Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками
Получена система интегро-дифференциальных уравнений меньшей 
 размерности для расчета плотности вихревых токов в массивных проводниках за 
 счет введения двойного слоя магнитных зарядов для учета влияния 
 намагниченного магнитопровода....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29249 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками / А.В. Жильцов // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2009. — Вип. 50. — С. 36-44. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860162412772065280 |
|---|---|
| author | Жильцов, А.В. |
| author_facet | Жильцов, А.В. |
| citation_txt | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками / А.В. Жильцов // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2009. — Вип. 50. — С. 36-44. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України |
| description | Получена система интегро-дифференциальных уравнений меньшей 
размерности для расчета плотности вихревых токов в массивных проводниках за 
счет введения двойного слоя магнитных зарядов для учета влияния 
намагниченного магнитопровода.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:54:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.3.014.4:621.315.58:517.968
А. В. Жильцов, канд. техн. наук, ИПМЭ им. Г.Е.Пухова НАН Украины
ТРЕХМЕРНАЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ
РАСЧЕТА ПЛОТНОСТИ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ С ЖИДКИМИ
ПРОВОДНИКАМИ
Получена система интегро-дифференциальных уравнений меньшей
размерности для расчета плотности вихревых токов в массивных проводниках за
счет введения двойного слоя магнитных зарядов для учета влияния
намагниченного магнитопровода.
Простановка задачи. Рассмотрим электромагнитную систему (рис.1),
которая включает в себя ( N - 1 ) -н массивный проводник Dj , £>2, •••, DN_\,
шихтованный магнитопровод DN , и обмотку Dw с плотностью тока
§w (M,t), t>0 , создающая изменяющееся во времени магнитное поле. Будем
полагать, что проводник, занимающий объем Di находится в жидкой фазе и
в нем известен закон распределения поля скоростей V(Q,t) (определяется из
решения гидродинамической задачи). Удельная проводимость материалов
проводников постоянна по объему каждого проводника и равна
36 © А. В. Жильцов
соответственно У1, у 2 , . . у N -1 • Предполагаем, что массивные проводники
не имеют между собой электрического контакта. Абсолютную магнитную
проницаемость магнитопровода DN полагаем постоянной и равной ц.
Считаем известным начальное распределение плотности вихревых токов
по массивным проводникам 8(М,0), которое обозначим через 8 ( 0 ) (М) .
Конечная задача состоит в том, чтобы по заданной геометрии системы,
электрофизическим характеристикам материалов, из которых изготовлены
конструктивные элементы, электрическому соединению элементов,
заданным токам в первичных обмотках найти поле скоростей в жидком
проводнике. В общем случае это требует решения трехмерных краевых задач
для системы уравнений Максвелла в неограниченной области, уравнений
Навье-Стокса в жидком проводнике [1]:
гой = 8 , гоЁ = -дВ, = 0, (ИуЪ = 0 , В = ц й , 8 = уЁ+у[_Г, В] , (1)
индукционный перемешиватель): ^ — проводник в жидкой фазе (ц0,У1) ; D2 —
массивный проводник в твердой фазе (цо, У2) ; Dз — шихтованный магнитопровод
(ц, уз = 0); Dфуm — футеровка; DW = DW1 и DW2 и DW 3 — обмотка.
37
—+((, grad) = - 1 gradp+vAF+1 f , d/vV = 0 , (2)
dt v ! p p
где E — вектор напряженности электрического поля; H — вектор
напряженности магнитного поля; B — вектор магнитной индукции; 5 —
вектор плотности тока; у — удельная проводимость; | — абсолютная
магнитная проницаемость среды; V — вектор скорости, для проводников в
твердой фазе необходимо положить V = 0 ; p — плотность проводника в
жидкой фазе; t — время; p — давление; v = n / p — коэффициент
кинематической вязкости, п — коэффициент динамической вязкости; f —
объемная плотность сил.
Решение полной системы уравнений (1) — (2) даже при использовании
современных быстродействующих компьютеров связано с большими
трудностями. За счет декомпозиции задача сводится к решению двух
подзадач: электромагнитной (1), т.е. на заданном поле скоростей в жидком
проводнике ищется распределение электродинамических сил в нем, и
гидродинамической (2), т.е. на заданном поле электродинамических сил в
жидком проводнике ищется распределение скоростей в нем. В данной статье
рассматривается только электромагнитная задача.
Введением векторного потенциала A и скалярного электрического
потенциала ф приходим к системе уравнений, эквивалентной системе
уравнений Максвелла (1):
rot(|—Wa) = 5 . (3)
5 = —y-"d— -ygradф+уЦ,B] . (4)
В работе [2] сформулирована следующая краевая задача для
определения векторного магнитного потенциала и скалярного
электрического потенциала для рассматриваемой электромагнитной системы:
ДА = — , QeDW ; (5)
ДА = —105 , Q е D ; (6)
ДА = 0 , Q e D " u D N ; (7)
—\nQ,rotA"1 = — \ n Q , r o t A + ] , QeSN ; (8)
10 \ ] | \ * ]
, QeSN; (9)
\n?Q,rotA-] = \„-Q,rotA+] , QeS ; (10)
A , nQ
A+, nQ
38
пд, А~ пд , А веБ;
Д ф
+ = - р , 2 е д ;
Дф+ = 0 , 2 е Б д , д=2,3,...,N-1;
(11)
(12)
(13)
дф+
дпв д(
~(пв,V5]), 2е $1; (14)
дф+
дп2 д/
в е Б д , д=2,3,...,N-1; (15)
N-1
где Б = и Бд — область, занимаемая массивными проводниками;
д=1
N-1
$ = и Бд — поверхность массивных тел; Б — внешнее по отношению ко
д=1
всем телам электромагнитной системы пространство; DN — область,
которую занимает шихтованный магнитопровод; SN — поверхность
магнитопровода; р = -(Иу,В] .
Для учета намагниченности ферромагнитного тела в [2] использован
простой слой токов, который являются векторным источником. Там же
краевая задача (5)-(14) сведена к эквивалентной системе интегро-
дифференциальных уравнений, к решению которой сводится расчет
плотности вихревых токов в массивных проводниках с учетом распределения
скорости в жидком проводнике. Заменим простые слои токов
намагниченности эквивалентными слоями скалярных вторичных источников
[3]. При этом искомая векторная плотность токов намагниченности будет
заменятся скалярной величиной — плотностью двойного слоя, — поэтому
число уравнений в общей системе существенно уменьшится.
Вывод интегро-дифференциальных уравнений для плотности
вихревых токов. Представим магнитную индукцию В в виде суммы двух
слагаемых
В=В5+ Вн, (16)
где В5 — составляющая, созданная всеми токами проводимости в
предположении, что окружающая среда однородна; Вн — составляющая,
созданная намагниченностью тела DN .
Соответственно векторный потенциал запишем в виде
А = А5 + Ан (17)
39
+
п в
+
п в
где В5 = гогА5, Вн =гогАн.
При этом для А5 справедливо выражение:
А 5 (в ,г )=В> г М * ^ +в> г т Ц т и . (18)
4 п гвм 4 п Б гвм
Подставляя соотношения (17), (18) в (4), выводим интегро-
дифференциальные уравнения
+5(2,0+У1 ̂ - д }5(м ,г)-^ ЛУм +У1 £гаЛ ф+(в, / ) =
Б в м
= - у 1 7 ° 1 г I ( м , г ) — + У 1 [ У ( в , г ) , В ( в , / ) ] , в е А ; (19)
4 п д г 4 г в м
+5(22,г )+Уд ^ ,г ЛУм +1 Ч8гай ф+(в/ ) =
Б <м
У д ^ I (м ,0-^ЛУм , в е Б д , д = 2,3,...,N . (20)
1 атт Л/ г^ъ , 4 п д г Б , гвм
Для определения ягаёф + ставится внутренняя краевая задача (12) —
(15). Решение уравнений (12), (13) ищем в виде:
1 г Р ( м ? Ь т л . + _ 1 г & т Ш а з м , , (21) ф+ ( в ,г ) = Г ' +—|М
4 п Б гвм 4 п Б гвм
где п(М,г) — мгновенная плотность простого слоя электрических зарядов в
точке М . Из соотношения (21) следует
ёгаЛвФ+ (в,г)=4-[^(МгХМ^м + ̂ \?(М^УвМ^м . ( 2 2 )
п Б Г в м п Б ; Г в м
Используем свойство потенциала простого слоя
дф+ п(в,г) 1 ^ х(Ив ,гвм ) 1 г л , ч(Ив ,гвм) ^ . ч
4 = 2 + , г + 4 л / р < м , г ) в 3 М ^ У м . (23)
в Б гвм Б; 'вм
Удовлетворяя решение (21) краевым условиям (14) и (15) с учетом (23),
получаем
^ + ( ( , [ У « г , ) , В в ) ] ) + ± № г
Б Гвм
М Р ( М , г Л У м , в е $ 1 ; ) (пв , г в м )
4 п г в м
40
1а
- d A Q Q ) ^ f № dSM + _L|p(M „ 0 ( м )
dt 2 4n~ rQM rQ Г0М 4 1 D 1 Гм
, д=2,3,...,Ж-1.
Таким образом, принимая во внимание выражения (17) и (18), приходим
к следующей системе уравнений
Л
•,Пд * * ^ (M ^ d S M + 5 ! d V M + { A F
^ ) + 2 ( Q ( V (Q , ') , m ) ' f e f 1 diMM
DW
QM D QM
QeS1; (24)
Л
rQ ** U < M t M S J ® * * * 1 - M + №
2 n S rQ)M 2ndtD rQM
= — ^ i — f J P M M ,
2n dt •> rQM 2 n J
r.3,, DW
QM Dj rQM
QeSq , q =1,2,...,N—1. (25)
Поскольку rotB" = 0 , то можно ввести скалярный магнитный потенциал
ф т выражением
Bн =— gradфт . (26)
Очевидно, что потенциал ф т удовлетворяет уравнению Лапласа как внутри,
так и вне ферромагнитного тела DN .
Из разложения (16) и краевых условий для вектора B на границе SN
ферромагнитного тела находим:
В^=|oZ
|B5 , Bn
H— = B"„+ . (27)
10 I l 0 l
Из выражения (26) следует, что краевые условия (27) будут выполнены,
если скалярный потенциал ф т будет удовлетворять граничным
соотношениям:
ф—т ф++ =I0 — 1 ф 5 + с д ф т = д ф т ( 2 8)
I0 I I 0 I т ' dnQ dnQ '
где фт — скалярный потенциал поля B 5 , имеющий смысл вне токов; C —
41
произвольная постоянная.
Поскольку скалярный магнитный потенциал ф т — гармоническая
внутри и вне Б х функция, нормальные производные которой на Б^
непрерывны, а сам потенциал на Б^ претерпевает разрыв, то ф т можно
представить в виде потенциала двойного слоя магнитных зарядов,
распределенных по поверхности Б^ :
)(>Ъм , п м )
(29)
гЯм
При этом краевое условие (28) будет выполнено, если т(<2,/) будет решением
интегрального уравнения
( е / ) - ^ Д х ( м , г у в м ; П м ^ 8 м = - 2 х Ф т ( е , 0 + - + с , . (30)
2п ^ М- + М-П Г3
( м Ц+О
Так как, параметр х = (ц-Цо )/(н-+М-о) близок в последнем уравнении к
характеристическому значению — единице, так как обычно ц • Цо, то это
уравнение целесообразно преобразовать к следующему виду
( е А - ^ [ ) Н м
а
= - 2 х
(гем ,пм ) 1
Г 3 Б; N
((м ,пм)
г 3 ГРМ
dsP
3]:
<ЛБм =
Фт о - Б т ^ ( м ,¥Бм Є ^ . (31)
Векторный потенциал двойного слоя магнитных зарядов определяется
согласно соотношению [3]
а скалярный магнитныи потенциал —
Г ( , 0 = ± ( И м , ' Б
гЯм
ФІ ( , о - Ф І (еО , * ) = - ] в (м , ) м
(32)
(33)
где В ( м , / ) — поле, создаваемее первичными и вихревыми токами. Для
вычисления скалярного магнитного потенциала ФІ можем
воспользоваться следующей формулой [3], которая следует из (33),
42
N
N
Б
Ф 5
т ( & 0 - Ф 5 ( М = - ^ Г
цо г ( 8 ш ( Р , / ) , г Р а ])( ГР0 'гР2о ])(грЄо + Гря)
Дш гРагрд0 (гР2о Р + ( о ))
Ц о г.
4п
гРО ,'РЯо ])(грдо + гРО)
1 ( 3 4 )
"Б гРвГРв0 (ГР20
Грв +(Рво ,ГРв)
Магнитная индукция, обусловленная двойным слоем магнитных
зарядов, распределенных по поверхности , находится следующим
образом
Л» (0,1 )=і-|т(м ,
г
г0м - пмгем
г
5
г0м
с1Б м (35)
Таким образом, полная система интегро-дифференциальных уравнений,
к решению которой сводится определение вихревых токов в массивных
проводниках и плотности двойного слоя магнитных зарядов на поверхности
магнитопровода имеет вид:
т е / ) - 2П с Н м , о
( г0м , п м ) і г (гРМ , п м )
г0м ^ гРм
<ЛБм =
=-2х Ф5
т ( ^ , / ) - S
L Ы (М№м ;
і д г , , [ 0 м , п м 1 8(0,/) 5 ( т ( м . / ^ ^ ^ м +д/ | 8 ( м , / ^ ^ м + 1 м , , 8 м = ЦО Д/£ ОМ УІ̂ Д/Д О м ЦО" 3 - м -гем
= - / Г V ( м , / ) — ^ (О, / ) ,Л(0 , / ) ]— Г Р ( м / Д м ^ м , О Е Д ;
д Д
Г0М Х ЦО Д ОМ
і д г ( „ Л Й м , П м + 8 ( 0 , / ) + д т ( м , / ) о м 3 м - ^ м | 8 ( м а У м + — [ Г „ м = ЦО Г3М У, Д/Д О м ЦО 3 г0м
- Г 8 ш ( м , / ) — ё ¥ м - — Г р ( м , / ) ) м ^ У м , , 9=2,3,. . . ,Ж-і;
Д ^ Ц о д Гзм
43
S QM D QM
' ' rQM Гм M
+ 2 ( ( Q , t ) , f p ( M ) , Q ^ ;
Д rQM
2 n S ^ 2ndtD rQM
^ ^ rQM
М р ( М ) d V M , QeS ? , 9=2,3,. . . ,N-1.
%D, rQM
Вывод. Полученная в работе система интегро-дифференциальных
уравнений для расчета плотности вихревых токов позволяет более
эффективно использовать ресурсы вычислительной техники для анализа
влияния конструктивных и электрофизических параметров
электротехнических устройств с жидкими проводниками на протекающие в
них МГД процессы. Это достигается за счет применения скалярных
вторичных источников — двойного слоя магнитных зарядов — для учета
намагниченности ферромагнитного тела, что в целом приводим к системе
уравнений меньшей размерности.
1. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. М., «Мир», 1967.
2. Евдокимов В.Ф., Жильцов А.В., Петрушенко Е.И. Трехмерная интегральная
модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный
перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали // Электрон.
моделирование. — 2009. —Т.31, №2.— С.3—17.
3. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. К.:
«Техніка», 1974. — 352 с.
Поступила 19.02.2009р.
44
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29249 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0067 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:54:51Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жильцов, А.В. 2011-12-07T22:29:46Z 2011-12-07T22:29:46Z 2009 Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками / А.В. Жильцов // Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2009. — Вип. 50. — С. 36-44. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0067 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29249 621.3.014.4:621.315.58:517.968 Получена система интегро-дифференциальных уравнений меньшей 
 размерности для расчета плотности вихревых токов в массивных проводниках за 
 счет введения двойного слоя магнитных зарядов для учета влияния 
 намагниченного магнитопровода. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Збірник наукових праць Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.Г.Є.Пухова НАН України Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками Article published earlier |
| spellingShingle | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками Жильцов, А.В. |
| title | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| title_full | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| title_fullStr | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| title_full_unstemmed | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| title_short | Трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| title_sort | трехмерная интегро-дифференциальная модель для расчета плотности вихревых токов в электротехнических устройствах с жидкими проводниками |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29249 |
| work_keys_str_mv | AT žilʹcovav trehmernaâintegrodifferencialʹnaâmodelʹdlârasčetaplotnostivihrevyhtokovvélektrotehničeskihustroistvahsžidkimiprovodnikami |