Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0
Методом дельта-подiбної послiдовностi (ядро Дiрiхле) запроваджено iнтегральне перетворення, породжене на полярнiй осi r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гiбридним диференцiальним оператором Бесселя–Фур’є–Ейлера. By the method of delta-like sequence (Dirichlet kernel), an integral transformation...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29551 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 / О.М. Нiкiтiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246356496482304 |
|---|---|
| author | Нікітіна, О.М. |
| author_facet | Нікітіна, О.М. |
| citation_txt | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 / О.М. Нiкiтiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Методом дельта-подiбної послiдовностi (ядро Дiрiхле) запроваджено iнтегральне перетворення, породжене на полярнiй осi r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гiбридним диференцiальним оператором Бесселя–Фур’є–Ейлера.
By the method of delta-like sequence (Dirichlet kernel), an integral transformation generated on the polar axis r ≥ R0 > 0 with two conjugate points by the Bessel–Fourier–Euler hybrid differential operator is introduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:36:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.91:532.2
© 2010
О.М. Нiкiтiна
Запровадження гiбридного iнтегрального перетворення
Бесселя–Фур’є–Ейлера на полярнiй осi r > R0 > 0
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Методом дельта-подiбної послiдовностi (ядро Дiрiхле) запроваджено iнтегральне пере-
творення, породжене на полярнiй осi r > R0 > 0 з двома точками спряження гiбридним
диференцiальним оператором Бесселя–Фур’є–Ейлера.
Вивчення фiзико-технiчних характеристик композитних матерiалiв, якi знаходяться в рiз-
них умовах експлуатацiї, математично приводить до задачi iнтегрування сепаратної сис-
теми диференцiальних рiвнянь другого порядку на кусково-однорiдному iнтервалi. Одним
з ефективних методiв одержання iнтегрального зображення аналiтичного розв’язку таких
задач є метод гiбридних iнтегральних перетворень (ГIП), започаткованих у роботi [1]. Осно-
ви теорiї ГIП знаходимо в роботi [2]. У даному повiдомленнi запроваджується один з ти-
пiв ГIП.
Запровадимо методом дельта-подiбної послiдовностi iнтегральне перетворення, поро-
джене на множинi
I+2 =
{
r : r ∈ (R0, R1)
⋃
(R1, R2)
⋃
(R2,∞);R0 > 0
}
гiбридним диференцiальним оператором (ГДО)
Mν,(α) = θ(r −R0)θ(R1 − r)a21Bν,α1
+ θ(r −R1)θ(R2 − r)a22
d2
dr2
+ θ(r −R2)a
2
3B
∗
α2
, (1)
θ(x) — одинична функцiя Хевiсайда [3]; aj > 0, (α) = (α1, α2), j = 1, 3.
У рiвностi (1) беруть участь диференцiальнi оператори Бесселя Bν,α1
[4], Ейлера B∗
α2
[5]
та Фур’є d2/dr2 [5]:
Bν,α1
=
d2
dr2
+
2α1 + 1
r
d
dr
−
ν2 − α2
1
r2
, B∗
α2
= r2
d2
dr2
+ (2α2 + 1)r
d
dr
+ α2
2, ν > α1.
Означення. За область визначення ГДО Mν,(α) приймемо множину G вектор-функцiй
g(r) = {g1(r); g2(r); g3(r)} з такими властивостями:
1) вектор-функцiя f(r) = {Bν,α1
[g1(r)]; g
′′
2 (r);B
∗
α2
[g3(r)]} неперервна на множинi I+2 ;
2) функцiї gj(r) задовольняють крайовi умови
(
α0
11
d
dr
+ β0
11
)
g1(r)
∣∣∣
r=R0
= 0, lim
r→∞
[rγg3(r)] = 0; (2)
3) функцiї gj(r) задовольняють умови спряження
[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
gk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
gk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= 0, j, k = 1, 2. (3)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
Вважаємо, що виконанi умови на коефiцiєнти: aj > 0, α0
11 6 0, β0
11 > 0, |α0
11| + β0
11 6= 0,
αk
jm > 0, βk
jm > 0, c1kc2k > 0, cjk = αk
2jβ
k
1j − αk
1jβ
k
2j , 2αj + 1 > 0.
Визначимо числа
σ1 =
c11c12R
2α2+1
2
c21c22R
2α1+1
1
1
a21
, σ2 =
c12
c22
R2α2+1
2
a22
, σ3 =
1
a23
,
вагову функцiю
σ(r) = θ(r −R0)θ(R1 − r)σ1r
2α1+1 + θ(r −R1)θ(R2 − r)σ2 + θ(r −R2)σ3r
2α2−1
i скалярний добуток
(u(r), v(r)) =
∞∫
R0
u(r)v(r)σ(r) dr ≡
R1∫
R0
u1(r)v1(r)σ1r
2α1+1dr +
R2∫
R1
u2(r)v2(r)σ2dr +
+
∞∫
R2
u3(r)v3(r)σ3r
2α2−1dr, u ∈ G, v ∈ G. (4)
Для u ∈ G та v ∈ G з умов спряження (3) випливає базова тотожнiсть
[uk(r)v
′
k(r)− vk(r)u
′
k(r)]
∣∣∣
r=Rk
=
c2k
c1k
[uk+1(r)v
′
k+1(r)− u′k+1(r)vk+1(r)]
∣∣∣
r=Rk
. (5)
На основi базової тотожностi (5), властивостей функцiй u ∈ G та v ∈ G й структури σ1,
σ2, σ3 встановлюємо рiвнiсть
(Mν,(α)[u], v) = (u,Mν,(α)[v]). (6)
Рiвнiсть (6) означає, що ГДО Mν,(α) самоспряжений. Отже, його спектр дiйсний [6].
Оскiльки ГДО Mν,(α) має на множинi I+2 одну особливу точку r = ∞, то його спектр
неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр β ∈ (0,∞) i йому вiдповiдає
спектральна вектор-функцiя
Vν,(α)(r, β) =
2∑
j=1
θ(r −Rj−1)θ(Rj − r)Vν,(α);j(r, β) + θ(r −R2)Vν,(α);3(r, β). (7)
Функцiї Vν,(α);j(r, β) знайдемо як обмежений на множинi I+2 розв’язок сепаратної систе-
ми диференцiальних рiвнянь Бесселя, Фур’є та Ейлера
(Bν,α1
+ b21)Vν,(α);1(r, β) = 0, r ∈ (R0, R1),
(
d2
dr2 + b22
)
Vν,(α);2(r, β) = 0, r ∈ (R1, R2),
(B∗
α2
+ b23)Vν,(α);3(r, β) = 0, r ∈ (R2,∞)
(8)
за однорiдною крайовою умовою в точцi r = R0 та умовами спряження (3); b2j = (β2 + k2j ),
k2j > 0, j = 1, 3.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 13
Фундаментальну систему розв’язкiв для диференцiального рiвняння Бесселя (Bν,α1
+
+ b21)v = 0 утворюють функцiї Бесселя першого роду Jν,α1
(b1r) та Nν,α1
(b1r) [4]; фунда-
ментальну систему розв’язкiв для диференцiального рiвняння Фур’є (d2/dr2 + b22)v = 0
утворюють тригонометричнi функцiї v1 = cos b2r та v2 = sin b2r [5]; фундаментальну систе-
му розв’язкiв для диференцiального рiвняння Ейлера (B∗
α2
+ b23)v = 0 утворюють функцiї
v1 = r−α2 cos(b3 ln r) та v2 = r−α2 sin(b3 ln r) [5].
Якщо покласти
Vν,(α);1(r, β) = A1Jν,α1
(b1r) +B1Nν,α1
(b1r), r ∈ (R0, R1),
Vν,(α);2(r, β) = A2 cos b2r +B2 sin b2r, r ∈ (R1, R2),
Vν,(α);3(r, β) = A3r
−α2 cos(b3 ln r) +B3r
−α2 sin(b3 ln r), r ∈ (R2,∞),
(9)
то крайова умова в точцi r = R0 та умови спряження (3) для визначення шести величин Aj ,
Bj (j = 1, 3) дають алгебраїчну систему з п’яти рiвнянь:
u01ν,α1;11(b1R0)A1 + u02ν,α1;11(b1R0)B1 = 0,
u11ν,α1;j1(b1R1)A1 + u12ν,α1;j1(b1R1)B1 − v11j2(b2R1)A2 − v12j2(b2R1)B2 = 0, j = 1, 2,
v21j1(b2R2)A2 + v22j1(b2R2)B2 − Y 21
α2;j2(b3, R2)A3 − Y 22
α2;j2(b3, R2)B3 = 0.
(10)
Алгебраїчна система (10) сумiсна. Якщо взяти A1 = −A0u
02
ν,α1;11(b1R0), B1 =
= A0u
01
ν,α1;11(b1R0), де A0 пiдлягає вибору, то перше рiвняння системи (10) стає тотожнiстю,
а решта рiвнянь утворюють двi послiдовно незалежнi алгебраїчнi системи по два рiвняння
в кожнiй.
У системi (10) беруть участь такi функцiї:
um1
ν,α1;j1(b1Rm) =
(
αm
j1
ν − α1
Rm
+ βm
j1
)
Jν,α1
(b1Rm)− αm
j1b
2
1RmJν+1,α1+1(b1Rm), m = 0, 1,
um2
ν,α1;j1(b1Rm) =
(
αm
j1
ν − α1
Rm
+ βm
j1
)
Nν,α1
(b1Rm)− αm
j1b
2
1RmNν+1,α1+1(b1Rm),
j, k, i = 1, 2,
vi1jk(b2Rm) = −αi
jkb2 sin b2Ri + βi
jk cos b2Ri; v
i2
jk(b2Rm) = αi
jkb2 cos b2Ri + βi
jk sin b2Ri,
Y 21
α2;j2(b3, Rm) = [(β2
j2 − α2R
−1
2 α2
j2) cos(b2 lnR2)− α2
j2b3R
−1
2 sin(b2 lnR2)]R
−α2
2 ,
Y 22
α2;j2(b3, R2) = [(β2
j2 − α2R
−1
2 α2
j2) sin(b2 lnR2) + α2
j2b3R
−1
2 cos(b2 lnR2)]R
−α2
2 , i = 1, 2.
У результатi розв’язання алгебраїчної системи (10) за стандартною схемою [7] й пiдста-
новки отриманих значень Aj, Bj у рiвностi (9) маємо функцiї
Vν,(α);1(r, β) =
c21c22b2b3
R2α2+1
2
[u01ν,α1;11(b1R0)Nν,α1
(b1r)− u02ν,α1;11(b1R0)Jν,α1
(b1r)],
Vν,(α);2(r, β) =
c22b3
R2α2+1
2
[δν,α1;11(b1R0, b1R1)ϕ
1
22(b2R1, b2r)−
− δν,α1;21(b1R0, b1R1)ϕ
1
12(b2R1, b2r)],
Vν,(α);3(r, β) = ων,(α);2(β)r
−α2 cos(b3 ln r)− ων,(α);1(β)r
−α2 sin(b3 ln r).
(11)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
У рiвностях (11) позначення загальноприйнятi [2].
Наявнiсть вагової функцiї σ(r), спектральної вектор-функцiї Vν,(α)(r, β) та спектральної
щiльностi
Ων,(α)(β) = β[b3(β)]
−1([ων,(α);1(β)]
2 + [ων,(α);2(β)]
2)−1
дозволяє визначити пряме Hν,(α) й обернене H−1
ν,(α) гiбридне iнтегральне перетворення, по-
роджене на множинi I+2 ГДО Mν,(α) [2]:
Hν,(α)[g(r)] =
∞∫
R0
g(r)Vν,(α)(r, β)σ(r) dr ≡ g̃(β), g(r) ∈ G, (12)
H−1
ν,(α)[g̃(β)] =
2
π
∞∫
0
g̃(β)Vν,(α)(r, β)Ων,(α)(β) dβ ≡ g(r). (13)
Математичним обгрунтуванням правил (12), (13) є твердження.
Теорема 1 (про iнтегральне зображення). Якщо вектор-функцiя
f(r) = [θ(r −R0)θ(R1 − r)rα1+1/2 + θ(r −R1)θ(R2 − r) · 1 + θ(r −R2)r
α2−1/2]g(r)
неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варiацiю на множинi [R0,∞), то для
будь-якого r ∈ I+2 справджується iнтегральне зображення
g(r) =
2
π
∞∫
0
Vν,(α)(r, β)Ων,(α)(β)
∞∫
R0
g(ρ)Vν,(α)(ρ, β)σ(ρ) dρdβ. (14)
Доведення. В основi доведення теореми знаходиться невласний подвiйний iнтеграл
I ≡
2
π
∞∫
R0
∞∫
0
Ψ(λ)Vν,(α)(r, λ)Ων,(α)(λ) dλVν,(α)(r, β)σ(r) dr = Ψ(β), (15)
якщо λ = β ∈ (0,∞). Якщо λ = β∈(0,∞), то I = 0.
Рiвнiсть (15) одержується методом дельта-подiбної послiдовностi — ядро Дiрiхле. При
цьому функцiя Ψ(λ) повинна бути неперервною, абсолютно сумовною з обмеженою варiа-
цiєю, забезпечуючи абсолютну й рiвномiрну збiжнiсть iнтеграла за λ.
Припустимо, що функцiя
g(r) =
2
π
∞∫
0
Ψ(β)Vν,(α)(r, β)Ων,(α)(β) dβ. (16)
Помножимо рiвнiсть (16) на вираз Vν,(α)(r, λ)σ(r)dr, λ — довiльне додатне число, й про-
iнтегруємо за r вiд r = R0 до r = ∞. З урахуванням рiвностi (15) маємо функцiю
Ψ(λ) =
∞∫
R0
g(r)Vν,(α)(r, λ)σ(r) dr.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 15
Пiдставивши в рiвнiсть (16) функцiю
Ψ(β) =
∞∫
R0
g(ρ)Vν,(α)(ρ, β)σ(ρ) dρ,
приходимо до iнтегрального зображення (14).
Зауваження. Якщо вектор-функцiя g(r) кусково-неперервна, то в рiвностi (14) злiва
замiсть g(r) треба писати [g(r − 0) + g(r + 0)]/2.
Побудова алгебри ГДО Mν,(α) здiйснюється за допомогою основної тотожностi ГIП ГДО
Mν,(α), визначеного рiвнiстю (1).
Визначимо величини та функцiї:
h1 = a21σ1R
2α1+1
1 c−1
11 , h2 = a22σ2c
−1
12 , Zk
ν,(α);i2(β) =
(
αk
i2
d
dr
+ βk
i2
)
Vν,(α);k+1(r, β)
∣∣∣
r=Rk
,
g̃1(β) =
R1∫
R0
g1(r)Vν,(α);1(r, β)σ1r
2α1+1dr, i, k = 1, 2;
g̃2(β) =
R2∫
R1
g2(r)Vν,(α);2(r, β)σ2dr, g̃3(β) =
∞∫
R2
g3(r)Vν,(α);3(r, β)σ3r
2α2−1dr.
Теорема 2 (про основну тотожнiсть). Якщо вектор-функцiя
f = {Bν,α1
[g1(r)]; g
′′
2 (r);B
∗
α2
[g3(r)]}
неперервна на множинi I+2 , а функцiї gj(r) задовольняють умови спряження
[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
gk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
gk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= ωjk, j, k = 1, 2, (17)
та крайовi умови
(
α0
11
d
dr
+ β0
11
)
g1(r)
∣∣∣
r=R0
= g0,
lim
r→∞
r2α2+1
(
dg3
dr
Vν,(α);3(r, β) − g3(r)
dVν,(α);3(r, β)
dr
)
= 0, (18)
то справджується основна тотожнiсть ГIП ГДО Mν,(α):
Hν,(α)[Mν,(α)[g(r)]] = −β2g̃(β)−
−
3∑
j=1
k2j g̃j(β) + a21σ1(−α0
11)
−1R2α1+1
0 Vν,(α);1(R0, βn)g0 +
+
2∑
k=1
hk[Z
k
ν,(α);12(β)ω2k − Zk
ν,(α);22(β)ω1k]. (19)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
Доведення. У справедливостi рiвностi (19) переконаємося, якщо проiнтегруємо пiд
знаком iнтегралiв два рази частинами, скористаємося властивостями функцiй Vν,(α);j(r, β),
структурою σ1, σ2, σ3 та базової тотожностi на випадок, коли умови спряження неоднорiднi:
[g′k(r)Vν,(α);k(r, β) − gk(r)V
′
ν,(α);k(r, β)]
∣∣∣
r=Rk
=
c21
c1k
[g′k+1(r)Vν,(α);k+1(r, β) −
− gk+1(r)V
′
ν,(α);k+1(r, β)]
∣∣∣
r=Rk
+
1
c1k
[Zk
ν,(α);12(β)ω2k − Zk
ν,(α);22(β)ω1k].
Логiчну схему застосування запровадженого формулами (12), (13) ГIП покажемо на
однiй з типових задач математичної фiзики неоднорiдних середовищ.
Задача квазiстатики. Побудувати обмежений в областi D = {(t, r) : t ∈ (0,∞), r ∈ I+2 }
розв’язок сепаратної системи диференцiальних рiвнянь параболiчного типу [8]
∂u1
∂t
+ χ2
1u1 − a21Bν,α1
[u1] = f1(t, r), r ∈ (R0, R1),
∂u2
∂t
+ χ2
2u2 − a22
∂2u2
∂r2
= f2(t, r), r ∈ (R1, R2),
∂u3
∂t
+ χ2
3u3 − a23B
∗
α2
[u3] = f3(t, r), r ∈ (R2,∞),
(20)
за початковими умовами
uj(t, r)|t=0 = gj(r), r ∈ (Rj−1;Rj), j = 1, 3; R3 = ∞, (21)
крайовими умовами
(
α0
11
∂
∂r
+ β0
11
)
u1(t, r)
∣∣∣∣
r=R0
= g0(t), lim
r→∞
[rγu3(t, r)] = 0 (22)
та умовами спряження
[(
αk
j1
∂
∂r
+ βk
j1
)
uk(t, r)−
(
αk
j2
∂
∂r
+ βk
j2
)
uk+1(t, r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= ωjk(t), j, k = 1, 2. (23)
Розв’язання. За вiдомою логiчною схемою [2] одержуємо iнтегральне зображення єди-
ного аналiтичного розв’язку параболiчної задачi (20)–(23):
uj(t, r) =
3∑
k=1
t∫
0
Rk∫
Rk−1
Hν,(α);jk(t− τ, r, ρ)[fk(τ, ρ) + δ+(τ)gk(ρ)]σkϕk(ρ) dρdτ +
+
t∫
0
Wν,(α);1j(t− τ, r)g0(τ) dτ +
+
2∑
k=1
hk
t∫
0
[Rk,j
ν,(α);12(t− τ, r)ω2k(τ)−Rk,j
ν,(α);22(t− τ, r)ω1k(τ)] dτ, (24)
j = 1, 3, ϕ1(r) = r2α1+1, ϕ2(r) = 1, ϕ3(r) = r2α2−1, R3 = ∞.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 17
У рiвностях (24) беруть участь головнi розв’язки даної параболiчної задачi:
1) функцiї впливу
Hν,(α);jk(t, r, ρ) =
2
π
∞∫
0
e−(β2+χ2
1
)tVν,(α);j(r, β)Vν,(α);k(ρ, β)Ων,(α)(β) dβ, j, k = 1, 3, (25)
породженi неоднорiднiстю системи;
2) функцiї Грiна
Wν,(α);1j(t, r) =
2
π
∞∫
0
e−(β2+χ2
1
)t(−α0
11)
−1Vν,(α);1(R0, β)Vν,(α);j(r, β) ×
× Ων,(α)(β) dβa
2
1σ1R
2α1+1
0 , j = 1, 3, (26)
породженi крайовою умовою в точцi r = R0;
3) функцiї Грiна
Rk,j
ν,(α);i2(t, r) =
2
π
∞∫
0
e−(β2+χ2
1
)tVν,(α);j(r, β)Z
k
ν,(α);i2(β)Ων,(α)(β) dβ,
i, k = 1, 2, j = 1, 3,
(27)
породженi неоднорiднiстю умов спряження.
Зауважимо, що iнтегральне зображення (24) розв’язку даної параболiчної задачi носить
алгоритмiчний характер, що дозволяє використовувати його як у теоретичних дослiджен-
нях, так i в iнженерних розрахунках.
1. Уфлянд Я.С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам ма-
тематической физики // Вопросы математической физики. – Ленинград, 1976. – С. 93–106.
2. Ленюк М.П., Шинкарик М. I. Гiбриднi iнтегральнi перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Ч. 1. –
Тернопiль: Економ. думка, 2004. – 368 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй спец. курс. – Москва: Наука, 1965. – 328 с.
4. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бес-
селя. – Киев, 1983. – 62 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – Москва: Физматгиз, 1959. – 468 с.
6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных оператором. – Киев:
Наук. думка, 1965. – 798 с.
7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – Москва: Наука, 1971. – 432 с.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 735 с.
Надiйшло до редакцiї 18.02.2009НТУ “Харкiвський полiтехнiчний iнститут”
О.М. Nikitina
Introduction of a Bessel–Fourier–Euler hybrid integral transformation
on the polar axis r > R0 > 0
By the method of delta-like sequence (Dirichlet kernel), an integral transformation generated on
the polar axis r > R0 > 0 with two conjugate points by the Bessel–Fourier–Euler hybrid differential
operator is introduced.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29551 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:36:44Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нікітіна, О.М. 2011-12-16T17:28:32Z 2011-12-16T17:28:32Z 2010 Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 / О.М. Нiкiтiна // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29551 517.91:532.2 Методом дельта-подiбної послiдовностi (ядро Дiрiхле) запроваджено iнтегральне перетворення, породжене на полярнiй осi r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гiбридним диференцiальним оператором Бесселя–Фур’є–Ейлера. By the method of delta-like sequence (Dirichlet kernel), an integral transformation generated on the polar axis r ≥ R0 > 0 with two conjugate points by the Bessel–Fourier–Euler hybrid differential operator is introduced. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 Introduction of a Bessel–Fourier–Euler hybrid integral transformation on the polar axis r ≥ R0 > 0 Article published earlier |
| spellingShingle | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 Нікітіна, О.М. Математика |
| title | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 |
| title_alt | Introduction of a Bessel–Fourier–Euler hybrid integral transformation on the polar axis r ≥ R0 > 0 |
| title_full | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 |
| title_fullStr | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 |
| title_full_unstemmed | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 |
| title_short | Запровадження гібридного інтегрального перетворення Бесселя–Фур'є–Ейлера на полярній осі r≥R0>0 |
| title_sort | запровадження гібридного інтегрального перетворення бесселя–фур'є–ейлера на полярній осі r≥r0>0 |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29551 |
| work_keys_str_mv | AT níkítínaom zaprovadžennâgíbridnogoíntegralʹnogoperetvorennâbesselâfurêeileranapolârníiosírr00 AT níkítínaom introductionofabesselfouriereulerhybridintegraltransformationonthepolaraxisrr00 |