Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве
Аналiзується структура суперконформної алгебри теорiї струн в N = 1, D = 4 тензорному суперпросторi з координатами тензорного типу. Показано, що включення додаткових координат iстотно знижує критичну розмiрнiсть суперструни до реалiстичної розмiрностi D = 4. Iншим наслiдком введення додаткових тензо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29556 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве / А.Ю. Нурмагамбетов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 82-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859775231712821248 |
|---|---|
| author | Нурмагамбетов, А.Ю. |
| author_facet | Нурмагамбетов, А.Ю. |
| citation_txt | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве / А.Ю. Нурмагамбетов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 82-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Аналiзується структура суперконформної алгебри теорiї струн в N = 1, D = 4 тензорному суперпросторi з координатами тензорного типу. Показано, що включення додаткових координат iстотно знижує критичну розмiрнiсть суперструни до реалiстичної розмiрностi D = 4. Iншим наслiдком введення додаткових тензорних координат є введення диференцiалiв нового типу, що дає можливiсть побудувати локальну теорiю екзотичного неабелевого антисиметричного тензорного поля.
We analyze the structure of the superconformal algebra of string theory in the N = 1, D = 4 tensorial superspace with tensor-type coordinates. It is demonstrated that the inclusion of additional coordinates essentially decreases the superstring critical dimension down to the realistic dimension D = 4. Introducing the additional tensorial coordinates leads to a new-type differential entering the action of an exotic non-Abelian antisymmetric tensor field.
|
| first_indexed | 2025-12-02T08:00:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.12
© 2010
А.Ю. Нурмагамбетов
Структура суперконформной алгебры теории струн
в тензорном суперпространстве
(Представлено академиком НАН Украины Н.Ф. Шульгой)
Аналiзується структура суперконформної алгебри теорiї струн в N = 1, D = 4 тен-
зорному суперпросторi з координатами тензорного типу. Показано, що включення до-
даткових координат iстотно знижує критичну розмiрнiсть суперструни до реалiсти-
чної розмiрностi D = 4. Iншим наслiдком введення додаткових тензорних координат
є введення диференцiалiв нового типу, що дає можливiсть побудувати локальну теорiю
екзотичного неабелевого антисиметричного тензорного поля.
1. Вопрос об интерпретации дополнительных измерений, возникающих при построении
квантово-согласованной теории струн и суперструн, является одним из ключевых моментов
развития теории, претендующей на роль единого описания всех фундаментальных взаимо-
действий. Напомним, что количество дополнительных (к наблюдаемым четырем пространс-
твенно-временным координатам) пространственно-подобных измерений — 22 для бозонной
струны, и 6 в случае суперструн — определяется структурой квантовой (супер)конформной
алгебры, так называемой (супер)алгебры Вирасоро. Строго говоря, алгебра Вирасоро опре-
деляет центральный элемент алгебры, или аномальный член, а требование отсутствия ано-
малий в квантовой теории струны, эквивалентное обращению аномального члена в ноль,
однозначно фиксирует критическую размерность. Наличие дополнительных измерений, во-
спринятое весьма скептически на ранних этапах развития теории, эффективно используется
в построении Единой квантовой теории гравитации и полей Стандартной Модели, однако
данная программа все еще далека от своего завершения.
Одним из позитивных факторов, стимулирующих развитие исследований в объединен-
ных моделях физики элементарных частиц, является существенный прогресс в эксперимен-
тальной астрофизике, который ставит все новые вопросы по интерпретации эксперимен-
тальных данных астрофизических наблюдений в рамках традиционной теории суперструн.
Трудности в струнной Космологии, а также нерешенные проблемы компактификации до-
полнительных измерений прямо или косвенно свидетельствуют о необходимости пересмот-
ра некоторых основных положений теории струн, среди которых вопрос о существовании
дополнительных измерений становится как никогда актуальным. Следует отметить, что
поиск следствий существования дополнительных измерений только включен в програм-
му экспериментов на большом адронном коллайдере, и на данный момент не существует
никаких экспериментально обоснованных фактов, говорящих в пользу их реального су-
ществования. Поэтому в контексте затронутых выше проблем новую остроту приобрета-
ет вопрос о возможности построения последовательной модели суперструны, критическая
размерность которой совпадала бы с наблюдаемой размерностью пространства-времени.
Данная работа посвящена анализу одной из таких моделей и некоторым следствиям ее
рассмотрения.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
2. Дополнительные пространственно-подобные измерения возникают в процессе кван-
тования теории свободной бозонной струны, результатом которого является операторная
бесконечномерная алгебра Вирасоро [1]
[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +Atotal(m)δm+n. (1)
Суммарный центральный элемент алгебры Atotal(m)
Atotal(m) =
1
12
D(m3 −m) +
1
6
(m− 13m3) + 2aopenm (2)
содержит вклад бозонных координат, параметризующих вложение двумерного мирового
листа струны в пространство-время D измерений, вклад фермионной системы дух — ан-
тидух, возникающей после закрепления конформной калибровки на метрический тензор
мирового листа, а также вклад так называемого струнного интерсепта. Несмотря на то
что приведенная алгебра следует из процедуры квантования открытой бозонной струны,
ее общая структура остается неизменной и для замкнутых струн. Требование отсутствия
конформной аномалии в квантовой теории струны, т. е. Atotal(m) = 0, однозначно фиксиру-
ет размерность пространства-времени, в которой теория является квантово-согласованной.
Для алгебры (1) D = 26.
Введение в теорию фермионов — суперпартнеров бозонных координат — дополняет
структуру алгебры (1) до соответствующей градуированной супералгебры, что приводит
к возникновению пары центральных элементов, имеющих в случае (открытой) суперстру-
ны Невье–Шварца–Рамона следующий вид:
Atotal(m) =
1
12
(
D +
D
2
)
m3 +
1
6
(m− 13m3) +
1
12
(11m3 − 2m) + 2aRopenm,
Btotal(m) =
D
2
m2 − 5m2 + 2aRopen.
(3)
Здесь требование отсутствия суперконформной аномалии в квантовой теории суперстру-
ны фиксирует критическую размерность D = 10. Таким образом, в стандартной теории
(супер)струн появление дополнительных измерений диктуется требованиями квантовой со-
гласованности теории.
Прежде чем приступить к обсуждению возможных путей понижения критической ра-
змерности, проанализируем структуру центрального элемента Atotal(m) из (3). Очевидно,
что он содержит вклад бозонных координат, конформных (анти)духов и струнного интер-
септа из (2) (после “сдвига” интерсепта aRopen на D/16), и, кроме того, соответствующие
вклады фермионных суперпартнеров бозонных координат вместе с вкладом суперконформ-
ных духов. Общее правило, по которому может быть рассчитана критическая размерность
произвольной модели суперструны, формулируется следующим образом [1]. D бозонов да-
ют вклад D в полную аномалию, вклад их суперпартнеров в два раза меньше, т. е. D/2.
Вклады (супер)конформных (анти)духов определяются следующим общим выражением:
|1− 3(2J − 1)2|,
в котором J является конформной размерностью (анти)духов, J = 2 для конформного духа
и J = 3/2 для суперконформного духа, а выбор знака определяется квантовой статистикой
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 83
духовых переменных: “+” для фермионных духов, “−” для бозонных. С точки зрения теории
поля на мировом листе суперструны, вклад конформных и суперконформных духов остает-
ся неизменным и не зависит от размерности пространства-времени D. Он равен −26 для
конформного духа, возникающего при фиксации конформной калибровки метрики мирово-
го листа струны, и +11 для суперконформного духа при фиксировании суперконформной
калибровки листового поля “Рариты–Швингера”. Разница в −15 должна быть скомпенси-
рована за счет вклада в центральный элемент супералгебры дополнительных (бозонных
и/или фермионных) полей, одной из возможных реализаций которых являются бозонные
координаты Xm, параметризующие D-мерное пространство-время и определяющие вложе-
ние в него мирового листа струны, а также их фермионные суперпартнеры ψm.
3. Теперь зафиксируем желаемую критическую размерность струны D = 4. Положи-
тельность энергии мод колебаний струны гарантировано в суперсимметричной теории, по-
этому в дальнейшем остановимся на модели суперструны. Вклад бозонных координат и их
суперпартнеров равен +6, следовательно, необходимо добавить дополнительные степени
свободы, вклад которых скомпенсировал бы оставшиеся −15 + 6 = −9. Этими степенями
свободы могут быть либо “внутренние” координаты векторного типа yi и их суперпартне-
ры ξi (i = 1, . . . , 6), однако такой выбор может быть в конечном итоге сведен к 4 + 6 = 10
стандартному набору координат, и, следовательно, не дает ничего нового по сравнению со
стандартной теорией суперструны Невье–Шварца–Рамона. Другим выбором дополнитель-
ных переменных является набор координат тензорного типа, Zmn = −Znm, число которых
в D = 4 равно 6. Если мы постулируем скалярный характер преобразований новых коорди-
нат относительно диффеоморфизмов мирового листа, то их фермионные “суперпартнеры”
Ψmn дополняют необходимые для полной компенсации аномалии степени свободы. Поэтому
формулировка суперструны Невье-Шварца-Рамона в расширенном координатами тензор-
ного типа пространстве-времени действительно обладает критической размерностью D = 4.
4. Возникает вполне естественный вопрос о причине возникновения дополнительных
координат тензорного типа. Ответ на него содержится в структуре максимальной N = 1,
D = 4 алгебры суперсимметрии, которая включает, в частности, следующий антикомму-
татор суперзарядов [2]:
{Q,Q} = γmPm + γmnPmn. (4)
Необходимо отметить, что входящие в правую часть этого соотношения “импульсы” имеют
принципиально различную природу. Динамическим импульсом, связанным со структурной
группой пространства-времени (группой Пуанкаре), является Pm, в то время как тополо-
гическим зарядом, связанным с присутствием в N = 1, D = 4 суперпространстве про-
тяженного объекта — супермембраны, является “обобщенный импульс” Pmn. Канонически
сопряженными динамическому импульсу переменными являются стандартные координа-
ты векторного типа Xm, тогда как топологические заряды вообще не имеют канонически
сопряженных переменных. Но принципиально иной трактовкой структуры максимально
расширенных алгебр суперсимметрии с топологическими центральными зарядами явля-
ется идея Картрайта [3], высказанная в контексте супералгебры М-теории (М-алгебры),
о демократии между динамическими и топологическими “импульсами”. Следуя этой идее,
каждому топологическому “импульсу” необходимо сопоставить канонически сопряженную
ему координату и рассматривать, вместо обычного суперпространства, обобщенное супер-
пространство, расширенное координатами тензорного типа. Поэтому возникновение допол-
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
нительных координат Zmn как сопряженных “обобщенным импульсам” Pmn переменных
вполне естественно в рамках расширенного N = 1, D = 4 тензорного суперпространства.
Следует подчеркнуть, что вышеизложенная интерпретация дополнительных координат
тензорного типа апеллирует к пространственно-временной суперсимметрии, тогда как до
этого все внимание было сосредоточено на моделях суперструн, обладающих суперсимме-
трией мирового листа. Такой переход не является случайным, так как с точки зрения теории
на мировом листе струны не существует никакой разницы между стандартными пространс-
твенно-временными координатами Xm и дополнительными координатами тензорного ти-
па Zmn. Все они являются скалярами по отношению к преобразованиям группы симметрии
мирового листа струны. Разделение координат по их свойствам в пространстве вложения
мирового листа струны может быть осуществлено только с привлечением пространствен-
но-временной группы Лоренца, суперсимметричным расширением которой является супер-
группа, представленная, к примеру, алгеброй (4). Поэтому связь между двумя различными
формулировками суперсимметричных струн, описывающих один и тот же спектр частиц —
формулировкой Невье–Шварца–Рамона с суперсимметрией мирового листа и формулиров-
кой Грина-Шварца с пространственно-временной суперсимметрией — обнаруживает неза-
висимую трактовку, в которой свойства пространственно-временной суперсимметрии, явной
в формулировке Грина–Шварца, диктуют выбор типа пространственно-временных коорди-
нат для описания струны Невье–Шварца–Рамона.
5. Обратимся теперь к более широкой трактовке пространственно-временных коорди-
нат и зададимся вопросом: возможна ли параметризация пространства-времени только ко-
ординатами тензорного типа и каковы последствия такого шага? Для этого заметим, что
набор бозонных координат (Xm, Zmn), параметризующих N = 1, D = 4 расширенное су-
перпространство, может быть вложен в набор исключительно тензорных координат Ẑm̂n̂
N = 1, D = 5 тензорного суперпространства. При этом число фермионных степеней сво-
боды в D = 4 и в D = 5 пространственно-временных измерениях остается неизменным.
Пользуясь стандартными методами вычисления супералгебры Вирасоро [1, 4], можно пока-
зать, что для суперструны типа Невье–Шварца–Рамона, вложенной в такое N = 1, D = 5
тензорное суперпространство, структура супералгебры остается такой же, как и для стан-
дартной формулировки суперструны Невье–Шварца–Рамона, а пара аномальных членов,
соответствующих (3), модифицируется к соотношениям
Atotal(m) =
1
12
(
D(D − 1)
2
+
D(D − 1)
4
)
m3 +
1
6
(m− 13m3) +
1
12
(11m3 − 2m) +
+ 2aRopenm,
Btotal(m) =
D(D − 1)
4
m2 − 5m2 + 2aRopen.
(5)
Несложно убедиться, что критической размерностью для такой тензорной суперструны яв-
ляется размерность D = 5.
При вычислении супералгебры Вирасоро суперструны в тензорном суперпространстве
используется следующее каноническое соотношение между тензорными координатами Ẑm̂n̂
и сопряженными к ним обобщенными импульсами:
{Pm̂n̂(σ), Ẑ k̂l̂(σ′)}PB =
1
2
T−1(ηm̂k̂ηn̂l̂ − ηm̂l̂ηn̂k̂)δ(σ − σ′), (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 85
где T является параметром натяжения струны; ηm̂n̂ — метрика пятимерного пространс-
тва Минковского, а σ — пространственно-подобная координата, параметризующая миро-
вой лист струны. При переходе к операторным величинам аналогом оператора импульса
в тензорном пространстве является оператор вида P̂m̂n̂ = −i∂m̂n̂, действие которого на
обобщенные координаты сводится к выражению ∂m̂n̂Z
m̂n̂ = D(D − 1)/2.
Наличие нового типа дифференциала дает возможность строить инвариантные лагран-
жианы для экзотических полей тензорного типа, включающие, к примеру, неабелевы ка-
либровочные тензорные поля. Действительно, наличие дифференциала стандартного типа
∂a = ∂/∂xa ограничивает класс неабелевых полей калибровочными полями векторного ти-
па, полями Янга–Миллса. В тензорном пространстве аналогом 1-формы поля Янга–Миллса
является 1-форма B = AmndZ
mn. Калибровочно инвариантной напряженностью поля для
такой 1-формы является 2-форма Fmn,kl = ∂mnAkl − ∂klAmn + i[Amn,Akl], а инвариантный
относительно преобразований неабелевой группы внутренней симметрии лагранжиан вхо-
дит в функционал действия
S =
1
4
Tr
∫
dDωFmn,klF
mn,kl, (7)
в котором след берется по индексам внутренней группы симметрии, а dDω обозначает ин-
вариантную форму объема. Подчеркнем, что рассматриваемая нами конструкция является
скорее экзотикой, чем привычным стандартом описания тензорных калибровочных полей,
поскольку компоненты тензорного калибровочного поля Amn являются 1-формой в тен-
зорном пространстве, а не компонентами 2-формы, как это было бы в конвенциональном
пространстве-времени. Детализация описания тензорных калибровочных полей в тензорном
пространстве выходит за рамки данного сообщения и будет проведена в отдельной работе.
6. Кратко остановимся на обсуждении полученных результатов. В работе рассмотрена
структура суперконформной алгебры модели суперструны с дополнительными тензорными
степенями свободы. Показано, что такая модель свободна от квантовых аномалий в 4-мер-
ном пространстве-времени, расширенном координатами тензорного типа. Эквивалентным
описанием тензорной суперструны является вложение ее бозонных координат в 5-мерное
пространство, параметризуемое исключительно координатами тензорного типа. Такая экзо-
тическая параметризация пространства дает возможность локального описания нестандар-
тных тензорных полей янг-миллсовского типа, которые являются составной частью спектра
полей первично квантованной тензорной суперструны. Дальнейшим естественным развити-
ем представленных здесь идей является построение спектра мод возбуждений в тензорном
суперпространстве, изучение его супергеометрии, а также построение связи между форму-
лировками тензорной суперструны с суперсимметрией мирового листа и явной пространс-
твенно-временной суперсимметрией [5, 6].
Автор выражает признателность В.П. Березовому за обсуждения предварительных резуль-
татов. Работа выполнена при поддержке Гранта INTAS # 05-08-7928 и Гранта НАНУ-РФФИ
# 38/50–2008.
1. Green M.B., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory. – Cambridge: Cambridge University Press, 1987.
2. Van Holten J.W., van Proeyen A. N = 1 supersymmetry algebras in d = 2, 3, 4 mod 8 // J. Phys. – 1982. –
A15. – P. 3763–3783. Gauntlett J. P., Gibbons G.W., Hull C.M., Townsend P.K. BPS states of D = 4
N = 1 supersymmetry // Commun. Math. Phys. – 2001. – 216. – P. 431–459.
3. Curtright T. Are there any superstrings in eleven dimensions? // Phys. Rev. Lett. – 1988. – 60. – P. 393–396.
4. Amorim R., Barcelos-Neto J. Extensions of string theories // Z. Phys. – 1993. – C58. – P. 513–518.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №4
5. Amorim R., Barcelos-Neto J. Superstrings with tensor degrees of freedom // Ibid. – 1994. – C64. –
P. 345–347.
6. Нурмагамбетов А.Ю. Локальная фермионная симметрия суперструны Грина–Шварца в тензорном
суперпространстве // Вестн. ХНУ. – 2009. – 845, № 1(41). – С. 21–24.
Поступило в редакцию 25.06.2009Институт теоретической физики им. А.И. Ахиезера
ННЦ “Харьковский физико-технический институт”
A. J. Nurmagambetov
The structure of the superconformal algebra of string theory in a
tensorial superspace
We analyze the structure of the superconformal algebra of string theory in the N = 1, D = 4
tensorial superspace with tensor-type coordinates. It is demonstrated that the inclusion of additional
coordinates essentially decreases the superstring critical dimension down to the realistic dimension
D = 4. Introducing the additional tensorial coordinates leads to a new-type differential entering the
action of an exotic non-Abelian antisymmetric tensor field.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №4 87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29556 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T08:00:49Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нурмагамбетов, А.Ю. 2011-12-16T17:39:56Z 2011-12-16T17:39:56Z 2010 Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве / А.Ю. Нурмагамбетов // Доп. НАН України. — 2010. — № 4. — С. 82-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29556 539.12 Аналiзується структура суперконформної алгебри теорiї струн в N = 1, D = 4 тензорному суперпросторi з координатами тензорного типу. Показано, що включення додаткових координат iстотно знижує критичну розмiрнiсть суперструни до реалiстичної розмiрностi D = 4. Iншим наслiдком введення додаткових тензорних координат є введення диференцiалiв нового типу, що дає можливiсть побудувати локальну теорiю екзотичного неабелевого антисиметричного тензорного поля. We analyze the structure of the superconformal algebra of string theory in the N = 1, D = 4 tensorial superspace with tensor-type coordinates. It is demonstrated that the inclusion of additional coordinates essentially decreases the superstring critical dimension down to the realistic dimension D = 4. Introducing the additional tensorial coordinates leads to a new-type differential entering the action of an exotic non-Abelian antisymmetric tensor field. Автор выражает признателность В.П. Березовому за обсуждения предварительных результатов. Работа выполнена при поддержке Гранта INTAS # 05-08-7928 и Гранта НАНУ-РФФИ # 38/50–2008. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве The structure of the superconformal algebra of string theory in a tensorial superspace Article published earlier |
| spellingShingle | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве Нурмагамбетов, А.Ю. Фізика |
| title | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| title_alt | The structure of the superconformal algebra of string theory in a tensorial superspace |
| title_full | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| title_fullStr | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| title_full_unstemmed | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| title_short | Структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| title_sort | структура суперконформной алгебры теории струн в тензорном суперпространстве |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29556 |
| work_keys_str_mv | AT nurmagambetovaû strukturasuperkonformnoialgebryteoriistrunvtenzornomsuperprostranstve AT nurmagambetovaû thestructureofthesuperconformalalgebraofstringtheoryinatensorialsuperspace |