – �"� ��������, 2 – ���#'����! �� ���� %)� J"��� � �! ���� ����� � %)�, ������"� � ��P� � �"� ��������� V � �"� ���! ���� $�� ���� �� �����!���. 34 ����� ��������� !: ,oV V � – ��P� � �� ���� ��� F��C�"� �"� �������� �� ��� ������������, ��������������; S – �����#����� �"� ���������; 0� – �"� ���! ���� $�� ���� � ��P� �# 0V V � ; � �0U Q� – ������ �������� ���� � ����� Q �� ��� %)�. �)� ���������!�� �� �����#���� S ���� �C� ���� �: � � � � 0 0 B B n , 0Q Q Q � � � � � � � � � � �� � � , (1) "�� nQ – ��� ��� � �����#���� S � ����� Q , ����F ������� ��������� � ������� �� �!�� � ��P� � V � � ��P� V � ; � �B Q�� � �B Q�� ������ ! �)� B� � ����� Q �� ������� ��P� �� � �4 , . lbS S rb rb Q P Q S n � ��� � � � � � � � �n 2 4 4 n 4 ,U B rb rbrb S S r rb rbr r bl rb Q P j A Q S n � � � � � � � � �� � � � �� � � � �� � , ��������������, ������� �F�� �������� �� ����� ������ �������� O6 � �X Q� � ����� Q S� : � � � � � � � � � � � � 00 00 X ,n B B , 2 X ,n B B , 2 Q Q Q Q Q Q Q Q � � � � � �� � � �� � �� � � �� � � (2) "�� � �0B Q� – ������ �� �$ �� �� �� "��� $� S , �� ���������� ��� ���� 0U� X� , �� ������� � &�� ���� ���� � �X QQ ds� . ��������!! ����F�� ! (2) � (1), ��� � : � � � �0 0 2X n , B 0QQ Q� � � � � � � ��� , (3) "�� 1 1 �� � � � � � . �)� �F�� ��� ���� � � ��: � � � � � � 0 00 0 3 3 r U r X B 4 4 QM QM M M QM QMV S M M Q dv ds r r � � � � � � � �� � �� � � � � , (4) "�� rQM – ��� �-������, ������� ��������� � ���� Q � ���� M ������ ������!� � �F� ����� Q M . 35 ��������!! (4) � (3), ��� ��� ���� �C�� ������� �7 ��! ������� �������� O6 �� �����#���� S �"� ��������� � � � � � � 0 3 0 3 n r X X 2 n r U , . 2 Q QM M QMS Q QM M QMV M Q ds r M dv Q S r � � � � � �� �� � � � �� �� � � � � � � � � (5) � ��� ������ ����� ! ������ ! (5) ��#�� ����������� � ������� X� . �� '�� �� (4) ��#�� �)� � ����� ����� ��� ���# ������� ���. 5� �� , ��� �� ��" # �� ��!# ������ � (5) �F�� � C�������� ����� ��, ��� �����F �� �"� ���� ���� %)� �� � ��� ���� �������!�C � [8]. �#�$�%�2��$'- �0��' �� �. 6� � �. 3. �� ������ &����� �����! �#� � )6G5. L �. 3. %����� �����! �#� � )6G5: 1 – F ���! '��� �� ���, 2 – ������! '��� �� ���, 3 – �� ����� �����, 4 – ��� � , 5 – %)� Y ���! 1 ������! 2 '��� ��"����� ��������� �����#������. )�F� ������� '���� �� ��� ������� �� ����� ������ ��� ���� �������� �������. ������ ��� F ���� '��� ��"����� – l� , ������� '��� – b� , �� ����� ������ 3 – m� , ��� ��� 4 – �� ������ �� �����! �����!��� � ���������� �C # ��P� �#. ������ ���� ��� F��C�"� ������������ – 0.� � J���� ����� � �"� �� � ���� $�� ���� ��� ��� ���� �� ������ 1, �.� 1r� . ���������-���� ��������� �� F�� � �� ����� ������ �� � �������!. �%�3#�4�))!� ,!%'4�)�- 5'$&)' �' , "#���)�'0 "#�$�%�2��$&6 �0��! �� �. ����� ��������� !: lV , lS – ��P� �����#����� F ���� '��� ��"����� ; bV , bS – ��P� �����#����� ������� '��� ��"����� ; ASc � , mS – ��P� �����#����� �� ����� ������; �� , rS – ��P� �����#����� ��� ���; 36 V� – ��� F��C�� ������������; l b m rV V V V V � � � ; lbS – �����#����� �������� F ���� ������� '�� ��"����� ; lS � – �����#����� �������� F ���� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������; bS � – �����#����� �������� ������� '��� ��"����� c ��� F��C�� ������; mbS – �����#����� �������� ����� �� ����� ������ ������� '��� ��"����� ; mS � – �����#����� �������� �� ����� ������ c ��� F��C�� ������; U =0r�� – �����#����� �������� ������� '��� ��"����� c ��� �� ; rS � – �����#����� �������� ��� ��� c ��� F��C�� ������; lb l b mb m rb rS S S S S S S S� � � � � � � � � � ; nlb – ��� ��� � �����#���� lbS , �����������! � ��P� � lV ; n l� – ��� ��� � �����#���� lS � , �����������! � ��P� � lV ; nb� – ��� ��� � �����#���� bS � , �����������! � ��P� bV ; nmb – ��� ��� � �����#���� mbS , �����������! � ��P� � mV ; nm� – ��� ��� � �����#���� mS � , �����������! � ��P� � mV ; � � � �n U B mb b m b m b m b m mn b mb b mb b mb mb mb mb j A n n n n � � � � � � � � �� �� �� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � – ��� ��� � �����#���� rbS , �����������! � ��P� � rV ; n r� – ��� ��� � �����#���� rS � , �����������! � ��P� � rV . 5���� J � � &�� ����# &����� ������ �#� � )6G5: � ��P� � F ���� '��� ��"����� lV – � � � �U E +U B - A +U Bl l ll l l l l l lj� � � �� � � � �� �� �� � �� , (6) � ��P� � ������� '��� ��"����� bV – � � � �U E +U B - A +U Bb b bb b b b b b bj� � � �� � � � �� �� �� � �� , (7) � ��P� � �� ����� ������ mV – � �mU E Am m m m mj� � � �� � ��� � � � , (8) � ��P� � ��� ��� rV – � � � �U E +U B - A +U Br r rr r r r r r rj� � � �� � � � �� �� �� � �� , (9) � ��� F��C� ������������ V� – U 0� � . (10) � ����F�� !# (6)–(10) Ul � , Ub � , rS � , Ur � , U� � – �� ������ �������� 37 �������� �O � F ���� ������� '���# ��"����� , � �� ����� ������, ��� ��# ��� F��C�� �����; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 4 cos cos cos cos cos lS l S mS m l rS r Q QM Q QM lS M l M l QM QMS S Q QM Q QM Q QM S M mS M m M QM QM QMS S S Q QM Q QM rS M r M S S QM QMS S n r n r Q ds dsM Mn r r n r n r n r ds ds dsM M Mr r r n r n r ds ds PM Mr r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , Eb � , Em � , Er � – �� ������ �������� ����!F������ &����� �����"� ���! � F ���� ������� '���# ��"����� , � �� ����� ������ ��� ��#; Ul – ������ ������� � F ���� '��� ��"����� ; Ub – ������ ������� ���!" ��� ! ��"����� ; Ur – ������ � ������ ������� � ��P� � ��� ���; Al� � , Ab� � , Am� � , rA � � – �� ������ �)� � F ���� ������� '���# ��"����� , �� ����� ������ ��� ��#; l�� , b�� , m�� , r�� – �� ������ N%� � F ���� ������� '���# ��"����� , � �� ����� ������ ��� ��#; Bl� � , Bb� � , Bm� � , Br� � – �� ������ �)� � F ���� ������� '���# ��"����� , � �� ����� ������ ��� ��#; 1j � ; 2 f� � , "�� f – ������� �����, � ���C # �� ��� %)�. �� ������ �)� A� � �"� ���� �� �$ B� � , �� ���������� ������� %)� �O � &�� ����# &����� ������ �#� �: A A A , B B B , l l lc l l lc � � � � � � � � � (11) "�� Al � Bl � – �� ������ �)� �)� � F ���� '��� ��"����� , �� ���������� ������� %)�; Alc � Blc � – �� ������ �)� �)� � F ���� '��� ��"����� , �� ���������� �O � &�� ����# &����� ������ �#� �. A A A , B B B , b b bc b b bc � � � � � � � � � (12) "�� Ab � Bb � – �� ������ �)� �)� � ������� '��� ��"����� , �� ���������� ������� %)�; Abc � Bbc � – �� ������ �)� �)� � ������� '��� ��"����� , �� ���������� �O � &�� ����# &����� ������ �#� �; m m A A A , B B B , m mc m mc � � � � � � � � � (13) 38 "�� Am � Bm � – �� ������ �)� �)� � �� ����� ������, �� ���������� ������� %)�; Amc � Bmc � – �� ������ �)� �)� � �� ����� ������, �� ���������� �O � &�� ����# &����� ������ �#� �; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 4 cos cos cos cos cos . lS l S mS m mS rS r Q QM Q QM lS M l M mS QM QMS S Q QM Q QM Q QM S M mS M m M QM QM QMS S S Q QM Q QM rS M r M S S QM QMS S n r n r Q ds dsM Mn r r n r n r n r ds ds dsM M Mr r r n r n r ds ds PM Mr r � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � (14) "�� Ar � � �4 , . lbS S rb rb Q P Q S n � ��� � � � � – �� ������ �)� �)� � ��P� � ��� ���, �� ���������� ������� %)�; Arc � � � � � � �1 , , 2 r r r r r Q Q Q Q S n n � � � � � �� �� � � � � � � � – �� ������ �)� �)� � ��P� � ��� ���, �� ���������� �O � &�� ����# &����� ������ �#� �. �� �� F����� ����F�� ! ������ J � ��� �����! � (6)–(9), ��� � � # ����F ��: A A , B B , l l l l � � � � � � � (15) b b A A , B B , b b � � � � � � � (16) m m A A , B B , m m � � � � � � � (17) r r A A , B B . r r � � � � � � � � (18) � ��� ������ ����� J � � &�� ����# &����� ������ �#� � �� � ��� ���� �C � � �: � F ���� '��� ��"����� lV – � � � �U E +U B - A +U Bl l ll l l l l l lj� � � � � �� �� �� � �� , (19) � ������� '��� ��"����� bV – � � � �bU E +U B - A +U Bb b bb b b b b bj� � � � � �� �� �� � �� , (20) � �� ����� ������ mV – 39 � �mU E Am m m m mj� � � � � ��� � � � , (21) � ��P� � ��� ��� rV – � � � �U E +U B - A +U Br r rr r r r r r rj� � � � � �� �� �� � �� . (22) �� ����F�� � (19)-(22) � ���, ��� �� �� �!�� ��� C�� ��! ������� �O � ��� ���# &�� ����# )6G5 ���������� ������� �� N%� � &� # &�� ����#. N'�� � � � ����� � ����� ��! N%�. �%'�,'- 5'.'2' .#- �$'#-%)&(& "#�$�%�2��$&(& *&��)7�'#' , �� �. ������! ������ ��! N%� � &����� ������ �#� � )6G5 �������� � ������ � ������������ "��� ���# ���� � ������������ . �� ���� #. 7������ !: � ��P� � F ���� '��� ��"����� lV – U 0l� � , (23) � ������� '��� ��"����� bV – U =0b�� , (24) � �� ����� ������ mV – U =0m�� , (25) � ��P� � ��� ��� rV – U =0r�� . (26) Q��� ���� ���� !: �����#����� �������� F ���� ������� '�� ��"����� lbS – n U n Ulb l lb b � � , (27) �����#����� �������� F ���� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������ lS � – n U 0l l� � , (28) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������ bS � – n U 0b b� � , (29) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� �� ������� �� ����� ������ mbS – n U n Umb m mb b � � , (30) �����#����� �������� �� ����� ������ � ��� F��C�� ������ mS � – n U 0m m� � , (31) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� �� rbS – n U n Urb r rb b � � , (32) �����#����� �������� ��� ��� � ��� F��C�� ������ rS � – 40 n U 0r r� � . (33) ��������!! ����F�� ! �� �� F����"� ������ J � (19)-(22) � ������ ! (23)-(26) ��� � ���� �C � ������ ! ��! N%� �� : � ��P� � F ���� '��� ��"����� lV – � �� �2U 0A + U Bl l l l l lj� � �� � � �� � �� � �� , (34) "�� A 0l� � , (35) 2 l l� �� �� � , (36) � � B U U B BU B l l l l l ll l rot rot� � �� � � �� , (37) Ul lrot� - � #��; (38) � ���� (35)-(38) ������ � (34) �������� ���! � � � : =Bl l l�� ��� . (39) �����" ��� �� : � ������� '��� ��"����� bV – =Bb b b�� ��� , (40) � �� ����� ������ mV – =0m�� � , (41) � ��P� � ��� ��� rV – =Br r r�� ��� . (42) ������� � ����F�� � �� �� F����"� ������ J � (19)-(22) � "��� ���� ���� ! (27)-(33), ��� � ���� �C � "��� ���� ���� ! ��! ����!���"� �����$ ��� �� : �����#����� �������� F ���� ������� '�� ��"����� lbS – � � � � � �ln n U B lb b l b l b l b l lb l l lb lb j A n n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ; (43) �����#����� �������� F ���� '��� ��� F��C�� ����� lS � – � �ln n 0U B l l l l l l j A n � � � � � � � � � � � �� � , � �ln n U B l l l l l l j A n � � � � � � � � � � � � � ; (44) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������ bS � – � �b+= - +n U B b b bn b b b j A n � � � � � � � � � � ; (45) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� ����� �� ����� ������ mbS – 41 � � � �n U B mb m b m b m b mn b mb b b mb mb j A n n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , (46) �����#����� �������� �� ����� ������ � ��� F��C�� ������ mS � – m m mn m j A n � � � � � � � � � . (47) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� �� brS – � � � � � �n n U B rb br r b r b r r b rb r r rb rb j A n n �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � ; (48) �����#����� �������� ��� ��� ��� F��C�� ����� rS � – � �n n U B r r r r r r r j A n � � � � � � � � � � � � � . (49) ������' �8, "$,�,'#�)�)'- �:&%�;#�%&,'))&6 $%'�,&6 5'.'2� (39)-(49). L���� � � ��� � ������ � (39)-(42) � �� ����� � � �� � � � � � � � �Q Q Q� � ��� �� , (50) "�� � � � � � � � � � � � � � � B ^1 4 B ^ B ^1 1 4 4 l b r l l M QMV b b r r M M QM QMV V M M dVQ r M M M MdV dV r r � � � � � � � � � � � � � � � (51) – ������� ����� � ������ � (39)-(42); � �Q�� – ����� � ���� �C�� ���������� � ��� �: � ��P� � lV – 0l�� � , (52) � ��P� � bV – 0b�� � , (53) � ��P� � mV – 0,m�� � (54) � ��P� � rV – 0r�� � . (55) Q��� ���� ���� ! ��! � ��� � ������ � (52)-(55) �������� � "��� ���# ���� � (43)-(49), ��� � � # ������� �� (50): �����#����� �������� F ���� ������� '�� ��"����� lbS – � � � � � �ln n ( ) ,U B lb b l l b l b l b l lb b ll l lb lb lb j A n n n � � � � � � � � � �� �� �� � � � � � � �� � � � �� � � � (56) 42 �����#����� �������� F ���� '��� ��� F��C�"� ������������ lS � – � �ln n U B l l l l l l l l j A n n � � � � � �� �� � � �� � � �� � � , (57) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������ bS � – � �b+= - +n U B b b b bn b b b b j A n n � � � � �� �� �� � � �� � � , (58) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� ����� �� ����� ������ mbS – � � � �n U B ( ) , mb m b m b m b mn b mb b b mb mb m m b mb j A n n n � � � � � � � � �� �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � (59) �����#����� �������� �� ����� ������ � ��� F��C�� ������ mS � – m m m mn m m j A n n � � � � �� �� � � � � �� � , (60) �����#����� �������� ������� '��� ��"����� � ��� �� rbS – � � � � � � n n ( ) ,U B lb b r b r r b r rb rb r l b rb r br r rb j A n n n � � � � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � �� � � � � � � (61) �����#����� �������� ��� ��� � ��� F��C�� ������ rS � – � �n n U B r r r r r r r r r j A n n � � � � � �� �� � � �� � � �� � � . (62) _ �� ����� ����� � ������ � (52)-(55) � "��� ��� ���� ! (56)-(62) � � �� � � �����$ ���� ������"� ���! (��N): � � � � � � � � � � 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 lb l b mb lb M l M QM QMS S b M mb M QM QMS S ds dsQ M Mr r ds dsM Mr r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 , , 4 4 m rb r m M rb M QM QMS S r M M QM QMS S ds dsM Mr r ds ds Q VM Mr r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 43 � �4 , . lb l b mb m rb r VS lb VS l VS b VS mb VS m VS rb VS r VS T T T TQ T T T T Q V � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (63) ����F�� � (63) ���������!�� � ��� � ������ � (52)-(55). :�! ��"�, ����� ��� ���������!�� "��� ��� ���� ! (56)-(62) ����#�� �, ��� �� �������� ��N ��� ����� � N�7, ������! ��� �����! � "��� ���# ���� � (56)-(62), ��� ��������������! ������� ����F�� ! ��! ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� "��� �� � �����#����� [10]. �� ����#��� ����� �����#����� lbS � ����� Q ������ �������!���! ���� �C ��������� ! : � � � � � � � � � � � � 1 , 2 , 1 , 2 l lb lb lb lb b lb lb lb Q Q Q n n Q S Q Q Q n n � � ��� �� � � � �! �� �� � � � " � � � � � � (64) "�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 2 cos n r cos n r1 1 4 4 cos n r cos n r1 1 4 4 cos n r cos n r1 1 4 4 cos n r1 4 lb l b mb m rb Q QM Q QM lb M l M lb QM QMS S Q QM Q QM b M mb M QM QMS S Q QM Q QM m M rb M QM QMS S Q QM r QM Q ds dsMn r r ds dsM Mr r ds dsM Mr r dsM r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 cos n r1 , 4 r Q QM M M QMS S lb dsM r Q S � � � � � � � � � �4 , . lb lb lb l lb b lb mb lb m lb rb lb r lb S S lb S S l S S b S S mb lb S S m S S rb S S r S S lb Q P P P P n P P P P Q S � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � (65) ��������!! (64), (65) � "��� ���� ���� � (56), ��� � ���� �C�� �7 ��! lb�� : � � � �ln 2 4 4 n U B 4 , , lb lblb S S lb l l bl lb lb Q P j A Q S n � � � � � � � � � � �� �� � � � � �� � � (66) 44 "�� b l bl b l � � � � � � � . ��� � �7 ��! �������� l� �� �� �����#���� �������� F ���� '��� ��� F��C�"� ������������ lS � . :�! &��"� "��� ���� ���� ! (57) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� lS � . N����� �������!���! ���� �C ��������� � : � � � � � �1 , , 2 l l l l l Q Q Q Q S n n � � � � � �� �� � � � � � � � (67) "�� � �4 , . lS S l l Q P Q S n � � � � � �� � � � � (68) ������� � (67), (68) � "��� ���� ���� ! (57) ��� � : � � � � ln2 4 4 n 4 , .U B l ll S S l l ll l l Q P j A Q S n �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � �� � � (69) ��� � �7 ��! �������� b� �� �� �����#���� �������� ������� '��� ��"����� � ��� F��C�� ������ bS � . :�! &��"� "��� ���� ���� � (58) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� bS � . N����� �������!���! ���� �C ��������� � : � � � � � �1 , , 2 b b b b b Q Q Q Q S n n � � � � � �� �� � � � � � � � (70) "�� � �4 , . bS S b b Q P Q S n � � � � � �� � � � (71) ������� � (70), (71) � "��� ���� ���� ! (58), ��� � �7 ��! �������� b� �� : � � � � n2 4 4 n 4 , .U B b bb S S S b b bb b b Q P j A Q S n �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � �� � �� � � (72) ��� � �7 ��! �������� mb�� �� �����#���� �������� ������� '��� ��"����� ����� �� ����� ������ mbS . :�! &��"� "��� ���� ���� � (59) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� mbS . N����� �������!���! ���� �C ��������� ! : 45 � � � � � � � � � � � � 1 , 2 , 1 , 2 m mb mb mb mb b mb mb mb Q Q Q n n Q S Q Q Q n n � � ��� �� � � � �! �� �� � � � " � � � � � � (73) "�� � �4 , . mbS S mb mb Q P Q S n � ��� � � � (74) ������� � (73), (74) � "��� ���� ���� � (59) ��� � �7 ��! mb�� : � � � � � � 2 4 4 n 4 , ,U B mb mbmb S S mn mb b m mb mbb b mb m b mb Q P j A Q S n � � �� � �� � � � � � � � �� � �� � � �� � � (75) "�� m b mb m b � � � � � � � . ��� � �7 ��! �������� m� �� �� �����#���� �������� �� ����� ������ � ��� F��C�� ������ mS � . :�! &��"� "��� ���� ���� � (60) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� mS � . N����� �������!���! ���� �C ��������� � : � � � � � �1 , , 2 m m m m m Q Q Q Q S n n � � � � � �� �� � � � � � � � (76) "�� � �4 , . mS S m m Q P Q S n � � � � � �� � � � (77) ��������!! (76), (77) � "��� ���� ���� � (60) ��� � �7 ��! m� � � � n2 4 4 , . m m m m S S m m m Q P j A Q S n �� � � � � �� � � �� � � � � � � �� (78) ��� � �7 ��! �������� rb�� �� �����#���� �������� ������� '��� ��"����� � ��� �� rbS . :�! &��"� "��� ���� ���� � (61) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� rbS . N����� �������!���! ���� �C ��������� ! : � � � � � � � � � � � � 1 , 2 , 1 , 2 r rb rb rb rb b rb rb rb Q Q Q n n Q S Q Q Q n n � � ��� �� � � � �! �� �� � � � " � � � � � � (79) 46 "�� � �4 , . rbS S rb rb Q P Q S n � ��� � � � � (80) ��������!! (79), (80) � "��� ���� ���� � (61) ��� � ���� �C�� �7 ��! rb�� : � � � �ln 2 4 4 n U B 4 , rb rbrb S S rb r r rb rb rb Q P j A Q S n � � � � � � � � � � �� �� � � � � �� � � (81) "�� b r rb b r � � � � � � � . ��� � �7 ��! �������� r� �� �� �����#���� �������� ��� ��� ��� F��C�"� ������������ rS � . :�! &��"� "��� ���� ���� ! (62) ��� �� � ���� ������ ��� ������ ��� ������� ��N �� ����#��� ����� �����#����� rS � . N����� �������!���! ���� �C ��������� � : � � � � � �1 , , 2 r r r r r Q Q Q Q S n n � � � � � �� �� � � � � � � � (82) "�� � �4 . rS S r Q P n � � � � �� � � � (83) ������� � (82), (83) � "��� ���� ���� ! (62) ��� � ���� �C�� �7 ��! r� �� : � � � �n2 4 4 n U B 4 , . r rr S S r r r r r r r Q P j A Q S n �� � � � � � � �� � � � � � � �� �� � � � � �� � � (84) O�� ������ , ��� ���� N�7 (66), (69), (72), (75), (78), (81), (84), &�� ��������� ������� ������ ��! ������ � (52)-(55) � "��� ��� ���� ! (56)-(62). ������� � ! N�7 � ��� �� ��"���� ���� # ������ � ����! ���������, ��#�� ����������� � �������� ���!��� �� �� ����� ���� �����#���� S . �� ��� ����� �� � ����F�� ! (63) ��#�� � � , .Q VQ� �� �� '�� �� (51), (50) – N%� � � , .Q VQ� �� ������� � � �Q�� � �� �� F����� ����� J � (19)-(22), ��� � ������� ���������� �O � ��� ���# &�� ����# )6G5, � �� � ��� � F ���� '��� �� ���. 47 �!,&.! L���������� ���# ����! ���"������! ����� ����������� ! � #����# ����� � F ���� '��� �����������C�"� �� ��� � )6G5, ����C����� � ��� �� &������ �"� ���# ���� �� �������. � ������ ���� ��F�� �� �� F����� ����F�� ! ������ J � � ��� ���# &�� ����# &����� ������ �#� � )6G5. � ���������� � &� ����F�� ��! ������� � #����# ����� � ��� ���# ������� ��# ����#�� � ����� ����������� � � � # ����!���"� &����� �����"� �����$ ���. :�! ��#�F��� ! ��������"� � ������ ��� ���� � ��� � ���"������# ������ � ����� ������ �������� &����� �����"� ���!�� �� �����#���� ��� ���# ������� ���. 1. �.�. ������, �.�. ���� , �.�. &������, �.�. '�#�� , �.�. � " ����. )��� �� ������ ���� ����� � )Q:-���$����� �� &������ �"� ��� ���� �� ��� F ���"� ������ � ���$���� ����������� ���� �� �� "��# ��"������ // `����� ������. – 2009, ( 6. – N. 8–14. 2. Natarajan T.T., El-Kaddah N. Finite Element Analysis of Electromagnetically Driven Flow in Sub-mold Stirring of Steel Billets and Slabs // ISIJ Int. – 1998. – Vol. 38, No. 7. – pp. 707–714. 3. Davidson P.A. Magnetohydrodynamics in materials processing // Annu. Rev. Fluid Mech. 1999. 31:273–300. 4. �. ������, �. (�������, '. � " � ��� , �. )�*���, �. +�"� �, �. / %�����3. N ��� � &������ �"� ���"� ���� �� ��� ! F ���� ���� �� �������#, ��� ���# ��!����# )6G5 // J��� ����� �. – 2005, ( 11. – N. 48–52. 5. ����� �.�., �� ��" � �.�., 4�� �� � �.'., ( ����%�� �.$., (����� �.�., $�%����� 4.�., /���� �� �.$. :� ����! ���"��-� ''����$ �����! ����� ����������� ! � #����# ����� &������� �� ���� # � � � � � ��� � �� ����� �����- �� �$ ����� ���� �� ������ �� �� ����������"� � ��! ��"������ // %���������� ���� ����� �. – 2004. – ( 1. – N. 30–52. 6. �.'. 4�� �� �, �.�. (�����, 4.�. $�%����� , �.�. (�#�5�. :� ����! ���"������! ����� ����������� ! � � �� ������# � #����# ����� &������� �� ���� # � � � � �� ����� ������ )6G5 � !���������� &������ �"� ��� ���� �� ������ // %���������� ���� ����� �. – 2010. – O. 32, ( 1. – N. 53–75. 7. �� ��" � �.�., 4�� �� � �.'., ( ����%�� �.$., (����� �.�., $�%����� 4.�., /���� �� �.$., '�"��� �� �.�., 6 ��� /.6. _������ ��"�� � ���� ��$ �� ����� ���"������� ���� ����������� ! � � �� ������# � #����# ����� &������� �� ���� # � � � � �� ����� ������ � �� �$ ���� ���� �� ������ // %���������� ���� ����� �. – 2005. – O. 27, ( 4. – N. 57–74. 8. 4�� �� � �.'., (����� �.�., $�%����� 4.�., (����� �.�. O��# ����! ���"������! ����� �"� ���"� ���! &������ �"� ���"� ���� �� �����! // N�. �� ��. �� ��� �F�. ���'����$ “)���� ����� �-2010”, 12-14 �! 2010 ". – ". � ��. – 2010. – O.1. – N. 32–40. 9. 4�� �� � �.'., (����� �.�., $�%����� 4.�., (����� �.�. O��# ����! ���"������! ����� �"� ���"� ���! &������ �"� ���"� ���� �� �����! // %���������� ���� ����� �. – 2010. – O. 32, ( 4. – N. 93–112. 10 7�8"�� �.�. G��$ �� � ����� ���"������ ������ ! . – ).: � � ��" �, 1959. – 232 c. $ #%���"� 4.10.2010�.
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28287
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn XXXX-0067
language Russian
last_indexed 2025-12-07T13:10:34Z
publishDate 2010
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
record_format dspace
spelling Евдокимов, В.Ф,
Кучаев, А.А.
Петрушенко, Е.И.
Кучаев, В.А.
2011-11-09T11:15:26Z
2011-11-09T11:15:26Z
2010
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2010. — Вип. 57. — С. 31-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
XXXX-0067
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28287
681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
3D integral model of eddy currents and electromagnetic forces in the liquid phase of continuously cast billets with electromagnetic stirring is offered. Take into account the characteristics of the magnetic field of electromagnetic stirrer (EMS): currents low frequency 3...6 Hz in the EMS windings and electromagnetic forces field many times more magnetic fields of eddy currents. As a result we can neglect the magnetic field of eddy currents and assume that at each point of a massive conductor the magnetic field is equal to the magnetic field of EMS. In this case the initial system of integral equations is substantially simplified and its solution reduces to the solution of two subsystems: a vector integral equation for the density of the magnetization current on the surface of the EMS magnetic core and system of integral equations for the density of electric charges on the surfaces of massive conductors; in the resulting distribution of the density of electric charges is determined the electric scalar potential in the molten steel; from distribution of vector magnetic potential, the vector magnetic induction and the electric scalar potential in the liquid phase of billet is calculated the distribution of vectors of eddy currents density and electromagnetic forces.
ru
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
Article
published earlier
spellingShingle Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
Евдокимов, В.Ф,
Кучаев, А.А.
Петрушенко, Е.И.
Кучаев, В.А.
title Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
title_full Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
title_fullStr Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
title_full_unstemmed Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
title_short Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
title_sort интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в жидкой фазе непрерывнолитой заготовки при элетромагнитном перемешивании
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28287
work_keys_str_mv AT evdokimovvf integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoifazenepreryvnolitoizagotovkipriéletromagnitnomperemešivanii
AT kučaevaa integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoifazenepreryvnolitoizagotovkipriéletromagnitnomperemešivanii
AT petrušenkoei integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoifazenepreryvnolitoizagotovkipriéletromagnitnomperemešivanii
AT kučaevva integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoifazenepreryvnolitoizagotovkipriéletromagnitnomperemešivanii