Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях
Исследованы некоторые аспекты применения теории потенциала для получения устойчивых решений обратных задач в электроразведке и взрывном деле. Разработаны простейшие алгоритмы решения обратных задач на компьютерах методом наименьших квадратов и фильтрационными итерационными методами простой итерации...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28401 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях / Р.В. Миненко, П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2009. — С. 334-339. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859614932266385408 |
|---|---|
| author | Миненко, Р.В. Миненко, П.А. |
| author_facet | Миненко, Р.В. Миненко, П.А. |
| citation_txt | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях / Р.В. Миненко, П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2009. — С. 334-339. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследованы некоторые аспекты применения теории потенциала для получения устойчивых решений обратных задач в электроразведке и взрывном деле. Разработаны простейшие алгоритмы решения обратных задач на компьютерах методом наименьших квадратов и фильтрационными итерационными методами простой итерации для нескольких интерпретационных моделей.
|
| first_indexed | 2025-11-28T18:05:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
334
© Ð.Â. Ìèíåíêî, Ï.À. Ìèíåíêî, 2009
ÓÄÊ 550.837
Åâðîïåéñêèé óíèâåðñèòåò, ã. Êèåâ
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ
ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÇÀÄÀ×È ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÀ
 ÏÐÎÌÛØËÅÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈßÕ
Известны сеточные методы решения обратной линейно-нелиней-
ной задачи гравиметрии (ОЛНЗГ) и магнитометрии (ОЛНЗМ) с помо-
щью итерационных оптимизирующих алгоритмов с фильтрацией помех
поля на основе критерия минимума нормы поправок к плотности и маг-
нитным свойствам горных пород [1]. Кроме физических и геометричес-
ких параметров крупных геологических структур, в этих работах эпизо-
дически приводятся некоторые технические результаты: средняя плот-
ность верхнего слоя морских отложений, распределение магнитных и
электрических свойств в окисленных и полуокисленных разностях гор-
ных пород верхнего слоя кристаллического фундамента, карты значений
глубины до морского дна или кристаллического фундамента [2–4]. Из-
вестны прямые методы решения обратных задач теории потенциала ско-
ростей для одиночных зарядов взрывчатого вещества (ВВ), которые для
группы скважинных зарядов слабо устойчивы [5, 6]. Эти методы исполь-
зованы также в экономике и юриспруденции для условий с нечеткой
логикой [7]. Однако существует необходимость расширения сферы их при-
менения.
Цель настоящей работы – создание итерационных методов устойчиво-
го решения обратной линейно-нелинейной задачи электрического потен-
циала (ОЛНЗЭП) для определения глубины до кристаллического фундамента
в электроразведке с помощью метода дипольного и симметричного элект-
рического профилирования (ДЭП и СЭП), а также обратной линейной за-
дачи потенциала скоростей (ОЛЗПС) в теории действия взрыва при разру-
шении горных пород группой зарядов ВВ.
Для применения метода ДЭП [8] возьмем дипольную установку
АВМN с центром в точке О между электродами М и N. Координаты элек-
тродов на оси Х равны: ON = –l; OM = l; MN = 2l; OB = L; OA = L1; коэффи-
циент установки равен k; ток в цепи AВ равен J; удельное электрическое
сопротивление (УЭС) среды в первом слое ρ1, а во втором – ρ2; мощность
первого слоя равна H1 = H + h, а второго – H2 = ∝; H – начальное значе-
ние, h – неизвестная добавка; коэффициент отражения тока от границы
335
слоев равен 2 1
1,2
2 1
;k ρ − ρ
=
ρ + ρ
падение напряжения между электродами M и N
равно:
( )( )21
1,2 10 11 12 132 3 8 ,
8MN
JV k S S S Sρ
= − µ + µ +
π
(1)
где
1 1 1 1
10 2 1 3 4S S ;S S S− − − −= − + − 3 3 3 3
11 2 1 3 4S S ;S S S− − − −= − + − 5 5 5 5
12 2 1 3 4S S ;S S S− − − −= − + −
22 ;hH hµ = + ( ) ( )( )2 2 2 2
13 14 1 1 ;S l L l L l= − − − ( )( )( )1/ 22 2
1 1 2 ;S L l H= − +
( )( )( )1/ 22 2
2 1 2 ;S L l H= + + ( )( )( )1/22 2
3 2 ;S L l H= − +
( )( )( )1/ 22 2
4 2S L l H= + + .
Образуем из (1) формулу кажущегося удельного электрического со-
противления (КУЭС):
, 1, 1 2, 2 3, 3; 1,MN
k i c i c i c i
kV S X S X S X i M
J
ρ = = + + = (2)
где
1 1,2 10 13 1 1( ); ;
8c
kS k S S X= + = ρ
π
2 1,2 11 1 1( ); ;
8c
kS k S H X h= − = ρ
π
2 2
1 1,2 11 12 1 1( 3 );
8c
kS k S S H X h= − − = ρ
π
.
Образуем критерий минимума суммы квадратов невязок поля КУЭС ρk:
, 1, 1 2, 2 3, 3 , 1, 1 2, 2 3, 3( , ) min;r k i c i c i c i k i c i c i c iF S X S X S X S X S X S X= ρ − − − ρ − − − = (3)
Дифференцируя критерий Fr по переменным X1, X2, X3 и приравнивая
производные к нулю, получим систему из трех уравнений для вычисления
X1, X2, X3, а уже по ним вычислим ρ1 и H + h.
Для применения метода СЭП с установкой AMNB пригодны все фор-
мулы (1)–(3) при S1 = S3, S2 = S4, S13 = 4l/(L2 – l2). Для определения коэффи-
циента отражения тока нужно использовать опытное вертикальное элект-
рическое зондирование (ВЭЗ). Если ρ2 = ∞ то k1,2 =1. Для повышения устой-
чивости решения обратной задачи ДЭП (аналогично и СЭП) разработаем
фильтрационный метод решения обратной задачи на основе метода про-
стой итерации. Из (2) образуем невязку поля КУЭС ρk:
, , , ,( , ); 1,3.i n k i cm i m nr S X m= ρ − = (4)
336
Запишем ИФ для переменных:
, 1 , , 1 , ;m n m n m n m nX X B+ += − τ 2
, ,( , ) / ; ( ,1);m n cmi i n m m cmiB S r S= λ λ = (5)
где τm,n + 1 – неизвестный итерационный коэффициент (ИтК) на (n + 1)-ой
итерации.
Подставим (5) в (4) и после преобразования получим уравнение связи
невязок на соседних итерациях:
, 1 , , 1 , ,( , )i n i n m n cm i m nr r S B+ += + τ ; , , , ,m i n cm i m nZ S B= ; , 1 , , 1 , ,( , ).i n i n m n m i nr r Z+ += + τ (6)
Образуем из (6) поправки к параметрам Xm,n:
, 1 , , 1 , ,( , ),j n j n m n j m nB B C+ += + τ (7)
где
2
, , , , ,( , / ); 1,3; 1,3j m n cj i m i n jC S Z m j= λ = = .
Образуем критерий оптимизации по минимуму суммы квадратов по-
правок:
( ) ( )( ) ( )( )( ), 1 , 1 , , 1 , , , , 1 , ,, , , , minB j n j n j n m n j m n j n m n j m nF B B B C B C+ + + += = + τ + τ = . (8)
Возьмем производные по τm,n + 1, приравняем их к нулю и получим сис-
тему уравнений для вычисления ИтК τm,n + 1:
( ) ( )( )( )
, 1
'
, , 1 , , , ,, , 0; 1, ; , 1,3.
k n
B j n m n j m n j k nF B C C j M m k
+
+τ
= + τ = = = (9)
Решая систему (9), получим ИтК и по ИФ (5) вычислим параметры
Xm,n, а затем и физические параметры модели среды: среднее удельное элек-
трическое сопротивление верхнего слоя ρ1 и добавку h к начальной глубине
H полной глубины H + h до второго слоя в пределах измерительной уста-
новки AN. Этот метод является высоко фильтрационным. С меньшей степе-
нью фильтрации погрешностей измерения поля можно решать обратную
задачу оптимизацией критерия по минимуму суммы квадратов невязки поля
ρk. Для этого возведем в квадрат левую и правую части уравнения (6) и
просуммируем их по всем (обычно больше пяти) точкам измерения ρk,i в
пределах измерительной установки:
( ) ( )( ) ( )( )( ), 1 , 1 , , 1, , , , , 1, , ,, , , , minr i n i n i n m n r m i n i n m n r m i nF r r r Z r Z+ + + += = + τ + τ = . (10)
Возьмем производные от (10) по τm,n + 1,r, приравняем их к нулю и полу-
чим систему уравнений для вычисления ИтК τm,n + 1,r:
( )( )( ), , 1, , , , ,, , 0i n m n r m i n k i nr Z Z++ τ = . (11)
Решая систему (11), получим ИтК и по ИФ (5) вычислим параметры
Xm,n, а затем и физические параметры модели среды.
337
Если ρ2 ≠ ∞ то нужно использовать модель с переменным УЭС среды [4]:
( )2
1 exp 2 ; , const.bz cz b cρ = ρ + = (12)
Введем новые обозначения в формулу (2) для симметричной установ-
ки AMNB:
1 1 2 1 3 1, , ,X X b X c= ρ = ρ = ρ
2
1, 2, 3,2 / ; / ; / 2.c i c i c iS MN AB S MN AB S MN AB= = = ×
(13)
Для решения этой задачи достаточно измерений ВЭЗ на 5–6 разносах
в одной точке профиля. Критерий оптимизации имеет вид (3) или (8) при
обозначениях (12)–(13). Вычисляя для каждой j-ой точки профиля парамет-
ры среды ρ1j, bj, cj по формуле (12) строим вертикальный разрез УЭС перво-
го слоя, непрерывно переходящего в УЭС второго слоя. Так как выражения
(2) и (4) отличаются только коэффициентами при неизвестных параметрах,
то фильтрационные методы (4)–(11) пригодны и для решения обратных за-
дач ВЭЗ (12)–(13). Таким образом, приведенные методы позволяют извлечь
довольно большую дополнительную информацию о геологическом строе-
нии участка геофизических исследований.
Во взрывном деле поставленная цель достигается тем, что использу-
ют баланс энергии и формулы потенциала скоростей, из которых получают
системы уравнений для определения радиусов сферических или цилиндри-
ческих зарядов, аппроксимирующих скважинные заряды ВВ в интерпрета-
ционных моделях. Из [5, 6] следует, что средняя часть скважинного заряда
должна иметь меньшую энергоемкость, чем на торцах. С другой стороны,
располагать скважины с зарядами ВВ в одну линию также нецелесообраз-
но, так как это ведет к большой неравномерности дробления горной поро-
ды и перерасходу ВВ. Следовательно, задача размещения скважинных заря-
дов ВВ по площади представляет собой обратную нелинейную задачу по-
тенциала скоростей (ОНЗПС), а задача определения переменного радиуса
заряда по высоте скважины представляет собой обратную линейную зада-
чу потенциала скоростей (ОЛЗПС). Пользуясь [5, 6], составим алгоритм ре-
шения (ОЛЗПС) при аппроксимации скважинного заряда ВВ сферически-
ми зарядами с удельной энергоемкостью ε0 плотностью заряда γ и радиу-
сом Ri в следующем виде:
,( , ) ,i j i ja bη = ( )( )22 2
0 0 03 4 1 ,j pb E a k= σ ε γ + 4 ;i iRη =
( )( )322
, 1 ,i j j i ja r z z= + −
(14)
где r2 = (xi – xj)
2 + (yi – yj)
2 + (zi – zj)
2, (xi, yi, zi) – координаты точек заряда;
(xj, yj, zj) – координаты точек разрушаемой горной породы; a – размер сред-
338
него куска дробленной породы; σp и E0 – предел прочности породы на раз-
рыв и ее модуль Юнга; k0 – коэффициент отражения воздействий взрыва от
свободной поверхности разрушаемого уступа в карьере.
Решение системы уравнений (14) неустойчиво. Поэтому будем решать
ее фильтрационным итерационным методом простой итерации с критери-
ем оптимизации по минимуму суммы квадратов поправок к определяемо-
му параметру [1–4]. Запишем итерационную формулу связи (ИФ) для зна-
чений неизвестного параметра ηi,n на соседних итерациях с номерами n и
n + 1, формулу невязки поля энергии (ФНПЭ) rj,n и формулу поправки (ФП)
Bi,n к неизвестному параметру:
, 1 , 1 , ;i n i n n i nB+ +η = η − τ , 1 , 1 , ,( , );j n j n n i j i nr r a B+ += − τ (15)
( ), , ,, ;i n i j j n i jB a r= λ λ ( ) ( ), ,1, 1,
,1 ; ,1i i j j i jj N i M
a a
= =
λ = λ = (16)
где τn + 1 – неизвестный ИтК на n + 1-ой итерации.
Запишем критерий оптимизации по поправке:
( ) ( ), 1 , 1 , 1 , , 1 ,, , min;B i n i n i n n i n i n n i nF B B B C B C+ + + += = − τ − τ =
( )( ), 1 , , ,, ,i n i j i j i n i jC a a B+ = λ λ .
(17)
Оптимизируя критерий (17) получим
( ) ( )1 , , , ,, , .n i n i n i n i nB C C C+τ = (18)
Аналогично оптимизируя критерий невязки получим:
( ), 1 , 1, min,r j n j nF r r+ += = ( ) ( )1, , , , ,, , ,n r j n j n j n j nr Z Z Z+τ = ( ), , ,, .j n i j i nZ a B= (19)
Теперь запишем алгоритм решения (ОЛЗПС) при аппроксимации сква-
жинного заряда ВВ цилиндрическими зарядами:
( ), , ,i j i ja bη = ( )( )22 2
0 0 08 1 ,j pb E a k= σ ε γ + ( )( )2
2, 1,η ;i i i i iR Ln z z R= −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
23/ 2 3/ 22 22 2
, 1, 1, 2, 2, ,i j i j j i j i j i i ja z z L z z z z L z z = − + − − − + −
(20)
2, 1, const.i iz z H− = ∆ =
Система уравнений (20) решается теми же итерационными методами
(15)–(19). Приведенные методы позволяют разрабатывать технологии от-
бойки горной массы на карьерах при требуемом гранулометрическом со-
ставе и оптимизированном расходе ВВ.
Заключение. Применение фильтрационных методов устойчивого ре-
шения обратных задач теории потенциала в электроразведке позволяет вы-
явить участки, неустойчивые и опасные для строительства объектов про-
339
мышленного и общегражданского назначения, а в горном деле оптимиза-
ция расхода ВВ позволяет снизить интенсивность разрушающих сейсми-
ческих воздействий на здания и сооружения.
1. Миненко П.А. Исследование кристаллического фундамента линейно-нелинейными ме-
тодами магнитометрии и гравиметрии // Геоінформатика. – № 4. – 2006. – С. 41–45.
2. Миненко П.А. Проблемы обратной задачи трехкомпонентной магнитометрии при иссле-
дованиях на кристаллическом щите // Науковий Вісник НГУ. – 2006. – № 12. – С. 23–27.
3. Миненко П.А. Методы и критерии оптимизации устойчивых решений обратной задачи
глубинной морской гравиметрии // Науковий Вісник НГУ. – 2007. – № 11. – С. 83–91.
4. Миненко П.А. Обратная нелинейная задача гравиметрии для структурных исследований //
Науковий Вісник НГУ. – 2008. – № 5. – С. 24–28.
5. Власов О.Е., Смирнов С.А. Основы расчета дробления горных пород взрывом. – М.:
Изд-во АН СССР, 1962. – 104 с.
6. Миненко П.А., Э.А. Корнет, В.А. Черненко и др. Теоретические исследования выбора
диаметра компенсационной полости при проходке горных выработок // Совершенство-
вание технологии подземной разработки руд черных металлов: сб. науч. тр. НИГРИ. –
Кривой Рог, 1983. – С. 37–39.
7. Миненко П.А., Миненко В.П. Регрессионный анализ с искусственными переменными на
основе итерационных методов по критерию минимума нормы поправок // Науковий Вісник
НГУ. – 2007. – № 9. – С. 40–43.
8. Якубовский Ю.В., Ренард И.В. Электроразведка: 3-е изд. – М.: Недра, 1991. – 359 с.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-28401 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0017 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T18:05:49Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миненко, Р.В. Миненко, П.А. 2011-11-10T23:37:40Z 2011-11-10T23:37:40Z 2009 Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях / Р.В. Миненко, П.А. Миненко // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2009. — С. 334-339. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0017 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28401 550.837 Исследованы некоторые аспекты применения теории потенциала для получения устойчивых решений обратных задач в электроразведке и взрывном деле. Разработаны простейшие алгоритмы решения обратных задач на компьютерах методом наименьших квадратов и фильтрационными итерационными методами простой итерации для нескольких интерпретационных моделей. ru Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України Геофізична інформація та математичні методи Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях Article published earlier |
| spellingShingle | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях Миненко, Р.В. Миненко, П.А. Геофізична інформація та математичні методи |
| title | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| title_full | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| title_fullStr | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| title_full_unstemmed | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| title_short | Применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| title_sort | применение устойчивых решений обратной задачи теории потенциала в промышленных технологиях |
| topic | Геофізична інформація та математичні методи |
| topic_facet | Геофізична інформація та математичні методи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/28401 |
| work_keys_str_mv | AT minenkorv primenenieustoičivyhrešeniiobratnoizadačiteoriipotencialavpromyšlennyhtehnologiâh AT minenkopa primenenieustoičivyhrešeniiobratnoizadačiteoriipotencialavpromyšlennyhtehnologiâh |