Математическая модель динамики популяций животного мира
Рассмотрена методология формирования динамической системы, справедливой для адекватного описания объектов разной природы. Разработана обобщенная логистическая модель динамики популяций. Предлагаемая математическая модель получена теоретическим путем на основе положений системологии. The paper consid...
Saved in:
| Published in: | Моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29658 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическая модель динамики популяций животного мира / И.А. Пилькевич, А.В. Маевский // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 32-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859549829853609984 |
|---|---|
| author | Пилькевич, И.А. Маевский, А.В. |
| author_facet | Пилькевич, И.А. Маевский, А.В. |
| citation_txt | Математическая модель динамики популяций животного мира / И.А. Пилькевич, А.В. Маевский // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 32-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Моделювання та інформаційні технології |
| description | Рассмотрена методология формирования динамической системы, справедливой для адекватного описания объектов разной природы. Разработана обобщенная логистическая модель динамики популяций. Предлагаемая математическая модель получена теоретическим путем на основе положений системологии.
The paper considers the methodology of forming up the dynamic model of the
system which is veritable for the adequate description of the objects different by
nature. It develops the generalized logistic model of population dynamics. The
proposed mathematical model has been obtained theoretically on the basis of
systemathology principles.
|
| first_indexed | 2025-11-26T05:39:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
32 © �.�. �����
��, �.�.
�
����
�����
�-� ������� ���� � ���� „
�� ��
����”, 15-16 ����� 2009 �.: � �� ����
. – !.:
"�
# �$. %.&. ����
� '�' (������, 2009. – C. 48–50.
5. �������� �. . )��� ����� ����*�- � �* �����*� $��������*�: ��� ���
���� ��
��
�� ��� / ".�. !�$ �
�, �.+. ��� $��� // 7;����� �����
�� ����� "��������
���;� $ $�� ��
����
� �* ���� �$. %.&. ����
�. – !.: "�
# �$. %.&. ����
� '�'
(������, 2009. – < 50. – =. 66-72.
6.
�
� �.�.
�� $����� �� ��$�’�� �� $�� ��
���� � ���* ���� ��
����? ��
�� ��$��� �� $����
�� ������������ �����
�� �? � � ��;���� ��� : �
��� �. ���. ��
���;���� ����. ���� �� ����. � ��. ���� : �� �. 01.05.02 „
�� $����� $�� ��
����
�� �;�����
����� $ ����” / +.+. ����
. – !., 2010. – 20 �.
7.
����� �.�. @��$�
����
�;���� � ;��� ����� ����*�- � �* �����*�
$��������*� / �.�. A��B��, �.+. ��� $��� // "�� � �������� ���� $� ���������
��B �� �� ���;� $� �;�����
�����*� ��� � ��� :
�� �����
�?�������� �����
��
���� � ����, 18-22 ���
�� 2009 �. - D ����: D'E(, 2009. – E.2. – F.2. – C. 114–117.
������� 20.01.2011�.
(G! 004.942
�.�. �����
��, �.�.�., ��
���H�� ��� ���� $��������*� +�=,
�.�.
�
����, ������� �� I���$�����*� �����������*� �*��J����*�� ���*�
���
���� ��, *. I���$��
����������� �
����
� ������ � ����
���
��������� ����
K���$��� �� $ ������*�� ���$���
���� ����$�� ���� ���� $L,
����
���
�� ��� �� �
����*� �������� �;M ���
������ ������L. K����;�����
�;�;H ���� ��*����� ���� $�� �� ����$��� ���������. �� ���*� $��
$�� $���� ���� $�� �� ����� �� � �� ��� ���$ ��� $ �� ����
����? ���
���� $���*��.
�������� ��
��: �;�;H ���� ��*����� ���� $�� ��, ����$��� ���������.
The paper considers the methodology of forming up the dynamic model of the
system which is veritable for the adequate description of the objects different by
nature. It develops the generalized logistic model of population dynamics. The
proposed mathematical model has been obtained theoretically on the basis of
systemathology principles. Refs: 8 titles.
Key words: generalized logistic model, the dynamics of population.
��������
G�� ����$���� $ �����$�
�����������
���� � � B ���
������
��������
���� ��������� ;���B� ���� �� �$ �� �
� ��� �; ��
�������� . 7�����$ ��� ��$ � �� ����� ���; �
��������� �����*�
���
33
�� �����? ��� *��� (� ������) ��� ���� � � ($��*�� ����) ��� � �� ���
��$ � ���$� ��?�� $���� (�����
������) � �$ ������� ���; �, � ���? ��
� � $ H �� $ (J$�*���� � ��� �$$�*���� �).
+� ���� ��� *������
����� � �
���L� �
������L�
�����J����*�� ���� J�� ���
����
��� �� ��
��L� ��������� ��? ��,
��� ��� ��� $��*�
�����L � � ���������L . #�����
��L$ ������� � $
��������� ���������
����� ����
��� $�? � ;L�� �;H �������� ��
���� ������.
���� �� ������$ ����� � ����$��� ���� ������ ?�
���L�
� �;����$� ��� �������� �����L� ����
�����������*� ��������
����
��� ��L� ?�
���L� � ;���;L �
� ��L$� ��� ��$L$�. ��� J��$
������������ $�� $���� ��� $ ���L,
���������, $�� ����
��� . =� ��
$�� � � ����$��� ���������
$�� $���� ���� J����*�� ���;���B
����������� �� �������� ��*����� ���� ������� @ �������� (1838 *.),
������� �������� ��� ��� �������� ��� ��
� ��� ���������, ��� � ��
���$�� ���
��, �����$ �,
$�� �� Q����-����� ��� [1]. ! � ��������$
��*����� ���� ������� $�?�� ��� ��� J
������ ��� �������?� �� �
� ����� ���;��? �� ��� ��.
��J��$�
��;�� �� ���*� ��� $ ������*�� ������ ���
$�� $���� ���� $�� � � ����$��� ���������, ����
���
�� ���
$�� $���� ���*� �������� �;M ���
��������� ������L. E �� ��� ����
;���� ������ ��� $�� $���� ���� $�� � �
L����� � ���� $���*��.
1. �������!�"#�$ %��&�� # %�"������' ()��()��!�"#�$ (���*�
���)(�#� %�%+*,-�$
��� ���$���
���� � �� ��� ���*� ������� � $�� $���� ���$�
$�� ����
���� ����$��� ��������� �� ���*� ��� ��������
��� ����
L
����������
��� � ����, ������� �� ;� � ���$ � ��� �;H *� � �� ��� ���*�
����. � ��� ��
����*� ���� � � ���;����� ��������
��� � �� ��� ���
����
L � ���� ���� $, �����L ���;��?��� „ ���� ����� ” [2]. +����� ��
������H *�
� $ �� ���L ������
� ���� ���� $ ���$���
�����
��� ��
���� ���$ ��� *���� „�
����
�”, ��� ����?���� � � ��� �
����� ��
��L$ ����$ ���$ [3]. ��������
��� J� �* ��� ���� �� ���
„�
����
” ���
�����
����� ��
���� ���$ ��������� � �� ��� ����
����
� $�� $���� ���� $�� �� ����$��� ���������.
1.1. ������*�/�, %�"������, ()��()��!�"#�$ (���*� ���)(�#�
%�%+*,-�$
��� �������� $�� $���� ���� $�� �� ����$��� ��������� � �;����$�
���� �?�
����� ����
�L� J����
, �����L
�������:
1) ���$���
��� J� �* ��� ���*� ������� � �����$���� ���� $L;
2) �����
� �� J� �* ��� ���*� ���
� ��� ���� $L;
3) �����
� �� ���
� ��� J� �* ��� ���*� ��� ������ ���� $L.
U� �* ��� ���� ������ � �����$���� ���� $ ������� ���
���$���
���� ;����� � ��
���$L� � � $ ��L�, �����L� ���? �
34
�; �� ��
��� �;��������� ���$� ��
� ��� �;M ���
������ ������L.
��
� �� �;M ���
����$����
� ��� � ������� �
�? ��� ��;�������
���
������ ��;�������. ��� �������� ����$��� ��������� �;��������� ���$�
�
�? ��� ����$����
� ��� ��� ����� J� �*��
J� �* ��� ���$ ��� .
��J��$� ;���� � � $ ��L� ���? �
������� [4]:
– �����$ ������L � � $ ��L ����������
� l �
� $ �� t ;
– ����
L � � $ ��L , �����L ����L
��� �
�? �� ��;�������
��� J��� ��;�������.
)���� � ��
���$L� ����
L� � � $ ��L� ���? � �������� �� �
��
�����, ���� �� �����L� ������ ���� � ��;������� � , � ���*�� –
��� ����� ���� ��;�������. ��� J��$ �����
� �� � ��
���$L� ����
L�
� � $ ��L� ���? � �$ �� ���$ ������ J� �*�� � � ���� � .
� �
��� � J��$ J� �* ��� ���� ��� �����,
� �
�� �� � ��,
������� ���
L;�� � ��
���$L� � � $ ��L�. 7�$ ��$, ��� ��� ����
��
� � $ ���� ��;������� �$ � ���$ ������ J� �*��, �� � � $ ����
J� �* ��� ���*� ��� ������ ;�� � ; ����$ ����
�������.
U� �* ��� ��� ���
� �� ���� $L ���;��?� � J� �* ��� ���� �;$ �
���� $L �� �� ��� �� ����
������
�����������
���� ���� $L [5]. �
��$������ ������� ���� J� �* ��� ���*� �;$ �� ��
��������� ���� $
���? �
L��������� ����� ������ ��� J� �*��. U� �* ��� ��� ���
� ��
���� $L ���?�� ;L�� ����
��� �� ����� ����? ����:
1. ������ J� �*�� ������� �� ����
��� � �������� ����� J� �*��
� � � � � �X t V t Y t� , (1)
*� � �X t , � �V t , � �Y t – ����
���
���, ������, ����
��� �
�������� ����� J� �*�� ���� $L.
2. =��� $� �;���� � �����;������ �
����
��� ������ J� �*�� �� �� �
�������� ����� J� �*�� �� �L. ����� �������� ����� J� �*��
������������ � �����
� ��� ������ J� �*�� � J� �* ��� ���$�
��� ������:
� � � � � �
dY t
t X t
dt
� , (2)
*� � �t
– J� �* ��� ���� ��� ����� ���� $L.
��������� (1) � (2) ������$ J� �* ��� ��� ���
� �� ���� $L, ������
���$ „� � $ ��L� ���������” ����L
����� ���� � �������L$
���
� �� $ ��������� � ���
� �� $ ��* ;�L „
L���-�������� -
���”:
� � � � � � � �
� � � � � �
,
.
dX t dV t
t X t
dt dt
Y t X t V t
�
� �
(3)
@���
L � � $ ��L ���� $L � ��
���$L, ������ �� ��$ � ��� $�*��
;L��
���$��
�����L$�. ��J��$� ���
� �� J� �* ��� ���*� ��� ������
35
����L
� ��� ��$$��
�����, �����L ���;��?��� ����L
��L
��
���$���� ����
L� � � $ ��L�. +*������$�� ����
�L$�
���$�
���$��� ��
���$���� J� �* ��� ���*� ��� ������ � J� �*��:
1) ��� ����� � ��
���� �� J� �*�� � �1 t
� ;
2) ��� ����� ������������ � J� �*�� � � � �2
0
1t X t
a
� ;
3) ��� ����� ������������ � �������� ��$ � ��� J� �*��
� � � �
3 1
dX t
t a
dt
� ,
*� 0a , 1a – ����$ ��L ���� $L, ������ �����H� ����
���
��H�
��
���$���� ��� ������ ��� ��$ � ��� J� �*��.
E�*�� ���
� �� ��$$����*� ��� ������ ����L
� ��� ��* ;���� ����
��$$��:
� � � � � �1
0
1dX t
t a X t
dt a
� � � . (4)
!�� ��
���� [3], ����
� ��� ������ � � ������������ �;H *�
���� � ��������*� ���
� ��� ����� ���� �;M ���
���;��?� � ��
���
�
���� �������� ����� J� �*�� � � 0Y t � . ��J��$� ������ J� �*�� ��
��
����
��� � � � �X t V t� . ������
���
L��? �� ��� ��$$����*�
J� �* ��� ���*� ��� ������ ���� $L (4)
���
� �� ���� $L (3), ������$
�;H ���� � �������� ���
� �� ���� $L:
� �
� � � �1
0
1 1 0
dX t
a X t
X t dt a
�
� �� �� �
� �
. (5)
1.2. �)��()��!�"#�� (���*����)��� ���)(�#� %�%+*,-�$
G�� J����*�� ���� ���� $
��� ��
����
L� � � $ ��L�
������������ J� �* ��� ���
�����L – �;M $ ;��$���L � ���� ������
��������� (
J� �* ��� ���$ J�
�
�� �� ), � J� �* ��� ���� ��� ����� –
�������� ����� ���������.
� � ��� �� J� �* ��� ����
����� ���
� ��� (5) � ����� ��
��L$
� � $ ��L$ �� � �;H � ��� ��� ���� � �������� ���
� ��
J����*�� ���� ���� $L ��� ���� ������ ���������:
� �
� � � �1
0
1 1 0
dN t
a N t
N t dt a
�
� �� �� �
� �
, (6)
*� � �N t – ����� ��
� ���; �
���������; 0a , 1a ,
– ����$ ��L
J����*�� ���� ���� $L, �����L �
��L
��� ��$ � ��� �������� �����
��������� � ��$ � ���$� ���� ������ ���������.
36
2. �0�03���), *�/�"��!�"#), (���*4 ���)(�#� %�%+*,-�$
+;H ��*����� ��� ���
� �� ����$��� ��������� ����L
� ���
� ��� ��L$ ���� � �������L$ ���
� �� $:
� �
2
1
0
1 dN Na N N
dt a
� � , (7)
*� N – ����� ��
� ���; �
���������;
– ��� ����� J����� ��������*�
�����; 0a , 1a – ����$ ��L ��� ��, �����L �� �?�
��� J����� �������L�
���� ���������.
(��
� �� (7) ������ ��� �� ���
� ��� @ ��������
2
0
0
dN NN
dt a
� �
������ $ � ��� ���*� J� $ ��� 1
dNa N
dt
.
2.1. �03�� ��5���� +�)�����, ���)(�#� %�%+*,-�$
��� � B ��� ���
� ��� ����$��� ��������� �������� $ ��������
��
0 0b a
� . E�*�� ���
� �� (7) ���$ �
��:
� �1
0
1 1dN Na N N
dt b
�
� �� �
� �
. (8)
(��
� �� (8) �$ � �������� ��� � B ��
�� ������ �� ����*�
���
� ��� [6]
� � � �� �10 e
G tN t c b N t
� � . (9)
*� c – ����$ �� ��������*� ���� ���; 1 0 1 0G a b a a
� � – ��� *�����L�
������� �� ��� ��, �����L� ��
� �����
� ���
� � ����$ ���
���
� ���
(7).
�L��? �� (9)
� �
��$
�� ����L
� � �;�;H ���� ��*����� ����
������� �����, ������� ��� t �� ���$������ ��� ��� $���� � ����*�
�$�
���� ��� 0 0b a
� . +;�;H �� ����
�� ���
��$, ��� ��� 1 0a � ���
� ��
(8) �
������ � ���
� ��� @ ��������, � *� � B �� (9) – � �������
��*����� ���� ������� � � � �0 e / 1 et tN t b c c
� . U�� �� � ����
��� �������
���
� �� (8) – �;�;H ��L$ ��*����� ���$ ���
� �� $, � *� � B �� (9) –
�;�;H ���� ��*����� ���� ������ �. = ���*�� ������L, ���B�� ��
��*����� ���� $�� �� �; �� ��
� ��� �� �� �
���� ���
���
� ��
@ �������� �������� ����*� J� $ ��� 1
dNa N
dt
.
G�� ��� ��� ����� ����$ ���
��� �� � � ��B $ ���
� �� (8)
��
dN N n
dt
�� � , *� 2
1 0 1 0/dNn n n a N N a
dt
� � �� � – ����� ��� ��
���� ������ ���������. U� $ �� 2
0 0/n N a� � , �� ����
� ��L�
��
37
0 0n N
� �� (*� 0
0 0
1 T
ndt
a
� � � – ��� ����� $�����L� ��� ��, dNn
dt
� ),
����L
� � ��� ��, ��������������L ����� ��
� ���������
J����*�� ���� ��B , � ����$ �� 0a – $����� ��B�, ������� �*������
� �
��$�?����� ������ ��� ��������� ���$������ ���$ ����*�$ 0 0b a
� .
U� $ �� 1 1
dNn a N
dt
� � �� ����
�$
�� 1 1n N
� �� , *� 1 1a n
� � –
��� ����� � �����
�L� ��� ��. U��� J� $ �� ����L
� � ��� ��,
��������������L �������� ��$ � ��� ���������, � ����$ �� 1a –
�������
� �� �� �L, �� �?�
��H ���� ���������.
��� ;���B�� ���� ���� $����� ��B� 0a �� $�����L ��� ��
2
0 0/n N a� � ��� $���� � ���� � �;�;H ��� ��*����� ��� ���
� ��
L��?�� ���
J����� �������� ���
� ��
���:
� �11 dNa N N
dt
� . (10)
(��
� �� (10) �$ � �������� ��� � B ��
�� ������ �� ����*�
���
� ��� [7]:
� � � �1a N t tN t e ce
� . (11)
�L��? �� (11)
� �
��$
�� ����L
� � �;�;H ����
J����� ��������� ������� �����, ������� ����L
� � ��� ��, �
�����L �
���$�? �� $ �����. +;�;H �� ����
�� ���
��$, ��� ��� 1 0a � ���
� ��
(10) �
������ � ������$� J����� ��������$� ���
� ��� dN N
dt
� , � *�
� B �� (11) – � ������� J����� ��������� ������� � � � �0 e tN t N
� .
= ���*�� ������L, ���B�� �� J����� ��������� $�� ��
�; �� ��
� ��� �� �� �
���� ��� �������� ����*� J� $ ��� 1
dNa N
dt
. ���
���� ���� 1 1a N �� ���
� �� (10)
L��?�� ���
���
� �� 0
1/dN a
dt
� ,
������ ���� � ���$�����
�� ��� ���� ������� � �0
1/N a t
� . �� J��*�
�� �� �, ��� ��� ;���B�� ���� ���� �������
� ��� �� �L 1 0a �� �������
(11) ���$������ ��� ��� $���� � ���$��, � ��� �������� J����� ���������
������� ����?� � J�� �� ;���B�� � �����
�L� ��� ��.
A
��� ���$� �;�;H ���� ��*����� ���� ������� (9) $�?�� ��������,
� B�� ����
���
��H (7) ��� ���-��������� ���
� �� . G���� ����
�;�;H ���� ��*����� ���� �������
� ���� ����� ���$ �$ �
��:
38
0
1 0
1 1
/11
1 1
k
k k
k k
N b
N N
a N a N
� �
�
� �� �� � � �� �� �
. (12)
��� ;���B�� ���� ���� $����� 0a �� ��*����� ���� ������� (12)
L��?�� ���
����� ���� J����� ��������� �������
1 0
1
11
1k k
k
N N
a N
�
� � � � �
. (13)
��� ;���B�� ���� ���� 1 1a N �� J����� ��������� ������� (13)
L��?�� ���
��� ���� �������
��� 1 0 1/k kN N a
� .
2.2. �)"���� ��5���� +�)�����, ���)(�#� %�%+*,-�$
������ (12) �����L
� �, ��� ��� ������ ��� $�� $���� ���� $�� ��
����$��� ��������� ����� ���*�
��� � �;����$� J��� ��$ �������
��� � ���� ����$ ��L $�� �� 0
, 1a � 0b . �������� ��� � B �� ���� $L
���
� ���, ����
���L� �� $�� �� (12), ������� ���� ����$L� ����$ ���
$�� �� �� � � �������:
� � � � � � � �
� � � �
� �� �
� � � �
21 43 2 32 3 1 43 32 32 43
0
21 32 1 43 32 3 32 2 43
21 3 32 2 43
21 32 1 43 32 3 32 2 43
1 1 1 1
1
;
�N n N n N N n N n N
N N N N N N N N N
n N N N N
N N N N N N N N N
� � � � � � � � �� � � �� � � �� �
� � � � � � � � � �
� � � �
�
� � � � �� � � � �
� � � � � � � � � �
� � � �
21 32 1 43 32 3 32 2 43
1
21 32 1 43 32 3 32 2 43
1 1 1 1 1
;
n N N n n N n N n
a
N N N N N N N N N
� � � � � � � � � �� � � �� � � ��
� � � � �� � � � �
(14)
� � � � � � � �
� � � � � �� � � � � �
� �� �
� � � � � �� � � � � �
21 43 2 32 3 1 43 32 32 43
0
21 43 32 21 43 32 43 32 32 43
21 3 32 2 43
21 43 32 21 43 32 43 32 32 43
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
,
1 1 1 1 1
�N n N n N N n N n N
b
N n n n N N n N n N
n N N N N
N n n n N N n N n N
� � � � � � � � �� � � �� � � �� �
� � � � � � � �� � � � � � �� � � �� � � �
� � � �
�
� � � � � � � �� � � � � � �� � � �� � � �
*� , , , 1, 2, 3.m
mk m k mk
k
N
N N N n m k
N
� � � � �
E���$ �;����$, ��� $�� $���� ���*� $�� ����
���� ����$���
��������� ����� ���*�
��� ?�
����*� $��� (���� ��� ���
$������*����$�
) � �;����$�, ��������� (14), ��� � ���� ��������L
����$ ��L �;�;H ���� ��*����� ���� $�� ��,
��������
�
B��� ����L$�
$��������*� ����
���
��H *�
��� ��������� � �1 2 3 4, , ,N N N N .
3. ���������/ ���)(�#� !�"*����"�� �"����7& ����� �&����!4�&
8�����7&
��������* ����$��� ��������� ����
�L�
���
����������
39
?�
���L� ���
������ �� � �������� I���$������ �;�����
*��������
��L$ ����
� �� $ � ���*� � �������� *� �������
� � � ���
�����L, ��������
���� �
���;��
� ��� ?�
����*� $���. (� � ���� ������
���������� ?�
���L� ���
������ �
� ����
*�� � ��������
��� $
�� ��������
*��������
���*� ����
� ��� �����L ����?��H � ���������
�� �L
I���$������ �;�����.
��������* ���
���� ��� � ����
���������� �����;����� ���������� �������
I���$�����*� � *����.
G���L �;H *� ����� ��
� ����� ?�
���L�, �;����H��
����������
�*����� (�����L ���
� �L
��;�. 1 [8].
E�;���� 1
G���$��� ���� ������ ����
�L�
���
����� ?�
���L�, *���
��� ����
���
��
�
���
���
2003 2004 2005 2006 2007 2008
+� �� 16734 16992 17606 17899 18480 19610
!�;�� 38796 40351 43119 44808 48982 53084
!����� 121666 122476 126267 126556 131831 136441
Q��� 2217 2268 2692 2664 3143 3183
������ ����$��� ���� ������ ����
�L�
���
���������� ?�
���L� ��
���� ��� ��� *��� �
�� � ����
� � � ��$, ��� ���� ������ ��������L��L�
���;�������
�����, � ����� ��
� �����
���
���: �� �� ;��*�����L�, �� ��
�������L�, ������ � ��;�� ���� � � ��?�L$ *���$. F��� ������ ����
2007
*��� �����
��� 1461 ���;�, ��� *�
���� �; �
��� ��� ��������� �� 5 ���; �.
%��
��� �������� ����*� � ������ ����*� �������� � ���*� �������� *�
�
�� �
�� ��� *� $�*�����, ������� ��
���� ��� � � � ��?�L 8-10 � �.
=��;����L� ���� ���; � ����*� ��;��� �
�� ��� �� ���
� $ ��*�, ���
;���B����
� ���������� �������
�;�����
���� ��� *��L ������
�� ���������� �
� ��� �������� *� �������
� �� ��;���, ��� ���;��
���� ;�� $�*� �� �� ���L��L� �������� *�
���, � ���?
L�����
�������
�� ����� �����;������ *�
���.
���������
�
B��� ����L$� ��;�. 1 � ��$�H�� (14) �������� $ ��;���
����$ ��L ��*����� ���� $�� �� (12) ��� ��������� �� ��, ��;���, ������ �
����. K �������L ���� ��
�� ����
� �L
��;�. 2.
E�;���� 2
7��� ��� ��;���� ����$ ���
$�� � � ����$��� ��������� ����
�L�
���
���������� ?�
���L�
��� ����
���
��
�
���
������ �
1a 0
0b
+� �� -5,88V10-5 1,628V10-2 16981,903
!�;�� -2,47V10-5 3,95V10-2 40454,979
!����� -8,15V10-6 3,192V10-3 123657,8
Q��� -4,41V10-4 2,62V10-2 2260,729
40
������ ����L� ��;�. 2 �����L
� �, ��� �����
� �� 1 1a N �� . U��
���
��� � �;�;H ��� ��*����� ��� ���
� �� ����$��� ��������� (7)
��������
�� :
2
0
dN NN
dt a
� � . (15)
+B�;��, ������� ���
�� ��� ��� ����$ ����H ���, � ��
LB� �
�B�;�� ����*� ��� � ��������
, ����� ��L�
�
� $� ���� ��
(����*� ���
�� � ��*� ����� ���; �).
E���$ �;����$, �� ���������� � �� ��� ��� �;����
�����
�;�;H ���� ��*����� ���� $�� �� ����$��� ��������� ���
����� �
���
���
� �� (7) � ���
� ��� @ ��������.
�7���7 � %�)#��!�"#�� ��#�(���)-��
1.=� �� $�� � � ����$��� ���������
$�� $���� ���� J����*��
���;���B ����������� �� �������� ��*����� ���� ������� @ ��������
(1838 *.), ������� �������� ��� ��� ��������, ��� ��
� ��� ���������, ��� �
��
���$�� ���
��, �����$ �,
$�� �� Q����-����� ���. ! � ��������$
��*����� ���� ������� $�?�� ��� ��� J
������ ��� �������?� �� �
� ����� ���;��? �� ��� ��.
2.K��
��� ��*����� ���� $�� �� ����$��� ��������� �����*� ��� ��
�� � ������ ��� � ��� ��L$ J� $ ���$, �����L� ����L
� � ��� ��,
�
�����L � �������
� �� $ �� �L ����� ���������. +;�;H ����
��*����� ���� �������, ����� ���� � �� ��� ���$ ��� $, ����?� �
$�����L � � �����
�L ��� �� � $�? � ��������
����� ��� ��������, ���
����� ���������, ��� � ��
���$�� ���
��.
3.G�� �� ���������� �;�;H ���� $�� $���� ���� $�� �� ����$���
��������� � �;����$�,
��������
�
B��� ����L$� $��������*�
����
���
��H *�
��� ���������, � ��$�H�� ���� $L (14) �� ����
��;��� ����$ ��L $�� ��. ����� ���� $�� $���� ���� $�� �� ����$���
��������� ;�� � �� �
���� ����L
���
� ������L,
����H� �� ����$���
���
���� ����� $�� ���������.
1. �������� $�� ��
���� �� ���*����
����
����*��: [������.] / �.�.�
�
!
"#�$,
�.%.&��!��
�, .�. ��'$, �.(.)���*'$. – !.: W ��� ��
�. �-��, 2004. – 216 �.
2. �
!�
�
�+�+-�$ �.�. +���
� � ���� ����*����� ���� $: [��
�. ����.] /
�.�.�
!�
�
�+�+-�$. – !.: �G „���� ������”, 2005. – 272 �.
3. /��!�� �./. (��
������� $�� �� ���� $: $ ������*����� ��� �� / �././��!��,
3.�.4��
�'�, 3.�.��
*�+-�$ // ����. I'�#(: ����.-� �� �. �;. – 2009. – <1. –
=. 358-366.
4. 4��
�'� 3.�. !��� ��������� ;���� ��? � ��� ;��� �� / 3.�.4��
�'� // #����$��� �
����
�����. – 1999. – <1(2). – =. 74-79.
5. 4��
�'� 3.�. �������� � �* ������
��X$���� ���� $ / 3.�.4��
�'� // ����.
I"E". – 1999. – <9. – =. 150-155.
6. 5�+��
�+� 6.5. G��� � �������L ���
� ��� �
���������� ������ �� /
41 © Q.).Q�H������
6.5.5�+��
�+�. –
.: '����, 1969. – 424 �.
7. �
��
�
�
� �.7. U� $ ��L � ���� ������� � �������������*� ������� /
�.7.�
��
�
�
�, 8.�.9
���. –
.: '����, %K@
Q, 1981. – 544 �.
8. ��+-���� ;.�.
��������* ���L��L� ?�
���L�, �;����H��
����������
�������
�� (�����L / ;.�. ��+-����, �.�.(����-�$ // ��������-
��� ����� ?�����
� � ��
L� � �����*��. – 2010. – <5/4 (47). – =. 35-40.
������� 27.01.2011�.
(G! 621.317
Q.).Q�H������, �.�.�., ���., �'E(, $. �������
����������� ����
� ���9:��������� ��
������
����:������ � �����; ��
���� :�;<���
�� :������9
The mathematical model of two breech-block field transistor is grounded in the
mode of direct displacement on breech-blocks as an indefinite matrix of conductivity
of 4th orders. Analytical dependences of parameters of this model are got on the
parameters of semiconductor structure.
�"�+%. ( �����
�� � ����� B����
����������� ����$���
;�*��� $�� ��� � ;�*������ ������ ����������� �1�. � �����*�
�� � ����� �
* � �������, �������
����, � � �
���
����, �����; ������, �� ��������
��������
������ ;�*������
���� ����������� � p-n � � ����$ (�E2) �
� � ����$ Z����� (�EZ2) �2�. #� ���
��$�
��
����� �E, H� $���� �
;���B 2-� � � ����
, ��� �������� ��� �
������$� �$�H ���.
�� $������
$�� �� �E2 ��� ����*� � ?�$�
���$� �3�. K��*��� $�� $������� $�� � �
�������
����� �E ������
, H�
��� $�?��� �����
��� � ��� ���$�$�
�$�H ��� �� ���
���
��? ������-��������$� � ?�$� �4�. W ���B���X
������������� $�?��
���� �E2, ��
�$�*�X �����;�� $�� $������� $�� � �
�E2 � ���$� � ?�$�.
�0=�+��+�)��, ()��()��!��> (���*?. G
����
����� �����
��
���������� (���. 1) X � ��� ?��$ ������ � �������$ ;�*������������$,
�
'���� $�? ����$�$� � �1 2, , , > > � 8i i i i � �����*�$� � �1 2, , , > > � 8U U U U
���*� �����X���� ��
�����$
11 12 13 141 1
21 22 23 242 2
31 32 33 34
41 42 43 44
.
> >
> >
8 8
� �
� � � �' U
� � � �' U
� � � �' U
� � � �' U
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �� � � �� �
� (1)
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-29658 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0068 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T05:39:45Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пилькевич, И.А. Маевский, А.В. 2011-12-25T17:28:38Z 2011-12-25T17:28:38Z 2011 Математическая модель динамики популяций животного мира / И.А. Пилькевич, А.В. Маевский // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. пр. — К.: ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2011. — Вип. 59. — С. 32-41. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0068 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29658 004.942 Рассмотрена методология формирования динамической системы, справедливой для адекватного описания объектов разной природы. Разработана обобщенная логистическая модель динамики популяций. Предлагаемая математическая модель получена теоретическим путем на основе положений системологии. The paper considers the methodology of forming up the dynamic model of the system which is veritable for the adequate description of the objects different by nature. It develops the generalized logistic model of population dynamics. The proposed mathematical model has been obtained theoretically on the basis of systemathology principles. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Моделювання та інформаційні технології Математическая модель динамики популяций животного мира Article published earlier |
| spellingShingle | Математическая модель динамики популяций животного мира Пилькевич, И.А. Маевский, А.В. |
| title | Математическая модель динамики популяций животного мира |
| title_full | Математическая модель динамики популяций животного мира |
| title_fullStr | Математическая модель динамики популяций животного мира |
| title_full_unstemmed | Математическая модель динамики популяций животного мира |
| title_short | Математическая модель динамики популяций животного мира |
| title_sort | математическая модель динамики популяций животного мира |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/29658 |
| work_keys_str_mv | AT pilʹkevičia matematičeskaâmodelʹdinamikipopulâciiživotnogomira AT maevskiiav matematičeskaâmodelʹdinamikipopulâciiživotnogomira |