Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами
Дослiджено крайову задачу з мiшаними умовами для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння порядку 2n зi змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами. Встановлено умови коректностi задачi та побудовано розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для розв’язання проблеми...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29552 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859594764235571200 |
|---|---|
| author | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. |
| author_facet | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. |
| citation_txt | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено крайову задачу з мiшаними умовами для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння порядку 2n зi змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами. Встановлено умови коректностi задачi та побудовано розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
The problem with mixed conditions for a linear inhomogeneous hyperbolic equation of the order 2n with coefficients variable in the spatial coordinates is investigated. The conditions of correctness of the problem are established, and the solution in the form of a series by the system of orthogonal functions is constructed. For solving the problem of small denominators that appeares during the construction of the solution, the metric approach is used.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:22:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.32
© 2010
Член-кореспондент НАН України Б. Й. Пташник, С. М. Репетило
Крайова задача з мiшаними умовами для лiнiйного
гiперболiчного рiвняння високого порядку зi змiнними
коефiцiєнтами
Дослiджено крайову задачу з мiшаними умовами для неоднорiдного лiнiйного гiперболi-
чного рiвняння порядку 2n зi змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами.
Встановлено умови коректностi задачi та побудовано розв’язок у виглядi ряду за систе-
мою ортогональних функцiй. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв, що виникли
при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
Крайовi задачi з даними на всiй границi областi для гiперболiчних рiвнянь не завжди є ко-
ректними, а їх розв’язнiсть в обмежених областях пов’язана, взагалi, з проблемою малих
знаменникiв. Коректнiсть крайових задач типу Дiрiхле для гiперболiчних та безтипних рiв-
нянь i систем рiвнянь (лiнiйних i слабко нелiнiйних) зi сталими та змiнними коефiцiєнтами
дослiджувалась у багатьох працях (див. [1–11] i бiблiографiю там).
У цiй роботi, яка примикає до працi [9], дослiджено у (p + 1)-вимiрнiй цилiндричнiй
областi коректнiсть крайової задачi з мiшаними умовами для лiнiйного гiперболiчного рiв-
няння порядку 2n (n > 1) зi змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами, коли
на нижнiй основi цилiндра задано парнi похiднi за часовою змiнною вiд шуканого розв’яз-
ку, на верхнiй основi — непарнi похiднi, а на бiчнiй поверхнi цилiндра задано умови типу
умов Дiрiхле.
1. В областi D = {(t, x) ∈ R
p+1 : t ∈ (0, T ) ⊂ R
1, x ∈ Ω ⊂ R
p}, де Ω — обмежена
однозв’язна область з гладкою межею Γ, розглядаємо задачу
n∑
s=0
as
∂2(n−s)
∂t2(n−s)
Lsu(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ D, (1)
∂2(r−1)u(0, x)
∂t2(r−1)
= ϕr(x),
∂2r−1u(T, x)
∂t2r−1
= ϕn+r(x), r = 1, . . . , n, x ∈ Ω, (2)
Lqu|Σ = 0, q = 0, . . . , n− 1, Σ = Γ× [0, T ], (3)
де as ∈ R
1, a0 6= 0, диференцiальний вираз L :=
p∑
i,j=1
∂
∂xi
(
pij(x)
∂
∂xj
)
− q(x) — елiптичний
в областi Ω, L0u = u, Lqu = L(Lq−1u), q = 1, . . . , n.
2. Надалi використовуємо такi позначення: Zp
+ — множина точок R
p з цiлими невiд’єм-
ними координатами; s = (s1, . . . , sp) ∈ Z
p
+, |s| = |s1| + · · · + |sp|, ŝ = (s0, s1, . . . sp) ∈ Z
p+1
+ ,
|ŝ| = |s0| + |s1| + · · · + |sp|; x = (x1, . . . , xp) ∈ R
p; Cj,ν, 0 < ν < 1, — клас визначених в Ω
функцiй, j-тi похiднi яких задовольняють в Ω умову Гельдера з показником ν, Aj,ν — клас
замкнених областей, для яких функцiї, що задають у локальних координатах рiвняння ме-
жових поверхонь цих областей, належать класу Cj,ν; C(0,r)(D) — банахiв простiр функцiй
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 19
υ(t, x) := υ(t, x1, . . . , xp), якi в областi D неперервнi за t та r раз неперервно диференцiйовнi
за x, ‖υ‖C(0,r)(D) :=
∑
|s|6r
max
(t,x)∈D
|∂|s|υ(t, x)/(∂xs11 · · · ∂xspp )|.
Припустимо, що Ω ∈ A2n,ν , pij(x) ∈ C2n−1,ν , i, j = 1, . . . , p, q(x) ∈ C2n−2,ν, q(x) > 0.
Вiдомо [12, 13], що за вказаних припущень задача на власнi значення
LX(x) = −λX(x), X(x)|Γ = 0 (4)
має повну ортонормовану в просторi L2(Ω) систему власних функцiй Υ = {Xk(x), k ∈ N},
а вiдповiднi власнi значення λk, k ∈ N, цiєї задачi, множину яких позначимо через Λ,
є рiзними i додатними; при цьому Xk(x) ∈ C2n(Ω), k ∈ N, i справедливi оцiнки
c0k
2/p
6 λk 6 c1k
2/p, 0 < c0 6 c1, k ∈ N, (5)
max
x∈Ω
∣∣∣∣
∂|s|Xk(x)
∂xs11 · · · ∂xspp
∣∣∣∣ 6 c2λ
p/4+|s|/2
k , |s| = 0, 1, . . . , 2n. (6)
Тут i далi через cj , j = 0, 1, . . ., позначено додатнi сталi, що не залежать вiд k.
3. Розв’язок задачi (1)–(3) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∞∑
k=1
uk(t)Xk(x), (7)
де кожна з функцiй uk(t), k ∈ N, є розв’язком, вiдповiдно, такої крайової задачi:
n∑
s=0
as
d2(n−s)uk(t)
dt2(n−s)
(−λk)
s = fk(t), t ∈ (0, T ), λk ∈ Λ, (8)
u
(2(r−1))
k (0) = ϕrk, u
(2r−1)
k (T ) = ϕn+r,k, r = 1, . . . , n, (9)
де ϕjk i fk(t) є коефiцiєнтами розвинення функцiй ϕj(x) та f(t, x) вiдповiдно в ряди Фур’є
за системою власних функцiй Υ.
Припустимо, що рiвняння (1) є строго гiперболiчним за Петровським в областi D. Тодi
всi коренi γ1, . . . , γn рiвняння
n∑
s=0
asγ
n−s = 0 (10)
є рiзними та додатними, i для кожного λk ∈ Λ фундаментальна система розв’язкiв одно-
рiдного рiвняння, яке вiдповiдає рiвнянню (8), є такою: {wkj(t) = exp(βjt), wk,n+j(t) =
= exp(−βjt), j = 1, . . . , n}, де βj := βj(λk) = i
√
γjλk. При цьому характеристичний визна-
чник задачi (8), (9) має вигляд
∆(λk) := ∆(T, λk) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 . . . 1 1 . . . 1
β2
1 . . . β2
n β2
1 . . . β2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β
2(n−1)
1 . . . β2(n−1)
n β
2(n−1)
1 . . . β2(n−1)
n
β1e
β1T . . . βne
βnT −β1e
−β1T . . . −βne
−βnT
β3
1e
β1T . . . β3
ne
βnT −β3
1e
−β1T . . . −β3
ne
−βnT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β2n−1
1 eβ1T . . . β2n−1
n eβnT −β2n−1
1 e−β1T . . . −β2n−1
n e−βnT
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
i обчислюється за формулою
∆(λk) = (−1)n
∏
16s<t6n
(β2
t − β2
s )
2
n∏
j=1
(βj(e
βjT + e−βjT )). (11)
Задача (8), (9) не може мати двох рiзних розв’язкiв тодi i лише тодi, коли ∆(λk) 6= 0.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1)–(3) у просторi C2n(D) необхiдно i дос-
татньо, щоб виконувалась умова
(∀λk ∈ Λ,∀m ∈ Z+)
√
γjλkT 6= π
2
+ πm, j = 1, . . . , n. (12)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 7.5 з [14].
За умов (12) розв’язок задачi (1)–(3) формально зображується рядом
u(t, x) =
∞∑
k=1
(
n∑
q,j=1
S
(q)
n−j+1
[ϕjkβq(e
βq(T−t) + e−βq(T−t)) + ϕn+j,k(e
βqt − e−βqt)]
(−1)n+jβq(eβqT + e−βqT )
n∏
s=1,s 6=q
(β2
q − β2
s )
+
+
T∫
0
Gk(t, τ)fk(τ) dτ
)
Xk(x), (13)
де S
(q)
l — сума всiх можливих добуткiв елементiв β2
1 , . . . , β
2
q−1, β
2
q+1, . . . , β
2
n, узятих по l штук
у кожному добутку, S
(q)
0 ≡ 1, Gk(t, τ), k ∈ N, — функцiя Грiна вiдповiдної задачi (8), (9),
яка у квадратi KT = {0 6 t, τ 6 T} (крiм сторiн τ = 0, τ = T ) визначається формулою
Gk(t, τ) = gk(t, τ) +
+
n∑
s,r=1
g
(2r−2)
kt (0, τ)βs(e
βs(T−t)+(−1)ne−βs(T−t))+g
(2r−1)
kt (T, τ)((−1)neβst−e−βst)
βs(−1)r+s(S
(s)
n−r+1)
−1(eβsT + e−βsT )
n∏
l=1,l 6=s
(β2
s − β2
l )
, (14)
gk(t, τ) =
sign(t− τ)
4
n∑
q=1
β−1
q
n∏
s=1,s 6=q
(β2
q − β2
s )
−1[eβq(t−τ) + (−1)ne−βq(t−τ)]. (15)
На сторонi τ = 0 квадрата KT кожну з функцiй Gk(t, τ), k ∈ N, довизначаємо за непе-
рервнiстю справа, а на сторонi τ = T — за неперервнiстю злiва.
4. При дослiдженнi питання iснування класичного розв’язку задачi (1)–(3) нам знадоб-
ляться такi твердження.
Лема 1. Нехай Φ(k) — обмежена послiдовнiсть дiйсних чисел. Тодi для майже всiх
(стосовно мiри Лебега в R
1) чисел a > 0 нерiвнiсть
∣∣∣∣Φ(k)−
la
p
√
k
∣∣∣∣ <
1
kβ
, β = 1 +
1
p
+ ε, 0 < ε < 1, (16)
має не бiльше нiж скiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах k i l (k ∈ N, l ∈ Z \ {0}).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 21
Доведення проводиться за схемою доведення леми 2.4 з [11, гл. 1].
Лема 2. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
1) чисел T нерiвностi
∣∣ei
√
γqλkT + e−i
√
γqλkT
∣∣ > 4T
π
k−1−ε, q = 1, . . . , n, (17)
справджуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) значень λk ∈ Λ.
Доведення грунтується на елементарнiй нерiвностi sinx > 2x/π для 0 6 x 6 π/2, оцiн-
ках (5) та лемi 1.
Теорема 2. Нехай коефiцiєнти диференцiального виразу L є достатньо гладкими,
справджується умова (12), ϕj ∈ C2h1(Ω), Lq1ϕj |Γ = 0, q1 = 0, 1, . . . , h1 − 1, ϕn+j ∈ C2h2(Ω),
Lq2ϕn+j|Γ = 0, q2 = 0, 1, . . . , h2 − 1, j = 1, . . . , n; f ∈ C(0,2h3)(D), Lq3f |Σ = 0, q3 =
= 0, 1, . . . , h3 − 1, де h1 = [5p/4] + 2n + 2, h2 = [5p/4 + 3/2] + 2n, h3 = [5p/4 + 5/2] + n.
Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
1) чисел T iснує розв’язок задачi (1)–(3)
з простору C2n(D), який неперервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕj(x), j = 1, . . . , 2n,
i зображується формулами (13)–(15).
Доведення. На пiдставi формул (13)–(15) та оцiнок (6) маємо
‖u‖C2n(D) :=
∑
06b+|s|62n
max
D
∣∣∣∣
∂b+|s|u(t, x)
(∂tb∂xs11 · · · ∂xspp )
∣∣∣∣6c2
∞∑
k=1
(
n∑
q=1
1
|ei
√
γqλkT + e−i
√
γqλkT |
×
×
(
n∑
j=1
c3λ
n+2−j
k (|ϕjk|+ |ϕn+j,k|λ
− 1
2
k ) + c4λ
3
2
k max
t∈[0,T ]
|fk(t)|
))
λ
p
4
+n
k . (18)
Оскiльки диференцiальний вираз L є лiнiйним i самоспряженим, то за умов теореми на
функцiї ϕj(x), j = 1, . . . , 2n, використовуючи другу формулу Грiна [12, 13], отримуємо
ϕjk =
∫
Ω
ϕjXkdx = (−1)r
1
λr
k
∫
Ω
LrϕjXkdx, j = 1, . . . , 2n, r ∈ N. (19)
На пiдставi формули (19) та нерiвностi Кошi–Буняковського [15] маємо
|ϕjk| =
1
λr
k
√√√√
∫
Ω
X2
kdx
√√√√
∫
Ω
(Lrϕj)2dx 6 c5λ
−r
k ‖ϕj‖C2r(Ω), j = 1, . . . , 2n, r ∈ N. (20)
Аналогiчно для коефiцiєнтiв Фур’є функцiї f(t, x) отримуємо
max
06t6T
|fk(t)| 6 c6λ
−r
k ‖f‖C(0,2r)(D), r ∈ N. (21)
На пiдставi оцiнок (5), (17), (18), (20) та (21) дiстаємо, що для майже всiх (стосовно мiри
Лебега в R
1) чисел T справджується нерiвнiсть
‖u‖C2n(D) 6 c7
(
n∑
j=1
(
‖ϕj‖C2h1 (Ω)
∞∑
k=1
1
kg1
+ ‖ϕn+j‖C2h2 (Ω)
∞∑
k=1
1
kg2
)
+
+ ‖f‖C(0,2h3)(D)
∞∑
k=1
1
kg3
)
, (22)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
де c7 = c2 max{c3c5, c4c6}, g1 = (2h1 − 4n − 2)/p − 3/2 − ε, g2 = (2h2 − 4n − 1)/p − 3/2 − ε,
g3 = (2h3 − 2n − 3)/p − 3/2 − ε, 0 < ε < 1. За умов теореми 1 < gi < 2, i = 1, 2, 3. Тому
ряди
∞∑
k=1
1/kgi , i = 1, 2, 3, є збiжними. Позначимо їхнi суми через s1, s2, s3 вiдповiдно. Тодi
з (22) отримуємо
‖u‖C2n(D) 6 Sc7
(
n∑
j=1
(‖ϕj‖C2h1 (Ω) + ‖ϕn+j‖C2h2 (Ω)) + ‖f‖C(0,2h3)(D)
)
,
де S = max{s1, s2, s3}, звiдки випливає доведення теореми.
У частинному випадку задачi (1)–(3), коли p = 1, Ω = (0, l), для єдиностi класичного
розв’язку необхiдно i достатньо, щоб жодне з рiвнянь kT
√
γj/l = 1/2 +m, j = 1, . . . , n, не
мало розв’язкiв у цiлих числах k та m (k ∈ N,m ∈ Z+), а теорема iснування формулюється
аналогiчно до теореми 2, де h1 = 2n + 5/2, h2 = 2n + 2, h3 = n + 5/2.
Аналогiчнi результати отримано для нестрого гiперболiчного рiвняння вигляду (1), коли
коренi γ1, . . . , γq (q < n) рiвняння (10) мають кратностi m1, . . . ,mq, вiдповiдно (m1 + · · · +
+mq = n). Тодi вiдповiдний характеристичний визначник обчислюється за формулою
∆1(λk) =
∏
16r<d6q
(β2
d − β2
r )
2mrmd
q∏
j=1
(
β
m2
j
j (eβjT + e−βjT )mj
mj∏
s=1
22s−2(s − 1)!2
)
, (23)
де βj = i
√
γjλk, j = 1, . . . , q.
Результати роботи можна поширити на випадок, коли рiвняння (1) збурене нелiнiйним
доданком εΦ(t, x, u(t, x)).
Робота виконана за часткової фiнансової пiдтримки ДФФД України (проект № 29.1/005).
1. Ben-Naoum A.K. On the Dirichlet problem for the nonlinear wave equation in bounded domains with
corner points // Bull. Belg. Math. Soc. – 1996. – No 3. – P. 345–361.
2. Bourgin D.G., Duffin R. The Dirichlet problem for the vibrating string equation // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1939. – 45, No 12. – P. 851–858.
3. Buryachenko E.A. Solvability of the homogeneous Dirichlet problem in a disk for equations of order 2m
in the case of multiple characteristics with inclination angles // J. Math. Sci. – 2009. – 160, No 3. –
P. 319–329.
4. Kiguradze T., Lakshmikantham V. On the Dirichlet problem for four-order linear hyperbolic equations //
Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. – 2002. – 49A, No 2. – P. 197–219.
5. Matthews J. V., Schaeffer D.G. A Well-posed free boundary-value problem for a hyperbolic equation with
Dirichlet boundary conditions // SIAM J. Math. Anal. – 2004. – 36, Issue 1. – P. 256–271.
6. Nowakowski A., Nowakowska I. Dirichlet problem for semilinear hyperbolic equation // Nonlinear Anal. –
2005. – 63, Issues 5–7. – P. e43-e52.
7. Nguyen Manh Hung. On the smoothness of a solution of the Dirichlet problem for hyperbolic systems in
domains with a non-smooth boundary // Russian Math. Surveys. – 1998. – 53, № 2. – P. 387–389.
8. Березанский Ю.М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // Укр. мат. журн. –
1960. – 12, № 4. – С. 363–372.
9. Бiлусяк Н. I., Пташник Б.Й. Крайова задача для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнни-
ми коефiцiєнтами // Там само. – 2001. – 53, № 9. – С. 1281–1286.
10. Бобик I.О., Пташник Б.Й. Крайовi задачi для гiперболiчних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами //
Там само. – 1994. – 46, № 7. – С. 795–802.
11. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 23
12. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций
эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1960. – 24, № 6. – С. 883–
896.
13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – Москва: Наука, 1983. –
424 с.
14. Пташник Б.Й., Iлькiв В.С., Кмiть I.Я., Полiщук В.М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз
частинними похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
15. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва:
Наука, 1981. – 544 с.
Надiйшло до редакцiї 18.09.2009Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
Corresponding Member of the NAS of Ukraine B.Yo. Ptashnyk, S.M. Repetylo
A boundary-value problem with mixed conditions for a linear
hyperbolic equation of high order with variable coefficients
The problem with mixed conditions for a linear inhomogeneous hyperbolic equation of the order 2n
with coefficients variable in the spatial coordinates is investigated. The conditions of correctness of
the problem are established, and the solution in the form of a series by the system of orthogonal
functions is constructed. For solving the problem of small denominators that appeares during the
construction of the solution, the metric approach is used.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29552 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:22:16Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. 2011-12-16T17:29:40Z 2011-12-16T17:29:40Z 2010 Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, С.М. Репетило // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29552 517.956.32 Дослiджено крайову задачу з мiшаними умовами для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння порядку 2n зi змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами. Встановлено умови коректностi задачi та побудовано розв’язок у виглядi ряду за системою ортогональних функцiй. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд. The problem with mixed conditions for a linear inhomogeneous hyperbolic equation of the order 2n with coefficients variable in the spatial coordinates is investigated. The conditions of correctness of the problem are established, and the solution in the form of a series by the system of orthogonal functions is constructed. For solving the problem of small denominators that appeares during the construction of the solution, the metric approach is used. Робота виконана за часткової фiнансової пiдтримки ДФФД України (проект № 29.1/005). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами A boundary-value problem with mixed conditions for a linear hyperbolic equation of high order with variable coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами Пташник, Б.Й. Репетило, С.М. Математика |
| title | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| title_alt | A boundary-value problem with mixed conditions for a linear hyperbolic equation of high order with variable coefficients |
| title_full | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| title_short | Крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort | крайова задача з мішаними умовами для лінійного гіперболічного рівняння високого порядку зі змінними коефіцієнтами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29552 |
| work_keys_str_mv | AT ptašnikbi kraiovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníinogogíperbolíčnogorívnânnâvisokogoporâdkuzízmínnimikoefícíêntami AT repetilosm kraiovazadačazmíšanimiumovamidlâlíníinogogíperbolíčnogorívnânnâvisokogoporâdkuzízmínnimikoefícíêntami AT ptašnikbi aboundaryvalueproblemwithmixedconditionsforalinearhyperbolicequationofhighorderwithvariablecoefficients AT repetilosm aboundaryvalueproblemwithmixedconditionsforalinearhyperbolicequationofhighorderwithvariablecoefficients |