Buchumschlag

Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем

Запропоновано інтенсіонально-орієнтований підхід до визначення основних понять логіки. Розглянуто інтенсіонали понять даного, функції та композиції. Введено поняття номінату (номінативного даного) та розглянуто його зв'язки з поняттям множини. Продемонстровано застосовність підходу в математичн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2007
Hauptverfasser: Нікітченко, М.С., Шкільняк, С.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainisch
Veröffentlicht: Інститут програмних систем НАН України 2007
Schlagworte:
Теоретичні та методологічні основи програмування
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/285
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем / М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк // Пробл. програмув. — 2007. — N 2. — . — Бібліогр.: 37 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859796884507328512
author Нікітченко, М.С.
Шкільняк, С.С.
author_facet Нікітченко, М.С.
Шкільняк, С.С.
citation_txt Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем / М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк // Пробл. програмув. — 2007. — N 2. — . — Бібліогр.: 37 назв. — укp.
collection DSpace DC
description Запропоновано інтенсіонально-орієнтований підхід до визначення основних понять логіки. Розглянуто інтенсіонали понять даного, функції та композиції. Введено поняття номінату (номінативного даного) та розглянуто його зв'язки з поняттям множини. Продемонстровано застосовність підходу в математичній логіці. Розглянуто спектр композиційно-номінативних логік. Описано композиції квазіарних предикатів на різних рівнях абстрактності. Виділено класи логік квазіарних предикатів, розглянуто їх основні властивості.
first_indexed 2025-12-02T14:02:49Z
format Article
fulltext Теоретичні та методологічні основи програмування © М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк, 2007 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2007. № 2 15 УДК 681.3.06 М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк ІНТЕНСІОНАЛЬНО-ОРІЄНТОВАНИЙ ПІДХІД ДО ПОБУДОВИ ЛОГІЧНИХ СИСТЕМ Запропоновано інтенсіонально-орієнтований підхід до визначення основних понять логіки. Розглянуто інтенсіонали понять даного, функції та композиції. Введено поняття номінату (номінативного даного), та розглянуто його зв’язки з поняттям множини. Продемонстровано застосовність підходу в математичній логіці. Розглянуто спектр композиційно-номінативних логік. Описані композиції квазіарних предикатів на різних рівнях абстрактності. Виділені класи логік квазіарних предикатів, розглянуті їх основні власти- вості. Вступ Мета пропонованої роботи – демонстрація важливості та актуальності дослідження інтенсіональних аспектів, їх початкова ідентифікація та експлікація для основних понять логіки. Перш ніж перехо- дити до детального обговорення інтенсіо- нальності в логіці, зауважимо, що цей тер- мін тлумачимо у традиційному для логіки смислі, а саме, інтенсіональність пов’язуємо із змістом поняття, а дуальне поняття – екстенсіональність – із його об’ємом [1]. Щоб зрозуміти, чи потрібні кардина- льні зміни у розгляді основних понять ло- гіки, спробуємо оцінити стан справ з цим питанням у сучасній науці. Спеціаліст з логіки та штучного інтелекту Б.О. Кулік пише [2], що для сучасної математики ха- рактерна зростаюча нестійкість низки ма- тематичних понять, багато строго визначе- них математичних термінів, які давно вже історично склалися, докорінно змінюють своє значення залежно від прихильності до певної наукової школи. Причому це стосу- ється не тільки вузькоспеціальних термі- нів, а й таких, що лежать в основі сучасної математики: відношення, відповідність, відображення, декартів добуток, алгебраї- чна система. Б.О. Кулік зауважує [2], що мова у даному випадку йде не просто про різні підходи до визначень цих термінів, а про те, що в різних авторитетних джерелах цим термінам відповідають принципово різні математичні структури. Така ситуація, на його думку, обумовлена в першу чергу штучно створеними термінологічними бар’єрами між різними науковими школами. Інші дискусії з методологічних пи- тань математики, логіки та інформатики також підтверджують висновок про появу нових визначень головних понять цих дис- циплін, про розмитість понять тощо. Але ми хочемо відзначити об’єктивний харак- тер переосмислення усталених фундамен- тальних понять та пошуку нових аспектів цих понять. Суб’єктивний фактор науко- вих шкіл тут лише є проявом цієї об’єктивності. У чому ж причини спроб перевизна- чення фундаментальних понять? Не прете- ндуючи на всебічний огляд таких причин, в рамках даної роботи ми зосередимось лише на одній, але дуже важливій обста- вині. Вона полягає у тому, що розвиток ма- тематики, логіки та інформатики продемо- нстрував певну обмеженість екстенсіона- льного підходу до експлікації фундамента- льних понять. Справді, минулого століття набув популярності підхід до математики, заснований на екстенсіональній теорії множин Г. Кантора та формалістичній концепції Д. Гільберта. Цей підхід активно розвивався у чисельних трактатах Н. Бурбакі, він має дуже багато позитив- них рис. Проте, як відзначив академік Ар- нольд [3], надмірна "бурбакізація" веде до викривленого тлумачення математики як гри у символи, розриву зв’язків зі змістов- ними поняттями предметних областей. Як же можна подолати обмеженість екстенсіональності у математиці, логіці та інформатиці? Безумовно, це дуже складна проблема, яка вимагає системного підходу до її розв’язання. На нашу думку, одним з перших кроків у подоланні такої обмеже- ності є збагачення визначень головних по- Теоретичні та методологічні основи програмування 16 нять інтенсіональними аспектами. Єдність інтенсіональних (змістовних) та екстенсіо- нальних (об’ємних) моментів у визначенні понять була добре усвідомлена ще у дав- нину. Ми пропонуємо підтримати цю да- вню філософську традицію щодо матема- тики, логіки та інформатики. 1. Методологічні аспекти інтенсіонально-орієнтованого підходу Проблеми ідентифікації та експліка- ції головних понять логіки відносяться до методологічних проблем і тому їх розв’язок доцільно шукати, спираючись на певну гносеологічну платформу. Вибір та- кої платформи не є простою задачею. Пов’язано це з тим, що не існує загальноп- рийнятої гносеологічної теорії, більш того, на думку деяких спеціалістів її взагалі може не існувати [4]. Тому ми тут перелі- чимо лише декілька принципів, на які бу- демо спиратись, вибираючи за основу діа- лектичний підхід Гегеля [5]. Першим методологічним принципом є принцип розвитку від абстрактного до конкретного: поняття досліджуваного об’єкта визначається в процесі розвитку. Цей розвиток починається з абстрактних визначень, що відображають суттєві влас- тивості об’єкта, і поступово переходить до більш конкретних визначень, які специфі- кують інші властивості об’єкта. Варто зазначити, що наведений принцип (а також інші методологічні принципи та визначення) не слід тлума- чити абсолютно. Треба брати до уваги від- носність аспектів, переходи одних аспектів в інші, та пам’ятати в цілому про діалек- тику понять. Рух від абстрактного до конкретного, як правило, здійснюється за тріадною схе- мою: теза – антитеза – синтез Ця схема відповідає рівням дослі- дження об’єкта: синкретичний рівень, аналітичний рівень, синтетичний рівень. Принцип розвитку важливий для ло- гіки та інформатики зокрема і тому, що веде до ієрархії визначень об’єкта різного рівня абстрактності та загальності. Гово- рячи про різні рівні (типи) абстракції, ми приходимо до розуміння, що визначення об’єкта на певному рівні абстракції (інтен- сіональний аспект) має бути доповнене ви- значенням класу об’єктів, які належать цьому рівню (екстенсіональний аспект), а також те, що обидва аспекти мають вивча- тись у їх єдності. Це дозволяє сформулю- вати наступний принцип. Принцип єдності інтенсіональних та екстенсіональних аспектів: поняття мають бути представлені у єдності їх інтенсіона- льних та екстенсіональних аспектів, при- чому інтенсіональний аспект у цій єдності має провідну роль. Наведені принципи, звичайно, не ви- черпують методологічних принципів, що використовуються при розвитку понять логіки та інформатики. Вони швидше під- креслюють ті моменти, на які варто звер- нути увагу при їх дослідженні і які ще не- достатньо розроблені на сучасному етапі. 2. Інтенсіональні аспекти понять математичної логіки Математична логіка, як і інші науки, що відображають фундаментальні власти- вості світу, має визначатись в розвитку своїх понять. Ми спробуємо виокремити головні поняття логіки і визначити їх на різних рівнях абстракції, враховуючі їх ін- тенсіональні аспекти в першу чергу. Але спочатку спробуємо відокремити матема- тичну логіку від інших типів логік, розгля- нувши невеликий приклад. Подивимось на два рядки вірша Та- раса Шевченка: Садок вишневий коло хати, хрущі над вишнями гудуть. Як можна розглядати ці два рядки? Для людини, яка незнайома з кири- лицею та українською мовою, ці два рядки є просто послідовностями літер, розділе- них комою. Ця людина може уявляти які завгодно тлумачення цих рядків. Вона ди- виться лише на форму, не маючи змоги проникнути у зміст. Ніяких (смислових) зв’язків цих рядків із навколишнім світом немає. Для не зовсім розвиненого інтелекту дитини (яка розуміє українську мову) ці два рядки можуть привести її до висновку, що мова йде про таку пору року як весна. Теоретичні та методологічні основи програмування 17 Навряд чи дитина зможе побудувати зв’язки цих рядків з політикою Російської імперії або з теоріями біогенезу. Для письменника Івана Франка це "немов моментальна фотографія настрою поетової душі, викликаного образом ти- хого весняного українського вечора". Інте- лектуальному читачу, можливо, пригада- ються часи його молодості, або картини важкого життя Тараса Шевченка, його туга за Вітчизною. В пошуках відповіді про причини його тяжкої долі такий читач може перейти до розгляду політичного устрою Російської імперії, її роль у світі, та як в цілому розвивається світ. Наведені три типи розгляду відріз- няються спробами зв’язування тексту з іншими явищами світу. У першому випа- дку текст сприймається формально, смис- лові зв’язки з позалінгвістичним контекс- том відсутні (або суто формальні). У дру- гому випадку розглядаються зовнішні, безпосередні, прості зв’язки. І нарешті, у третьому випадку робляться спроби розг- лянути усі зв’язки у їх тотальності. Цим трьом способам міркувань (розгляду, дис- курсу) відповідають три типи логік. 1. Формальна (зокрема, математична) логіка. Ця логіка займається дослідженням предикатів. 2. Загальна (прикладна, практична) логіка. Ця логіка займається дослідженням понять. 3. Логіка пізнання (гносеологія). Ця логіка займається дослідженням категорій – всезагальних ознак предметів. У математичній логіці під предика- том розуміють відображення даних у зна- чення істинності; тексти, які вона розгля- дає, є твердженнями. У загальній логіці поняття розгляда- ється не в контексті категорії всезагальне– особливе–одиничне, а в контексті категорії загальне–одиничне, де загальне виступає скоріш як зовнішнє, ніж як іманентне, вну- трішнє. Таким чином, математична логіка ві- дрізняється від інших типів логік зовніш- нім (формальним) наданням смислу твер- джень. Це в подальшому веде до концепції багатьох світів та інтерпретацій тверджень у цих світах. Математично це можна зада- вати за допомогою поняття предикату (у його різних аспектах). Важко сформулювати одним речен- ням головну ідею математичної логіки, все ж візьмемо за головне її поняття істинність тверджень. З аналізу істинності випливає і другий аспект логіки – вивідність (істин- них) тверджень. Задаючи істинність та ви- відність як класи тверджень, отримуємо надзвичайно абстрактне тлумачення ло- гіки, що має три складових: • Твердження – Prop • Істинність – |= • Вивідність – |– Класова над-абстрактна логіка. На початковому рівні уточнення понять ло- гіки будемо вважати, що Prop є класом (множиною), |= та |– є підкласами (підм- ножинами) Prop. Тому початкове визна- чення логіки буде таким. Класова над-абстрактна логіка – це трійка L(COA) = (Prop, |=, |– ) із вищезазначеними складовими. Незважаючи на свою надзвичайну абстрактність, це визначення вже дозволяє надати початкові формулювання тим про- блемам, які будуть розглядатися в логіках. 1. Несуперечливість: – несуперечливість істинності: клас істинних тверджень, або тавтологій (тер- мін тавтологія тлумачиться в загальному смислі, а не тільки в смислі пропозиційної логіки) є власним підкласом всіх твер- джень, тобто |= ⊂ Prop (тут ⊂ – строге включення); – несуперечливість вивідності: клас вивідних тверджень (теорем) є власним пі- дкласом всіх тверджень, тобто |– ⊂ Prop. 2. Коректність: клас вивідних твер- джень (теорем) є підкласом істинних твер- джень (тавтологій), тобто |– ⊆ |=. 3. Повнота: клас істинних тверджень є підкласом вивідних тверджень, тобто |= ⊆ |–. 4. Розв’язність: – розв’язність істинності: якщо Φ∈Prop, то можна визначити, чи є Φ іс- тинною, тобто можна відповісти на пи- тання "Φ∈|=?" Теоретичні та методологічні основи програмування 18 – розв’язність вивідності: якщо Φ∈Prop, то можна визначити, чи є Φ виві- дною, тобто можна відповісти на питання "Φ∈|–?" Безумовно, нас цікавлять відповіді на ці проблеми не в рамках теорії множин Кантора, а для тих теорій, в яких будуть сформульовані зазначені поняття логіки, тобто з урахуваннях їх дескриптивних та інтенсіональних аспектів. Типова ситуація щодо співвідношень зазначених понять логіки показана на рис. 1. На рис. 1 показана несуперечливість істинності, несуперечливість вивідності та коректність вивідності. Для логік верх- нього рівня абстракції часто додатково ви- конується повнота, тобто співпадіння іс- тинності та вивідності. Для достатньо складних логік розв’язність відсутня. Індивідна над-абстрактна логіка. Із назви логіки L(COA) – класова над-абстра- ктна – бачимо, що слід зробити подальші конкретизації. Рівень класової над-абстра- ктної логіки формально не надає змістов- них відмінностей класам тавтологій та те- орем. Тому перша конкретизація буде пов’язана з запереченням тлумачення іс- тинності та вивідності як завершених кла- сів. Іншими словами, вважаємо, що класи тавтологій та теорем задані не як цілісно- сті, а через свої індивідні елементи, тобто через певні механізми розпізнавання тав- тологій та породження теорем (що, до речі, дозволяє розрізнити роль тавтологій та те- орем в логіці). Як же задати ці механізми? На абстрактному рівні розгляду мо- жна вважати, що розпізнавання елемента відбувається за допомогою певної характе- ристичної функції, на яких ця функція приймає значення T (true), тобто |= : Prop→{T}. Тоді породження задається багатозначною (недетермінованою) функ- цією |– : {T} →m Prop. Введені конкретизації, хоч і залишаються над-абс- трактними, все ж трохи підводять нас до традиційних властивостей логічних по- нять. Тепер, зокрема, враховуючи апліка- тивність функцій розпізнавання та поро- дження, ми маємо їх властивості та про- блеми записувати не в термінах заверше- них класів, а в термінах одиничних (інди- відних) елементів. Зокрема, якщо |=(Φ)↓=T, то пишемо просто |=Φ. Так само пишемо |–Φ замість |–(T)↓ = Φ. Це дозволяє переформулювати осно- вні проблеми логіки таким чином. 1. Несуперечливість – істинності: існує Φ∈Prop, що не |=Φ – вивідності: існує Φ∈Prop, що не |–Φ. 2. Коректність: якщо |–Φ, то |=Φ. 3. Повнота: якщо |=Φ, то |–Φ. 4. Розв’язність – істинності: чи можна визначити що справджується |=Φ? – вивідності: чи можна визначити що справджується |–Φ? Тому друге визначення логіки буде наступним. Індивідна над-абстрактна логіка – це трійка L(IOA) = (Prop, |=, |– ), Prop |= |– Рис. 1. Типове співвідношення основних понять логіки Теоретичні та методологічні основи програмування 19 де Prop – певна множина, |= : Prop→{T}, |– : {T} →m Prop. Зауважимо дві обставини. Перша стосується того, що було б доцільно індексувати поняття логік щодо їх рівня, наприклад, писати |=COA, |–COA, |=IOA, |–IOA. Цього не робимо, щоб не пере- вантажувати текст. Друга обставина пов’язана з тим, що можемо розглядати операції абстрагу- вання, обернені до операцій конкретизації. Зокрема, можна робити абстракції від |=IOA до |=COA. Це дозволяє пов’язати різні ло- гіки в певну ієрархію. Тут часто можна ви- користовувати ідеї та позначення об’єктно- орієнтованого моделювання та програму- вання. Подальша конкретизація полягає у відмові (запереченні) синкретичного розг- ляду тверджень і початку переходу до їх аналітичного тлумачення. Цей перехід по- в'язаний з виділенням у твердженнях двох складових – форми та змісту (синтаксису та семантики). Форма задається класом формул Form, а зміст – інтерпретаціями формул у класі моделей світів. З’являється новий рівень визначень логіки. Абстрактна логіка моделей світів. На цьому рівні головним є поняття моделі світу. Згідно запропонованого підходу мо- дель світу певного рівня (в семантичному аспекті) має інтенсіональну та екстенсіо- нальну складові. Інтенсіональна складова описує (онтологічні та гносеологічні) влас- тивості, екстенсіональна – задає клас оди- ничних моделей світів, які мають ці інтен- сіональні властивості. Інтенсіональна мо- дель світу займає провідну позицію. Це викликано тим, що саме вона індукує клас формул (мову логіки) відповідного рівня (синтаксичний аспект). Формули інтерпре- туються в одиничних моделях. Тому мо- дель світу певного рівня (типу) може бути описана таким чином. Модель світу (певного семантичного рівня) має дві складові: інтенсіональну мо- дель IM та клас екстенсіональних (одинич- них) моделей CEM. Інтенсіональна модель індукує мову логіки Lang, яка задається класом формул Form (синтаксичний ас- пект). Кожна формула Φ∈Form інтерпре- тується в екстенсіональній моделі M∈CEM за допомогою параметричного відображення інтерпретації µM : Form→M. Істинність Φ (тобто |=Φ) також індуку- ється інтенсіональною моделлю і задається на підставі значень µM(Φ). Вивідність Φ (тобто |–Φ) задається певним формалізмом, визначеним на множині формул, напри- клад, певною формальною системою (Form, Ax, R), де Ax – множина аксіом, R – множина правил виводу. Абстрактна логіка моделей світів – це послідовність L(AWM) = (IM, CEM, Form, µ, |=, |– ) із вищезазначеними складовими. Зв'язок наведених понять показано на рис. 2. Показаний рис. 2 обґрунтовує тради- ційний розподіл логіки на теорію моделей та теорію доведень. Абстрактна логіка моделей світів не розкриває структуру (частини) інтенсіона- льної та екстенсіональної моделі, тому не можна продемонструвати зв’язки мови ло- гіки з моделями світів. Це буде зроблено на наступних рівнях конкретизації. Такий перехід до розгляду більш конкретних рів- нів дозволить проілюструвати тезу про провідну роль інтенсіональних аспектів, що саме вони визначають тип логіки: її мову, інтерпретації, істинність та, певним чином, і вивідність. Композиційно-номінативні логіки предикатів. На цьому рівні будемо вважати, що модель світу задається: • певним класом D станів світу (які також називаємо даними); • класом предикатів Pr, заданих на станах світу; • операторами (композиціями) поро- дження нових предикатів. Розглядаючи стани світів як дані, предикати – як функції в булеві значення, композиції – як оператори на предикатах, можна виділити як інтенсіональну скла- дову цих понять (що буде зроблено в на- ступних розділах), так і екстенсіональну Теоретичні та методологічні основи програмування 20 складову. Екстенсіональна модель задається як предикатна композиційна си- стема (D, Pr, C) [6, 7]. Зазначимо, що з інтенсіональної точки зору предикат є особливою функцією, вхідні аргументи яких можуть бути абстрактними ("чорними скриньками"), але результати є конкрет- ними ("білими скриньками"). Предикатна композиційна система (D, Pr, C) фактично задає дві алгебри: ал- гебру даних (D, Pr) та алгебру предикатів (Pr, C). Центральним поняттям у моделях світів є поняття композиції, тому терми ал- гебри предикатів можуть розглядатися як формули логіки. Важливо зазначити, що поняття трійки (D, Pr, C) не є рівноправними: клас даних (світ) і клас предикатів на даних (на станах світу) задають предметну складову логіки певного типу, а композиції – її уні- версальну (всезагальну) складову. Тому центральним поняттям в моделях світів є поняття композиції. Саме композиції ви- значають універсальні методи побудови предикатів, виступаючи ядром логіки пев- ного типу. Це, до речі, видно із традицій- них визначень понять логіки: дані та пре- дикати означуються довільним чином, і лише для визначення значень складних формул (тобто композицій) використову- ється спеціальний механізм інтерпретації. Це означає, що визначення композицій є інтенсіональним, що дозволяє надалі інтерпретувати їх уніформним чином у різних екстенсіональних моделях. Наведені міркування дозволяють сформулювати дві центральні проблеми композиційних моделей світів: • проблема інтенсіональної уніформ- ної експлікації класу композицій на підс- таві інтенсіональних визначень класів сві- тів та предикатів, • проблема вербалізації композицій, тобто побудови мови логіки певного типу, що має формальну семантику композицій, засновану на їх експлікаціях. Проблема ве- рбалізації часто може бути вирішена ви- значенням базових композицій предикат- ної алгебри, що дозволяє тлумачити терми цієї алгебри як формули логіки. Означування даних та предикатів може відбуватися за допомогою відношень номінації (іменування). Враховуючи роль відношень іменування в визначенні основ- них понять логіки, будемо говорити про композиційно-номінативні логіки (КНЛ). Інтенсіональна модель Екстенсіональна модель M1 Екстенсіональна модель M2 … … … … … Інтерпретації µ Істинність |= (Несуперечливість, розв’язність) Вивідність |– (Несуперечливість, розв’язність) Рис. 2. Поняття абстрактної логіки моделей світів Модель світу (семантичний аспект) Мова логіки – формули (Синтаксичний аспект) Коректність Повнота Теоретичні та методологічні основи програмування 21 Таким чином, КНЛ будуються за се- мантико-синтаксичною схемою. Визна- чення КНЛ реалізують єдність інтенсі- онального та екстенсіонального аспектів. Дослідження семантичних аспектів КНЛ зводиться до вивчення властивостей ал- гебр предикатів, які є основним поняттям КНЛ. В цьому розумінні КНЛ можна наз- вати аксіоматичними системами алгебр предикатів. Основними проблемами теорії КНЛ є проблеми виділення класів алгебр предикатів, які задаються в єдності їх інте- нсіональних та екстенсіональних аспектів. Передумовою виникнення компози- ційно-номінативних логік стала необхід- ність посилення можливостей класичної логіки для розв’язку все нових і нових за- дач моделювання та програмування. Кла- сична логіка предикатів, незважаючи на численні позитивні вартості, має низку принципових обмежень, які ускладнюють її використання. Для виявлення причин об- меженості класичної логіки предикатів було зроблено [8] аналіз її основних по- нять. Із проведеного аналізу випливає, що при побудові КНЛ необхідно переходити від традиційного синтактико-семантичного до інтенсіонально-орієнтованого семан- тико-синтаксичного підходу. Компози- ційно-номінативні логіки мусять базува- тися на загальних класах часткових відо- бражень, заданих на довільних наборах іменованих значень. Такі номінативні відо- браження названі квазіарними. Вибір класу квазіарних предикатів як семантичної основи логіки є центральним моментом в перебудові логіки в семан- тико-синтаксичному стилі. Цей вибір має декілька важливих наслідків: – логіка стає логікою часткових, а не тотальних предикатів; – з'являється можливість відокремити семантику від синтаксису та здійснити дослідження семантики окремо, в рамках алгебр предикатів; – опираючись на інтенсіональні аспе- кти, ми отримуємо можливість побудови логік різного рівня абстракції; – логіка стає ближчою до програму- вання. Наведені визначення КНЛ все ще за- лишаються занадто абстрактними, щоб можна було дати конкретний опис інтенсі- ональних аспектів основних понять логік і зокрема, визначити їх композиції та мови логіки. Щоб це зробити, треба розглянути інтенсіонали даних та предикатів. Тому передусім розглянемо розвиток поняття даного з інтенсіонального погляду. 3. Розвиток поняття даного Розвиток поняття даного як проекції категорії ціле–частина–елемент (від абст- рактного до конкретного) ведемо за насту- пною тріадою: Ціле (теза) – Частини (антитеза) – Тото- жність цілого і частин (синтез) Ця тріада означає, що спочатку розглядається об’єкт як цілісність (whole), у структуру якої не проникаємо; на дру- гому рівні заперечується цілісність об’єкта як його неструктурованість і він далі тлу- мачаться як структурований, що склада- ється з частин (parts); на третьому, синте- тичному рівні, заперечується неструктуро- ваність частин, які можуть розглядатися як цілі, що мають свої частини. Це призво- дить до тлумачення об’єкта на цьому рівні як ієрархічного (hierarchy). Тому при розгляді логічних та про- грамних понять природно виділити три рі- вні: – рівень W: об’єкт як ціле; – рівень P: об’єкт як структурований (з частинами); – рівень H: об’єкт як ієрархічний. У плані зв’язку з основними логіч- ними та програмними поняттями дані роз- глядаються як об’єкти, до яких застосову- ються функції, зокрема, предикати. Для даних кожен з трьох рівнів розпадається (згідно розвитку від абстрактного до конк- ретного) на три підрівні: – рівень A: абстрактний (теза); – рівень C: конкретний – заперечення абстрактного рівня (антитеза); – рівень S: синтетичний – подвійне заперечення (синтез). Теоретичні та методологічні основи програмування 22 Отримали 9 рівнів розгляду даних, які позначаємо таким чином: Зазначимо, що кожен рівень факти- чно визначає певний інтенсіонал. Об’єкти, які мають певний інтенсіонал, задають екстенсіонал. Для абстрактних рівнів A екстенсіонал – багатий, для конкретних рі- внів C – бідний. Більше того, об’єкт рівня C фактично подає сам себе, тобто його екстенсіонал є синглетоном. Приклади даних рівня D.W: 1. Дані як "чорна скринька" (напри- клад, ПІН-код у конверті) – D.W.A. 2. Дані як "біла скринька" (напри- клад, символи певного алфавіту) – D.W.C. 3. Дані як "чорна" або "біла скри- нька" (зовнішній байдужий синтез, мо- жемо відрізнити "чорну скриньку" від "бі- лої") – D.W.S. Головне питання в подальшому роз- гортанні наведеної схеми полягає у тому, як відбувається перехід з рівня W на рівень P. Найважливішим тут є зв’язок між час- тинами. Природно починати з найбільш абстрактного розгляду зв’язків, а саме, що це перехід до байдужих одна до одної час- тин. Іншими словами, вважаємо, що зв’язки частин дуже слабкі – фактично ча- стини незв’язані між собою. Зафіксуємо такий розгляд у вигляді наступного постулату. Постулат незв’язності частин даних. На рівні D.P частини даних вважаються незв’язаними (слабко зв’язаними) між со- бою. Тому дані цього рівня будемо нази- вати сукупностями (в англійській – ag·gre·gate – a mass or body of units or parts somewhat loosely associated with one an- other: Merriam–Webster’s Online Dictio- nary). Тому цей перехід є першим (найпро- стішим) запереченням рівня W. Такі незв’язні між собою частини бу- демо називати елементами даних (тут слід відрізняти вживання цього терміну у наве- деному смислі від його використання в ка- тегорії ціле–частини–елемент). Приклади даних рівня D.P: 1. Пасажири в автобусі (для перехо- жих) є "чорними скриньками", які слабко зв’язані між собою, і тому утворюють пе- вну сукупність – рівень D.P.A. Дані такого рівня будемо називати скупченнями (assemblage). Ще одним прикладом може бути купа шоколадних яєць "Кіндерсюрп- риз", адже їх вміст невідомий. 2. Мешканців певної квартири можна розглядати як сукупність "білих скриньок" – рівень D.P.C. Дані такого рівня будемо називати множинами (set). Для даних рівня D.P.A. (скупчень) можна робити перевірку на порожність (має таке дане елементи чи не має), можна робити об’єднання таких даних ("звалити" дві "купи" в одну "купу"), проте перетин даних рівня D.P.A. визначити неможливо. На рівні D.P.C. варто зупинитися де- тальніше, тому що поняття множини – одне з найважливіших понять математики. Як же тлумачаться множини в математиці? На підставі первісних визначень Кантора та згідно з нашою схемою розвитку по- няття даних, сформулюємо наступні інтен- сіональні властивості множин. Вважаємо, що множини складаються з елементів, для яких діють такі постулати: • елементи незв’язні між собою (фік- сується аксіомою екстенсіонально- сті); • елементи розрізнюються один від одного (інакше кажучи, рівність або нерів- ність елементів розв’язна. Зауважимо, що розв’язність тут тлумачимо інтуїтивно, в широкому плані, не вимагаючи наявності 1. D.W D.W.A D.W.C D.W.S 2. D.P D.P.A D.P.C D.P.S 3. D.H D.H.A D.H.C D.H.S Теоретичні та методологічні основи програмування 23 певного механізму розв’язку, як це ро- биться в теорії алгоритмів); • належність елемента множині розв’язна (інакше кажучи, маючи елемент і множину, можна відповісти на питання, чи належить елемент множині, чи ні. Належ- ність – тільки двозначна). Перейдемо до розгляду рівня D.P.S. Це синтетичний рівень, на якому елементи є синтезом абстрактного та конкретного. Але на цьому рівні це синтез не зовнішній, не синтез байдужих елементів, а синтез внутрішній, сутнісний. Цей синтез гово- рить про те, що елемент ми розглядаємо як такий, що має дві сторони: одна – "біла" – конкретна, друга – "чорна" – абстрактна. У чому саме суть цього синтезу випливає з якості даного як об’єкта, який є формою подання інформації, тобто дозволяє запи- сувати, зберігати та надавати інформацію. Оскільки при запиті інформації (а також для інших використань) інформація ще не- відома ("чорна скринька"), то запит може відбуватися лише за допомогою "білої скриньки" – імені (символу, знаку та таке інше). Отже зв'язок частин в даному цього рівня є зв’язком іменування. Це можна пі- дтвердити й іншими обставинами – як пи- сав Гегель, царство імен є першим царст- вом свідомості. Таким чином, будемо го- ворити про номінативні елементи. Сукупності номінативних елементів будемо називати номінатами (nominat). Це – неологізм, який походить від латинсь- кого nomen – ім’я. Наведене розгортання понять мно- жини та номінату дозволяє чітко відріз- нити одне поняття від іншого. Як бачимо, поняття номінату є синтезом абстрактного та конкретного. Імена розглядаються як конкретні об’єкти, що мають властивості елементів множини, а значення – як абст- рактні об’єкти. Тому для номінатів деякі операції над множинами (зокрема, пере- тин) не можуть бути визначені на верх- ньому рівні. Звичайно, при пониженні рі- вня абстракції до тлумачення значень як "білих скриньок", можемо говорити про номінати як множини. В певній мірі доці- льнішим для подання номінатів видається використання функцій, позаяк функції до- зволяють використання абстрактних зна- чень, що не дозволяється в множинах. На- ведені міркування обґрунтовують принцип теоретико-функціональної формалізації поняття даного [6]. Але найбільш прийнят- ним видається розвиток теоретико-номіна- тної парадигми, яка інтегрує інтенсіона- льні та екстенсіональні аспекти даних і яка може виступити альтернативою екстенсіо- нальній теоретико-множинної парадигмі. Таким чином, рівень D.P (рівень су- купностей) розділяється на три підрівні, на яких визначаються поняття скупчення, множини та номінату. Тепер перейдемо до наступного рівня – D.H. Це синтетичний рівень, тут вихо- димо на синтез частина–ціле. Синтез (то- тожність ціле = частина) має два напрямки розгляду. З одного боку, тлумачимо цей синтез як те, що частини можуть розгляда- тися як цілі, які мають свої частини. З ін- шого боку, із частин можна скласти ціле. Кожен з цих напрямків веде до ієрархічних даних. Ця ієрархічність будується як фун- дована (традиційні теорії, множин зок- рема), або як нефундовані (нетрадиційні, ко-алгебраїчні теорії). Якщо приймаємо постулат гомоген- ності частин і цілого (якість частин така сама як і якість цілого), то ієрархічність часто можна формалізувати за допомогою рекурентних, індуктивних та рекурсивних визначень. Звідси випливає важливість цих понять в логіці та програмології. Розвиток поняття даного можна під- сумувати рис. 3. Зазначимо ще раз, що поняття номі- нату і множини, хоч і не зводяться одне до одного, але на певному рівні абстракції взаємно моделюють одне одного. Подаючи розвиток цих понять у вигляді конусів, можна показати їх зв’язки на рис. 4. Подібним чином співвідносяться по- няття номінату та функції, але підставою для розрізнювання будуть дескриптивні аспекти. 4. Розвиток поняття функції Предикати в математичній логіці трактуються як функції спеціального ви- гляду, значеннями яких є булеві значення T та F. Тому після розвитку поняття да- Теоретичні та методологічні основи програмування 24 ного природним є розвиток поняття функ- ції. Такий розвиток подібний до розвитку поняття даного. Таким чином, отримуємо наступні 9 рівнів розгляду функції: Головна особливість полягає у тому, що на відміну від даних, частини функцій є зв’язаними між собою. Якщо для даних рівня D.P використовувалися терміни "су- купність" та "елемент", то для функцій рі- вень F.P називаємо рівнем (функціональ- них) комплексів, а частини цього рівня – (функціональними) компонентами. Вони мають певні (нетривіальні) зв’язки. Таким чином, виникає низка термі- нів: елемент – компонент – частина, які характеризуються зміцненням зв’язків всередині цілого. Рис. 3. Діаграма розвитку поняття даного Рівень D.W: дані як цілісність Рівень D.P: дані як сукупності (частини – незв’язні) Рівень D.H: ієрархічні дані Розвиток даних Теорія множин („білі” елементи) Теорія номінатів („біло-чорні” елементи) D.W.C D.W.S D.P.A – скупчення D.P.C – множини D.P.S – номінати D.H.A D.H.S – номінативні дані D.H.C Заперечення цілісності даних Заперечення цілісності частин D.W.A Теорія скупчень („чорні” елементи) Поняття множини Поняття номінату Зона взаємного моделювання понять Рис. 4. Діаграма взаємозв’язку понять множини та номінату 1. F.W F.W.A F.W.C F.W.S 2. F.P F.P.A F.P.C F.P.S 3. F.H F.H.A F.H.C F.H.S Теоретичні та методологічні основи програмування 25 Рівень F.H будемо називати рівнем ієрархічних функціональних комплексів. Цей рівень пов’язаний, зокрема, з різними теоріями покрокової розробки програм (експлікативністю процесу програму- вання), теоріями повторного використання програм тощо. В даній роботі цей рівень досліджувати не будемо. Зупинимось детальніше на характе- ристиках функцій рівня F.P. Рівень F.P.A (абстрактний комплекс) – зв’язки та компоненти – абстрактні. На- приклад, у кінофільмах часто бачимо, як герої пробують відключити часові бомби. Є багато дротів і складових, але невідомо, що всередині і який дротик можна перері- зати, щоб відключити механізм підриву. Рівень F.P.C (конкретний комплекс) – все відомо, тому функції цього рівня по- дають самих себе, іншими словами – екс- тенсіонал функції цього рівня є синглето- ном. Найважливіший є синтетичний рі- вень F.P.S (синтетичний комплекс), який характеризується фіксованими зв’язками між абстрактними компонентами. Його важливість пояснюється широким викори- станням. Наприклад, коли ми збираємо свою конфігурацію комп’ютера, то компо- ненти – пам’ять, вінчестер, і тому подібне, – можна сприймати як "чорні скриньки" зі входом та виходом, але зв’язки яких ві- домі. Наявність компонент як абстрактних дозволяє вважати, що в принципі замість деякої компоненти може бути якась інша. Це фактично виводить нас до здійснення абстракції від компонент. Зроблена абст- ракція на рівні синтетичного комплексу – композиція. Тим самим синтетичний ком- плекс можна розглядати як аплікацію ком- позиції до компонентів. Але це вже аплі- кація іншого рівня: вона застосовується до номінату компонент, і має специфічні вла- стивості. Розглянемо цю абстракцію деталь- ніше. Синтетичний комплекс при цій абст- ракції подається двома складовими: ком- поненти ("чорні скриньки"), та зв’язки компонент ("білі скриньки"). Ця абстракція не має бути занадто сильною, що могло б порушити можливість поєднання цих двох складових для створення моделі компле- ксу. Зв'язок відбувається через імена ком- понент (функцій). Тому виникають функ- ціональні номінати. Отже, композицію можна уточнювати як оператор, що визна- чений на іменованих функціях. Зазначимо, що термін "композиція" вживається у двох значеннях: по-перше, як процес побудови об’єкта, а по-друге, як результат побудови. Це відповідає - визначенням терміну "композиція" в слов- никах. Важливість композиційності в логіці та програмології була усвідомлена В.Н. Редьком. На основі принципу компо- зиційності В.Н. Редько розвинув спеціаль- ний напрямок в програмуванні, який отри- мав назву композиційного програмування [9]. Розвиток поняття композиції у най- простішому варіанті подібний до розвитку поняття функції. Тому приходимо до по- нять метакомпозиції та таких їх конкрети- зацій як суперпозиція та рекурсія. Інший напрямок розвитку композицій – розкриття композиції в теорії комбінаторів та лям- бда-числення. Підсумовуючи наведений розвиток понять даного та функції, відзначимо, що поняття слід розглядати у єдності їх інтен- сіональних та екстенсіональних аспектів. Головною складовою інтенсіоналу поняття є властивості відповідного рівня абстрак- ції. Тому позначення рівнів будемо вико- ристовувати також для позначення інтен- сіоналів понять. 5. Спектр композиційно-номінативних логік Інтенсіональні моделі композиційно- номінативних логік у першу чергу зада- ються рівнями розгляду даних (станів сві- тів). Ці рівні були вказані на рис. 3. Таким чином, отримуємо наступні рівні КНЛ: • рівню D.W відповідають пропози- ційні та сингулярні логіки; Теоретичні та методологічні основи програмування 26 • рівню D.P – логіки першого по- рядку; • рівню D.H – логіки номінативних даних. На пропозиційному рівні (D.W.A) дані трактуються гранично абстрактно, як "чорні" скриньки. На цьому рівні предикати мають вигляд A→ {T, F}, де A – множина абстрактних даних. Базовими композиціями фінітарних пропозиційних логік є Клінієві композиції диз'юнкції ∨∨∨∨ та заперечення ¬¬¬¬. Базовими композиціями інфінітарних пропозиційних логік [10] є інфінітарні мно- жинні диз'юнкція ∨∨∨∨К, кон'юнкція &&&&К та композиція заперечення ¬¬¬¬К . Сингулярний (D.W.C) рівень може трактуватися як конкретизація пропозицій- ного. У цьому випадку дані трактуються конкретно, як "білі" скриньки. На сингуляр- ному рівні фіксується єдиний клас даних, що пояснює його назву. Композиціями сингулярного рівня є конкретні аплікативні композиції. Для син- гулярних логік збудована [10] спеціальна інфінітарна алгебра сингулярних компози- цій Кліні. Рівню D.W.S відповідають пропози- ційні логіки змішаного (абстрактно-сингу- лярного) рівня. В даній роботі їх розглядати не будемо. Подальший розвиток приводить до класів логік, для яких рівень розгляду даних є синтезом двох перших рівнів. На цьому рівні дані номінативні, вони розглядаються як "сірі" скриньки, побудовані з "білих" і "чорних". Номінативні дані будуються інду- ктивно із множини предметних імен та множини предметних значень. Відповідні логіки будемо відносити до номінативного рівня, який дуже багатий і розпадається на низку підрівнів. Рівням D.P.А та D.P.С відповідають спеціальні логіки, які вимагають окремого дослідження. На рівні D.P.S дані можна трактувати як однозначні відображення типу V→A із множини предметних імен V у множину предметних значень A. Такі 1-рівневі одно- значні номінативні дані називають імен- ними множинами (ІМ). Функції, задані на ІМ, називають квазіарними. Для логіки природно розглядати ква- зіарні функції двох типів. Нехай VA – множина всіх ІМ з мно- жинами предметних імен V та предметних значень A. Відображення вигляду VA→{T, F} на- звемо V-квазіарними предикатами на A. Відображення вигляду VA→А назвемо V-квазіарними функціями на A. Множини V-квазіарних предикатів та функцій на A позначаємо відповідно PrА та FnА. Найабстрактнішими серед логік номі- нативного рівня є реномінативні логіки. По- чинаючи з реномінативного рівня можна перейменовувати компоненти даних. Це дає змогу ввести композицію реномінації (перейменування). Фінітарні реномінативні логіки за- пропонована в [11]. Базовими композиці- ями таких логік є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬ та реномінація R v x . Для фінітарних реномінативних логік побудовані числення Гільбертівського типу [12] та Генценівського типу [13], доведені їх коректність та повнота. Інфінітарна реномінативна логіка ек- ваційного типу запропонована в [14]. Базо- вими композиціями таких логік є ∨∨∨∨К, &&&&К, ¬¬¬¬К та інфінітарна реномінація Rρρρρ. Побудо- ване екваційне числення інфінітарної ре- номінативної логіки, доведені його корек- тність і повнота. На кванторному рівні можна засто- совувати квазіарні предикати до всіх пре- дметних значень (тотальна аплікативність предикатів). Це дозволяє ввести композиції квантифікації ∃∃∃∃x та ∀∀∀∀x. Фінітарні логіки кванторного рівня досліджувались, зок- рема, в [8, 15–17]. Базовими композиціями таких логік є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, R v x , ∃∃∃∃x. Інфінітарна логіка кванторного рівня запропонована в [18]. Базовими композиці- ями інфінітарних кванторних логік є ∨∨∨∨К, &К, ¬¬¬¬К, Rρρρρ, ∃∃∃∃x. На кванторно-екваційному рівні з’являються можливості ототожнення і роз- різнення значень за допомогою спеціальних Теоретичні та методологічні основи програмування 27 предикатів рівності =ху . Фінітарні логіки кванторно-екваційного рівня досліджені в [19]. Базовими композиціями таких логік є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, R v x , ∃∃∃∃x. На функціональному рівні маємо ро- зширені можливості формування нових ар- гументів для функцій та предикатів. Це дає змогу ввести композицію суперпозиції S x . Базовими композиціями функціона- льного рівня є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, R v x , ∃∃∃∃x, S x . Для роботи з окремими компонен- тами даних в множині FnА природно ви- ділити множину спеціальних функцій де- номінації (розіменування) Nf А ={'v | v∈V}. При введенні функцій розіменування 'x композиції реномінації можна промоде- лювати за допомогою суперпозиції, тому базовими композиціями функціонального рівня вважаємо ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, ∃∃∃∃x, S x . На функціонально-екваційному рівні можна ототожнювати і розрізняти предме- тні значення. Це дає змогу додатково вве- сти спеціальну композицію рівності =. Базовими композиціями функціона- льно-екваційного рівня є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, ∃∃∃∃x, S x , =. Логіки функціонального та функціо- нально-екваційного рівня досліджувались, зокрема, в [17, 20, 21]. На наступному рівні абстракції (D.H) дані розглядаються як ієрархічні. Рівням D.H.А та D.H.С тут відповідають спеціальні логіки, які вимагають окремого дослі- дження. Рівень D.H.S є рівнем ієрархічних но- мінативних даних. Відповідні логіки на- звані логіками номінативних даних (ЛНД). Такі логіки досліджені в [22]. ЛНД будуються у стилі теорії допус- тимих множин на основі властивостей від- ношення номінативної належності. Дове- дена коректність (несуперечливість) аксіо- матичної теорії номінативних даних. На основі ЛНД визначається клас багатознач- них натурально (абстрактно) обчислюва- них функцій над номінативними даними. Такий клас можна подати [22] за допомо- гою Σ-предикатів ЛНД. 5.1. Композиції квазіарних преди- катів. У загальному випадку під предика- том на множині D розуміють довільну часткову функцію вигляду P : D →Bool, де Bool={T, F}. Областю iстинностi та областю хиб- ності довільного предикату Р на множині D назвемо відповідно множини IP = = {d∈D P(d)=T} та FP = {d∈D P(d)=F}. Якщо Р тотальний, то IP ∪FP = D. Предикат P на множині D назвемо (частково) істинним, якщо для довільних d∈D із умови P(d)↓ випливає P(d)=T. Частково істинні предикати назива- ють також неспростовними. Предикат P на множині D назвемо виконуваним, якщо існує а∈D таке, що P(d)↓=T. n-арною композицією, або n-арною операцією на множині функцій Fn назвемо довільну функцію вигляду Fnn→Fn. Композиції пропозиційного рівня. Hа пропозиційному рівні предикати роз- глядаються як функції вигляду Р : А→{T, F}, де А сукупність абстракт- них даних («чорних скриньок»). Засобом утворення складніших пре- дикатів із простіших є логiчнi операції (композиції), які не враховують особливо- стей даних − пропозиційні композиції, або логiчнi зв’язки. Основними, традиційними логiчними зв’язками є такі: 1-арна композиція запе- речення ¬¬¬¬ та бінарні композиції диз’юнкцiя ∨∨∨∨, кон’юнкцiя &, iмплiкацiя →→→→, а також бінарні композиції еквiваленцiя ↔↔↔↔ та роздільна диз’юнкцiя ⊕⊕⊕⊕. Визначення композицій ¬¬¬¬, ∨∨∨∨, →→→→, &, ↔↔↔↔, ⊕⊕⊕⊕ подібні до визначень класичних ло- гічних зв’язок для тотальних предикатів та висловлень [23–26], при цьому враховуємо частковість предикатів. Предикати ¬¬¬¬(P), ∨∨∨∨(P, Q) →→→→(P, Q), & &(P, Q), ↔↔↔↔(P, Q), ⊕⊕⊕⊕(P, Q) звичайно будемо позначати ¬¬¬¬P, P∨∨∨∨Q, P→→→→Q, P&Q, P↔↔↔↔Q, P⊕⊕⊕⊕Q. Теоретичні та методологічні основи програмування 28 Зазначені предикати задамо так: Основні властивості введених логіч- них зв’язок цілком аналогічні властивос- тям класичних логічних зв’язок для тоталь- них предикатів та висловлень [23–26]. Іменні множини. Нехай A та V – довільні множини. Трактуємо А як мно- жину базових даних, V − як множину пре- дметних імен. V-іменною множиною (V-ІМ) над A (екстенсіональний аспект) називають дові- льну множину пар вигляду (v, а), де v∈V, a∈A. При постулюванні відсутності омо- німії іменні множини однозначні в тому розумінні, що вони не можуть одночасно мати елементи (v, а) та (v, b) при a ≠ b. Кожну таку ІМ можна трактувати як одно- значну функцію δ : V→A. V-ІМ традиційно записують [27] у ви- гляді {(v1, а1), ..., (vn, аn), … }. Будемо їх задавати у вигляді [v1aа1,...,vnaаn ,...]. Тут vi∈V, ai∈A, причому vi ≠vj при i≠j. Множину всіх V-ІМ над A будемо позначати VA або V→ A. Введемо функцію im : VA→2V : im(δ) = {v∈V | vaa∈δ для деякого a∈A}. Множину всіх V-ІМ δ∈VA таких, що im(δ)=Х, де Х⊆V, будемо позначати AX. Такі V-ІМ є тотальними однозначними функціями із Х в А. Множину всіх скінченних (фінітних) V-ІМ над A позначаємо VAF або (V→F A). V-ІМ δ V-повна, якщо im(δ)=V. Множину всіх V-повних ІМ над A будемо позначати AV. Для V-ІМ природним чином вводимо теоретико-множинні операції ∩ та \. Введемо параметричну операцію ║Х звуження V-ІМ за множиною Х⊆V: δ║Х = {vaa∈δ | v∈X}. Введемо операцію ∇ накладки V-ІМ δ2 на V-ІМ δ1: δ1∇δ2 = δ2∪(δ1║(V\ im(δ2))). Операцію реномінації r: VA×VVF → VA задамо так: r([v1ax1,...,vnaxn], δ) = = [v1aδ(x1),...,vnaδ(xn)]∪(δ║(V\{v1,...,vn})). При фіксуванні множини пар імен [v1ax1,...,vnaxn] говоримо про параметри- чну операцію реномінації r ],...,[ 11 nn xvxv aa : V А → VA, яку традиційно позначають r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 . (¬¬¬¬P)(d) =     ↑ ↓= ↓= .)( , ,)( , ,)( , dPякщоеневизначен TdPякщоF FdPякщоT (P∨∨∨∨Q)(d) =     == == . , )( )( , ,)( )( , дкахінших випае в усіх невизначен FdQтаFdPякщоF TdQабоTdPякщоT (P→→→→Q)(d) =     == == . , )( )( , ,)( )( , дкахінших випае в усіх невизначен FdQтаTdPякщоF TdQабоFdPякщоT (P&Q)(d) =     == == . , )( )( , ,)( )( , дкахінших випае в усіх невизначен FdQабоFdPякщоF TdQтаTdPякщоT (P↔↔↔↔Q)(d) =      ≠↓↓ =↓↓ . ),()( )( ,)( , ),()( )( ,)( , дкахінших випае в усіх невизначен dQdPтаdQdPякщоF dQdPтаdQdPякщоT (P⊕⊕⊕⊕Q)(d) =     =↓↓ ≠↓↓ дкахінших випае в усіх невизначен dQdP та dQ dP якщо F dQdP та dQ dP якщо T . ),()()(,)(, ),()()(,)(, Теоретичні та методологічні основи програмування 29 Операція r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 монотонна в наступному смислі: якщо δ1⊆δ2, то r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 (δ1) ⊆ r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 (δ2). Квазіарні функції та предикати. На рівні P.D.S функції та предикати розгля- даються як квазіарні, вони задаються на множинах вигляду VA. Довільну функцію вигляду f : VA→R назвемо V-квазіарною функцією. Довільну функцію вигляду f : VAF →R назвемо V-фінарною функцією. Якщо множина імен V мається на увазі, то V-квазіарні та V-фінарні функції назвемо просто квазіарними та фінарними. Довільну функцію вигляду f : AX →R назвемо Х-арною функцією. Традиційні n-арні функції вигляду f : Aп→R, можуть трактуватися як {1,..., n}- арні функції (див. [25]). Тому для {1,..., n}- арних функцій вживатимемо термін n-арні функції. V-квазіарна функція f повнотота- льна, якщо f(d)↓ для всіх d∈AV. Умова повнототальності означає ви- значеність функції на всіх V-повних даних. Дуже важливим є поняття неістот- ного імені. Неістотність предметного імені означає, що функція не реагує на значення цього імені. Поняття неістотного предмет- ного імені можна уточнити різними спосо- бами. Одне із таких уточнень – строго неі- стотне предметне ім'я: Ім'я x∈V строго неiстотне для V-ква- зіарнoї функцiї f, якщо для довільних d∈VA та a, b∈A маємо f(d∇xaa) = f(d∇xab). Враховуючи той факт, що поняття іс- тинності предикату ми уточнили як част- кову істинність (з точністю до визначено- сті), тобто як неспростовність, основним уточненням поняття неістотного предмет- ного імені буде наступне: Ім'я x∈V неiстотне для V-квазіарнoї функцiї f, якщо для довільних d∈VA та a, b∈A маємо f(d∇xaa) ≅ f(d∇xab). Композиції реномінативного рівня. Можливість оперування з компонентами даних вперше з'являється на реномінатив- ному рівні. Починаючи з цього рівня, мо- жна перейменовувати компоненти даних. Це дає змогу ввести композицію реноміна- ції (перейменування). Композиція реномі- нації вперше з'являється на реномінатив- ному рівні та успадковується на наступних рівнях. Нехай FnA – множина V-квазіарних функцій вигляду VA→R. Під композицією реномінації в зага- льному випадку будемо розуміти компози- цію R : FnА ×VVF → FnА, яка задається так. Для довільних f∈FnА, [v1ax1, ..., vnaxn]∈VVF та δ∈V А маємо R(f, [v1ax1,...,vnaxn])(δ) = = f(r([v1ax1,...,vnaxn], δ)). При фіксуванні множини [v1ax1,...,vnaxn] будемо говорити про па- раметричну 1-арну композицію реноміна- ції R ],...,[ 11 nn xvxv aa : FnА → FnА, яку позна- чатимемо R n n vv xx ,..., ,..., 1 1 . Композиція R n n vv xx ,..., ,..., 1 1 кожній V- квазіарній функції f ставить у відповід- ність V-квазіарну функцію R ),(,..., ,..., 1 1 fn n vv xx значення якої для кожного d∈V А обчис- люється так: R ))((,..., ,..., 1 1 dfn n vv xx = f(r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 (d)) = f([v1ad(x1),...,vnad(xn)]∪(d║(V\{v1,...,vn})). Введемо позначення вигляду y для y1, ..., yn . Тоді замість r n n vv xx ,..., ,..., 1 1 та R n n vv xx ,..., ,..., 1 1 будемо звичайно писати r v x та R v x . Тип функції R v x (f) збігається з типом функції f. Тому можна говорити, зокрема, про реномінації V-квазіарних предикатів та про реномінації V-квазіарних функцій на A. Для логік реномінативного рівня мо- жна розглядати композицію реномінації тa успадковані з пропозиційного рівня логічні зв'язки ¬¬¬¬, ∨∨∨∨, →→→→, &, ↔↔↔↔, ⊕⊕⊕⊕. Композиції ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, R v x назвемо базо- вими композиціями реномінативного рі- вня. Теоретичні та методологічні основи програмування 30 Як і на пропозиційному рівні, компо- зиції →→→→, &, ↔↔↔↔, ⊕⊕⊕⊕ є похідними. Основними властивостями компози- цій реномінації є RT – згортка тотожної пари імен, RR – згортка реномінацій, влас- тивості дистрибутивності R∨, R∨, R→, R&, R↔, R⊕, а також RN – згортка в реномінації пари імен із неістотним вхідним ім'ям. Властивості композицій реномінатив- ного рівня описані в [12, 17]. Композиції кванторного рівня. На кванторному рівні виникає можливість застосовувати квазіарні предикати до всіх предметних значень. Це дозволяє ввести композиції квантифікації ∃∃∃∃x та ∀∀∀∀x. Такі композиції надзвичайно потужні. Зауважимо, що в класичній логіці квантори звичайно вводяться на синтакси- чному рівні, при визначенні формули, їх семантична роль як логічних операцій роз- кривається при інтерпретації формул. Для логіки квазіарних предикатів визначення композицій квантифікації ∃∃∃∃x та ∀∀∀∀x узго- джуються з визначеннями відповідних кванторів класичної логіки, але при цьому треба врахувати частковість предикатів. 1-арна параметрична композиція ∃∃∃∃x кожному V-квазіарному предикату P ста- вить у відповідність V-квазіарний предикат ∃∃∃∃x(P), значення якого для кожного d∈V А задається так: 1-арна параметрична композиція ∀∀∀∀x кож- ному V-квазіарному предикату P ставить у відповідність V-квазіарний предикат ∀∀∀∀x(P), значення якого для кожного d∈V А задається так: Предикати ∃∃∃∃x(P) та ∀∀∀∀x(P) звичайно позначаємо ∃∃∃∃xP та ∀∀∀∀xP. Важливою властивістю є наступний критерій неістотності предметних імен: Ім’я х∈V неістотне для Р ⇔ P≅∀∀∀∀хР ⇔ Р≅∃∃∃∃хР. Залучаючи до розгляду композицію реномінації, отримуємо такі властивості: – NR – неістотність верхніх імен ре- номінації; – R∃ та R∀ – обмежені R∃-дистрибу- тивність та R∀-дистрибутивність: Властивості композицій ∃∃∃∃x та ∀∀∀∀x аналогічні властивостям відповідних кван- торів класичної логіки [23–26]. Властивості композицій квантифікації описані, зокрема, в [15, 17]. Композиції функціонального та функціонально-екваційного рівня. На функціональному рівні маємо розширені можливості для формування нових аргу- ментів для функцій і предикатів. Це дає змогу ввести композицію суперпозиції. На функціонально-екваційному рівні додатково маємо можливості ототожнення і розрізнення значень предметних імен. Це дозволяє ввести композицію рівності. Нехай FА та FnА – множини всіх фу- нкцій вигляду f : VA→R та f : VA→А від- повідно. Композиція суперпозиції S : FА × (V→F FnА)→ FА задається наступ- ним чином. Для довільних f∈FnА, [v1ag1,...,vnagn]∈V→F Fп А , d∈V А маємо S(f, [v1ag1,...,vnagn])(d) = f([v1ag1(d),...,vnagn(d)]∪(d║(V\{v1,...,vn}))). При фіксуванні множини імен {v1, ..., vn} можна говорити про параметри- чну композицію суперпозиції S nvv ,...1 : FА × (FnА)n → FА. (∃∃∃∃xP)(d) =     ∈↓=∇ =∇∈ випадках. іншихе в усіх невизначен Aa усіх для F)axd(P якщо F TbxdP Ab існує якщо T ,, ,)(:, a a (∀∀∀∀xP)(d) =     ∈↓=∇ =∇∈ дках. інших випае в усіх невизначен Aa усіх для T)axd(P якщо T FbxdP Ab існує якщо F ,, ,)(:, a a Теоретичні та методологічні основи програмування 31 Така (n+1)-арна композиція кожним V- квазіарним функціям f, g1, ..., gn співставляє V-квазіарну функцію S nvv ,...1 (f, g1,...,gn), значення якої для кожного d∈V А обчис- люється так: S nvv ,...1 (f, g1,..., gn)(d) = f([v1ag1(d),...,vnagn(d)]∪(d║(V\{v1,...,vn}))). При конкретизації множини V-квазі- арних функцій на А як множини FnA∪PrA природно говорити про суперпозиції двох типів: – суперпозиції вигляду (FnA)n+1→FnA функцій в функції; – суперпозиції вигляду PrA×(FпA)n→PrA функцій в предикати. Для роботи з окремими компонен- тами даних на функціональному рівні в множині FnА природно виділити множину спеціальних функцій деномінації (розіме- нування) Nf А ={'v| v∈Z}. Тоді композицію реномінації можна промоделювати за до- помогою суперпозиції. Справді, для дові- льної g∈FnA ∪PrA маємо R )(,..., ,..., 1 1 gn n vv xx = = S nvv ,...1 (g,’х1,...,’хn). При явному введенні функцій розі- менування базовими композиціями логік функціонального рівня є ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, ∃∃∃∃x, S v . 2-арнa композиція рівності = : FnA×FnA→PrA кожним V-квазіарним функціям f та g ставить у відповідність V-квазіарний предикат =(f, g), значення якого для кожного d∈V А обчислюється так: Наявність функцій розіменування на функціонально-екваційному рівні є дуже природною завдяки можливості ототож- нення і розрізнення значень предметних імен. Це дає змогу явно не вводити компо- зиції реномінації. Композиції ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, ∃∃∃∃x, =, S v назвемо базовими композиціями логік функціона- льно-екваційного рівня. До основних властивостей компози- цій суперпозиції відносять: дистрибутив- ність суперпозиції щодо логічних зв'язок S¬, S∨, S&, S→, S↔, S⊕; обмежену дис- трибутивність суперпозиції щодо кванто- рів S∃b, S∀b; спеціальну дистрибутивність суперпозиції щодо кванторів S∃, S∀; згор- тку суперпозицій SS, згортки імен ZS та неістотних імен DD; згортку по неістотному імені ZN та спрощення для функцій розі- менування DS. Основними властивостями компози- ції рівності = є наступні: рефлексивність Rf, симетричність Sm, транзитивністьTr, заміна рівних в функціях EF та в предика- тах EP, дистрибутивність суперпозиції щодо рівності SЕ. Властивості композицій суперпозиції та рівності описані, зокрема, в [17, 20]. 5.2. Композиційні предикатні сис- теми та предикатні алгебри Для КНЛ екстенсіональними моде- лями світів є композиційні системи спеціа- льного вигляду – предикатні композиційні системи. Вони задають семантичні аспекти КНЛ з екстенсіонального погляду. Предикатна композиційна система – це трійка вигляду M = (D, Pr, C). Тут D – множина даних (можливий світ), дані тра- ктуються як стани світу; Pr – множина предикатів на D, предикати трактуються як властивості станів світу та відношення між ними; C – множина композицій на Pr. Предикатна композиційна система (D, Pr, C) задає алгебраїчну систему даних (D, Pr) та композиційну алгебру предика- тів (Pr, C). Побудова композиційної алге- бри предикатів дає змогу визначити мову КНЛ. Множина формул Form такої мови є множиною термів цієї алгебри. Таким чи- ном, основним семантичним поняттям КНЛ можна вважати композиційні алгебри предикатів. Дослідження семантичних ас- пектів КНЛ зводиться до вивчення власти- востей таких алгебр. =(f, g)(d)     ↑↑ ≠↓↓ =↓↓ = dg або df е, якщо невизначен dgdта f dта g df якщо F dgdта f dта g df якщо T .)()( ),()()()(, ),()()()(, Теоретичні та методологічні основи програмування 32 Опираючись на інтенсіональні аспе- кти, ми отримуємо можливість побудови композиційно-номінативних логік різного рівня абстракції. На пропозиційному рівні екстенсіо- нальними моделями світів є пропозиційні композиційні системи. Це композиційні предикатні системи вигляду (А, Pra, C), де Pra – множина абстрактних предикатів ви- гляду А→{T, F}, множина C композицій над Pra визначається множиною базових пропозиційних композицій {¬¬¬¬, ∨∨∨∨}. Семантичні аспекти пропозиційної логіки можна задати композиційними алге- брами абстрактних предикатів AAP = (Pra, C). Такі алгебри є семантич- ними моделями пропозиційної логіки. При зафіксованій множині компози- цій C пропозиційна композиційна система (А, Pra, C) однозначно визначається парою вигляду (А, Pra). Такі об'єкти назвемо абс- трактними алгебраїчними системами (ААС), їх теж можна трактувати як семан- тичні моделі ПЛ. На рівні D.P.S множина даних D конкретизується як множина VA всіх V- іменних множин над певною множиною базових даних A, множина предикатів кон- кретизується як множина PrА V-квазіар- них предикатів на А. На реномінативному, кванторному та кванторно-екваційному підрівнях множина композицій C конкретизується як мно- жина n-арних композицій вигляду (PrА)n→PrА. Композиційну систему вигляду (VA, PrА, C) назвемо композиційною сис- темою V-квазіарних предикатів. Компози- ційну алгебру вигляду (PrА, C) назвемо композиційною алгеброю V-квазіарних предикатів. На функціональному та функціона- льно-екваційному підрівнях до розгляду додатково залучаємо V-квазіарні функції на А. В цьому випадку говоримо про ком- позиційні системи та композиційні алгебри V-квазіарних функцій та предикатів. Композиційну систему вигляду (VA, FnА∪PrА, C) назвемо композиційною системою V-квазіарних функцій та преди- катів. Тут FnА та PrА – множини V-квазі- арних функцій та предикатів на А, C – множина композицій вигляду (FnА∪PrА)n→FnА∪PrА. Композиційну алгебру вигляду (FnА∪PrА, C) назвемо композиційною ал- геброю V-квазіарних функцій та предика- тів. Нехай C визначається множиною базових композицій реномінатив- ного / кванторного рівня {¬¬¬¬, ∨∨∨∨, R v x } / {¬¬¬¬, ∨∨∨∨, R v x , ∃∃∃∃x}. У цьому випа- дку композиційну систему (VA, PrА, C) назвемо композиційною системою квазіа- рних предикатів реномінатив- ного / кванторного рівня, композиційну алгебру (PrА, C) назвемо композиційною алгеброю квазіарних предикатів реноміна- тивного / кванторного рівня. Аналогічно визначаємо композиційні системи та композиційні алгебри квазіар- них предикатів кванторно-екваційного рі- вня. Відмінність полягає у тому, що в множині предикатів на кванторно-еквацій- ному рівні виділені спеціальні предикати рівності =ху , які дають змогу розрізняти значення предметних імен. Нехай множина C визначається множиною базових композицій функціо- нального / функціонально-екваційного рі- вня {¬¬¬¬, ∨∨∨∨, ∃∃∃∃x, S x } / {¬¬¬¬, ∨∨∨∨, ∃∃∃∃x, S x , =}. У цьому випадку композиційну систему (VA, FnA∪PrА, C) назвемо композиційною системою квазіарних функцій та предика- тів функціонального /функціонально-еква- ційного рівня, композиційну алгебру (FnA∪PrА, C) назвемо композиційною алгеброю квазіарних функцій та предика- тів функціонального /функціонально-еква- ційного рівня. )(dxy= =     ↑↑ ≠↓↓ =↓↓ .)()(, ),()()(,)(, ),()()(,)(, yd абоxd якщо еневизначен ydxd та yd xd якщо F ydxd та yd xd якщо T Теоретичні та методологічні основи програмування 33 Для функціонального та функціона- льно-екваційного рівня вважаємо, що у множині функцій виділені спеціальні фун- кції деномінації (розіменування) 'v, де v∈V. При фіксуванні множини базових композицій композиційна cистема квазіар- них функцій та предикатів (V А, РrA∪FnА, C) визначається парою ви- гляду А = (А, РrA∪FnА). Такі об'єкти на- звемо алгебраїчними системами (АС) з квазіарними функціями та предикатами, або неокласичними алгебраїчними систе- мами. На відміну від традиційних (класич- них) АС, в яких функції та предикати то- тальні n-арні, в неокласичних АС функції та предикати – часткові V-квазіарні. Для кванторного та кванторно-еква- ційного рівнів неокласичні АС набувають вигляду А = (А, РrA), будемо їх називати алгебраїчними системами з квазіарними предикатами. 6. Фінітарні композиційно-номінативні логіки квазіарних предикатів Семантичною основою КНЛ є компо- зиційні алгебри квазіарних предикатів (ква- зіарних функцій та предикатів для логік функціонального та функціонально-еква- ційного рівнів). Побудова композиційної алгебри дає змогу задати мову логіки від- повідного рівня. При зафіксованій множині базових композицій мови КНЛ істотно відрізня- ються сигнатурою – множинами імен базо- вих предикатів (базових функцій та преди- катів) та неістотно – способами запису ос- новних об’єктів мови − формул (термів та формул). Будемо тут використовувати префiксну (польську) форму запису фор- мул. Реномінативна логіка. Найабстракт- нішою серед логік номінативного рівня є реномінативна логіка (РНЛ). Алфавіт мови РНЛ складається з множини Ps предикат- них символів (сигнатура мови РНЛ), сим- волів базових композицій, множини V пре- дметних імен. Множину формул Form мови РНЛ вводимо індуктивно. 1. Кожний ПС є формулою. Такі фо- рмули назвемо атомарними. 2. Нехай Φ та Ψ – формули. Тоді ¬Φ, ∨ФΨ, Φv xR – формули. При фіксуванні множини базових композицій семантичні моделі РНЛ одноз- начно визначаються неокласичними АС, тому конкретна iнтерпретацiя (модель) мови РНЛ визначається алгебраїчною сис- темою (A, PrA) та конкретними значен- нями ПС на A. Задамо тотальне однозначне відо- браження I : Ps→ PrA, яке визначає зна- чення ПС як базові предикати такої АС. Тоді інтерпретаціями (моделями) мови РНЛ сигнатури σ = Ps стають об'єкти ви- гляду ((A, PrA), I). Такі об'єкти назвемо АС з доданою сигнатурою. Будемо їх позна- чати у вигляді A = (A, I). Символи композицій інтерпретуємо як вiдповiднi композиції. Для інтерпретації формул задамо ві- дображення J : Form→ PrA, яке визнача- ється за допомогою відображення I на- ступним чином. I1. J(р) = I(p) для кожного р∈Ps. I2. J(¬Φ) = ¬¬¬¬(J(Φ)). I3. J(∨ΦΨ) = ∨∨∨∨(J(Φ), J(Ψ)). I4. J(R v x Φ) = R v x (J(Φ)). Предикат J(Φ), який є значенням фо- рмули Φ при інтерпретації A = (A, I), бу- демо позначати ΦA . Формула Φ істинна при інтерпрета- ції A = (A, I), або A-істинна, якщо ΦA – істинний предикат. Цей факт позначаємо A |=Φ. Формула Φ виконувана при інтерп- ретації A = (A, I), або A-виконувана, якщо ΦA – виконуваний предикат. Формула Φ всюди iстинна, якщо Φ iстинна при кожній iнтерпретацiї. Цей факт позначаємо |=Φ. Формула Φ виконувана, якщо Φ виконувана при деякій iнтерпретацiї. Успадкування властивостей пропо- зиційної логіки для РНЛ відбувається пе- ренесенням на рівень РНЛ поняття і влас- тивостей тавтології, тавтологічного нас- лідку і тавтологічної еквiвалентностi [17]. Теоретичні та методологічні основи програмування 34 Тавтології РНЛ – це формули, якi мають структуру тавтологiй класичної пропозиційної логіки. Кожна тавтологія – всюди істинна формула, проте не кожна всюди істинна формула є тавтологією. Прикладами можуть бути всюди істинні формули вигляду Φ↔ )(Φx хR . Формула Ψ є тавтологiчним на- слiдком формули Φ, що позначаємо Φ╞ Ψ, якщо формула Φ→Ψ – тавтологiя. Формули Φ та Ψ тавтологiчно еквiвалентнi, що позначаємо Φ∼тΨ, якщо Φ╞ Ψ та Ψ╞ Φ. На множині формул мови РНЛ вве- демо також відношення: – логiчного наслiдку |=, – слабкого логiчного наслiдку ||=, – логiчної еквiвалентностi ∼. Такі відношення вперше з’являються тільки на реномінативному рівні. Формула Ψ є логiчним наслiдком формули Φ, що позначимо Φ|=Ψ, якщо формула Φ→Ψ всюди iстинна. Формула Ψ є слабким логiчним на- слiдком формули Φ, що позначимо Φ||=Ψ, якщо для кожної iнтерпретацiї A = (A, I) iз умови A|=Φ випливає A|=Ψ. Формули Φ та Ψ логічно еквiвалентнi, що позначимо Φ∼Ψ, якщо Φ|=Ψ та Ψ|=Φ. Введемо відношення логічного нас- лідку для множин формул мови РНЛ. Множина формул ∆∆∆∆ є логічним нас- лідком множини формул ΓΓΓΓ, якщо для всіх АС A = (А, I) тієї ж сигнатури та для всіх d∈VA із того, що ΦА(d)=T для всіх Φ∈ΓΓΓΓ, випливає, що неможливо ΨА(d)=F для всіх Ψ∈∆∆∆∆. Те, що ∆∆∆∆ є логічним наслідком ΓΓΓΓ, позначаємо ΓΓΓΓ |=s |=|=|=|=∆∆∆∆. Семантичні властивості формул РНЛ індуковані відповідними властивостями композицій. Специфічні властивості РНЛ пов'язані з композицією реномінації. За- значені властивості описані в [17]. КНЛ кванторного рівня. Такі ло- гіки названі чистими КНЛ (ЧКНЛ). Алфа- віт мови ЧКНЛ складається з множини Ps предикатних символів (сигнатура мови ЧКНЛ), символів базових композицій ¬, ∨, v xR ,∃x та множини V предметних імен. Множину формул Form мови ЧНКЛ вводимо індуктивно. 1. Кожний ПС є формулою. Такі фо- рмули назвемо атомарними. 2. Нехай Φ та Ψ – формули. Тоді ¬Φ, ∨ФΨ, Φv xR , ∃xΦ – формули. 3. Нехай Φ та Ψ – формули. Тоді ∨ФΨ – формула. При фіксуванні множини базових композицій конкретна iнтерпретацiя (мо- дель) мови ЧКНЛ визначається алгебраїч- ною системою (A, PrA) та конкретними значеннями ПС на A. Задамо тотальне однозначне відо- браження I : Ps→ PrA, яке визначає зна- чення ПС як базові предикати такої АС. Тоді інтерпретаціями (моделями) мови ЧКНЛ сигнатури σ = Ps стають АС з дода- ною сигнатурою (A, I). Для інтерпретації формул задамо ві- дображення J : Form→PrA, яке визнача- ється за допомогою I аналогічно відпові- дному визначенню для РНЛ (I1–I4) із до- даванням I5: I5. J(∃xΦ) = ∃∃∃∃x(J(Φ)). Визначення істинної при інтерпрета- ції та виконуваної при інтерпретації фор- мули, всюди істинної формули та викону- ваної формули вводяться аналогічно ви- падку РНЛ. Для формул мови ЧКНЛ успадкову- ються з реномінативного рівня поняття та- втології, відношення ╞ , ∼т , |=, ||=, |=s . Ви- значення та властивості цих відношень аналогічні відповідним визначенням та властивостям для РНЛ та класичної логіки предикатів. Семантичні властивості формул ЧКНЛ індуковані відповідними властивос- тями композицій. Детально вони описані в [15, 17]. Для пропозиційних композицій та кванторів такі властивості аналогічні від- повідним властивостям формул класичної логіки. Семантичні властивості КНЛ кван- торно-екваційного рівня цілком аналогічні [22] відповідним властивостям ЧКНЛ. Теоретичні та методологічні основи програмування 35 КНЛ функціонального та функціо- нально-екваційного рівня. На функці- ональному рівні за допомогою явно заданих (базових) функцій маємо розширені можливості формування нових аргументів для функцій та предикатів. Це дає змогу ввести композицію суперпозиції S x . Проте на функціональному рівні не- можливо безпосередньо порівнювати пред- метні значення, вироблені функціями, адже на цьому рівні ще немає композиції рівно- сті (або спеціальних предикатів рівності значень предметних імен). Це засвідчує пе- вну "недовершеність" КНЛ функціональ- ного рівня (ФНКЛ) і спонукає до переходу на наступний, функціонально-екваційний рівень. Цей рівень, на додаток до можливо- стей функціонального рівня, дає змогу ототожнювати і розрізняти предметні зна- чення. Алфавіт мови КНЛ функціонально- екваційного рівня (ФЕКНЛ) складається з множини предметних імен V, множин Dns, Fns, Ps відповідно деномінаційних, функці- ональних, предикатних символів, а також множини символів базових композицій ¬, ∨, ∃x, S nvv ,...1 , =. Множину Fпs∪Dns позначимо Fs. Множину Fns∪Ps назвемо сигнатурою мови ФЕКНЛ. Множини термів Тr і формул Form мови ФЕКНЛ вводимо індуктивно. Т1. Кожний ФС та кожний ДНС є термом. Такі терми назвемо атомарними. Т2. Нехай t, t1,..., tn – терми. Тодi S nv,v ,...1 t t1...tn – терм. Ф1. Кожний ПС є формулою. Такi формули назвемо атомарними. Ф2. Нехай t та s – терми. Тодi =ts – формулa. Ф3. Нехай Φ – формула, t1,..., tn – терми. Тоді S nv,v ,...1 Φt1...tn – формула. Ф4. Нехай Φ та Ψ – формули. Тоді ¬Φ, ∨ΦΨ та ∃xΦ – формули. При зафіксованій множині базових композицій конкретна iнтерпретацiя (мо- дель) мови ФЕКНЛ визначається алгебраї- чною системою (А, PrA∪FnА) та значен- нями ПС і ФС на A. Задамо тотальне однозначне відо- браження I : Fs∪Рs→FnA∪PrA, яке визна- чає значення ФС та ПС як базові функції та предикати такої АС. При цьому I('v) = 'v для кожного 'v∈Dns. Тому інтерпретаціями мови ФЕКНЛ сигнатури σ = Fns∪Рs бу- демо вважати АС з доданою сигнатурою вигляду ((A, FnA∪PrA), I), або скорочено (A, I). Для інтерпретації термів та формул продовжимо I до J : Form∪Тr→FnA∪РrА: If1. J(f) = I(f) для кожного f∈Fs. If2. J(S nv v ,...,1 t t1...tn) = S nv v ,...,1 (J(t), J(t1), ..., J(tn). If3. J(р) = I(p) для кожного р∈Ps. If4. J(=ts) = =(J(t), J(s)). If5. J(S nv v ,...,1 Φt1...tn) = S nv v ,...,1 (J(Φ), J(t1), ..., J(tn)). If6. J(¬Φ) = ¬¬¬¬(J(Φ)). If7. J(∨ΦΨ) = ∨∨∨∨(J(Φ), J(Ψ)). If8. J(∃xΦ) = ∃∃∃∃x(J(Φ)). Предикат J(Φ), який є значенням фо- рмули Φ при інтерпретації A = (A, I), поз- начимо ΦA. Функцію J(t), яка є значенням терма t при інтерпретації A = (A, I), позна- чимо tA. Розглянемо відмінності мови ФКНЛ від мови ФЕКНЛ. У визначенні формул відсутній п. Ф2, визначення термів аналогічне. У визначенні відображення J відсут- ній п. If4. Поняття істинності та виконуваності формул для ФКНЛ та ФЕКНЛ вводимо аналогічно випадку ЧНКЛ. Поняття тавтології, тавтологічного наслідку, тавтологічного еквiвалентностi для ФКНЛ та ФЕКНЛ успадковуються з реномінативно та кванторного рівнів. Визначення та властивості відношень ╞ , ∼т , |=, ||= , ∼, |=s для ФКНЛ та ФЕКНЛ цілком аналогічні відповідним визначен- ням та властивостям для РНЛ та ЧКНЛ. Семантичні властивості формул ФКНЛ та ФЕКНЛ індуковані відповідними властивостями композицій. Детально вони описані в [19, 22]. Для пропозиційних ком- позицій та кванторів такі властивості ана- логічні відповідним властивостям формул класичної логіки. Теоретичні та методологічні основи програмування 36 7. Логіки еквітонних предикатів та їх розширення Клас квазіарних предикатів дуже по- тужний, для логік квазіарних предикатів не діють деякі важливі закони класичної ло- гіки. Наприклад, в загальному випадку ква- зіарних предикатів маємо |=Φ ⇒ |=∀хΦ, але не завжди |=∀хΦ. Таким чином, для збереження основних властивостей класич- ної логіки клас квазіарних предикатів варто обмежити. Природне обмеження задається влас- тивістю еквітонності, яка означає, що зна- чення відображення не змінюється при роз- ширенні даних. Предикат Р еквітонний (ЕП), якщо для довільних d, d'∈VA із d'⊇d та Р(d)↓ ви- пливає Р(d')↓=Р(d). Найближчими до класичної є логіки повнототальних еквітонних предикатів (ПЕП). Повнототальність означає визначе- ність предиката на максимальних даних – V-повних ІМ. Предикат P повнототальний, якщо P(d)↓ для всіх d∈AV. Логіки повнототальних еквітонних предикатів (ПЕП) названі [8] неокласичними (НКЛ), оскільки вони зберігають основні закони та правила виведення класичної ло- гіки при істотному розширенні класу мо- делей. Логіки еквітонних предикатів збері- гають основні закони класичної логіки, але для них вже не діють деякі правила виве- дення (modus ponens), порушуються деякі властивості класичної логіки. Наприклад, для конкретних семанти- чних моделей можливо A |=P, A |=P→Q, але A |≠Q. Можливо також A |=P↔Q, A |=Q↔S, але A |≠P↔S. Крім того, для логіки ЕП не завжди із Φ|=Ψ випливає Φ||=Ψ. Клас моделей логіки ЕП істотно ши- рший за клас моделей логіки ПЕП. Семантичні властивості логіки ЕП фактично відтворюють [17] властивості композицій. Зокрема, властивості, які не використовують реномінації та суперпози- ції, цілком аналогічні відповідним власти- востям класичної логіки предикатів. Для логіки ЕП справджуються [17] теореми семантичної еквiвалентостi та рівності, а щодо відношення логічного нас- лідку для множин формул – теорема про заміну еквівалентних. Теорема семантичної еквiвалентно стi. Нехай формула Φ' отримана з фор- мули Φ заміною деяких входжень формул Φ1, ..., Φn на Ψ1, ..., Ψn вiдповiдно. Якщо |=Φ1↔Ψ1, ..., |=Φn ↔Ψn , то |=Φ↔Φ'. Теорема заміни еквівалентних. Не- хай Φ∼Ψ. Тоді маємо: Φ, ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆ ⇔ Ψ, ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆ та ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆, Φ ⇔ ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆, Ψ. Для формул класичної логіки істот- ними є тільки їх вільні предметні імена, від яких може залежати значення відповідних предикатів. Для логік ЕП важлива неістот- ність предметних імен. Тому для базових предикатів логіки ЕП будемо визначати множину неістотних імен, від яких не за- лежить значення таких предикатів. Ім'я x∈V неістотне для формули Φ, якщо для кожної інтерпретації A = (A, I) ім'я x неістотне для предиката ΦA . У випадку еквітонних функцій ім'я x неістотне для f ⇔ для довільних d∈VA та a∈A маємо f(d) ≅ f(d∇xaa). Можливість виконання еквівалент- них перетворень довільних формул вима- гає наявності нескінченної множини тота- льно неістотних імен, тобто імен, неістот- них для кожного р∈Ps. Таким чином, се- мантичною основою логіки ЕП є компози- ційні алгебри еквітонних квазіарних пре- дикатів з додатковою вимогою наявності нескінченної множини тотально неістот- них предметних імен. Для формул логіки ЕП визначаються субнормальні (різнокванторні), нормальні, квазізамкнені формули. Доводиться [17], що для кожної формули можна збудувати еквівалентні їй різнокванторну та норма- льну формули. Квазізамкнені формули є синтаксич- ними аналогами замкнених формул класи- чної логіки, але семантичними аналогами їх вважати не можна. Квазізамкнені фор- мули необов'язково інтерпретуються як константні предикати, хоча для класичної логіки кожна замкнена формула на кожній АС завжди інтерпретується як тотожна іс- Теоретичні та методологічні основи програмування 37 тина або тотожна фальш. Справа в тому, що до складу формули логіки квазіарних предикатів можуть входити предикатні символи, для яких множини істотних імен нескінченні. Специфічну властивість квазізамкне- них формул логіки ЕП описує наступна Теорема про квазізамкнені фор- мули. Нехай формула Φ квазізамкнена, її пропозиційна схема (пропозиційна фор- мула, отримана із Φ опусканням усіх сим- волів, окрім предикатних символів та сим- волів пропозиційних зв'язок) не тавтологія і не суперечність, причому Φ не містить спеціальних предикатних символів із явно виділеними істотними іменами (напри- клад, =ху). Тоді існують АС A = (A, I) та d1, d1∈VA, такі, що ΦА(d1) = T та ΦА(d2) = F. Можливість для формули бути зале- жною від нескінченної множини предмет- них імен є визначальною властивістю ло- гіки квазіарних предикатів, зокрема логіки ЕП, що істотно відрізняє її від класичної логіки. Для логік повнототальних ЕП (неок- ласичних логік) будуються аксіоматичні системи Гільбертівського типу, на їх основі доводяться [16, 21] теореми коректності (несуперечливості) та повноти. Більше того, можна говорити [8] про ізоморфне вкла- дення класичної логіки в неокласичну. Це випливає з того, що всі аксіоми класичної логіки виводяться в неокласичній логіці, правила виведення класичної логіки моде- люються в неокласичній. Звідси отриму- ємо моделювання виведень формул класи- чної логіки в неокласичній. Проте універсального моделювання класу формул неокласичної логіки в класі формул класичної логіки не існує. При- чина полягає в тому, що кількість істотних змінних для формул неокласичної логіки може бути нескінченною. Але ми можемо зробити обмежене моделювання, тому, що кожну формулу неокласичної логіки мо- жна звести до еквівалентної їй псевдокла- сичної нормальної форми, використову- ючи додаткові тотально неістотні предме- тні імена. Відмова від modus ponens для загаль- ного випадку логік ЕП веде до необхідності здійснювати дослідження синтаксичних властивостей таких логік на базі не Гільбертів- ських, а Генценівських систем – секвенційних числень. Семантичною основою побудови таких числень є властивості відношення логічного наслідку для множин формул. Такі числення збудовані [13, 17, 28–31] для логік ЕП відповідного рівня. Для секвенційних числень доведені те- ореми коректності та повноти. Теорема коректності. Нехай секвен- ція |−|−|−|−ΓΓΓΓ−|−|−|−|∆∆∆∆ вивідна. Тоді ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆. Теорема повноти. Нехай ΓΓΓΓ |=s ∆∆∆∆. Тоді секвенція |−|−|−|−ΓΓΓΓ−|−|−|−|∆∆∆∆ вивідна. Природним узагальненням еквітон- них предикатів є [32] локально-еквітонні предикати (ЛЕП). Для таких предикатів вимагається збереження значення при роз- ширенні даних лише на скінченну кількість іменованих компонент. Предикат Р локально-еквітонний, якщо для довільних d, d'∈VA із того, що Р(d)↓, d' ⊃d та d' \d скінченна, випливає Р(d')↓=Р(d). Клас ЛЕП є розширенням класу ЕП. Справді, предикат, істинний на всіх скін- ченних ІМ та хибний на всіх нескінченних ІМ, є нееквітонним ЛЕП. Семантичні властивості ЛЕП аналогі- чні властивостям ЕП. Клас моделей логіки ЛЕП є розши- ренням класу моделей логіки еквітонних предикатів. Логіки, орієнтовані на такі особливості предметних областей, як невизначеність, не- повнота наявної інформації, базуються на класах предикатів, визначених на даних з неповною інформацією. Такими є [33] екві- сумісні (ЕСП) та локально-еквісумісні пре- дикати (ЛЕСП). Еквісумісність предиката P означає, що при можливості розширення різних да- них (сумісність даних) до одного більшого даного, значення P на таких даних мають співпадати. При локально-еквісумісності вимагаємо збереження значень лише для розширень скінченною інформацією. V-IM d та d' сумісні, що позначимо d≈d', якщо функція d∪d' однозначна. V-квазіарний предикат Р еквісуміс- ний (ЕСП), якщо для довільних d, d'∈VA із d≈d', Р(d)↓ та Р(d')↓ випливає Р(d)=Р(d'). Теоретичні та методологічні основи програмування 38 V-квазіарний предикат Р локально- еквісумісний (ЛЕСП), якщо для довільних d, d'∈VA таких, що (d' \d)∪(d \ d') скін- ченна, із d≈d', Р(d)↓ та Р(d')↓ випливає Р(d)=Р(d'). Кожний еквісумісний предикат мо- жна розширити до еквітонного. Кожний локально-еквісумісний пре- дикат можна розширити до локально-екві- тонного. Еквісумісні та локально-еквісумісні предикати є узагальненнями еквiтонних та локально-еквітонних предикатів. Відомі [32, 33] приклади нееквітонних, але еквісу- місних предикатів та приклади ЛЕСП, які не є локально-еквітонними та не є еквісу- місними. Композиції ¬¬¬¬, ∨∨∨∨, ∃∃∃∃x, R v x , S v та = зберігають повнототальність, еквітонність, локально-еквітонність, еквісумісність і ло- кально-еквісумісність V-квазіарних функ- цій та предикатів. Семантичні властивості логік ЕСП та ЛЕСП аналогічні відповідним властивостям логік ЕП та ЛЕП. Класи семантичних моде- лей ЛЕП та ЛЕСП ширші за класи семанти- чних моделей логік ЕП та ЛЕП, водночас ці логіки зберігають основні закони класичної логіки. Для логік ЛЕП, ЕСП та ЛЕСП збудо- вані [32, 33] числення секвенційного типу, для таких числень доведені теореми корек- тності та повноти. Із теореми повноти випливає [17] ни- зка важливих властивостей логік ЕП, ЛЕП, ЕСП та ЛЕСП, зокрема принцип компакт- ності, теорема про існування моделі. На цій основі розглядаються питання семан- тичної та синтаксичної несуперечливості, взаємної суперечливості та несуперечли- вості множин формул. На основі секвенційних числень для логік ЕП доводиться [29] один з найважли- віших результатів математичної логіки – інтерполяційна теорема. Інтерполяційна теорема. Нехай сек- венція −|−|−|−|Ψ→Ξ має виведення. Тоді існує формула Φ сигнатури σ(Φ)⊆σ(Ψ)∩σ(Ξ), така, що секвенції −|−|−|−|Ψ→Φ та −|−|−|−|Φ→Ξ ма- ють виведення. Використовуючи інтерполяційну те- орему, для логік ЕП доведена [31] теорема про визначність, яка стверджує еквівален- тність явного (синтаксичного) та неявного (семантичного ) визначень одного поняття в термінах інших понять. Для класичних логік така еквівалентність – це теорема Бета про визначність [24]. Секвенційні числення логік ЛЕП, ЕСП та ЛЕСП ідентичні секвенційним чи- сленням логік ЕП. Це засвідчує той факт, що синтаксичні властивості логік ЛЕП, ЕСП та ЛЕСП аналогічні синтаксичним властивостям логік ЕП. Водночас при переході від логік ЕП до логік ЛЕП та ло- гік ЕСП, від логік ЛЕП та логік ЕСП до ло- гік ЛЕСП ми отримуємо все ширші класи семантичних моделей. Широкі спектри логік квазіарних предикатів розглядалися в [34–37]. Наведемо ієрархію КНЛ за обмежен- нями на клас квазіарних предикатів (рис. 5). Класичні логіки скінченно-арних тотальних предикатів Логіки повнототальних еквітонних предикатів Логіки еквітонних предикатів Логіки локально-еквітонних предикатів Логіки еквісумісних предикатів Логіки локально-еквісумісних предикатів Лог іки квазіарних предикатів Рис. 5. Ієрархія КНЛ за обмеженнями на клас квазіарних предикатів Теоретичні та методологічні основи програмування 39 Висновки Запропоновано інтенсіонально-орієн- тований підхід до визначення основних понять логіки. Визначено рівні абстракції та інтенсіонали понять даного, функції та композиції. Введено поняття номінату (номінативного даного) та розглянуто його зв’язки з поняттям множини. На основі пропонованого підходу розглянуто спектр композиційно-номінативних логік. Опи- сані композиції квазіарних предикатів на різних рівнях абстрактності. Виділені класи логік квазіарних предикатів, розгля- нуті їх основні властивості. Таким чином, продемонстровано ефективність застосу- вання інтенсіонально-орієнтованого під- ходу в математичній логіці. 1. Кондаков Н.И. Логический словарь-спра- вочник.– М.: Наука, 1976. – 720 с. 2. Кулик Б.А. С чем идет современная логика в XXI век? "Вестник РФФИ". – Сентябрь 2000. – № 3(21) 3. Арнольд В.И. Математическая дуэль во- круг Бурбаки // Вестник российской ака- демии наук. – 2002. – Том 72, № 3. – с. 245–250. 4. Книгин А.Н. Учение о категориях. – Томск: ТГУ, 2002. – 192 с. 5. Гегель Г.В. Наука логики (в 3-х т.). – М.: Мысль, 1970. – Т. 1, 501 с.; 1971 – Т. 2, 248 с.; 1972 – Т. 3, 371 с. 6. Никитченко Н.С. Композиционно-номи- нативный подход к уточнению понятия программы // Проблемы программиро- вания. – 1999. – № 1. – С. 16–31. 7. Никитченко Н.С. Предикатные компози- ционно–номинативные системы // Там же. – 1999. – № 2. – С. 3–19. 8. Никитченко Н.С., Шкильняк С.С. Нео- классические логики предикатов // Там же – 2000. – № 3–4. – C. 3–17. 9. Редько В.Н. Основания композиционного программирования // Программирование. – 1979. – № 3. – C. 3–13. 10. Никитченко Н.С. Пропозициональные композиции частичных предикатов // Ки- бернетика и системный анализ. – 2000. – № 2. – C. 3–19. 11. Шкільняк С.С. Безкванторні неокласичні логіки // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2001. – Вип. 4. – С. 323–331. 12. Шкільняк С.С. Безкванторні неокласичні числення // Там же .– 2002. – Вип. 1. – С. 276–282. 13. Шкільняк С.С. Неокласичні секвенційні числення // Там же – 2002. – Вип. 4. – С. 261–274. 14. Нікітченко М.С. Інфінітарні реномінати- вні логіки часткових предикатів // Там же – 2002. – Вип. 3. – C. 229–238. 15. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Компози- ційно-номінативні логіки еквітонних пре- дикатів // Там же – 2000. – Вип. 2. – С. 300–314. 16. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Чисті композиційно-номінативні числення // Там же – 2000. – Вип. 3. – С. 290–303. 17. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Основи математичної логіки. – К.: Київський ун-т. – 2006. – 246 с. 18. Никитченко Н.С. Аппликативные компо- зиции частичных предикатов // Ки- бернетика и системный анализ. – 2001. – № 2. – C. 14–33. 19. Шкільняк С.С. Неокласичні кванторні ло- гіки з рівністю // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2003. – Вип. 1. – С. 222 – 225. 20. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Компози- ційно-номінативні логіки першого по- рядку // Там же – 2001. – Вип. 1. – С. 260 – 274. 21. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Компози- ційно-номінативні числення першого по- рядку // Там же – 2001. – Вип. 2. – С. 302 – 313. 22. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Компози- ційні логіки номінативних даних // Про- блеми програмування. – 2003. – № 3. – C. 29–40. 23. Андон Ф.И., Яшунин А.Е., Резниченко В.А. Логические модели интеллектуальных информационных систем. – К.: Наук. думка, 1999. – 396 с. 24. Клини С. Математическая логика. – М.: Наука, 1973. – 480 с. 25. Мендельсон Э. Введение в математичес- кую логику. – М.: Наука, 1976. – 320 с. 26. Непейвода Н.Н. Прикладная логика. – Но- восибирск: НГУ, 2000. – 521 с. 27. Басараб И.А., Никитченко Н.С., Ре- дько В.Н. Композиционные базы данных. – К.: Либідь, 1992. – 192 с. 28. Шкільняк С.С. Функціонально-екваційні неокласичні логіки: числення секвенцій- ного типу // Вісник Київськ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2003. – Вип. 4. – C. 302 - 309. 29. Шкільняк С.С. Властивості неокласичних секвенційних числень // Там же. – 2004. – Вип. 1. – С. 286 –293. Теоретичні та методологічні основи програмування 40 30. Шкільняк С.С. Композиційно-номінативні логіки квазіарних предикатів // Там же – 2005. – Вип. 1. – С. 246–255. 31. Шкільняк С.С. Фінітарні логіки квазіарних предикатів // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: кі- бернетика. – 2005. – Вип. 6. – С. 47–55. 32. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Логіки локально-еквітонних предикатів: семан- тичні властивості та секвенційні числення // Проблеми програмування. – 2003. – № 2. – C. 28–41. 33. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Компози- ційно-номінативні логіки предикатів над даними з неповною інформацією // Там же. – 2004. – № 2–3. – C. 74–80. 34. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С. Ієрархія композиційно-номінативних логік // Там же – 2004. – № 4. – С. 5–14. 35. Nikitchenko N.S., Shkilniak S.S. Spectrum of finitary composition nominative logics. – Co- mputer science and information technologies. Proceeding of the conference. – Yerevan, 2005. – С. 113–116. 36. Nikitchenko N.S., Omelchuk L.L., Shkil- niak S.S. Formalisms for Specification of Programs over Nominative Data // Electronic computers and informatics (ECI 2006). Th. of conf. rep. – Košice – Herľany, Slovakia, 2006. – P. 134–139. 37. Нікітченко М.С., Шкільняк С.С., Омель- чук Л.Л. Логіки, орієнтовані на специфі- кації програм // Проблеми програмування. – 2006. – № 2–3. – С. 17–24. Отримано 18.04.2007 Про авторів: Нікітченко Микола Степанович, доктор фізико-математичних наук, завідувач кафедри теорії та технології програмування Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, Шкільняк Степан Степанович, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри теорії та технології програмування Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Місце роботи авторів: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 60. Tел. (044) 259 0519 е-mail: nikitchenko@unicyb.kiev.ua е-mail: sssh@unicyb.kiev.ua
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-285
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1727-4907
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-02T14:02:49Z
publishDate 2007
publisher Інститут програмних систем НАН України
record_format dspace
spelling Нікітченко, М.С.
Шкільняк, С.С.
2008-02-22T18:18:41Z
2008-02-22T18:18:41Z
2007
Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем / М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк // Пробл. програмув. — 2007. — N 2. — . — Бібліогр.: 37 назв. — укp.
1727-4907
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/285
Запропоновано інтенсіонально-орієнтований підхід до визначення основних понять логіки. Розглянуто інтенсіонали понять даного, функції та композиції. Введено поняття номінату (номінативного даного) та розглянуто його зв'язки з поняттям множини. Продемонстровано застосовність підходу в математичній логіці. Розглянуто спектр композиційно-номінативних логік. Описано композиції квазіарних предикатів на різних рівнях абстрактності. Виділено класи логік квазіарних предикатів, розглянуто їх основні властивості.
uk
Інститут програмних систем НАН України
Теоретичні та методологічні основи програмування
Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
Article
published earlier
spellingShingle Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
Нікітченко, М.С.
Шкільняк, С.С.
Теоретичні та методологічні основи програмування
title Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
title_full Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
title_fullStr Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
title_full_unstemmed Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
title_short Інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
title_sort інтенсіонально-орієнтований підхід до побудови логічних систем
topic Теоретичні та методологічні основи програмування
topic_facet Теоретичні та методологічні основи програмування
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/285
work_keys_str_mv AT níkítčenkoms íntensíonalʹnooríêntovaniipídhíddopobudovilogíčnihsistem
AT škílʹnâkss íntensíonalʹnooríêntovaniipídhíddopobudovilogíčnihsistem

Ähnliche Einträge