Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням
Запропоновано iтерацiйнi алгоритми для розв’язання задач векторної оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем з узагальненим керуванням та доведено збiжнiсть алгоритмiв iз похибками в iтерацiйних пiдзадачах до множини керувань, що задовольняють необхiднi умови ефективностi. Iterative algorithms for so...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29540 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням / С. I. Ляшко, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 35-41. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860132403449692160 |
|---|---|
| author | Ляшко, С.І. Семенов, В.В. |
| author_facet | Ляшко, С.І. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням / С. I. Ляшко, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 35-41. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано iтерацiйнi алгоритми для розв’язання задач векторної оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем з узагальненим керуванням та доведено збiжнiсть алгоритмiв iз похибками в iтерацiйних пiдзадачах до множини керувань, що задовольняють необхiднi умови ефективностi.
Iterative algorithms for solving the problems of vector optimization of linear distributed systems with a generalized control are offered. Convergence of algorithms with errors in iterative subproblems to the set of controls which satisfy the necessary conditions of efficiency is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:45:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2010
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2010
Член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко, В. В. Семенов
Алгоритми векторної оптимiзацiї лiнiйних систем
з узагальненим керуванням
Запропоновано iтерацiйнi алгоритми для розв’язання задач векторної оптимiзацiї лi-
нiйних розподiлених систем з узагальненим керуванням та доведено збiжнiсть алгори-
тмiв iз похибками в iтерацiйних пiдзадачах до множини керувань, що задовольняють
необхiднi умови ефективностi.
Теорiя задач векторної (багатокритерiальної) оптимiзацiї є одним iз тих роздiлiв теорiї екс-
тремальних задач, який iнтенсивно розвивається в останнi десятилiття [1–4]. Дослiдженню
проблем векторної оптимiзацiї та пошуку ефективних методiв їх розв’язання присвячено
надзвичайно багато лiтератури.
Мета роботи — повiдомити результати останнiх наших дослiджень необхiдних умов опти-
мальностi та побудови збiжних алгоритмiв для задач векторного оптимального керування
лiнiйними розподiленими системами з узагальненими впливами.
Постановка задачi. Нехай W1, W2, H1, H2 i H — п’ять просторiв Гiльберта над по-
лем R. Позначимо вiдповiдно через ‖ · ‖W1
, ‖ · ‖W2
, ‖ · ‖H1
, ‖ · ‖H2
, ‖ · ‖H норми в W1, W2, H1,
H2 i H, а через (·, ·)W1
, (·, ·)W2
, (·, ·)H1
, (·, ·)H2
, (·, ·)H — вiдповiднi скалярнi добутки. Нехай:
вкладення Wi в Hi, Hi в H неперервнi та щiльнi;
простiр Hi промiжний1 мiж Wi i H, i = 1, 2.
Ототожнимо простiр H зi спряженим до нього простором. Нехай W−
1 , W−
2 , H−
1 i H−
2 —
простори, спряженi вiдповiдно до W1, W2, H1 i H2. Тодi H можна ототожнити з деякими
пiдпросторами в W−
1 , W−
2 , H−
1 i H−
2 . Приходимо до двох ланцюжкiв гiльбертових оснащень
W1 ⊆ H1 ⊆ H ⊆ H−
1 ⊆ W−
1 , W2 ⊆ H2 ⊆ H ⊆ H−
2 ⊆ W−
2 , причому кожен простiр щiльний
в наступному i вкладення неперервнi.
1Тобто комутативною є така дiаграма (стрiлочки суть оператори вкладень) [5, с. 21]:
Wi = Wi
↓ ↓
Hi → H
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 35
Нехай функцiонування системи описується вiдомим нам лiнiйним та неперервним опе-
ратором L ∈ L(W1,W
−
2 ); заданi: простiр керувань — гiльбертiв простiр V , ототожнений зi
своїм спряженим, i вiдображення (нелiнiйне) F : V → W−
2 .
Через L+ позначимо H-спряжений до L оператор, тобто L+ ∈ L(W2,W
−
1 ) i
〈Ly, p〉W−
2
,W2
= 〈y,L+p〉W1,W
−
1
для y ∈ W1, p ∈ W2.
Для кожного керування u ∈ V стан y = y(u) системи визначається як узагальнений
розв’язок операторного рiвняння
Ly = F (u), (1)
тобто y ∈ H1 — елемент, що задовольняє тотожнiсть 〈y,L+p〉H1,H
−
1
= 〈F (u), p〉W−
2
,W2
, ∀ p ∈
∈ W2 : L
+p ∈ H−
1 .
Припустимо, що виконуються апрiорнi оцiнки
‖y‖H1
6 c‖Ly‖W−
2
, ∀ y ∈ W1, (2)
‖p‖H2
6 c‖L+p‖W−
1
, ∀ p ∈ W2. (3)
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Якщо справджуються апрiорнi оцiнки (2), (3), то для довiльного f ∈ H−
2
iснує єдиний розв’язок y ∈ W1 операторного рiвняння
Ly = f, (4)
а для довiльного f ∈ W−
2 iснує єдиний узагальнений розв’язок y ∈ H1 рiвняння (4). При
цьому лiнiйне вiдображення f 7→ y неперервне у вiдповiдних топологiях.
Зауваження 1. Аналогiчний факт має мiсце i для спряженого рiвняння L+p = g. Дове-
дення апрiорних оцiнок вигляду (2), (3) для багатьох класiв диференцiальних операторiв
наведенi в роботах [5, 6].
Згiдно з теоремою 1 рiвняння (1)б однозначно визначає стан системи y(u).
Нехай кожному керуванню u ∈ V вiдповiдає значення векторного критерiю якостi
J(u) = Φ(y(u), u), де Φ: H1 × V → R
m.
Припустимо, що в просторi Rm задано гострий замкнений опуклий конус K з непоро-
жньою внутрiшнiстю, тобто множина, що задовольняє такi умови:
−K
⋂
K = {0}, λK ⊆ K (λ > 0), K +K ⊆ K, clK = K, intK 6= ∅.
Позначимо K∗ = {k∗ ∈ R
m : (k∗, k)Rm > 0 ∀ ∈ K} — невiд’ємний спряжений до K конус,
причому intK∗ 6= ∅ завдяки гостротi конуса [7, c. 132].
Нехай у просторi V задано множину допустимих керувань U ⊆ V .
Задача полягає у пошуку допустимих керувань u ∈ U таких, що
J(v) /∈ J(u)− (K \ {0}), ∀ v ∈ U. (5)
Допустимi керування, що задовольняють (5), називаємо ефективними, або оптимальни-
ми за Парето [4], а множину таких керувань позначимо EK(U). Якщо у формулi (5) замiсть
множини U поставити перетин U
⋂
O(u), де O(u) — деякий окiл точки u, то допустиме
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
керування u будемо називати локально ефективним, а множину таких керувань позначимо
locEK(U).
Задачу знаходження елементiв EK(U) позначатимемо таким чином:
J(u) → K −min, (6)
Ly = F (u), u ∈ U. (7)
Теореми iснування ефективних розв’язкiв задачi (6), (7) див. в [8].
Теореми гладкостi та умови ефективностi. Розглянемо систему, що описується
рiвнянням (7). Мають мiсце такi теореми.
Теорема 2. Нехай:
1) оператор F : V → W−
2 має в точцi u ∈ V похiдну Фреше F ′(u) ∈ L(V,W−
2 );
2) оператор Φ = (Φ(1), . . . ,Φ(m)) : H1 × V → R
m має в точцi (y(u), u) ∈ H1 × V похiдну
Фреше, i вiдповiднi частиннi похiднi мають вигляд
Φ′
1(y(u), u) = (D1Φ
(1)(y(u), u), . . . ,D1Φ
(m)(y(u), u)) ∈ (H−
1 )m,
Φ′
2(y(u), u) = (D2Φ
(1)(y(u), u), . . . ,D2Φ
(m)(y(u), u)) ∈ V m.
Тодi вiдображення J = (J (1), . . . , J (m)) : V → R
m диференцiйовне за Фреше в u ∈ V ,
i його похiдна обчислюється за формулою
J ′(u)(h) =
(DJ (1)(u), h)V
. . . . . . . . . . .
(DJ (m)(u), h)V
=
((F ′(u))∗p1 +D2Φ
(1)(y(u), u), h)V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
((F ′(u))∗pm +D2Φ
(m)(y(u), u), h)V
, ∀h ∈ V,
де pi ∈ W2 — розв’язок операторного рiвняння L+pi = D1Φ
(i)(y(u)u), i = 1,m.
Теорема 3. Нехай на обмеженiй опуклiй множинi U ⊆ V оператор u 7→ F ′(u) задоволь-
няє умову Гельдера з показником γ ∈ (0, 1]; оператори (y, u) 7→ Φ′
1(y, u) i (y, u) 7→ Φ′
2(y, u)
задовольняють на обмежених пiдмножинах простору H1×V умову Гельдера з показником
γ ∈ (0, 1]. Тодi похiдна Фреше J ′(·) задовольняє на множинi U умову Гельдера з показни-
ком γ.
Далi будемо вважати, що множина допустимих керувань U ⊆ V опукла, компактна i на
нiй виконуються умови теорем 2, 3.
Має мiсце
Теорема 4. Нехай U — опукла пiдмножина V i u ∈ locEK(U). Тодi
∀v ∈ U :
((F ′(u))∗p1 +D2Φ
(1)(y, u), v − u)V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
((F ′(u))∗pm +D2Φ
(m)(y, u), v − h)V
/∈ − intK, (8)
де pi ∈ W2 : L
+pi = D1Φ
(i)(y, u), i = 1,m.
Скаляризуємо необхiдну умову ефективностi (8). Отриману скалярну умову викорис-
таємо для побудови алгоритмiв розв’язання задачi керування (6), (7).
Розглянемо компакт B ⊆ R
m такий, що не мiстить нуль i K∗ = con(convB). Якщо K =
= K∗ = R
m
+ , то можна покласти B = {e1, e2, . . . , em}, де e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 37
. . . , em = (0, 0, . . . , 0, 1). В загальному випадку покладемо, наприклад, B = K∗⋂{k ∈
∈ R
m : ‖k‖Rm = 1}. Конуси K та intK можна подати так:
K = {x ∈ R
m : (x, x′)Rm > 0 ∀x′ ∈ B}, intK = {x ∈ R
m : (x, x′)Rm > 0 ∀x′ ∈ B}.
Розглянемо опорну функцiю множини B:
σB(x) = max
x′∈B
(x, x′)Rm , ∀x ∈ R
m. (9)
З (9) випливає додатна однорiднiсть, напiвадитивнiсть та лiпшицевiсть функцiї σB . З ком-
пактностi та породжуючої властивостi множини B випливають потрiбнi нам представлення:
−K = {x ∈ R
m : σB(x) 6 0}, − intK = {x ∈ R
m : σB(x) < 0}.
Цi представлення конусiв −K та − intK дозволяють переформулювати теорему 4 у та-
кий спосiб.
Теорема 5. Нехай U — опукла пiдмножина V i u ∈ locEK(U). Тодi
∀ v ∈ U : σB
((F ′(u))∗p1 +D2Φ
(1)(y, u), v − u)V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
((F ′(u))∗pm +D2Φ
(m)(y, u), v − u)V
> 0, (10)
де pi ∈ W2 : L
+pi = D1Φ
(i)(y, u), i = 1,m.
Зауваження 2. Якщо x−y ∈ K (x−y ∈ intK), то σB(x) > σB(y) (σB(x) > σB(y)). Дiйсно,
маємо σB(y−x) 6 0 (σB(y−x) < 0). Але σB(x)+σB(y−x) > σB(y), звiдки випливає бажане.
Зауваження 3. Розглянемо деяку множину X i вiдображення X
J
→ R
m. Задачу пошуку
точок x ∈ X таких, що J(X)
⋂
(J(x)− intK) = ∅, можна переформулювати у виглядi:
знайти x ∈ X : g(x, x) > 0 ∀x ∈ X, (11)
де g(x1, x2) = σB(J(x2)− J(x1)). Задача (11) суть загальна задача рiвноважного програму-
вання. Отже, популярна зараз “рiвноважна” алгоритмiка [9] може бути використана для по-
будови методiв розв’язання задачi (6), (7). Вiдзначимо, що формулювання, подiбне до (11),
було використано в [10] для отримання умов оптимальностi другого порядку в абстрактних
задачах векторної оптимiзацiї.
Аналог методу лiнеаризацiї. Нехай f : X → R i ε > 0. Записом
f(x) → ε− inf
x∈X
будемо позначати задачу пошуку точок x′ ∈ X таких, що f(x′) 6 inf
x∈X
f(x) + ε.
Застосувавши до (10) евристичнi мiркування, що у скалярному випадку привели до
методу лiнеаризацiї, i зробивши припущення про неточний характер обчислень, отримуємо
таку iтерацiйну процедуру.
Алгоритм 1.
1. Обираємо початкове наближення u0 ∈ U , n := 0.
2. Знаходимо ỹn ∈ H : ‖ỹn − yn‖H1
6 δ′n, де yn ∈ H — узагальнений розв’язок рiвняння
Lyn = F (un).
3. Знаходимо ~̃pn = (p̃1n, p̃
2
n, . . . , p̃
m
n ) ∈ (W+)
m: ‖p̃kn − p̂kn‖W+
6 δ′′n, k = 1,m, де p̂kn ∈ W+ —
розв’язки рiвнянь L+p̂kn = D1Φ
(k)(ỹn, un) k = 1,m.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
4. Знаходимо un ∈ U — розв’язок екстремальної задачi:
σB ◦ ((F ′(un))
∗~̃pn +Φ′
2(ỹn, un))(u− un) → εn − inf
u∈U
.
5. Покладаємо un+1 = un + ρn(un − un), (ρn ∈ (0, 1]), n := n+ 1, переходимо на крок 2.
Зауваження 4. Iдея побудови алгоритмiв типу розглянутого була вперше висунута в ро-
ботi [11]. В цитованiй статтi розглядалася задача
f(x) → R
m
+ −min, x ∈ R
n, (12)
де f = (f1, . . . , fm) : Rn → R
m — диференцiйовне вiдображення з похiдною f ′, що задоволь-
няє умову Лiпшица. Для розв’язання (12) автори запропонували метод вигляду
xn+1 = xn + ρn(xn − xn), (13)
xn = argmin
{
max
k∈{1,...,m}
(grad fk(xn), x− xn) +
1
2
‖x− xn‖
2
Rn
}
, (14)
де величина кроку ρn обирається за правилом Армiхо [12]. В алгоритмi з [11] множина B
має вигляд {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}.
Позначимо через U∗ множину керувань, що задовольняють необхiдну умову ефектив-
ностi (10). Має мiсце наступна теорема про збiжнiсть алгоритму 1.
Теорема 6. Нехай ρn ∈ (0, 1], ρn → 0,
+∞∑
n=0
ρn = +∞, εn → +0, δ′n → +0, δ′′n → +0;
функцiонал σB ◦ J набуває на множинi U∗ не бiльш нiж злiченну кiлькiсть значень. Тодi
всi граничнi точки послiдовностi (un) утворюють компактну зв’язну пiдмножину в U∗,
а числова послiдовнiсть (σB(J(un))) має границю.
Метод з довiрчою областю. Зафiксуємо двi числовi послiдовностi (αn) i (βn) такi,
що 0 < αn 6 βn (n ∈ N), та послiдовнiсть замкнених опуклих множин Mn ⊆ V простої
структури таку, що {v ∈ V : ‖v‖V 6 αn} ⊆ Mn ⊆ {v ∈ V : ‖v‖V 6 βn}.
Для розв’язання задачi (6), (7) пропонуємо такий метод.
Алгоритм 2.
1. Обираємо початкове наближення u0 ∈ U , n := 0.
2. Знаходимо yn ∈ H — узагальнений розв’язок рiвняння Lyn = F (un).
3. Знаходимо спряженi стани ~pn = (p1n, p
2
n, . . . , p
m
n ) ∈ (W+)
m: L+pkn = D1Φ
(k)(yn, un)
k = 1,m.
4. Знаходимо un ∈ U — розв’язок екстремальної задачi:
σB ◦ ((F ′(un))
∗~pn +Φ′
2(yn, un))(u− un) → εn − inf
u∈U∩(un+Mn)
.
5. Покладаємо un+1 = un, n := n + 1, переходимо на крок 2.
Зауваження 5. Алгоритм 2 можна вiднести до родини так званих методiв з довiрчою
областю (Trust-Region Method) [12].
Вiдносно послiдовностi (un), що породжена алгоритмом 2, справджується наступний
факт.
Теорема 7. Нехай εn > 0, kαn > βn > αn > 0,
∞∑
n=0
αn = +∞,
β1+γ
n
αn
→ 0,
εn
αn
→ 0; мно-
жина (σB ◦J)(U∗) нiде не щiльна. Тодi всi граничнi точки послiдовностi (un) утворюють
компактну зв’язну пiдмножину в U∗, а послiдовнiсть ((σB ◦ J)(un)) має границю.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 39
Аналог послiдовно-квадратичного методу. Розглянемо ще один iтерацiйний алго-
ритм розв’язання задачi (6), (7).
Алгоритм 3.
1. Обираємо початкове наближення u0 ∈ U , n := 0.
2. Знаходимо yn ∈ H — узагальнений розв’язок рiвняння Lyn = F (un).
3. Знаходимо спряженi стани ~pn = (p1n, p
2
n, . . . , p
m
n ) ∈ (W+)
m: L+pkn = D1Φ
(k)(yn, un)
k = 1,m.
4. Знаходимо un ∈ U — розв’язок екстремальної задачi:
σB ◦ ((F ′(un))
∗~pn +Φ′
2(yn, un))(u− un) +
1
2αn
‖u− un‖
2
V → εn − inf
u∈U
.
5. Покладаємо un+1 = un + ρn(un − un), (ρn ∈ (0, 1]), n := n+ 1, переходимо на крок 2.
Має мiсце теорема.
Теорема 8. Нехай ρn ∈ [ρ, ρ] ⊆ (0, 1), αn → 0,
∞∑
n=0
αn = +∞, εn > 0,
εn
αn
→ 0. Якщо
функцiонал σB ◦J набуває на множинi U∗ не бiльш нiж злiченну кiлькiсть значень, то всi
граничнi точки послiдовностi (un), що породжена алгоритмом 3, утворюють компактну
зв’язну пiдмножину в U∗, а послiдовнiсть чисел σB(J(un)) має границю.
Заключнi зауваження. Вiдзначимо, що запропонованi методи мають один недолiк:
на кожному iтерацiйному кроцi слiд розв’язувати негладку задачу кусково-лiнiйної або ку-
сково-квадратичної оптимiзацiї.
У розглянутих методах не використовується операцiя лiнiйного згортування векторно-
го критерiю. Тобто ми не робимо жодних апрiорних припущень про вiдносну важливiсть
частинних критерiїв.
Зрозумiло, що, використовуючи опорну функцiю σB , можна побудувати “багатокрите-
рiальний” варiант методу Ньютона. А саме, слiд будувати послiдовнiсть керувань
un+1 = un + ρn(un − un),
un ∈ argmin
{
σB
(
J ′(un)(u− un) +
1
2
J ′′(un)(u− un, u− un)
)}
,
де величина кроку ρn ∈ [0, 1] обирається за одним з вiдомих правил.
1. Dauer J. P., Stadler W. A Survey of vector optimization in infinite-dimensional spaces, Part 2 // J. of
Optimization Theory and Applications. – 1986. – 51, No 2. – P. 205–241.
2. Гороховик В. В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. – Минск: Навука i тэхнiка,
1990. – 238 с.
3. Gopfert A., Tammer Chr., Riahi H., Zalinesku C. Variational methods in partially ordered spaces. – New
York; Berlin; Heidelberg: Springer, 2003. – 350 p.
4. Подиновский В. В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач: 2-е изд.,
испр. и доп. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 256 с.
5. Ляшко С.И., Номировский Д.А., Петунин Ю.И., Семенов В.В. Двадцатая проблема Гильберта.
Обобщенные решения операторных уравнений. – Москва: ООО “И.Д. Вильямс”, 2009. – 192 c.
6. Lyashko S. I., Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. – Boston; Dord-
recht; London: Kluwer Acad. Publ., 2002. – 466 p.
7. Чарин В.С. Линейные преобразования и выпуклые множества. – Киев: Вища шк., 1978. – 192 с.
8. Семенов В.В. Задача векторной оптимизации линейных распределенных систем с сингулярным уп-
равлением // Доп. НАН України. – 2004. – № 10. – С. 74–80.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
9. Антипин А.С. Градиентный и экстраградиентный подходы в билинейном равновесном программи-
ровании. – Москва: ВЦ РАН, 2002. – 130 c.
10. Gorokhovik V.V. Second order optimality conditions for vector optimization problems with geometric
constraints. – Диф. уравнения и топология: Междунар. конф., посв. 100-летию со дня рождения Л.С.
Понтрягина: Тез. докл. – Москва: Изд. отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС
Пресс, 2008. – С. 250–251.
11. Fliege J., Svatier B.F. Steepest descent methods for multicriteria optimization // Math. Methods of
Operations Research. – 2000. – 51, iss. 3. – P. 479–494.
12. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. –
304 с.
Надiйшло до редакцiї 17.09.2009Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Corresponding Member of the NAS of Ukraine S. I. Lyashko, V.V. Semenov
Algorithms for vector optimization of linear systems with a generalized
control
Iterative algorithms for solving the problems of vector optimization of linear distributed systems with
a generalized control are offered. Convergence of algorithms with errors in iterative subproblems to
the set of controls which satisfy the necessary conditions of efficiency is proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29540 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:45:23Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ляшко, С.І. Семенов, В.В. 2011-12-16T17:13:31Z 2011-12-16T17:13:31Z 2010 Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням / С. I. Ляшко, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 35-41. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29540 519.6 Запропоновано iтерацiйнi алгоритми для розв’язання задач векторної оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем з узагальненим керуванням та доведено збiжнiсть алгоритмiв iз похибками в iтерацiйних пiдзадачах до множини керувань, що задовольняють необхiднi умови ефективностi. Iterative algorithms for solving the problems of vector optimization of linear distributed systems with a generalized control are offered. Convergence of algorithms with errors in iterative subproblems to the set of controls which satisfy the necessary conditions of efficiency is proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням Algorithms for vector optimization of linear systems with a generalized control Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням Ляшко, С.І. Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| title_alt | Algorithms for vector optimization of linear systems with a generalized control |
| title_full | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| title_fullStr | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| title_full_unstemmed | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| title_short | Алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| title_sort | алгоритми векторної оптимізації лінійних систем з узагальненим керуванням |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29540 |
| work_keys_str_mv | AT lâškosí algoritmivektornoíoptimízacíílíníinihsistemzuzagalʹnenimkeruvannâm AT semenovvv algoritmivektornoíoptimízacíílíníinihsistemzuzagalʹnenimkeruvannâm AT lâškosí algorithmsforvectoroptimizationoflinearsystemswithageneralizedcontrol AT semenovvv algorithmsforvectoroptimizationoflinearsystemswithageneralizedcontrol |