Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана
Дослiджено багатовимiрну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi. Доведено формулу залежностi рiвняння вiльної границi вiд числа Рейнольдса. The many-dimensional Stefan problem for the liquid phase convection is investigated. The depen-dence of the free-boundary equation on t...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29539 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 30-34. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859671037177757696 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| citation_txt | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 30-34. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено багатовимiрну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi. Доведено формулу залежностi рiвняння вiльної границi вiд числа Рейнольдса.
The many-dimensional Stefan problem for the liquid phase convection is investigated. The depen-dence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:52:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Приближенный анализ многомерной конвективной
задачи Стефана
Дослiджено багатовимiрну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдин-
нiй фазi. Доведено формулу залежностi рiвняння вiльної границi вiд числа Рейнольдса.
1. Постановка задачи. Работа посвящена изучению процессов кристаллизации, когда
распространение тепла связано не только с теплопроводностью, но и с конвективным пере-
носом, реально присутствующим в жидкой фазе.
Пусть в пространстве R3 задана область Ω, граница которой состоит из двух замкнутых,
связных, гладких, непересекающихся поверхностей Γ+ и Γ− класса H4+α. Пусть далее Γt,
где t ∈ [0, T ], — гладкие поверхности, лежащие внутри Ω, и такие, что Γ+ лежит внутри
ограниченной области, границей которой является Γt, и Γt в момент времени t разбивает Ω
на две связные подобласти Ω+
t и Ω−
t . Двухфазная задача Стефана, при наличии конвектив-
ных движений в жидкой фазе, состоит в нахождении скорости жидкости ~V (x, t), давления
p(x, t), распределения температур u+(x, t) и u−(x, t) соответственно в жидкой и твердой
фазах и свободной поверхности Γt по следующим условиям:
∂u+(x, t)
∂t
+ (~V∇)u+(x, t)− a2+∇
2u+(x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ,
∂u−(x, t)
∂t
− a2−∇
2u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ D−
T ,
∂~V (x, t)
∂t
+ (~V∇)~V (x, t) +∇p(x, t) =
1
Re
∇2~V (x, t) + ~f(u+),
∇~V (x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T ,
u±(x, t)|t=0 = A±(x), u±(x, t)|x∈Γ+∪Γ− = B±(x, t),
~V (x, t)|t=0 = ~C(x), ~V (x, t)|x∈Γ+∪Γ− = 0,
u±(x, t)|x∈Γt = 0,
3∑
i=1
[
k−
∂u−
∂xi
− k+
∂u+
∂xi
]
cos(n, xi) + κ cos(n, t) = 0, x ∈ Γt,
(1)
где D±
T = {(x, t) : x ∈ Ω±
t , t ∈ (0, T )}, x = (x1, x2, x3), ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3), Ω±
t —
области жидкой и твердой фазы, на которые разбивает область Ω граница Γt, причем ∂Ω± =
= Γt
⋃
Γ±, ~n — нормаль к Γt, направленная в сторону Ω+
t . Предполагается, что
B±(x, t) ∈ H3+β, 3+β
2 (Γ± × [0, T ]), ~C(x) ∈ H2+α(Ω+
0 ), A±(x) ∈ H2+α(Ω+
0 ),
~f(u+) ∈ C2(R1), ±B±(x, t) > ε0 > 0, (x, t) ∈ Γ± × [0, T ],
(2)
где 0 < β < α, Ω±
0 — области, на которые разбивает Ω граница раздела фаз Γ0, а параметры
a±, k±, κ, Re, ε0 считаются положительными постоянными. Относительно функции ~f(u+)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
всегда можно считать, что ~f(1) = 0, так как общий случай сводится к указанному после
замены p(x, t) = p̃(x, t) + (~f(1), x), ~̃f(u) = ~f(u) − ~f(1).
2. Приближенное решение задачи (1). Для точек поверхности Γ0 введем коорди-
наты ω = (ω1, ω2). Через x(ω) ∈ Γ0 или через ω будем обозначать также соответствующие
точки в R3. Известно, что Γt = {x = x(ω) + ~n(ω) · ρ(ω, t)}, где ρ(ω, t) — функция класса
H2+α,(2+α)/2(Γ0 × [0, T ]), ρ(ω, 0) = 0, а ~n(ω) — нормаль к Γ0, направленная внутрь Ω+
0 [1].
Предложен метод решения задачи (1), состоящий в разложении решения в ряд по степеням
малых чисел Рейнольдса Re [2]:
u±(x, t; Re) = u±0 (x) +
∞∑
k=1
(Re)ku±k (x, t), p(x, t; Re) = p0(x) +
∞∑
k=1
(Re)kpk(x, t),
Vi(x, t; Re) = Vi0(x) +
∞∑
k=1
(Re)kVik(x, t), i = 1, 2, 3,
ρ(ω, t; Re) =
∞∑
k=1
(Re)kρk(ω, t).
(3)
Далее, если предположить выполненными следующие условия:
∇2A±(x) = 0, x ∈ Ω±
0 , A±(x)|Γ± = B±(x, 0), A±(x)|Γ0
= 0,
~C(x) = 0, x ∈ Ω±
0 , k−|∇A−(x)|Γ0
= k+|∇A+(x)|Γ0
, |∇A±(x)|Γ0
> ε̃ > 0,
(4)
то в качестве нулевого приближения можно взять функции A±(x), т. е. u±0 (x) = A±(x),
x ∈ Ω±. Причем из последнего условия (4), в предположении звездности поверхностей Γ±,
следует, что поверхность Γ0 принадлежит классу C∞, не имеет самопересечений и распо-
ложена относительно Γ+ и Γ− аналогично поверхности Γt в задаче (1) [1].
3. Построение первого приближения. Пусть D̃±
T = Ω±
0 ×(0, T ), Γ±
T = Γ±×[0, T ], Γ̃T =
= Γ0×[0, T ]. Тогда для первого приближения u±1 (x, t),
~V1(x, t) = (V11(x, t), V21(x, t), V31(x, t)),
ρ1(ω, t) из условий (1) и разложения (3) вытекает следующая задача:
∇p0(x) = ∇2~V1(x, t) + ~f(u+0 ), (x, t) ∈ D̃+
T , (5)
∇~V1(x, t) = 0, (x, t) ∈ D̃+
T ;
~V1(x, t)|Γ+
T
∪Γ̃T
= 0, ~V1(x, t)|t=0 = 0, (6)
∂u±1
∂t
(x, t)− a2±∇
2u±1 (x, t) = F±
1 (x, t), (x, t) ∈ D̃±
T , u±1 (x, t)|t=0 = 0, (7)
u±1 (x, t)|Γ±
T
= 0, [|∇u±0 (x(ω))|ρ1(ω, t) + u±1 (x, (ω), t)]|Γ0
= 0, (8)
k+
∂u+1 (x, t)
∂n
− k−
∂u−1 (x, t)
∂n
= κ
∂ρ1
∂t
, x ∈ Γ0, (9)
где F+
1 = −( ~V1(x, t)∇)u+0 (x) при (x, t) ∈ D̃+
T и F−
1 (x, t) = 0 при (x, t) ∈ D̃−
T . Задача (5), (6)
фактически изучена в [3, см. теорему 3], причем ~V1(x, t) ∈ H2+β,(2+β)/2(D̃+
T ), ∇p0(x) ∈
∈ Hβ,β/2(D̃+
T ). Тогда F±
1 (x, t) ∈ H1+β,(2+β)/2(D̃+
T ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 31
Предполагаются также выполненными условия согласования до первого порядка вклю-
чительно, которые вытекают как необходимые из предположения о существовании гладкого
решения и формулируются аналогично [2, с. 363]. В частности, достаточно предположить:
∇p0(x) = 0, x ∈ Γ0, (10)
так как [a2±∇
2u±1 (x, 0) + F±
1 (x, 0) + |∇u±0 (x)|ρ
′
1t(x, 0)]|Γ0
= 0.
Далее, при заданном ρ1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ) найдем функцию u±1 (x, t; ρ1) ∈
∈ H2+α,(2+α)/2(D̃±
T ) как единственное решение задачи (7), (8) [2, см. теорему 5.3]. Построим
затем оператор M1, который действует из H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ) в H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ), следующим
образом:
M1ρ1 =
1
k
t∫
0
(
k+
∂u+1
∂n
(x(ω), t; ρ1)− k−
∂u−1
∂n
(x(ω), t; ρ1)
)
dt, x(ω) ∈ Γ0.
Для решения u±1 (x, t; ρ1) справедливы оценки |u±1 |
(α+2)
D̃±
T
6 c(|F±
1 |α
D̃±
T
+ |ρ1|
(α+2)
Γ̃T
), где c —
некоторая постоянная [2, c. 364].
Рассмотрим функцию ρ̃1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ) и построим соответствующее решение
ũ±1 = u±1 (x, t; ρ̃1). Тогда получим
|u±1 − ũ±1 |
(α+2)
D̃±
T
6 c|ρ1 − ρ̃1|
(α+2)
Γ̃T
.
Отсюда с учетом того, что
M1ρ1 −M1ρ̃1 =
1
k
t∫
0
[
k+
∂(u+1 − ũ+1 )
∂n
− k−
∂(u−1 − ũ−1 )
∂n
]
dt,
следует, что
|M1ρ1 −M1ρ̃1|
(α+2)
Γ̃T
6 c̃|ρ1 − ρ̃1|
(α+2)
Γ̃T
,
где c̃ = c(k+ + k−)T/k.
Итак, оператор M1 сжимающий, если выполняется условие
c(k+ + k−)T
k
< 1. (11)
Это неравенство всегда выполнимо, например, при малых значениях T . Поэтому опера-
тор M1 имеет неподвижную точку в H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ), т. е. M1ρ1 = ρ1.
Лемма 1. Пусть выполнимо условие (11). Тогда оператор M1, действующий из
H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ) в H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ), имеет там неподвижную точку.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (2), (4) и (10) тогда существует единствен-
ное решение u±1 (x, t),
~V1(x, t), ρ1(ω, t) задачи (5)–(9), причем u±1 (x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(D̃T ),
~V1(x, t) ∈ H2+β,(2+β)/2(D̃+
T ) и ρ1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ).
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
4. Построение второго приближения. Рассмотрим второе приближение ~V2(x, t),
u±2 (x, t), ρ2(ω, t) задачи (1) для малых чисел Re. Имеем:
∇p1(x, t) = ∇2~V2(x, t) +
~f ′(u+0 )u
+
1 ,
~V2(x, t)|t=0 = 0;
∂u±2
∂t
− a2±∇
2u±2 = F±
2 (x, t) в D̃±
T , u±2 (x, t)|Γ±
T
= 0,
[∇u±0 (x(ω))ρ2(ω, t) + u±2 (x(ω), t)] = f±
1 (x, t), x ∈ Γ0, u±2 (x, t)|t=0 = 0,
k+
∂u+2
∂n
− k−
∂u−2
∂n
= k
∂ρ2
∂t
+ f2(x, t), x ∈ Γ0,
(12)
где
F+
2 (x, t) = −(~V1∇)u+1 − (~V2∇)u+0 при (x, t) ∈ D̃+
T ,
F−
2 (x, t) = 0 при (x, t) ∈ D̃−
T ,
f±
1 (x, t) = −
∂u±1
∂n
(x(ω), t)ρ1(ω, t)−
1
2
d2u±0 (x(ω) + τn(ω)ρ1(ω, t))
dτ2
∣∣∣∣
τ=0
, x ∈ Γ0.
Рассмотрим оператор M2:
M2ρ2 =
1
k
t∫
0
[
k+
∂u+2
∂n
(x(ω), t; ρ2)− k−
∂u−2
∂n
(x(ω), t; ρ2)− f2(x(ω), t)
]
dt, x(ω) ∈ Γ0.
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда оператор M2 имеет
в H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ) неподвижную точку.
Для задачи (12) условие согласования первого порядка выглядит следующим образом:
∇p1(x, 0) = 0, x(ω) ∈ Γ0. (13)
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть выполнено условие (13).
Тогда существует единственное решение задачи (12), причем u±2 (x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(D̃±
T ),
~V2(x, t) ∈ H2+β,(2+β)/2(D̃+
T ), ρ2(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ̃T ), ∇p1(x, t) ∈ Hβ,β/2(D̃+
T ).
5. О влиянии конвекции на фронт кристаллизации. Основной целью дальнейшего
исследования задачи (1) является изучение гидродинамических явлений в жидкой фазе.
Справедливо утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда при малых числах Рейнольдса
Re и достаточно малых значениях t справедлива формула
Γt : x = x(ω)− Re~n
u±1 (x(ω), t)
|∇A±(x(ω))|
− (Re)2~n
u±2 (x(ω), t)− f±
1 (x(ω), t)
|∇A±(x(ω))|
+ o((Re)2),
x(ω) ∈ Γ0,
(14)
где u±1 (x, t), u
±
2 (x, t) — решения задач (5)–(9) и (12) соответственно.
Последняя формула позволяет исследовать свободную поверхность Γt в зависимости
от чисел Рейнольдса и проследить, как конвекция влияет на процесс кристаллизации, что
проверить в лабораторных условиях практически невозможно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 33
1. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 756 с.
3. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной
свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1977. – 41, № 6. – С. 1388–1424.
Поступило в редакцию 30.10.2009Государственный университет информатики
и искусственного интеллекта, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko
Approximation analysis of the many-dimensional Stefan problem with
convection
The many-dimensional Stefan problem for the liquid phase convection is investigated. The depen-
dence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29539 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:52:51Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2011-12-16T17:12:32Z 2011-12-16T17:12:32Z 2010 Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 30-34. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29539 517.988 Дослiджено багатовимiрну задачу Стефана з урахуванням конвективних рухiв у рiдиннiй фазi. Доведено формулу залежностi рiвняння вiльної границi вiд числа Рейнольдса. The many-dimensional Stefan problem for the liquid phase convection is investigated. The depen-dence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана Approximation analysis of the many-dimensional Stefan problem with convection Article published earlier |
| spellingShingle | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика |
| title | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана |
| title_alt | Approximation analysis of the many-dimensional Stefan problem with convection |
| title_full | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана |
| title_fullStr | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана |
| title_full_unstemmed | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана |
| title_short | Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана |
| title_sort | приближенный анализ многомерной конвективной задачи стефана |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29539 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai približennyianalizmnogomernoikonvektivnoizadačistefana AT minenkoas približennyianalizmnogomernoikonvektivnoizadačistefana AT ševčenkoai approximationanalysisofthemanydimensionalstefanproblemwithconvection AT minenkoas approximationanalysisofthemanydimensionalstefanproblemwithconvection |