Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений
Дослiджено лiнiйну нелокальну крайову задачу з даними на характеристиках для систем гiперболiчних рiвнянь другого порядку. Встановлено необхiднi та достатнi умови коректної розв’язностi дослiдженої задачi в термiнах початкових даних. A linear nonlocal boundary-value problem with data on characterist...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29538 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений / Д.С. Джумабаев, А.Т. Асанова // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859646199978524672 |
|---|---|
| author | Джумабаев, Д.С. Асанова, А.Т. |
| author_facet | Джумабаев, Д.С. Асанова, А.Т. |
| citation_txt | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений / Д.С. Джумабаев, А.Т. Асанова // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено лiнiйну нелокальну крайову задачу з даними на характеристиках для систем гiперболiчних рiвнянь другого порядку. Встановлено необхiднi та достатнi умови коректної розв’язностi дослiдженої задачi в термiнах початкових даних.
A linear nonlocal boundary-value problem with data on characteristics for systems of hyperbolic equations of the second order is considered. The necessary and sufficient conditions of correct solvability of the problem in the terms of initial data are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:27:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2010
МАТЕМАТИКА
УДК 517.951
© 2010
Д.С. Джумабаев, А.Т. Асанова
Признаки корректной разрешимости линейной
нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Самойленко)
Дослiджено лiнiйну нелокальну крайову задачу з даними на характеристиках для сис-
тем гiперболiчних рiвнянь другого порядку. Встановлено необхiднi та достатнi умови
коректної розв’язностi дослiдженої задачi в термiнах початкових даних.
Рассматривается линейная нелокальная краевая задача с данными на характеристиках для
системы гиперболических уравнений со смешанной производной с двумя независимыми
переменными на Ω = [0, T ] × [0, ω]
∂2u
∂t∂x
= A(t, x)
∂u
∂x
+B(t, x)
∂u
∂t
+ C(t, x)u+ f(t, x), (1)
P2(x)
∂u(0, x)
∂x
+ P1(x)
∂u(0, x)
∂t
+ P0(x)u(0, x) + S2(x)
∂u(T, x)
∂x
+
+ S1(x)
∂u(T, x)
∂t
+ S0(x)u(T, x) = ϕ(x), x ∈ [0, ω], (2)
u(t, 0) = ψ(t), t ∈ [0, T ], (3)
где (n × n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x), P2(x), P1(x), P0(x), S2(x), S1(x), S0(x), n-век-
тор-функции f(t, x), ϕ(x) непрерывны на Ω, [0, ω] соответственно и n-вектор-функция ψ(t)
непрерывно дифференцируема на [0, T ].
Функция u(t, x) ∈ C(Ω,Rn), имеющая частные производные ∂u(t, x)/∂x ∈ C(Ω,Rn),
∂u(t, x)/∂t ∈ C(Ω,Rn), ∂2u(t, x)/∂t∂x ∈ C(Ω,Rn) называется классическим решением зада-
чи (1)–(3), если она удовлетворяет системе (1) при всех (t, x) ∈ Ω (при этом функция на
границе Ω имеет односторонние производные) и выполнены краевые условия (2), (3).
Нелокальные краевые задачи для систем гиперболических уравнений изучались многи-
ми исследователями (обзор и библиография по ним содержатся в [1–3]). В работах [4, 5] для
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 7
исследования и решения нелокальной краевой задачи (1)–(3) было предложено обобщение
метода параметризации [6, 7], разработанного для решения краевых задач для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. На его основе были получены достаточные условия
однозначной разрешимости задачи (1)–(3) в терминах исходных данных.
Отметим, что для задачи (1)–(3) из существования только нулевого решения соответ-
ствующей однородной краевой задачи не вытекает существование единственного классиче-
ского решения задачи (1)–(3). Это подтверждается следующим примером.
П р и м е р 1 . На [0, 1]× [0, 1] рассматривается полупериодическая краевая задача для гипербо-
лического уравнения
∂2u
∂t∂x
=
(
x−
1
2
)
∂u
∂x
+ u+ 1, (1′)
u(0, x) = u(1, x), x ∈ [0, 1], (2′)
u(t, 0) = 0, t ∈ [0, 1], (3′)
Решения соответствующего (1′) однородного уравнения, удовлетворяющие условию (3′), имеют вид
u(t, x) = e(x−1/2)tC(x), где C(x) — произвольная непрерывно дифференцируемая на [0, 1] функция
и C(0) = 0. Нетрудно убедиться в том, что, хотя соответствующая однородная краевая задача имеет
только тривиальное решение, неоднородная задача (1′)–(3′) не имеет классического решения.
В работах [8–10] вводятся новые неизвестные функции v(t, x) = ∂u(t, x)/∂x, w(t, x) =
= ∂u(t, x)/∂t и задача (1)–(3) сводится к следующей эквивалентной задаче
∂v
∂t
= A(t, x)v +B(t, x)w(t, x) + C(t, x)u(t, x) + f(t, x), (t, x) ∈ Ω, (4)
P2(x)v(0, x) + S2(x)v(T, x) = ϕ(x)− P1(x)w(0, x) − P0(x)u(0, x) −
− S1(x)w(T, x) − S0(x)u(T, x), x ∈ [0, ω], (5)
u(t, x) = ψ(t) +
x
∫
0
v(t, ξ) dξ, w(t, x) = ψ̇(t) +
x
∫
0
∂v(t, ξ)
∂t
dξ. (6)
В задаче (4)–(6) условие u(t, 0) = ψ(t) учтено в соотношениях (6). Тройка непрерывных
на Ω функций {v(t, x), u(t, x), w(t, x)} называется решением задачи (4)–(6), если функция
v(t, x) ∈ C(Ω,Rn) имеет непрерывную на Ω производную по t и удовлетворяет однопара-
метрическому семейству двухточечных краевых задач для систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (4), (5), где функции u(t, x), w(t, x) связаны с v(t, x), ∂v(t, x)/∂t
функциональными соотношениями (6).
При фиксированных w(t, x), u(t, x) в задаче (4)–(6) требуется найти решение из C(Ω,Rn)
однопараметрического семейства двухточечных краевых задач систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, которое требует отдельного исследования.
Рассмотрим семейство двухточечных краевых задач для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
∂v
∂t
= A(t, x)v + F (t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ [0, ω], v ∈ R
n, (7)
P2(x)v(0, x) + S2(x)v(T, x) = Φ(x), x ∈ [0, ω]. (8)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
Непрерывная функция v : Ω → R
n, имеющая на Ω непрерывную производную по t, называ-
ется решением краевой задачи (7), (8), если она удовлетворяет системе (7) и условию (8)
соответственно при всех (t, x) ∈ Ω, x ∈ [0, ω].
При фиксированных x ∈ [0, ω] задача (7), (8) является линейной двухточечной краевой
задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая различными метода-
ми была исследована многими авторами (см. [11]). При изменении переменной x на [0, ω]
получим семейство двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Определение 1. Краевая задача (1)–(3) называется корректно разрешимой, если для
любых f(t, x), ψ(t), ϕ(x) она имеет единственное классическое решение u(t, x) и справедливо
неравенство
max
(
max
(t,x)∈Ω
‖u(t, x)‖, max
(t,x)∈Ω
∥
∥
∥
∥
∂u(t, x)
∂x
∥
∥
∥
∥
, max
(t,x)∈Ω
∥
∥
∥
∥
∂u(t, x)
∂t
∥
∥
∥
∥
)
6
6 Kmax
(
max
(t,x)∈Ω
‖f(t, x)‖, max
t∈[0,T ]
‖ψ(t)‖, max
t∈[0,T ]
‖ψ̇(t)‖, max
x∈[0,ω]
‖ϕ(x)‖
)
,
где константа K не зависит от f(t, x), ψ(t), ϕ(x).
Определение 2. Задача (7), (8) называется корректно разрешимой, если для любых
F (t, x), Φ(x) она имеет единственное решение v(t, x) ∈ C(Ω,Rn) и для него справедлива
оценка
max
t∈[0,T ]
‖v(t, x)‖ 6 K(x)max
(
max
t∈[0,T ]
‖F (t, x)‖, ‖Φ(x)‖
)
,
где K(x) — непрерывная на [0, ω] функция, не зависящая от F (t, x), Φ(x).
В [10] была показана эквивалентность корректной разрешимости краевой задачи с дан-
ными на характеристиках для системы гиперболических уравнений (1)–(3) и корректной
разрешимости семейства двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (7), (8).
В настоящей работе устанавливаются признаки корректной разрешимости линейной не-
локальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений (1)–(3).
Возьмем шаг h > 0: Nh = T (N = 1, 2, . . .) и произведем разбиение [0, T ) × [0, ω] =
=
N
⋃
r=1
[(r − 1)h, rh) × [0, ω]. Пусть
Dνr(h, x) =
rh
∫
(r−1)h
A(τ1, x) dτ1 +
rh
∫
(r−1)h
A(τ1, x)
τ1
∫
(r−1)h
A(τ2, x) dτ2dτ1 + · · ·+
+
rh
∫
(r−1)h
A(τ1, x) · · ·
τν−1
∫
(r−1)h
A(τν , x) dτν · · · dτ1,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 9
Qν(h, x) =
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
hP2(x) 0 0 . . . 0 hS2(x)[I+DνN (h, x)]
I+Dν1(h, x) −I 0 . . . 0 0
0 I+Dν2(h, x) −I . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . I+DνN−1(h, x) −I
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
где I — единичная матрица размерности (n × n).
Так как (nN × nN)-матрица Qν(h, x) имеет специальную блочно-ленточную структуру,
то справедливы следующие леммы.
Лемма 1. (nN ×nN)-матрица Qν(h, x) при x ∈ [0, ω] обратима тогда и только тогда,
когда обратима (n × n)-матрица
Mν(x) = P2(x) + S2(x)
1
∏
s=N
[I +Dνs(h, x)].
Лемма 2. Если матрица Mν(x) обратима, то [Qν(h, x)]
−1 = {drj(x)}, r, j = 1, N , где
d11(x) = h−1M−1
ν (x),
d1k(x) =M−1
ν (x)S2(x)
k
∏
s=N
[I +Dνs(h, x)], 1 < k 6 N,
drr(x) = [I +Dν,r−1(h, x)]dr−1,r(x)− I, r = 2, 3, . . . , N,
drj(x) = [I +Dν,r−1(h, x)]dr−1,j(x), j 6= r.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Краевая задача (1)–(3) корректно разрешима тогда и только тогда, когда
для любого ν ∈ N найдется h(ν) > 0: Nh(ν) = T , N = 1, 2, . . ., матрица Qν(h, x) обратима
при всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства:
a) ‖[Qν(h, x)]
−1‖ 6 γν(h, x),
b) qν(h, x) = γν(h, x)max(h‖S2(x)‖, 1)
[
eα(x)h −
ν
∑
j=0
[α(x)h]j
j!
]
6 χ < 1,
где γν(h, x) — положительная, непрерывная по x ∈ [0, ω] функция, α(x) = max
t∈[0,T ]
‖A(t, x)‖,
χ = const.
Теорема 2. Краевая задача (1)–(3) корректно разрешима тогда и только тогда, когда
для любого h > 0: Nh = T , N = 1, 2, . . ., существует ν(h), при котором матрица Qν(h, x)
обратима при всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства a, b теоремы 1.
1. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
2. Самойленко А.М., Ткач Б.П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений
уравнений с частными производными. – Киев: Наук. думка, 1992. – 208 с.
3. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических
решений нелинейных гиперболических уравнений // Тр. МИРАН. – Москва, 1998. – Т. 222. – С. 1–191.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
4. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Однозначная разрешимость краевой задачи с данными на характе-
ристиках для систем гиперболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. – 2002. – 42,
№ 11. – С. 1673–1685.
5. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 10. – С. 1343–1354.
6. Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференци-
альных уравнений // Вестн. АН КазССР. – 1988. – № 1. – С. 48–52.
7. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50–66.
8. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Критерий корректной разрешимости краевой задачи для системы
гиперболических уравнений // Изв. НАН Республики Казахстан. Сер. физ.-мат. – 2002. – № 3. –
С. 20–26.
9. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений // Докл. АН. – 2003. – 391, № 3. – С. 295–297.
10. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем
гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 3. – С. 337–346.
11. Самойленко А.М., Pонто H.И. Численно-аналитические методы исследования pешений кpаевых за-
дач. – Киев: Hаук. думка, 1985. – 224 с.
Поступило в редакцию 02.09.2009Институт математики
МОН Республики Казахстан, Алматы
D. S. Dzhumabaev, A. T. Asanova
The criteria of correct solvability of a linear nonlocal boundary-value
problem for systems of hyperbolic equations
A linear nonlocal boundary-value problem with data on characteristics for systems of hyperbolic
equations of the second order is considered. The necessary and sufficient conditions of correct
solvability of the problem in the terms of initial data are established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29538 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:27:32Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джумабаев, Д.С. Асанова, А.Т. 2011-12-16T17:04:44Z 2011-12-16T17:04:44Z 2010 Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений / Д.С. Джумабаев, А.Т. Асанова // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29538 517.951 Дослiджено лiнiйну нелокальну крайову задачу з даними на характеристиках для систем гiперболiчних рiвнянь другого порядку. Встановлено необхiднi та достатнi умови коректної розв’язностi дослiдженої задачi в термiнах початкових даних. A linear nonlocal boundary-value problem with data on characteristics for systems of hyperbolic equations of the second order is considered. The necessary and sufficient conditions of correct solvability of the problem in the terms of initial data are established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений The criteria of correct solvability of a linear nonlocal boundary-value problem for systems of hyperbolic equations Article published earlier |
| spellingShingle | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений Джумабаев, Д.С. Асанова, А.Т. Математика |
| title | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| title_alt | The criteria of correct solvability of a linear nonlocal boundary-value problem for systems of hyperbolic equations |
| title_full | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| title_fullStr | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| title_full_unstemmed | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| title_short | Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| title_sort | признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи для систем гиперболических уравнений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29538 |
| work_keys_str_mv | AT džumabaevds priznakikorrektnoirazrešimostilineinoinelokalʹnoikraevoizadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenii AT asanovaat priznakikorrektnoirazrešimostilineinoinelokalʹnoikraevoizadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenii AT džumabaevds thecriteriaofcorrectsolvabilityofalinearnonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofhyperbolicequations AT asanovaat thecriteriaofcorrectsolvabilityofalinearnonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofhyperbolicequations |